Jurna MIPA 37 () (014): 130-135 Jurna MIPA http://journa.unnes.ac.id/nju/index.php/jm TRANSFER PANAS LUBANG HITAM SCHWARZSCHILD Y Tiandho Triyanta KK Fisika Teori Energi Tinggi dan Instrumentasi, Fakutas Matematika dan Imu Pengetahuan Aam, Institut Teknoogi Bandung, Indonesia Info Artike Sejarah Artike: Diterima Agustus 014 Disetujui September 014 Dipubikasikan Oktober 014 Keywords: back hoe, heat transfer, thermodynamics, genera reativity Abstrak Mekanika kuantum menunjukkan bahwa ubang hitam memiiki temperatur sebagai indikasi dapat mengemisikan partike. Persamaan transfer panas secara genera mengandung operator Lapacian yang sifatnya dipengaruhi oeh ruang. Keengkungan ruang-waktu di daerah sekitar ubang hitam sangat besar sehingga operator Lapacian untuk menghitung distribusi temperaturnya merupakan Lapacian ruang engkung. Persamaan Fourier untuk ubang hitam Schwarzschid bergantung pada jarak dan radius Schwarzschid. Pada keadaan tunak sousi dari komponen radius mengandung poinomia Legendre dan sousi dari komponen sudut ruang mengadung fungsi spherica harmonics. Untuk kasus dengan persamaan diferensia terhadap waktu berniai konstan sousi menyimpukan bahwa temperatur bertambah seiring waktu. Hasi yang teah didapatkan secara umum dapat digunakan untuk menentukan distribusi temperatur pada ruang engkung akibat suatu objek bermassa M. Koreksi ini sekaigus menggambarkan peristiwa transfer panas daam konteks reativitas umum. Abstract Quantum mechanics show that back hoe has temperature that indicated that back hoe can emit partices. Generay the heat transfer equation contains Lapacian operators that is infuenced by space. The space-time arch in the surrounding of back hoe is very big so that Lapacian operators to cacuate the temperature distribution is the arch space Lapacian. Fourier equation for Schwarzschid back hoe is depended on the distance and radius of Schwarzschid. At ateady state the doution od radius component containing Legendre poynomia and the soution of component corner containing spherica harmonics function. For the case with differentia equationon the constant time, the soution is that temperature wi increase over time. The resut can generay be used to determine the distribution of temperature in the arch space due to mass object M. This correction can at once refects the heat transfer phenomenon in context of genera reativity. 014 Universitas Negeri Semarang Aamat korespondensi: E-mai: triyanta@fi.itb.ac.id ISSN 015-9945 130
PENDAHULUAN Berdasarkan definisinya, ubang hitam merupakan suatu daerah daam ruang-waktu dengan medan gravitasi begitu kuat bahkan cahaya pun tidak dapat oos. Sebuah ubang hitam terbentuk ketika sebuah objek bermassa M runtuh dan ukurannya ebih keci dibandingkan radius Schwarzschid rs GM c (Froov & Novikov 1998) Daam teori kasik, ubang hitam hanya dapat menyerap dan tidak dapat mengemisikan partike. Tetapi meaui efek mekanika kuantum, ubang hitam dapat menciptakan dan mengemisikan partike seoah-oah mereka adaah benda hitam dengan temperatur, 3 c T. (1) 8 kgm Emisi terma ini menyebabkan penurunan massa ubang hitam secara ambat hingga akhirnya menghiang (Hawking 1975). Semakin tinggi temperatur ubang hitam maka akan semakin keci massanya (Triyanta & Bowaire 013). Daam proses transfer panas suatu objek menuju objek ain distribusi temperaturnya mengikuti persamaan Fourier. Secara mendasar, persamaan Fourier kasik harusah dikoreksi karena mengasumsikan cepat rambat panas memiiki niai yang tak terbatas (Rubin 199). Meaui penerapan prinsip reativitas khusus pada operator Lapacian diperoeh koreksi distribusi temperatur yang memiiki bentuk sama dengan persamaan konduksi panas hiperboik. Hasi tersebut diketahui memiiki akurasi ebih tinggi dibandingkan persamaan Fourier kasik (Ai & Zhang, 005; Ordóñes-Miranda & Avarado-Gi, 01). Lubang hitam merupakan objek yang dapat meengkungkan ruang-waktu secara signifikan. Dengan demikian, operator