SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI Prsetyo Budi Drmoo Jurus Pedidik Mtemtik FKIP Uiversits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Persm lier dlm vribel 1, 2, 3,.. sebgi sebuh persm yg dpt diytk dlm betuk 1 1 + 2 2 +.. = b, dim 1, 2,.. d b dlh kostt-kostt riel. Himpu berhigg dri persm-persm lier di dlm vribel-vribel 1, 2,.. dimk sebuh sistem persm lier. Urut-urut bilg s 1, s 2,..= s dimk solusi sistem persm jik dlh sebuh pemech dri tip-tip persm di dlm sistem tersebut. Metode Jcobi merupk slh stu metode / cr utuk meyelesik solusi sistem persm lier. Metode Jcobi dlh metode koverge. Sehigg setip persm hrus diubh sedemiki higg koefisie-koefisie ili mutlky plig besr stu, yitu 1. Kt Kuci: persm lir, metode jcobi, koverge Pedhulu Mecri solusi/pemech sistem persm lier dlh tugs yg terutm dri Alisis Numerik. Byk sekli cr utuk mecri cr utuk mecri Solusi Sistem Persm Lier. Pd tigkt Sekolh Meegh Ats d tig cr mecri Solusi Sistem Persm Lier yitu Metode Elimisi, Metode Subtitusi, d Metode Determi. Ketig metode tersebut msih dirs sulit utuk memechk sistem yg terdiri dri Persm Lier ( > 3). Dlm prkteky, Sistem Persm Lier serigkli dipe- Prsetyo Budi Drmoo: Solusi Sistem Persm Lier deg Metode Jcobi 37
chk pd komputer digitl. Kre Komputer dibtsi meurut b-yky bilg desiml yg dpt digkut oleh komputer tersebut, mk Komputer k membultk tu k memotog kebyk kutits umerik. Kre hl tersebut mk metode Jcobi merupk slh stu metode terbik utuk memechk Sistem Persm Lier tersebut. Meurut pegmt peulis, Metode Jcobi merupk slh stu metode yg bik dlm mecri Solusi Sistem Persm Lier. Metode Jcobi dpt memmumk efek keslh pembult. lier dlm vribel 1, 2,.. sebgi sebuh persm yg dpt diytk dlm betuk: 1 1 + 2 2 +.. + = b. dim d b dlh kostt-kostt rl. Sebuh pemech (solutio) persm lier 1 1 + 2 2.. = b dlh sebuh urut dri bilg s 1, s 2, s 3,.. s, sehigg persm tersebut dipeuhi bil kit mesubstitusik 1 = s 1, 2 = s 2, = s. Himpu semu pemech persm tersebut dimk himpu pemech (it s solutio set). Himpu berhigg dri persm-persm lier dlm Solusi Sistem Persm Lier bidg y Sebuh gris di dlm secr ljbr dpt diytk oleh sebuh persm yg berbetuk 1 + 2 y = b. Sebuh persm semcm dimk persm lier dlm vribel d vribel y. Secr lebih umum, mk kit medefsik sebuh persm vribel-vribel 1, 2, 3,.. dimk sebuh Sistem Persm Lier tu sebuh Sistem Lier. Urut bilg-bilg s 1, s 2,.., s dimk sebuh Pemech Sistem tersebut jik 1 = s 1, 2 = s 2,.. = s dlh pemech dri tip-tip persm di dlm sistem tersebut. Tidk semu Sistem Persm Lier 38 Prsetyo Budi Drmoo: Solusi Sistem Persm Lier deg Metode Jcobi
mempuyi pemech. Sistem Pd peulis k dibicrk persm yg tidk mempuyi pemech diktk tk kosiste (i cosistt). Jik d setidktidky stu pemech, mk Sistem Persm tersebut dimk kosiste (cosistet). Sebuh sistem sebrg yg terdiri dri m persm lier sutu metode utuk meyelesik sutu Sistem Persm Lier deg cr tidk lgsug yg disebut metode itertif. Metode itertif dimuli deg proksimsi terdekt dri bris tersebut dlh siklus dri perhitug-perhitug yg diulg-ulg smpi keteliti deg bilg yg tk yg dgik diperoleh. dikethui k ditulis sebgi: 1 + 12 2 +.. + 1 = b 1 21 1 + 2 +.. + 2 = b 2 Sedgk dlm metode itertive byky perhitug tergtug pd keteliti yg dgik, Di dlm ljbr lier telh b1 12 13 1 2 3... dibicrk beberp metode (cr) b meyelesik sutu Sistem Persm Lier deg 2 21 23 2 1 3... megguk metode lgsug (direct method). mislk: dikethui sistem pers- m1 1 + m2 2 +.. + m = b m m lier berikut: dim 1, 2,.. dlh 1 + 12 2 +.. + 1 = b 1 bilg-bilg yg tk dikethui d d b yg berideks bwh meytk kostt-kostt. 