Bab 7: Teori Antrian Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Pendahuluan Teori Antrian Pendahuluan Beberapa contoh antrian: 1 Nasabah bank menunggu pelayanan di teller atau customer service 2 Pelanggan menunggu layanan pembayaran di kasih 3 Pembeli menunggu giliran membeli tiket kereta di loket kereta api 4 Mahasiswa menunggu registrasi dan pembayaran uang semester 5 Pengendara menunggu pengisian bahan bakar 6 dll
Struktur Model Antrian Pendahuluan Di dalam model antrian, secara umum terdapat tiga komponen dalam sistem antrian, yaitu 1 Kedatangan pelanggan (pelanggan masuk ke dalam sistem) 2 Garis tunggu (sering disebut antrian/queue) 3 Fasilitas pelayanan (service fasility)
Pendahuluan Figure: Struktur Sistem Antrian Sumber: Materi Kuliah Model Antrian, Rosihan Asmara UB
Desain Sistem Antrian Teori Antrian Pendahuluan SINGLE CHANNEL, SINGLE PHASE
Pendahuluan SINGLE CHANNEL, MULTIPHASE
Pendahuluan MULTICHANNEL, SINGLE PHASE
Pendahuluan MULTICHANNEL, MULTIPHASE Sumber: Bab 10 Teori Antrian (KODE MK/STEKPI/BAB 10)
Pendahuluan Notasi-notasi dalam Sistem Antrian
Pendahuluan Perhitungan untuk beberapa notasi L S = n P n n=0 W S = L S λ W Q = W S E(S) = W S 1 µ L Q = λ W Q
Misalkan pelanggan datang pada suatu stasiun layanan dengan server tunggal berdasarkan proses Poisson dengan laju λ. Waktu layanan server tersebut berdistribusi eksponensial dengan laju µ. Sistem seperti ini dinamakan dengan sistem antrian server tunggal atau biasa dinotasikan dengan sistem antrian M/M/1.
Keadaan Laju Saat Proses Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem = Masuk ke dalam Sistem 0 λp 0 = µp 1 n, n 1 (λ + µ)p n = λp n 1 + µp n+1
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, maka kita dapat menuliskannya sebagai P 1 = λ µ P 0 P n+1 = λ µ P n + [ P n λ ] µ P n 1, n 1
Kemudian substitusikan dalam bentuk P 0, maka diperoleh P 1 = λ µ P 0 P 2 = λ [ µ P 1 + P 1 λ ] µ P 0 = λ ( ) λ 2 µ P 1 = P 0 µ P 3 = λ [ µ P 2 + P 2 λ ] µ P 1 = λ ( ) λ 3 µ P 2 = P 0 µ. P n+1 = λ µ P n + [ P n λ ] µ P n 1 = λ µ P n = ( ) λ n+1 P 0 µ
Untuk menentukan P 0 kita gunakan fakta bahwa penjumlahan seluruh P n bernilai 1, maka 1 = P n = n=0 P 0 = 1 λ µ ( λ P n = µ n=0 ) n ( 1 λ µ ( ) λ n+1 P 0 = P 0 µ 1 λ µ ), n 1
1. Rata-rata banyaknya pelanggan di dalam sistem adalah L S = = n P n n=0 n n=0 = λ µ λ ( ) λ n ( 1 λ ) µ µ
2. Rata-rata lamanya waktu yang dihabiskan seorang pelanggan di dalam sistem adalah W S = L S λ = 1 µ λ 3. Rata-rata lamanya waktu yang dihabiskan seorang pelanggan menunggu di dalam antrian adalah W Q = W S 1 µ = λ µ(µ λ) 4. Rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu di dalam antrian adalah λ 2 L Q = λw Q = µ(µ λ)
Misalkan sebuah sistem dengan s server di mana pelanggan datang berdasarkan proses Poisson dengan laju λ. Seorang pelanggan masuk ke dalam fasilitas pelayanan jika salah satu dari s server sedang kosong. Jika keseluruhan s server kosong, maka pelanggan yang datang masuk ke dalam antrian. Ketika sebuah fasilitas pelayanan selesai melayani pelanggan, maka pelanggan keluar dari sistem dan jika terdapat pelanggan yang berada dalam antrian, maka pelanggan yang telah menunggu paling lama akan dilayani oleh server tersebut.
Laju kedatangan, λ n = λ, n 1 Laju layanan µ n = { nµ, 0 < n < s sµ, n s
Keadaan Laju Saat Proses Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem = Masuk ke dalam Sistem 0 λp 0 = µp 1 n, 0 < n s (λ + nµ)p n = λp n 1 + (n + 1)µP n+1 n > s (λ + sµ)p n = λp n 1 + sµp n
Berdasarkan proses kelahiran kematian, kita memiliki persamaan kesetimbangan λ n P n = µ n+1 P n+1, n = 0, 1, 2,... Selanjutnya kita peroleh bentuk rekursif P n+1 = λ n µ n+1 P n Berdasarkan persamaan rekursif di atas, kita bisa menuliskan semua peluang keadaan dalam bentuk P 0 yaitu P n = λ n 1 n 1 λ n 2... λ 0 λ i P 0 = P 0 µ n µ n 1... µ 1 µ i+1 i=0
Ingat! Peluang keadaan memiliki sifat P n = 1. Dengan menggunakan n=0 n=0 sifat tersebut, kita peroleh P n = P 0 + 1 = P 0 [1 + n 1 n=1 i=0 n 1 1 P 0 = 1 + P n = 1 + i=0 λ i µ i+1 P 0 λ i µ n=1 i+1 i=0 n 1 n=1 i=0 n 1 λ i µ i+1 n 1 n=1 i=0 λ i µ i+1 λ i µ i+1 ]
Untuk sistem antrian M/M/s ( ) n n 1 λ λ µ i = n!, jika n s µ i+1 λ n i=0, jika n > s µ n s! s n s
Jadi, P 0 = 1 + s n=1 ( λ µ) n ( λ µ ) n 1 n! + n=s+1 ( ) n λ sµ s s s! P n = P 0 P n = P 0, jika n s n! ) n s s ( λ sµ s!, jika n > s
A Shoe Shine Shop Teori Antrian