REVIEW GERAK HARMONIS SEDERHANA Di sekitar kita banyak benda yang bergetar atau berosilasi, isalnya assa yang terikat di ujung pegas, garpu tala, gerigi pada ja ekanis, penggaris elastis yang salah satu ujungnya dijepit di eja, senar gitar atau piano, dll. Laba-laba endeteksi kedatangan angsanya elalui getaran yang terjadi pada sarangnya, obil bergerak naik-turun setelah elewati gundukan tanah, jebatan bergetar jika dilewati truk berat atau angin yang keras. Hal ini terjadi karena hapir seluruh benda padat bersifat elastis. Osilasi listrik terjadi di radio dan televisi. Pada tingkat atoik, ato bergetar di dala olekul dan ato benda padat bergetar di sekitar posisi setibangnya. Getaran dan gejala gelobang eiliki hubungan yang erat. Gelobang baik gelobang laut, gelobang tali, gepa bui, atau gelobang suara di udara bersuber pada getaran. Pada suara, bukan hanya subernya saja yang enggunakan prinsip getaran, detektornyapun juga enggunakan prinsip getaran, isalnya gendang telinga dan ikrofon. Deikian juga ediu yang dilalui gelobang akan engalai getaran, seperti udara yang dilewati gelobang suara. Getaran dan gelobang bukanlah fenoena yang sepenuhnya "baru", karena ereka dapat dijelaskan dengan enggunakan ekanika Newton. R. Osilasi Pegas Vibrasi, getaran, atau osilasi adalah gerakan berulang yang dilakukan suatu benda. Gerakan ini bersifat periodis. Contoh yang paling sederhana dari gerakan periodis ini adalah gerakan yang terjadi pada assa yang terikat pada ujung sebuah pegas. Contoh ini dipilih untuk dianalisa lebih jauh, karena sifatnya hapir saa dengan jenis-jenis getaran yang lain. Dala analisa ini, kita asusikan bahwa assa bergerak pada arah horisontal (lihat gabar Ra,b,dan c), antara assa dan lantai saa sekali tidak terdapat gesekan (lantai licin total). Jika tidak ada gaya yang bekerja pada gaya, aka pegas berada dala kondisi / panjang noralnya. Dala keadaan ini posisi assa dinaakan posisi setibang, diana x = 0 (lihat gabar R.a). Jika assa ditarik ke kanan, pegas akan terregang dan padanya akan tibul gaya F ke arah kiri (gabar R.b). Sebaliknya, jika assa ditarik ke kiri, pegas akan tertekan dan Review Gerak Haronis Sederhana Irwan Arifin '00
padanya akan tibul gaya ke arah kanan (gabar R.c). Gaya yang tibul pada pegas ini dinaakan gaya restorasi, yaitu gaya yang tibul untuk engebalikan pegas ke kondisi noralnya. Besarnya gaya restorasi ini dala huku Hooke dinyatakan berbanding lurus dengan sipangan (perpindahan) ujung pegas (x) : F = - kx (R.) Tanda negatif pada persaaan tersebut enunjukkan bahwa arah gaya restorasi (F) selalu berlawanan dengan arah sipangan (x). Di sini (dan juga (a) untuk selanjutnya), kita enggunakan nilai positif untuk arah kanan dan nilai negatif untuk arah kiri. Dengan deikian, jika assa bergeser ke (b) kanan, sipangannya bernilai positif dan padanya akan bekerja gaya restorasi ke arah kiri (F bernilai negatif). Begitu juga sebaliknya, jika (c) assa bergeser ke kiri (x negatif) aka Gabar R. gaya restorasi F akan engarah ke Getaran assa pada ujung pegas kanan (positif). Naun perlu diperhatikan, untuk enggeser assa ke arah kanan, kita harus eberikan gaya ke arah kanan sebesar F = +kx. Konstanta