Lapacian yang akan digunakan untuk menentukan distribusi temperatur ubang hitam harus disesuaikan agar sesuai dengan Lapacian pada ruang engkung. Seama ini perhitungan distribusi temperatur pada ruang engkung beum pernah diakukan. Di daam makaah ini akan dibahas tentang proses transfer panas ubang hitam pada ruangwaktu Schwarzschid. Pembahasan tentang Y Tiandho & Triyanta / Jurna MIPA 37 () (014): 130-135 131 persamaan dasar Fourier akan dibahas pada bagian kedua, perumusan persamaan transfer panas pada ubang hitam Schwarzschid pada bagian ketiga, dan sousi pada keadaan tunak dibahas pada bagian keempat. Seain untuk menghitung distribusi temperatur dari ubang hitam, hasi pembahasan ini dapat digunakan untuk mengkoreksi persamaan Fourier kasik sehingga sesuai dengan teori reativitas umum. Ha ini dibutuhkan karena kehadiran setiap objek bermassa M akan membuat ruang-waktu meengkung. Persamaan Transfer Panas Untuk objek stasioner bertemperatur T, keseimbangan energi dipenuhi meaui persamaan sebagai berikut (Carsaw 1945) T C. q 0, () t dengan adaah densitas, C adaah kapasitas panas (pada temperatur T ), q adaah vektor fuks terma, dan merupakan operator gradien yang secara kasik dapat dituiskan sebagai, ˆ i+ ˆ j+ kˆ. (3) x y z Apabia objek bersifat homogen dan variasi temperatur daam materia tersebut begitu keci sehingga sifat-sifatnya dapat diasumsikan berniai konstan maka q dapat diaproksimasi sebagai, q k T, (4) dengan k merupakan konduktivitas terma. Meaui substitusi persamaan (4) ke daam persamaam (1) maka akan diperoeh, dengan, T T, (5) t k C, (6) yang merupakan variabe difusivitas terma dan merupakan operator Lapacian yang secara kasik teah dikena baik dengan bentuk,. (7) x y z
Y Tiandho & Triyanta / Jurna MIPA 37 () (014): 130-135 Persamaan (5) adaah persamaan yang menggambarkan proses distribusi panas yang azim disebut sebagai persamaan Fourier (Pountney et a 01). Beberapa pengamatan seperti pada aser (Sanderson et a. 1995) dan beberapa divais modern (Wang & Li 013 dan Hu & Chen 01) menunjukkan bahwa persamaan (5) kurang tepat. Persamaan tersebut mengasumsikan panas dapat merambat pada kecepatan tak terhingga. Artinya, perambatan terma dapat dideteksi seketika meskipun jaraknya sangat jauh dan secara fisika ha ini tidak dapat diterima. Sousi untuk mengatasi permasaahan tersebut adaah menyusun persamaan transfer panas dengan kecepatan terbatas yang disebut dengan persamaan konduksi panas hiperboik (Chen 014), T T T. (8) t c t Secara mendasar, persamaan (8) dapat diturunkan dengan mudah meaui penggantian operator Lapacian kasik dengan operator Lapacian reativistik yang dikena sebagai operator d Aembert (Ai & Zhang 005). Dapat disimpukan bahwa perambatan panas terjadi pada kecepatan terbatas dan dipengaruhi oeh komponen ruang-waktu. Daam ha ini, efek reativistik muncu daam ruang datar Minkowski. Transfer Panas Lubang Hitam Schwarzschid Eemen panjang Schwarzschid daam koordinat umum t, r, θ, dan φ didefinisikan sebagai (Froov & Novikov 1998), Suku pertama pada persamaan (14) menjeaskan tentang adanya batasan niai cepat rambat terma c. Variabe daam kurung pada suku pertama dan kedua berhubungan dengan kebergantungan distribusi terma pada massa objek (radius Schwarzschid). Daam konteks reativitas 1 rs rs ds 1 c dt 1 dr r d sin d. (9) r r Apabia sebuah objek memiiki radius sebesar radius Schwarzschid rs maka komponen waktu akan menjadi singuar. Kondisi tersebut menggambarkan kondisi ubang hitam Schwarzschid. Batasan antara bagian daam ubang hitam dengan bagian uarnya disebut dengan cakrawaa peristiwa. Karena dibatasi oeh singuaritas maka kajian transfer panas ubang hitam daam makaah ini hanya meninjau hingga batasan cakrawaa peristiwa. Dengan definisi, ds gdx dx, (10) maka sesuai persamaan (9), komponen g dituiskan sebagai, 1 rs rs g diag 1, 1, r, r sin. (11) r r Daam ruang engkung, operator Lapacian untuk suatu skaar ditentukan sebagai (Strichatz 1983), 1 g g, (1) g dengan g merupakan determinan g. Sedangkan untuk komponen g ditentukan meaui hubungan dengan g sebagai, 1 rs rs 1 1 g =diag 1, 1,,. (13) r r r r sin Sehingga meaui substitusi persamaan (13) pada definisi operator Lapacian (1) akan diperoeh Lapacian untuk temperatur pada ruang-waktu Schwarzschid yaitu, 1 rs 1 T 1 rs T 1 T 1 T T 1 1 r sin r c t r r r r r sin r sin. (14) umum kehadiran massa akan membuat ruangwaktu meengkung. Karena distribusi terma sifatnya 13 dipengaruhi oeh gambaran ruang-waktu maka berdasarkan reativitas umum, distribusi temperatur
