DERET PANGKAT TAK HINGGA

DERET PANGKAT TAK HINGGA

DERET PANGKAT Defiisi deret pgkt : C ( ) c c ( ) c ( ) c ( )... o dim dlh vribel c d dlh kostt Perhtik bhw dlm otsi deret pgkt telh segj memilih ideks ol utuk meytk suku pertm deret, c, yg seljuty disebut suku ke-ol. Hl ii dilkuk utuk memudhk peulis, terutm ketik membhs peryt sutu fugsi dlm deret pgkt

Beberp cotoh deret pgkt

Selg kovergesi deret pgkt Deret pd cotoh () Selg kovergesi deret pgkt dpt ditetuk deg megguk kosep uji rsio (uji isbh), sbb : Meurut syrt uji isbh sutu deret k koverge jik : ρ <

Sehigg : tu : ρ < < tu : < < Jdi selg kovergesiy dlh utuk ili tr - d Pertyy sekrg dlh pkh utuk titik-titik ujug selg yitu pd ili - d deret koverge tu diverge???

Utuk -, deret mejdi :...... Deret ii k tk higg jumlhy, mk utuk deret mejdi diverge. Deg demiki tidk termsuk dlm selg kovergesi deret () Utuk, deret mejdi :...... Merupk deret bolk-blik deg. kre mk deret ii jug diverge. Deg demiki jug tidk termsuk dlm selg kovergesi deret () Sehigg selg kovergesi deret pgkt () dlh < <

TUGAS Tetuk selg kovergesi deret pgkt pd cotoh (b), (c), d (d)

TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT

TEOREMA-TEOREMA PENTING. Itegrsi d diferesisi deret pgkt dpt dilkuk per suku, yitu: C( ) d p q d d C( ) q p C d C d ( ) ( ) d, d p, q Selg kovergesi sergm deret pgkt yg dihsilk, sm seperti yg semul. Utuk kedu titik ujugy, perlu diselidiki.. Du deret pgkt dpt di-jumlh/kurg-k, d diperklik; deret yg dihsilk memiliki selg kovergesi msigmsig deret. Jdi, mislk I d I selg kovergesi msigmsig deret, mk selg kovergesi deret yg dihsilk dlh ( lmbg teori himpu bgi iris). I I r

. Du deret pgkt dpt pul dibgi slk peyebuty tk-ol di, tu ol di, l( ) tetpi tercoretk (seperti ). Selg kovergesiy hrus dicri kembli. 4. Sutu deret pgkt dpt disisipk ke dlm deret pgkt liy, slk selg kovergesi deret yg disisipk terkdug dlm deret liy. Jdi, mislk I selg kovergesiy I, mk I I ( lmbg teori himpu bgi himpu bgi).

5. Peryt sutu fugsi f() dlm deret pgkt koverge, dlh tuggl. Artiy d stu peryt deret pgkt utuk stu fugsi, sejuh vribel berd dlm selg kovergesi deret.

URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI Seperti telh diugkpk di ts, bhw sutu fugsi f() yg dpt diytk dlm deret pgkt. Keyt ii megutugk, kre deret pgkt sgt mudh ditgi secr litis, ketimbg fugsi f() itu sediri. Misly, dlm perhitug itegrl dri fugsi f(), bil sediy f() dlh sutu fugsi rumit yg itegrly tk terdpt dlm tbel itegrl, mk peyelesiy k sulit. Peg dlm peryt deret dri f() mugki dpt lebih mudh ditgi.

Sebgi cotoh, itegrl tetu berikut: si d Mucul dlm persol fisik, yitu pd persol difrksi Fresel gelombg chy oleh sebuh celh. Itegrl jeis ii tk terdftrk dlm tbel itegrl, kre hsily tk dpt diugkpk dlm peryt sutu fugsi primitif tertetu. Sehigg sulit diselesik secr litik deg megguk tekik dsr itegrl. Itegrl seperti ii dpt deg mudh diselesik deg metode proksimsi megguk metode deret pgkt.