pebanding k pada persaaan R. di atas dinaakan konstanta pegas atau konstanta gaya. Seakin besar nilai k, seakin besar pula gaya yang diperlukan untuk enggeser assa pada jarak yang saa. Berarti, seakin keras suatu pegas, akin besar pula nilai k-nya. Selanjutnya, kita akan enganalisa apa yang akan terjadi jika assa tersebut kita lepaskan dala kondisi awal terregang sejauh x = A, seperti yang ditunjukkan pada gabar R.a. Pada saat assa dilepas, padanya akan bekerja gaya restorasi yang ebawa assa enuju titik setibang pegas. Naun karena benda eiliki kecepatan pada saat encapai titik setibang (gabar R.b), aka berarti assa eiliki energi kinetik yang ebuatnya bergerak elewati titik setibang. Pada saat assa ulai elewati titik setibang, pegas ulai tertekan. Berarti pada assa ulai bekerja gaya restorasi, yang secara perlahan engurangi energi kinetik benda. Ketika assa encapai posisi x = -A (gabar R.c), assa berhenti sesaat karena Review Gerak Haronis Sederhana Irwan Arifin '00
energi kinetik assa habis dan gaya restorasi pegas bernilai aksial. Dala kondisi ini, energi potensial pegas (E = ½ kx ) juga bernilai aksial, E = ½ ka. (a) (b) (c) (d) (e) Gabar R. Gaya restorasi dan kecepatan pada getaran Karena di x = -A assa berhenti sesaat sabil eneria gaya restorasi F ke arah kanan, aka dengan segera assa ulai bergerak lagi ke kanan dan engulangi kronologis gerakan yang telah diuraikan di atas, naun pada arah yang berkebalikan. Dala pebahasan getaran, terdapat sejulah istilah yang perlu didefinisikan. Jarak assa terhadap titik setibang (x) dinaakan sipangan. Sipangan aksiu jarak terjauh terhadap titik setibang dinaakan aplitudo, A. Satu siklus atau satu getaran adalah gerakan yang telah enyelesaikan satu lintasan penuh, isalnya dari A lalu ke A keudian kebali ke A lagi. Periode,T, adalah waktu yang dibutuhkan untuk elakukan satu siklus atau satu getaran. Frekwensi, f, adalah banyaknya getaran yang terjadi dala satu satuan waktu. Untuk frekwensi biasanya digunakan satuan hertz (Hz), diana Hz = getaran/detik atau Hz.= cycle/detik. Antara periode dan frekwensi terdapat hubungan sebagai berikut : f = dan T = (R.) T f Sebagai contoh, getaran berfrekwensi 5 Hz eiliki periode sebesar /5 detik. Review Gerak Haronis Sederhana 3 Irwan Arifin '00
Osilasi pegas yang tergantung vertikal pada dasarnya saa dengan osilasi pegas horisontal. Satu-satunya hal yang berbeda adalah pegas yang tergantung vertikal eiliki panjang noral yang lebih besar, karena dala keadaan noral (setibang) ia tetap berada di bawah pengaruh gravitasi. Di sini, sipangan x diukur terhadap titik setibang yang baru dan nilai k dari pegas tersebut saa sekali tidak berubah. Setiap siste yang bergetar, yang di dalanya bekerja gaya restorasi seperti pada persaaan R. di atas, disebut elakukan gerak haronis sederhana (GHS). Hapir seluruh benda padat dapat ditekan atau diregangkan sesuai dengan huku Hooke (persaaan R.), selaa pergeseran yang dihasilkannya tidak terlalu besar. Oleh sebab itu, hapir seluruh getaran alaiah dapat digolongkan pada GHS atau paling tidak enyerupai GHS. Contoh : Satu keluarga, terdiri atas 4 orang dengan assa total 00 kg, enaiki obil yang assanya 00 kg dan per obil tertekan sejauh 3 c. (a) berapakah nilai konstanta pegas per obil (keseluruhan)? (b) Berapa jauh per akan tertekan jika obil diisi beban berassa 300 kg? Jawab : (a) Naiknya keepat orang tersebut ke dala obil akan eberi gaya tekan sebesar (00 kg).