Aljr Lier Elemeter A SKS Silus : B I triks d Opersiy B II Determi triks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 7//7 :4 A- Aljr Lier
Sistem Persm Lier (SPL) Su Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beerp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki listrik Jrig Komputer odel Ekoomi d li-li. 7//7 :4 A- Aljr Lier
. Pedhulu Persm lier dlh persm dim peuhy tidk memut ekspoesil, trigoometri (seperti si, cos, dll.), perkli, pemgi deg peuh li tu diriy sediri. Cotoh : Jik perush A memeli Lptop () d PC (y) mk i hrus memyr $ 5, sedgk jik memeli Lptop d PC mk i hrus memyr $. Represetsi dri mslh terseut dlm etuk SPL y 5 y 7//7 :4 A- Aljr Lier
7//7 :4 A- Aljr Lier 4 Betuk umum sistem persm lier Dpt ditulis dlm etuk : m m m L O L L...... m m m m... m
Atu dim AX B A dimk mtriks koefisie X dimk mtriks peuh B dimk mtriks kostt Cotoh : Perhtik hw SPL y 5 y dpt ditulis dlm etuk perkli mtriks y 5 7//7 :4 A- Aljr Lier 5
Solusi SPL Himpu ilg Rel dim jik disustitusik pd peuh sutu SPL k memeuhi ili keer SPL terseut. Perhtik SPL : y 5 y k {, y } merupk solusi SPL terseut {, y } merupk uk solusi SPL itu Sutu SPL, terkit deg solusi, mempuyi tig kemugki : SPL mempuyi solusi tuggl SPL mempuyi solusi tk higg yk SPL tidk mempuyi solusi 7//7 :4 A- Aljr Lier 6
Ilustrsi Solusi SPL deg gris pd krtesius y y - y (, ) merupk titik potog du gris terseut (, ) Tidk titik potog yg li seli titik terseut Artiy : SPL y y empuyi solusi tuggl, yitu, y 7//7 :4 A- Aljr Lier 7
Perhtik SPL y y Jik digmr dlm krtesius y y y Terliht hw du gris terseut dlh sejjr Tk k perh diperoleh titik potog kedu gris itu Artiy SPL dits TIDAK mempuyi solusi 7//7 :4 A- Aljr Lier 8
Perhtik SPL y y Jik kedu rus pd persm kedu diklik ½ Diperoleh persm yg sm deg pers. pertm Jik digmr dlm krtesius y y y Terliht hw du gris terseut dlh erimpit Titik potog kedu gris yk sekli disepjg gris terseut Artiy SPL dits mempuyi solusi tk higg yk 7//7 :4 A- Aljr Lier 9
7//7 :4 A- Aljr Lier Solusi Sistem Persm Lier deg OBE Tulis SPL dlm etuk mtriks yg diperesr Lkuk OBE smpi mejdi esilo ris tereduksi Cotoh : Tetuk solusi dri SPL y 5 y 5 Jw : rtiks yg diperesr dri SPL ~ 5 5 ~ 5 5 ~ 5 ~ 5
Tulis kemli mtriks yg diperesr hsil OBE mejdi perkli mtriks y Solusi SPL terseut dlh d y Cotoh : Tetuk solusi (jik d) dri SPL erikut :. c 4 c 7 7//7 :4 A- Aljr Lier
7//7 :4 A- Aljr Lier. c 4 c. c 4 Jw :. Terliht hw solusi SPL dlh,, d c 7 4
7//7 :4 A- Aljr Lier. Jik dikemlik kedlm etuk perkli mtriks diperoleh : Ii memerik c d c 5. Deg memilih c t, dim t dlh prmeter. k solusi SPL terseut dlh :, dim t dlh prmeter 4 5 5 c 5 t c
7//7 :4 A- Aljr Lier 4 c. Terliht hw d ris ol pd mtriks koefisie tetpi mtriks kostt pd ris ke- sm deg (tk ol) Dri ris ke- diperoleh huug hw... Tk d ili d yg memeuhi kesm ii. Jdi, SPL terseut tidk memiliki solusi. 4 5 5 c
Cotoh : Dikethui SPL : y z 4 y 5z 4 y ( 4) z Tetuk sehigg SPL :. empuyi solusi tuggl. Tidk mempuyi solusi c. Solusi yg tidk terhigg 7//7 :4 A- Aljr Lier 5
7//7 :4 A- Aljr Lier 6 Jw: trik diperesr dri SPL dlh. Agr SPL mempuyi solusi tuggl: 6 sehigg ±4 ~ -4 4 5 4-4 - 7 4 7 4-4 -6 4 7 4 - ~