Y Tiandho & Triyanta / Jurna MIPA 37 () (014): 130-135 juga dipengaruhi oeh massa objek. Meaui penggantian operator Lapacian pada persamaan (5) dengan operator Lapacian Schwarzschid pada persamaan (14), maka akan diperoeh persamaan transfer panas untuk ubang hitam Schwarzschid, 1 T rs 1 T 1 rs T 1 T 1 T 1 1 r sin. (15) t r c t r r r r r sin r sin Pada kondisi tanpa kehadiran massa maka persamaan (15) akan mereduksi menjadi persamaan konduksi terma hiperboik yang disajikan daam koordinat boa. Meaui persamaan (15) dapat disimpukan bahwa transfer panas ubang hitam Schwarzschid seain dipengaruhi oeh batasan cepat rambat terma juga dipengaruhi oeh massa objek (radius Schwarzschid). Seain untuk menghitung distribusi temperatur ubang hitam Schwarzschid persamaan transfer panas yang teah diperoeh secara umum juga dapat digunakan untuk menghitung distribusi temperatur pada sebarang ruang engkung akibat kehadiran objek bermassa M atau untuk tinjauan sesuai dengan teori reativitas umum. Sousi Keadaan Tunak Saah satu kasus sederhana yang sering dipeajari daam proses transfer panas adaah transfer panas pada keadaan tunak (steady state). Keadaan ini terjadi pada saat fungsi temperatur tidak agi bergantung pada waktu. Dengan demikian persamaan (15) dapat direduksi, 1 rs T 1 T 1 T 1 r sin 0. (16) r r r r r sin r sin Apabia perhitungan diakukan tanpa memperhitungkan massa objek maka persamaan (16) akan tereduksi menjadi persamaan transfer panas kasik pada keadaan tunak. Karena temperatur tidak bergantung pada waktu maka temperatur dapat dinyatakan secara sederhana sebagai fungsi r, θ, dan φ,, T R r Y. (17) Meaui substitusi ke daam persamaan (16) dengan metode separasi variabe akan diperoeh persamaan untuk komponen Y,, 1 Y 1 Y sin 1Y 0, (18) sin sin yang memiiki sousi berupa fungsi spherica harmonics, 1 m! Y, P cos e 4 m! m m im m dengan P cos, (19) merupakan poinomia Legendre sedangkan adaah integer non-negatif sehingga Y, memiiki niai yang konvergen. Untuk komponen radia akan didapatkan persamaan, r R r r r s 1 r 1 R 0. (0) Dengan mendefinisikan, r z 1, (1) rs 133
Y Tiandho & Triyanta / Jurna MIPA 37 () (014): 130-135 maka persamaan (0) dapat dituiskan sebagai, 1 R R z z 1 R 0. () z z Persamaan tersebut merupakan persamaan yang dikena sebagai persamaan Legendre yang sousinya adaah, r r R ap 1 bq 1. (3) rs rs Meaui substitusi persamaan (19) dan (3) ke daam persamaan (17) maka akan diperoeh sousi distirbusi temperatur pada keadaan tunak adaah, r r m T ap 1 bq 1 Y,, (4) rs rs dengan P dan Q masing-masing merupakan fungsi Legendre pertama dan kedua. Variabe a dan b merupakan konstanta yang niainya ditentukan oeh syarat batas. Sousi tersebut menunjukkan bahwa daam ruang-waktu Schwarzschid distribusi temperatur seain bergantung pada jarak titik tinjau juga bergantung radius Schwarzschid-nya. Namun karena tinjauan dibatasi oeh cakrawaa peristiwa maka distribusi temperatur hanya beraku untuk kondisi r r. Khusus untuk tinjauan tepat di s cakrawaa peristiwa, yaitu Legendre masing-masing akan berniai r r, poinomia s P 1 dan. Pada cakrawaa peristiwa temperatur Q 1 berniai terbatas, maka pada radius Schwarzschid mengharuskan konstanta b berniai no agar temperatur tidak berniai tak berhingga karena poinomia Legendre kedua Q 1 bersifat tak konvergen. Dengan demikian pada radius Schwarzschid persamaan temperatur dapat dituiskan secara ebih sederhana