(9.8 /s ) = 960 N, yang enibulkan pergeseran pada pegas sebesar 3.0 x 0 -. Dengan enggunakan persaaan R. kita dapatkan nilai konstanta pegas : F 960 N 4 k = = = 6.5 0 N/ - x 3.0 0 (b) Jika ke dala obil diasukkan beban berassa 300 kg, aka beban tersebut akan eberikan gaya tekan sebesar (300 kg).(9.8 /s ) = 940 N. Beban tersebut akan enekan pegas sejauh : x = F/k = (940 N)/(6.5 0 4 N/) = 4.5 0 - = 4.5 c. Pergeseran ini bernilai satu setengah kali nilai pergeseran di soal (a), sebanding dengan pertabahan beban. R. Energi pada Gerak Haronis Sederhana Untuk eregang atau enekan sebuah pegas, diperlukan energi atau usaha. Review Gerak Haronis Sederhana 4 Irwan Arifin '00
Jadi, peregangan atau penekanan pegas identik dengan peberian/peasokan energi pada pegas. Energi yang diaksud di sini adalah energi potensial pegas : E p = kx (R.3) Seentara itu, ingat kebali bahwa assa yang berada di ujung pegas yang tertekan/terregang eiliki energi ekanik, yang terdiri atas energi potensial dan energi kinetik. E = E p + E k = kx + v (R.4) diana v adalah kecepatan gerak assa, x adalah jarak assa terhadap titik setibang. Selaa antara assa dan alas tidak terdapat gesekan, energi ekanik ini tidak pernah berkurang (huku kekekalan energi). Ketika assa berosilasi pada pegas, terjadi konversi (perubahan) energi terus enerus dari energi potensial enjadi energi kinetik, lalu kebali enjadi energi potensial, dan seterusnya (lihat gabar R.3). (a) (b) (c) (d) Gabar R.3 Perubahan energi potensial enjadi kinetik, dan sebaliknya, pada osilasi pegas. Review Gerak Haronis Sederhana 5 Irwan Arifin '00
Di titik-titik ekstri, yaitu di x = A dan x = -A, seluruh energi ekanik akan enjadi energi potensial, karena di titik-titik tersebut assa akan berhenti untuk sesaat. Jadi : E = (0) + ka = ka (R.5) Di titik setibang, x = 0, panjang pegas saa dengan panjang noralnya, sehingga tidak terdapat energi potensial. Berarti di titik setibang, seluruh energi ekanik telah berubah enjadi energi kinetik. Di titik ini pula assa eiliki kecepatan tertinggi untuk kedua arah arah. E = vaks + k(0) = vaks (R.6) Di posisi-posisi lain, selain titik ekstri dan titik setibang, energi ekanik terdiri atas kobinasi energi potensial dan energi kinetik, seperti yang ditunjukkan oleh persaaan R.4. Substitusi persaaan R.4 ke dala persaaan R.5 akan enghasilkan hubungan sebagai berikut v + kx = ka Modifikasi persaaan untuk encari v akan enghasilkan k k x v = (A x ) = A ( ) A Dari persaaan R.5 dan R.6, diperoleh hubungan ½ v aks = ½ ka, sehingga v aks = (k/) A atau (k/) = v aks/a. Jika ini disubstitusi kedala persaaan di atas, akan diperoleh v = v aks x / A (R.7) Dengan persaaan ini kita dapat enghitung kecepatan assa (v) di setiap posisi x. Contoh : Sebuah pegas tertarik sejauh 0.50 jika padanya digantungkan benda berassa 0.30 kg. Pegas tersebut keudian ditarik lagi sejauh 0.00 dari titik setibangnya, keudian dilepaskan. Tentukan (a) konstanta pegas k, (b) kecepatan aksiu v aks, (c) kecepatan v, jika benda berjarak 0.050 dari titik setibangnya, dan (d) percepatan aksiu pada benda. Jawab : (a) Karena pegas tertarik sejauh 0.50 jika padanya digantungkan beban berassa Review Gerak Haronis Sederhana 6 Irwan Arifin '00
