Bris d Deret
Defiisi Bris bilg didefiisik sebgi fugsi deg derh sl merupk bilg sli. Notsi: f: N R f( ) = Fugsi tersebut dikel sebgi bris bilg Rel { } deg dlh suku ke-. Betuk peulis dri bris :. betuk eksplisit suku ke-. ditulis brisy sejumlh berhigg suku wly.. betuk rekursi =,,, 4,...,
Defiisi: { } diktk koverge meuju L d ditulis sebgi Jik utuk setip bilg positif, d bilg positif N sehigg utuk N lim Sebliky, bris yg tidk koverge ke sutu bilg L yg berhigg dimk diverge. L L
Ak kit jumpi byk persol kovergesi bris. Kit k megguk fkt berikut. Jik lim f( ) L, mk lim f( ) L Fkt ii memudhk kre kit dpt memki kidh L Hopitl utuk sol peubh kotiu. 4
Sift dri limit bris, jik { } koverge ke L d {b } koverge ke M, mk. lim b lim limb L M. lim.b lim.limb L. M. lim b { } diktk lim lim b L M. Mooto ik bil + b. Mooto turu bil +, utuk M 0 5
Tetuk kovergesi dri bris deg rumus suku ke di bwh ii:. Jwb: lim lim Kre () lim. lim, mk { } koverge meuju ½. 6
Atu: Ambil f( ) lim f( ) lim Deg dlil L Hopitl, lim f( ) lim Kre lim f ( ) lim rtiy bris koverge meuju ½. 7
Tetuk kovergesi dri bris di bwh ii:... 4. 5. 4 4 l( ) 6. 7. 8. 5 4 9.,,,... 4 5 0.,,,,... 4 9 6 8
Betuk deret tk higg diotsik deg otsi sigm, sebgi berikut:...... deg dlh suku ke-. 9
Mislk S meytk jumlh prsil ke- suku deret i0 i, mk S = S = +... S = + + + 4 + + = i0 i {S }, dimk bris jumlh prsil dri i0 Dri jumlh prsil ii di dpt bhw S S - =. i 0
Deret tk higg 0 diktk koverge d mempuyi jumlh S jik bris jumlh prsily {S } koverge ke S. Sebliky pbil {S } diverge mk deret diktk diverge.
Betuk umum deret geometri dlh i deg 0. i r r r r... Jumlh prsil deret ii dlh S = i r = +r + r +... + r - i rs r r r... r ( r) S r Sehigg S r r
lim S lim r r r ; ; r r Kre lim S ; r r mk S Koverge. Jdi, deret Geometri koverge, jik deg jumlh S. r r
. 4 8 6... Jwb: Klu kit perhtik, deret ii dlh deret geometri deg rsio ½ ( r<). Sehigg deret ii koverge deg jumlh S / / 4
. Jwb: Klu kit perhtik Dri sii kit peroleh bhw jumlh prsil ke--y S = D ( ) (Deret Kolps)... = 4 lim S = lim = Jdi kre bris jumlh prsily koverge ke, mk deret di ts jug koverge. 5
6.. Jwb: Dri sii kit dptk Sehigg k kit dptk limit utuk S utuk meuju tk higg dlh tk higg jug. Jdi deret hrmoik di ts dlh deret diverge. i i S = +... 8 7 6 5 4 S = +... 8 7 6 5 4 +... 8 8 8 8 4 4 = +... (Deret Hrmoik)
Jik 0 koverge mk lim 0. lim 0, Cotoh: Buktik bhw mk deret diverge. 4 Ekivle deg diverge. Bukti lim Kre lim 4 lim 0, mk lim 4 () 4 diverge. 7
Dlm byk ksus bhw lim 0, tetpi dri sii kit sgt sulit meetuk pkh deret tersebut koverge tu diverge. Sebgi cotoh deret hrmoik,... 4 5 6 7 8 Jels bhw lim 0 deret yg diverge., tetpi deret hrmoik dlh Oleh kre itu perlu dilkuk uji-uji utuk deret positif. 8