sebagai, 1 m, T a P Y. (5) Apabia persamaan (16) tidak berniai no, meainkan memiiki niai sebagai suatu konstanta x, maka juga beraku kondisi, 1 1 T 1 r 1 s T x, (6) t c r t A r T t xt e c r rs r tc r r s, (7) dengan A merupakan sebuah konstanta yang ditentukan oeh keadaan awa. Pada kondisi tersebut tampak bahwa distribusi temperatur mengandung suku yang berkurang secara eksponensia terhadap fungsi waktu, radius, dan massa objek yang didefinisikan sebagai radius Schwarzschid. Namun di sisi ain, persamaan tersebut pada suku pertama sebeah kanan mengandung suku yang bertambah seiring pertambahan waktu. Dengan mendefinisikan konstanta berniai satu maka berdasarkan signifikasinya, pada kasus ini akan diperoeh kesimpuan bahwa temperatur di sekitar ubang Schwarzschid bertambah seiring pertambahan waktu. PENUTUP Lubang hitam memiiki temperatur yang niainya berbanding terbaik dengan massanya. Persamaan transfer panas didefinisikan dengan baik meaui persamaan Fourier. Beberapa pengamatan menunjukkan bahwa penggantian operator Lapacian kasik dengan operator d Aembert akan menghasikan persamaan transfer panas yang ebih baik. Untuk menghitung distribusi temperatur di sekitar ubang hitam digunakan operator Lapacian yang beraku untuk ruang engkung. Karena pada daerah sekitar ubang hitam keengkungan ruangwaktu tidak agi dapat diabaikan. Persamaan Fourier daam ruang-waktu Schwarzschid bergantung pada jarak tinjau dan juga massa objek. Untuk keadaan tunak, distribusi temperatur yang dihasikan dapat dinyatakan secara sederhana sebagai fungsi Legendre pertama dan kedua (komponen radia) serta fungsi spherica harmonics (komponen sudut ruang). Fungsi Legendre tersebut bergantung pada jarak dan radius Schwarzschid. Untuk kasus dengan persamaan diferensia yang bergantung pada waktu berniai konstan diperoeh distribusi temperatur bergantung pada waktu, radius, dan massa objek. yang memiiki sousi berupa, 134
Y Tiandho & Triyanta / Jurna MIPA 37 () (014): 130-135 UCAPAN TERIMA KASIH Riset ini mendapat dukungan dari Riset Desentraisasi DIKTI 014. DAFTAR PUSTAKA Ai Y M & Zhang L C. 005. Reativistic heat conduction. Internationa Journa of Heat and Mass Transfer 48: 397-406 Carsaw H S. 1945. Introduction to the Mathematica Theory of the Conduction Soids, New York: Dover Pubications Chen T M. 014. A hybrid transform technique for the hyperboic heat conduction probems. Internationa Journa of Heat and Mass Transfer 65: 74-79. Froov V P & Novikov I D. 1998. Back Hoe Physics: Basic Concepts and New Deveopments. Netherands: Springer Hawking S W. 1975. Partice creation by back hoes Communication in Mathematica Physics 43: 199-0 Hu K & Chen Z. 01. Thermoeastic anaysis of a partiay insuated crack in a strip under therma impact oading using the hyperboic heat conduction theory. Internationa Journa of Engineering Science 51: 144-160 Ordóñes-Miranda J & Avarado-Gi J J. 01. Determination of therma properties for hyperboic heat transport using a frequency-moduated excitation source. Internationa Journa of Engineering Science 50: 101-11 Pountney O, Cho G, Lock G D & Owen J M. 01 Soutions of Fourier s equation appropriate for experiments using thermochromic iquid crysta. Internationa Journa of Heat and Mass Transfer 55: 5908-5915 Rubin M B. 199. Hyperboic heat conduction and the second aw. Internationa Journa of Engineering Science 30 :1665-1676 Sanderson T, Ume C & Jarzynsk J. 1995. Hyperboic heat equations in aser generated utrasound modes. Utrasonics 33: 415-41 Strichatz R S. 1983. Anaysis of the Lapacian on the compete Riemannian manifod. Journa of Functiona Anaysis 5: 48-79 Triyanta & Bowaire A N. 013. Hawking Temperature of the Reissner-Nordstrom-Vaidya Back Hoe. Journa of Mathematica and Fundamenta Sciences 45: 114-13 Wang B L & Li J E. 013. Hyperboic heat conduction and associated transient therma fracture for a piezoeectric materia ayer. Internationa Journa of Soids and Structures 50: 1415-144 135