0.30 kg, aka dengan enggunakan persaaan R. kita dapat enghitung k : F (0.30 kg)(9.8 /s ) k = = = 9.6 N/ x 0.50 (b) Kecepatan aksiu diiliki benda tepat ketika ia elintasi titik setibang, diana seluruh energi ekanik akan berbentuk energi kinetik. Dengan enggunakan huku kekekalan energi, kita dapatkan : v aks Berarti v aks dapat dicari sebagai berikut : = ka k 9.6 N/ v aks = A = (0.00 ) = 0.8 /s 0.30 kg (c) Dengan enggunakan persaaan R.7 kita dapatkan : v = v aks x / A (0.050 ) = ( 0.8 /s) - (0.00 ) = 0.70 /s (d) Percepatan aksiu tibul pada saat gaya aksiu bekerja pada benda, yaitu ketika benda berada di x = A = 0.00. Dengan enggunakan huku Newton ke dua, F = a, kita dapatkan : ka (9.6 N/)(0.00 ) a = = = 0.30 kg 6.5 /s R3. Penurunan Persaaan-Persaaan GHS Untuk enurunkan persaaan-persaaan uu Gerak Haronis Sederhana, kita bayangkan sebuah benda berassa sedang elakukan gerak elingkar beraturan. Besaran-besaran yang terdapat dala gerak elingkar beraturan antara lain sudut posisi (θ), kecepatan sudut (ω), percepatan sudut (α), periode (T), dan frekwensi (f). Sudut posisi analog dengan besaran posisi (S) pada Gerak Lurus Beraturan (GLB). Kecepatan sudut analog dengan kecepatan linier (v) pada GLB dan percepatan sudut analog dengan percepatan linier (a) pada GLB. Analogi gerak elingkar beraturan dengan gerak lurus beraturan juga berlaku pada persaaanpersaaan ereka. Review Gerak Haronis Sederhana 7 Irwan Arifin '00
Gerak Lurus Beraturan Gerak Melingkar Beraturan Posisi S = v.t + S 0 θ = ω.t + θ 0 Kecepatan v = ds/dt ω = dθ/dt Besaran periode (T), yaitu waktu yang diperlukan untuk enepuh satu putaran penuh ( θ = S S 0 = π), hanya terdapat pada gerak elingkar beraturan. T = π ω atau ω = π T Frekwensi (f) adalah julah putaran yang terjadi dala satu satuan waktu. Karena antara periode dan frekwensi terdapat hubungan T = /f, aka ω = π = πf T (R.8) Selanjutnya kita engaati benda yang sedang elakukan gerak elingkar beraturan tersebut dari saping. Dari saping, benda tersebut terlihat seolah-olah sedang elakukan gerak haronis sederhana. Atas dasar ini, kita dapat enurunkan persaaan sipangan untuk GHS. Gabar R.3 Benda bergerak elingkar beraturan yang diaati dari saping akan terlihat seperti sedang elakukan gerak haronis sederhana Menurut pengaat yang berada di saping, benda yang sedang ber-gmb (Gerak Melingkar Beraturan) terlihat seolah-olah bergerak haronis antara titik- dan titik-3. Titik- dan titik-4 akan terlihat sebagai titik setibang, seentara titik- dan titik-3 adalah posisi terjauh yang dapat dicapai benda yang sedang ber-'getar' tersebut, yang Review Gerak Haronis Sederhana 8 Irwan Arifin '00