. Uji Itegrl Mislk fugsi f kotiu mooto turu d f() > 0 pd selg [,). Adik. Jik itegrl tk wjr mk b. Jik itegrl tk wjr mk f ( ), N koverge. diverge. f f ( ) d ( ) d koverge, diverge, 9
. Selidiki kekoverge dri Jwb. Kit mbil e d Jdi kre f ( ) e e, sehigg b lim ( e d ) lim b e d b b b lim e lim b b b e e e jug koverge. d koverge, mk e e 0
. Selidiki kekoverge dri l Jwb. Kit mbil f ( ), sehigg l d b d lim b l d(l ) lim l b l lim l l lim l l b l l b b Jdi kre jug diverge. d l diverge, mk l
.. Selidiki kekoverge deret berikut:. l 4 4. 5. 4
. Uji Deret p Deret-p tu deret hiperhrmoik berbetuk. p Jik p<0 lim. p Mk deret diverge Jik p 0, deg megguk uji itegrl, kit dptk lim t p Sehigg p d p t lim ; p t p t lim l ; p t lim t t p p ; p p ; 0 p koverge jik p> d diverge jik p
Apkh deret berikut koverge tu diverge?.,00,00 koverge. Berdsrk uji deret-p, deret kre p=,00 > Berdsrk uji deret-p, deret kre p= ½ < diverge 4
. Uji bdig bis (Uji bdig deg deret li) Adik ` d b, d b b ` deret positif,. Jik koverge, mk ` ` koverge b, d b ` `. Jik diverge, mk diverge 5
Selidiki Kekoverge deret berikut: Jwb:. Bdigk 5 5 deg Perhtik bhw. Kre 5 5 deret diverge (deret hrmoik), mk diverge. b 6
. 5 Jwb: Bdigk Perhtik bhw Kre mk deg 5. 5 5 koverge deg uji-p (p=) koverge. 7
Selidiki kekoverge deret berikut. 4... 5 5. 6. 4 8
4. Uji Bdig limit Adik d deret positif d lim. Jik 0 < L < mk ` koverge tu diverge. Jik L = 0 d ` ` ` koverge. ` b b d ` b koverge mk L sm-sm b 9
Selidiki kekoverge dri deret berikut :. 5 7 Jwb: Kit guk Uji Bdig Limit. Klu kit perhtik deret tersebut, suku umumy mirip deg b = sehigg L lim lim 5 7 lim b 5 7 Jdi kre L= d koverge (uji deret p, p=), koverge. 5 7 0
Selidiki kekoverge dri deret berikut :. Jwb: 4 Kit guk Uji Bdig Limit. Klu kit perhtik deret tersebut, suku umumy mirip deg b = sehigg L lim lim 4 = b = lim 4 Jdi kre L= d diverge (deret hrmoik), mk diverge. 4
Selidiki kekoverge dri deret berikut:. 4. 4. 5. l.
5. Uji Hsil Bgi Dikethui suku-suku yg positif, d merupk sutu deret deg. Jik < mk deret koverge. Jik > mk deret diverge. Jik lim = mk uji ii tidk memberik kesimpul
Selidiki kekoverge deret berikut:.! Jwb: Mislk suku ke- dlh =, mk suku ke +! dlh += sehigg!! lim! lim lim lim! 0! Kre mk 0, koverge! 4
. Jwb: Mislk suku ke- dlh =, mk suku ke + dlh += sehigg lim lim lim lim Kre, mk, diverge 5
Selidiki kekoverge dri deret berikut:. 5 4. 5!.. 4!! 5. 6.! 4! 7.! 6
6. Uji Akr Dikethui merupk sutu deret deg suku-suku yg positif, mislk lim. Jik < mk deret koverge. Jik > mk deret diverge. Jik = mk uji ii tidk memberik kesimpul 7
Selidiki kekoverge deret 8. Jwb: Mislk suku ke- dlh =, mk Kre = (> ), mk diverge / lim lim lim
9. Jwb: Mislk suku ke- dlh =, mk Kre = ½ (< ), mk koverge / lim lim lim
Selidiki kekoverge dri deret berikut: 40 l. 4...