Mislk kit igi meytk sebuh fugsi f() yg dikethui dlm peryt deret pgkt, mk mul-mul kit tulis betuk umum seperti berikut : L L C C C C f ) ( ) ( ) ( ) (

Tetp dpt pul berili ol. Mslh seljuty dlh:. Meetuk ili-ili koefisie C, sebgi fugsi dri, sehigg peulis di ts berup sutu idetits (berlku bgi semu ili ). b. Meetuk selg kovergesi deret pgkty dlm m idetits () berlku.

Deg meerpk teorem diferesisi deret pgkt, kit peroleh: C C C f C C C C f C C C C C f...! () ) (. ) "( () () ) '( () () () ) ( L L L L L L C C f!! ) (... L L ) (! ) ( f C Jdi:

Deg demiki, f f f f f ) )( (! ) )( "(! ) )( '( ) ( ) ( L L f f ) )( (! ) ( Uri Tylor dri fugsi f() disekitr Khusus utuk, uri deret pgkt dri fugsi f() disebut deret McLuri

Mislk kit igi meytk fugsi sius dlm deret pgkt disekitr Betuk umum : Tugs kit dlh mecri,,,,... dst Turu pertm dri fugsi si terhdp dlh : Pd, Cos ( ) ( )... Jdi :

Turu kedu dri fugsi si terhdp dlh : si. 4.4... pd ( ) 4. ( )... si. 4 Jdi : Dst...lkuk proses yg sm utuk turu ke-tig, ke-empt, ke-lim, k didpt :

Itervl kovergesi deret si Notsi umum : ( )! Deg uji isbh didpt : ρ ρ ( )! ( )! ( )!( )( ) ( )! ( )( )

ρ lim ( )( ) didpt : ρ < Utuk berp pu, jdi selg kovergesi utuk deret si dlh semu ili. Deg kt li deret si koverge utuk semu ili.

Peryt deret dri fugsi Selg kovergesi. Si! 5 5! 7 7!..., Semu ili. Cos! 4 4! 6 6!..., Semu ili 4. e...,!! 4! Semu ili 4. 5. 4 ( )..., l ( ) 4 ( p ) p( p )( p ) - < p p p..., <!! Disebut deret Biomil, deg p dlh bilg rel positif tu egtif

Tekik-tekik utuk medptk peryt deret sutu fugsi A. Perkli sutu deret deg sutu poliomil tu perkli deret deg deret Cotoh ( ) Utuk mecri peryt deret dri : si ( ) Mk kit lkuk perkli si Deg deret Sbb :

Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : Mk kit lkuk perkli deret e e cos cos Deg deret Sbb :

B. Pembgi sutu deret deg deret liy tu deg sutu poliomil Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : l ( ) Mk kit lkuk pembgi l( ) Deg deret Sbb :

Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : Mk kit lkuk pembgi Deg ( ) Sbb :

Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : t Mk kit lkuk pembgi deret si cos deg deret Sbb :

C. Megguk deret Biomil Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : Diguk deret Biomil Sbb : (cotoh B) Hsily sm deg cotoh B

D. Substitusi sutu poliomil tu sutu deret utuk vribel dlm deret li Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : Mk kit lkuk substitusi e pd vribel dlm deret Sbb : e

Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : e t kit lkuk substitusi sbb :

E. Metode Kombisi Cotoh Utuk mecri peryt deret dri : Diguk metode Sbb : rc t kre Kit tulisk t Sebgi deret Biomil sbb : sehigg

Sol ltih. e. sec. l dt t 4. cosh e e

E. Uri Tylor mellui uri Mc-Luri Cotoh Utuk mecri peryt deret tylor dri fugsi disekitr, kit tulisk: l Llu guk uri McLuri utuk : 4 ( )..., l Kemudi gti deg (-), didpt : 4 l ( ( ) ) ( ) l ( ) ( ) ( ) 4 4...,

Cotoh Cri uri Tylor dri fugsi cos disekitr π Kit tulisk: Llu guk uri McLuri utuk : Si! 5 5! 7..., 7! Kemudi gti deg ( - π/), didpt : Cos Si ( ) ( ) π π ( ) ( ) π π! 5! 5...