21 1 + 2 +.. + 2 = b 2 31 1 + 32 2 +.. + 3 = b 3 1 1 + 2 2 +.. + = b Deg koefisie-koefisie Solusi Sistem Persm Lier digol tidk ol. Dri deg Metode Jcobi persm (4.1 ) didpt: 1 2 Prsetyo Budi Drmoo: Solusi Sistem Persm Lier deg Metode Jcobi 39
b3 31 32 3 1 2... 33 33 33 b 1 1 2 3 33 3 ( 1) 2... Pers. 4.2 ( 1) b1 12 i 1 2... 1 b2 21 ( ) 2 2 1... 1 ( ) ( ) ( ).. 1 ( ).( 1) ( ) b 1 1... ( 1) Mislk (1) 1, (1) (1) 2, dlh proksimsi-proksimsi pertm utuk 1, 2, 3, disubstitusik ke dlm rus k persm (4.2). Kemudi di peroleh sutu sistem deg proksimsi kedu. b1 12 1 1 2... 2 (1) (1) b2 21 2 2 1... 2 (1) (1) b 2 (1).( 1) (1) i 1... 1 Deg cr yg sm, bil () 1, () () 2, dlh sutu sistem deg proksimsi ke-, mk proksimsi berikuty diberik oleh formul: Pers. 4.3 Metode tersebut disebut Metode Jcobi d disebut jug metode pemidh simult. Metode Jcobi dlh metode koverge, utuk sebrg pemilih dri proksimsi pertm (1) j, (j= 1, 2, 3, ) bil setip persm dri sistem persm (4.2) memeuhi syrt bhw jumlh dri ili utuk koefisiekoefisie plig besr stu tu plig sedikit stu persm kurg dri stu uit yitu: j1 1 (i 1,2,3,...) j 1 40 Prsetyo Budi Drmoo: Solusi Sistem Persm Lier deg Metode Jcobi
Utuk lebih jelsy perhtik cotoh berikut: Cotoh: Selesik sistem persm berikut deg Metode Jcobi 10 1-2 2-3 - 4 = 3-2 1 +10 2-3 - 4 = 15 Pers. 4.4-1 - 2 +10 3-2 4 = 27-1 - 2-2 3 +10 4 = -9 Peyelesi: Utuk meyelesik sistem persm deg Metode Jcobi, sistem persm tersebut kit tulis kembli sebgi berikut: 1 = 0,3 + 0,2 2 + 0,1 3 + 0,1 4 1 = 0,3 + 0,2(0) + 0,1(0) + 0,1(0) = 0,3 2 = 1,5 + 0,2(0) + 0,1(0) + 0,1(0) = 1,5 Deg cr yg sm diperoleh 3 = 2,7 d 4 = -0,9 Deg megmbil proksimsiproksimsi 1 = 0,3, 2 = 1,5, 3 = 2,7 d 4 = -0,9 kit peroleh: 1 = 0,3 + 0,2(1,5) + 0,1(2,7) + 0,1(-0,9) = 0,78 Demiki pul diperoleh : 2 = 1,74; 3 = 2,7; 4 = -0,18 Apbil proses tersebut diljutk terus k kit peroleh hsil seperti pd tbel berikut: 2 = 1,5 + 0,2 1 + 0,1 3 + 0,1 4 3 = 2,7 + 0,1 1 + 0,1 2 + 0,2 4 4 = -0,9 + 0,1 1 + 0,1 2 + 0,2 3 Dri sistem terkhir dpt diliht bhw, tip persm memeu-hi syrt 1 Ambillh 1 = 2 = 3 = 4 = 0 illi tersebut kit substitusik ke persm 1. Diperoleh: 1 2 3 4 1 0,3 1,5 2,7-0,9 2 0,78 1,74 2,7-0,18 3 0,9 1,908 2,916-0,108 4 0,9624 1,9608 2,9592-0,036 5 0,845 1,9848 2,9851-0,0158 6 0,9939 1,9938 2,9938-0,006 7 0,9975 1,9975 2,9976-0,0025 8 0,9990 1,9990 2,9990-0,0010 9 0,996 1,9996 2,9996-0,0004 10 0,998 1,9998 2,9998-0,0002 0,999 1,9999 2,9999-0,0001 12 1,0 2,0 3,0 0,0 Prsetyo Budi Drmoo: Solusi Sistem Persm Lier deg Metode Jcobi 41
Deg Metode Jcobi deg 12 itertif diperoleh 1 =1, 2 =2, 3 = 3 d 4 = 0 msig-msig usur dri mtriks koefisie sistem persm tersebut. Peutup Metode Jcobi dlh metode koverge, sehigg setip persm yg diselesik deg metode tersebut hrus diubh sedemiki higg koefisie-koefisie ili mutlky plig besr stu, yitu 1, dim d Dftr Pustk Fzio/Lds. 1988. Persm Diferesil Bis. Jkrt: Erlgg Scheid, Frcis. 1992. Alisis Numerik. Jkrt: Erlgg Whyudi. 1986. Metode Numerik. Jkrt: Kruik 42 Prsetyo Budi Drmoo: Solusi Sistem Persm Lier deg Metode Jcobi