7-4 -6 4 4. Perhtik ris ketig y ( 6) z 4 SPL tidk mempuyi solusi st 6 d 4 Sehigg ± 4 d 4. Jdi, 4. c. SPL mempuyi solusi tk higg yk 6 d 4 Jdi, 4 7//7 :4 A- Aljr Lier 7
7//7 :4 A- Aljr Lier 8 Solusi SPL deg triks Ivers Atu AX B Klik setip rus di ts deg A A A X A B diperoleh : X A B Igt hw sutu mtriks A mempuyi ivers jik d hy jik Det (A). L O L L
Cotoh : Tetuk solusi dri SPL erikut : c 4 c 7 Jw : Perhtik hw A - Jdi A mempuyi Ivers A - - - - 7//7 :4 A- Aljr Lier 9
7//7 :4 A- Aljr Lier sehigg X A B eretuk : Jdi, Solusi SPL terseut dlh c 7-4 - - - - c
7//7 :4 A- Aljr Lier Solusi SPL deg tur Crmer islk SPL ditulis dlm etuk AX B, yitu : Jik determi A tidk sm deg ol mk solusi dpt ditetuk stu perstu (peuh ke-i, i ) Lgkh-lgkh tur crmer dlh : Hitug determi A Tetuk A i mtriks A dim kolom ke-i digti oleh B. Cotoh : L O L L A L O L L
Hitug A i Solusi SPL utuk peuh i dlh det( Ai ) i det( A) Cotoh : Tetuk solusi dri SPL erikut : c 4 c 7 Jw : Perhtik hw A - 7//7 :4 A- Aljr Lier
k det ( A ) det ( A ) 4-7 - (-4) 7-7 ( -- ) (-4) (- ) ( 7 - ) - (-4) 7 Jdi, Solusi peuh yg memeuhi SPL dlh 7//7 :4 A- Aljr Lier
Tetuk solusi SPL utuk peuh? det det 4-7 ( A ) ( A ) - - - - 4 7 4(--) (--(-7)) -4 5 7//7 :4 A- Aljr Lier 4
Sistem Persm Lier Homoge Betuk umum m m SPL homoge merupk SPL yg kosiste, sellu mempuyi solusi. Solusi SPL homoge diktk tuggl jik solusi itu dlh K Jik tidk demiki, L L L m { } SPL homoge mempuyi solusi tk higg yk. (isy ditulis dlm etuk prmeter) 7//7 :4 A- Aljr Lier 5
Cotoh : Tetuk solusi SPL homoge erikut p q r s p q r s p q 4r s p s SPL dpt ditulis dlm etuk - - - - 4 - - - 7//7 :4 A- Aljr Lier 6
deg melkuk OBE diperoleh : - - k solusi SPL homoge dlh : p, q, s, d r, dim, merupk prmeter. 7//7 :4 A- Aljr Lier 7
7//7 :4 A- Aljr Lier 8 Cotoh : Dikethui SPL. Tetuk gr SPL memiliki solusi tk higg yk. Tulisk solusi SPL terseut Jw : Solusi sutu SPL homoge dlh tk tuggl jik det(a). - - - z y
7//7 :4 A- Aljr Lier 9 ( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) tu Solusi SPL tk higg yk st tu ( )
7//7 :4 A- Aljr Lier St z y Deg OBE mk ~ q q p z y q p - islk p,q dlh prmeter Riil, mk
7//7 :4 A- Aljr Lier St Deg OBE mk islk q dlh prmeter Riil, mk z y ~ ~ ~ ~ q q q z y
Cotoh 9 : Perhtik ilustrsi segitig erikut : γ α c β Tujuk hw : c c cosα 7//7 :4 A- Aljr Lier
7//7 :4 A- Aljr Lier Jw : Dri gmr terseut dikethui hw : c cosβ cosγ c cosα cosγ cosα cosβ c tu c c c γ β α cos cos cos
7//7 :4 A- Aljr Lier 4 det c c ( ) ( ) c c c ( ) ( ) c c c Perhtik hw : Deg tur Crmmer diperoleh hw : c c c cos α ( ) ( ) c c c
cosα c c c c Jdi, terukt hw : c c cosα 7//7 :4 A- Aljr Lier 5
7//7 :4 A- Aljr Lier 6 Ltih B. Tetuk solusi SPL erikut :. Tetuk solusi SPL : p q r s 4 p q s p q 4s. Tetuk solusi SPL homoge erikut : 4 9 6 8 8 8 7 7 7 7 4 5 t s r q p t s r t s r q p t r q p
7//7 :4 A- Aljr Lier 7 4. Dikethui SPL AX B Tetuk solusi SPL di ts deg megguk : opersi ris elemeter (OBE ) Ivers mtrik Atur Crmer 5. Dikethui Tetuk yg memeuhi., - A X d B 4 5 4 X X 4 X
7//7 :4 A- Aljr Lier 8 6. SPL homoge (deg peuh p, q, d r) Tetuk ili k sehigg SPL puy solusi tuggl 7. islk Tetuk vektor tk ol sehigg ( ) r q k p k r q r q p 5 B y u u u B 6