Sol Ltih Cri uri Tylor dri fugsi-fugsi berikut mellui uri McLuri :. f ( ) disekitr. f ( ) disekitr 5

Beberp peggu deret A. Perhitug secr umerik Cotoh hituglh di,5

Cotoh hituglh Lkuk diferesisi empt kli d msuk,, didpt :

B. Pejumlh deret Cotoh hituglh Muli deg deret : Ambil Jdi... 4,69

Sol ltih.... 5 7... Guk rc t. π! 4 π 5! 6 π 7!...... Guk si. l ( l ) ( l )!!...... Guk e

C. Meghitug itegrl tertetu Cotoh : hituglh Itegrl Fresel, dijumpi pd persol Difrksi Fresel Muli deg deret : si 6! 5!... Jdi

D. Meghitug Limit Cotoh : hituglh Jwb :

Sol ltih., t te dt. d e d di,. lim l ( )

E. Meetuk ili e Guk peryt deret pgkt utuk e deg e!! 4 4!..., e 4...,!! 4! e,5,7,......,78..

F. Meetuk kr sutu bilg Tetuklh ili 9 deg deret Biomil Deret Biomil : ( ) p p p ( p ) p( p )( p )! Kit tidk bis meulis 9 deg 8 Kre kovergesi deret Biomil dlh < Utuk meyelesik ii guk resep berikut :!..., tu ( 8 ) / ( ) / b c c b / Deg b >> c

Jdi ili 9 ( 9) / 9 6 / / 64 ( 9) / 5 5 5(,64) / / ( 9) / 5,5(,64) ( ),64 8... Itulh hsily

Apliksi Deret Pgkt pd Persol Fisik Cotoh Selesik deg megguk metode deret pgkt yg cocok! Sebuh keret lucur bermss m berd pd sebuh jlur tjk deg sudut kemirig θ terhdp horizotl. Di dekt bgi bwh jlur terdpt sebuh tig bermut listrik positif. Mut positif yg sm ditemptk pul di ts keret. Jik gesek keret lucur deg lits dibik d disumsik percept grvitsi g, berpkh besr gy tolk Coulomb (F) yg diperluk gr keret lucur tersebut tetp dim di tempty. Petujuk tulisk F dlm deret pgkt dri θ. θ

Apliksi Deret Pgkt pd Persol Fisik Solusi : Agr keret tetp di tempty, mk : F F C F wsiθ θ F C mg siθ F C 5 θ θ mg θ...! 5!

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Cri solusi PDB berikut : y' y Deg metode pemish vribel dy dy y d d y dy y d l y l c y Ce

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Mecri solusi deg metode deret pgkt, dimuli deg : y 4 4 PDB yg dicri solusiy berorde stu (y ), mk perlu dicri y : y' 44...... PDB : y' y y' y y' 44... y..................

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt But mtriks seperti berikut : y' y 4 4 didpt : ( ) ( ) ( ) ( 4 )... 4 4 4 4 4

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Deg demiki :... 4 4 y... 6 5 4 y...!! 6 4 y...!! 6 4 y e y Sm deg hsil sebelumy

Sol Ltih Cri solusi PDB Berikut deg metode deret pgkt. y' y. y ' y. y'' y 4si

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Cri solusi PDB berikut : y ' y ( ) y' y Deg metode pemish vribel dy dy ( y ) d ( y ) d dy ( ) y d...

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Mecri solusi deg metode deret pgkt, dimuli deg : y 4 4 PDB yg dicri solusiy berorde stu (y ), mk perlu dicri y : y' 44...... PDB : y ' y y ' y y y' 44.....................

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt But mtriks seperti berikut : y' y 4 ( ) ( ) ( ) ( 4 )... 4 4 didpt :

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt But mtriks seperti berikut : y' y didpt : 4 ( ) ( ) ( ) ( 4 )... 4 4 44 4 4 4 8 8 dst

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Deg demiki :... 4 4 y... 8 8 5 4 y 8 8... 8... 8 4 4 y... 8 8 4 y