Kesimpul Utuk meguji kekoverge deret perhtik ;. Jik lim 0. Jik memut betuk diverge.,!, r, guk uji hsil bgi.. Jik hy memut betuk pgkt yg kost, guk uji bdig limit. 4. Ush terkhir, cobk uji bdig bis, uji kr, tu uji itegrl. 4
Ltih Periks kekoverge dri deret berikut :. 5 5. e e e 9. 5. 5 6. l 0.!. 5! 7.! 4. 8. cos 4
Deret Gti Td Deret ii mempuyi betuk sebgi berikut 4... deg > 0, utuk semu. Cotoh petig dlh deret hrmoik bergti td, yitu... 4 4
Deret gti td, diktk koverge jik:. ( mooto turu). lim 0 Cotoh Tetuk kekoverge deret gti td berikut.... 4....!! 4! 44
. Jwb : Dri sol ii, kit puy deg: ;. Artiy b.lim lim 0 mooto turu. Kre kedu syrt terpeuhi mk deret gti td tersebut koverge. 45
. Jwb (uji gti td) Dri sol dits kit puy deg:. ;!!! b. lim lim 0!! Kre d b terpeuhi mk deret gti td tersebut koverge.! 46
Selidiki kekoverge dri deret gti td berikut: 47! ) (. 4. 5...
Sutu deret diktk koverge mutlk bil hrg mutlk deret tersebut koverge. U diktk koverge mutlk jik D diktk koverge bersyrt jik tetpi U koverge. Atu deg kt li U U koverge. diverge, 48
Lgkh peguji U (koverge mutlk/bersyrt/diverge): Koverge deret koverge mutlk Uji U (uji deret positif) 49 Diverge Uji U (dg DGT) Koverge deret koverge bersyrt Diverge deret diverge
Selidiki deret berikut koverge bersyrt, koverge mutlk tu diverge.! Jwb: Guk UHB 50 Dri sol dits kit puy lim lim! Meurut uji hsilbgi, koverge mutlk. Uji U! Misl! lim.! lim! U!! U 0 U koverge, mk!!
. Jwb: U Deret ii diverge deg uji deret-p (p=/) Seljuty, uji DGT, U (i) (ii) lim lim 0 (tujukk) DGT koverge, Kre Mk U diverge, tetpi U koverge bersyrt. koverge 5
Selidiki pkh deret tersebut koverge mutlk, koverge bersyrt tu diverge:. 5 4.. ( 4) 5. ( ) l. ( ) 6. ( ) 5
Deret pgkt secr umum d du betuk. Deret pgkt dlm didefiisik 0... 0. Deret pgkt dlm ( b) didefiisik 0 ( b) ( b) ( b) ( b)... 0 Yg k ditetuk dlh selg (himpu) kekoverge, yitu himpu semu bilg rel sehigg deret kus koverge. 5
Mislk 0 0 U guk uji hsil bgi mutlk, lim U U. Jik. Jik mk deret koverge mutlk. mk deret diverge.. Jik tidk dpt dimbil kesimpul 54
Tetuk selg kekoverge deret... 0 ( ) 0 ( )! ( )! 4. 0 0 ( ) 55
. 0 Kit k guk Uji Hsilbgi Mutlk, utuk meyelidiki kekoverge mutlk. lim ( ) U U ( ) lim : lim ( ) ( ) ( ) * Utuk =, 56
Guk Uji Bdig Limit, L lim lim. b Kre L=, d mk Utuk = b diverge b Diverge (deret hrmoik) deret ii dlh deret gti td (DGT) (i) mooto turu (ii) lim lim 0 DGT koverge Sehigg selg kekovergey dlh [-,) 57
. 0 ( )! Kit k guk Uji Hsilbgi Mutlk, utuk meyelidiki kekoverge mutlk. lim U U lim :!! lim 0 Jdi selg kekovergey dlh (-,) 58