proyeksinya berjarak R = A terhadap titik setibang. Jika suatu saat benda berada di titik-5, aka jarak proyeksinya terhadap titik setibang adalah x, diana x = R sin θ Karena R = A dan θ = ω.t + θ 0, aka x = A sin (ω.t + θ 0 ) Jika getaran terjadi pada arah vertikal, seringkali persaaan ditulis sebagai berikut : y = A sin (ω.t + θ 0 ) y = A sin (π t /T + θ 0 ) (R.9) y = A sin (π f t + θ 0 ) Persaaan R.9 tersebut erupakan persaaan uu untuk GHM. Kecepatan getar (v g ) benda yang sedang ber-ghm dapat dicari sebagai berikut : v = dy/dt = Aω cos(ω.t + θ 0 ) (R.0) Dari persaaan R.0 di atas, kita dapat encari kecepatan getar aksiu, yang akan diperoleh ketika faktor cos(ω.t + θ 0 ) bernilai + (tanda + enunjukkan arah) : v ax = + Aω (R.) Dengan enggabungkan persaaan R. dan persaaan pada jawaban b di contoh di atas, kita dapatkan : A k = Aω k = πf k f = atau T = π (R.) π k Kitapun dapat encari persaaan percepatan getar benda yang ber-ghs, sbb. : a = dv/dt = -Aω sin (ω.t + θ 0 ) (R.3a) atau a = -ω y (R.3b) Perhatikan tanda negatif pada persaaan R.3b, yang enunjukkan bahwa arah percepatan selalu berlawanan dengan arah sipangan. Dari persaaan R.3a, kita dapatkan nilai percepatan aksiu : a ax = Aω (R.4) Review Gerak Haronis Sederhana 9 Irwan Arifin '00
SOAL-SOAL. Sebuah benda bergetar pada pegas dengan persaaan y = 5 sin 0 π t, dengan satuan ks. Massa benda tersebut 0. kg. a. Hitung sipangan benda pada saat t = 0. detik. b. Buat persaaan kecepatan getar dan percepatan getar benda. c. Tentukan periode dan frekwensi getaran. d. Hitung nilai konstanta pegas. e. Hitung energi ekanik benda di atas. f. Hitung energi potensial dan energi kinetik benda pada saat t =0. detik. Sebuah benda ( = 0, kg) elakukan getaran haronis dengan persaaan Y = 0,05 cos (4π.t). Suatu saat energi kinetik benda besarnya dua kali energi potensialnya. a. Tentukan fasa saat itu. b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda pada saat itu. c. Tentukan posisinya pada saat itu. 3. Sebuah benda bergetar haronis dengan fungsi percepatan : a = 3 sin 4t (/s ). Hitung kecepatan getar aksiu benda tersebut. 4. Hitunglah kecepatan getar aksiu suatu benda yang bergetar dengan aplitudo 5 c dan frekwensi 00 Hz. 5. (a) Buat persaaan untuk enggabarkan gerakan suatu pegas yang ula-ula ditarik 0 c dari titik setibangnya lalu dilepas, sehingga ia berosilasi dengan periode.5 detik. (b) Berapa sipangannya pada t =.8 detik? 6. Sebuah karet eiliki panjang 45 c jika padanya digantungkan beban 8 N dan panjangnya akan enjadi 58 c jika beban dijadikan.5 N. Hitung konstanta "pegas " karet tersebut. 7. Seseorang ( = 70 kg) elopat keluar jendela dan endarat pada sebuah jaring Review Gerak Haronis Sederhana 0 Irwan Arifin '00
peada kebakaran, yang berada 5 di bawahnya. Ketika orang tersebut endarat, jaring tertekan sejauh.. (a) Dengan engasusikan jaring tersebut sebagai pegas biasa, hitung berapa jauh jaring tertekan pada saat orang tersebut berbaring di atasnya. (b) Berapa jauh jaring tertekan jika orang tersebut elopat dari ketinggian 30? 8. Sebuah benda berassa kg bergetar sesuai dengan persaaan : x = 0.4 cos 7.40 t diana seluruh besaran enggunakan satuan ks. Tentukan : (a) aplitudo (b) frekwensi dan periode (c) energi total (d) sipangan pada t = 0.5 detik (e) saat-saat diana benda elintasi titik setibang (f) persaaan kecepatan getaran (g) persaaan percepatan getaran (h) kecepatan aksiu (i) percepatan aksiu Review Gerak Haronis Sederhana Irwan Arifin '00