. ( )! 0 Kit k guk Uji Hsilbgi Mutlk, utuk meyelidiki kekoverge mutlk. lim U U lim Jdi deret tersebut koverge hy utuk = 0.!! lim 0, jik 0, jik 0 59
4. 0 ( ) Jwb(4) U lim ( ) lim. U ( ) ( ) lim * Deret koverge jik yitu, ( ) ( ) * Uji =- ( ). 0, 0 0 Ii DGT, lim 0 jdi DGT diverge. (). * Utuk = Deret ii diverge deg uji 0 0 kediverge suku ke-. Jdi HK = (-,). 60
Himpu kekoverge deret pgkt berbetuk 0 selg yg berup slh stu dri ketig jeis berikut:. stu titik = 0. selg (-c, c), mugki ditmbh slh stu tu keduy titik ujugy.. seluruh himpu bilg rel 6
Himpu kekoverge deret pgkt 0 ( b) berbetuk selg yg berup slh stu dri ketig jeis berikut :. stu titik = b. selg (b-c, c+b), mugki ditmbh slh stu tu keduy titik ujugy.. seluruh himpu bilg rel 6
Tetuk selg kekoverge deret pgkt berikut:.. 0. ( 0 ) ( )!!... 4. ( ) 5. ( ) ( ).. 6
Dlm psl sebelumy utuk, Perty yg mucul megei sift-sift deret kus di ts (misl S()= ) mislk bgim jik S() didiferesilk d jik S() diitegrlk. 64
Misl mk S ( ) 0 ( i) S'( ) 0 D = D[ 0 + + + +...] ( ii) S( t) dt 0 0 0 t dt 0 65
D (i) Perhtik,... 0 merupk deret geometri deg = ; r =, mk ; 0 (ii) 66
(iii) 0 0... dt t t t dt t l( ) t t t 4 t 4... 0 4 4... l( ) 4 4... l( )... l( ) ( ) ; 67
(iv)perhtik 0! Deret ii koverge utuk setip bilg rel. Misl S( )...!! S '( )...!! S()=S () S( ) e Jdi e 0! 68
Cotoh Nytk sebgi deret pgkt dlm Jwb :
70 f ) ( f ) ( f l ) ( ) ( f.. 6.. 5. f()=t - () f ) ( 7. ) ( f 4. Nytk f() berikut sebgi deret pgkt dlm : (guk rumus opersi deret) e f ) (. 8 ) ( 9. e f
Mislk f() dpt dituruk higg kli pd = b, Mk f() dpt diytk sebgi deret kus dlm (-b): f ( ) 0 f ( b)! ( ) b f ( ) f ( b) f '( b) ( b)! f ''( b) ( b)!... Deret di ts disebut Deret Tylor deg pust = b. Bil b = 0, diperoleh Deret Mc Luri, yitu f ''(0) f f f! ( ) (0) '(0)... 7
Perderetk fugsi berikut deg deret mcluri:. f()= si Jwb: f() = si f(0) = 0 f () = cos f (0) = f () = - si f (0) = 0 f () = - cos f (0) = - f lv () = si f lv (0) = 0 Sehigg, 5 7 f ( ) si...! 5! 7! 0! 7
. f()= e Jwb: f() = e f(0) = f () = e f () = e f (0) = f (0) = f () = e f (0) = f lv () = e f lv (0) = Sehigg, f ( ) e!! 4 4!... 0! 7
. Perderetk f()= e deg deret tylor deg pust di = Jwb: f() = e f () = e f () = e f () = e f lv () = e f() = e f () = e f () = e f () = e f lv () = e f ( ) e Sehigg, e e( ) e! e!... e 0! 74
. Perderetk f() berikut dlm deret Mcluri. f() = cos b. f() = l(+) c. f ( ) 5 d. f ( ). Perderetk f() berikut dlm deret tylor deg pust =. f() = e, = b. f ( ), c. f ( ), 75