Sudaryatno Sudirham nalisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu 2 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1)
BB 6 Hukum-Hukum Dasar Pekerjaan analisis pada suatu rangkaian linier yang parameternya diketahui, mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuan besaran keluaran (output) jika besaran masukannya (input) diketahui, ataupun penentuan hubungan antara keluaran dan masukan. gar kita mampu melakukan analisis kita perlu memahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teorema rangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab ini kita akan membahas hal yang pertama, yang mencakup hukum Ohm dan hukum Kirchhoff. Dengan mempelajari hukum-hukum dasar ini, kita akan mampu menghitung resistansi konduktor jika parameternya diketahui. mampu mengaplikasikan Hukum rus Kirchhoff (HK) untuk menuliskan persamaan arus atau tegangan di suatu simpul. mampu mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) untuk menuliskan persamaan tegangan atau arus di suatu mesh ataupun loop. mampu mengaplikasikan HK untuk simpul super maupun HTK untuk mesh super. 6.1. Hukum Ohm Salah satu hasil percobaan laboratorium yang dilakukan oleh George Simon Ohm (1787-1854) adalah hubungan arus dan tegangan yang kemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendiri merupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galvanik yang didasarkan pada analogi antara aliran listrik dan aliran panas. Formulasi Fourier untuk aliran panas adalah dq dt = k (6.1) dt dl dengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur, sedangkan k adalah konduktivitas panas, luas penampang, dan T temperatur. 6-1
Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksi panas dan menganalogikan intensitas medan listrik dengan gradien temperatur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalir pada konduktor dapat dinyatakan dengan dv I = ρ dl (6.2) Jika konduktor mempunyai luas penampang yang merata, maka persamaan arus itu menjadi V V ρ l I = = dengan R = ρ l R (6.3) V adalah beda tegangan pada konduktor sepanjang l dengan luas penampang, ρ adalah karakteristik material yang disebut resistivitas, sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan (6.3) dapat ditulis juga sebagai V = IR (6.4) dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadi v = ir (6.5) Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingat bahwa ia hanya berlaku untuk material homogen ataupun elemen yang linier. CO TOH-6.2: Seutas kawat terbuat dari tembaga dengan resistivitas 0,018 Ω.mm 2 /m. Jika kawat ini mempunyai penampang 10 mm 2 dan panjang 300 m, hitunglah resistansinya. Jika kawat ini dipakai untuk menyalurkan daya (searah), hitunglah tegangan jatuh pada saluran ini (yaitu beda tegangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran) jika arus yang mengalir adalah 20. Jika tegangan di ujung kirim adalah 220 V, berapakah tegangan di ujung terima? Berapakah daya yang hilang pada saluran? Penyelesaian : Resistansi kawat adalah : ρl 0,018 300 R = =,054 Ω 10 Jika kawat ini dipakai untuk saluran daya, diperlukan saluran balik sehingga resistansi total adalah : 6-2 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1)
R saluran = 2 0,054,108 Ω Tegangan jatuh pada saluran adalah : V saluran = irs = 20 0,108 = 2,16 V Jika tegangan ujung kirim adalah 220 V, maka tegangan di ujung terima adalah v terima Daya hilang pada saluran adalah : Pemahaman : = 220 2,16 = 217,84 V psaluran = i Vsaluran = 20 2,16 = 43,2 W 2 2 = i R = (20) 0,108 = 43,2 W Sesungguhnya resistansi kawat terdistribusi sepanjang kawat. Dalam analisis rangkaian, resistansi yang terdistribusi ini kita nyatakan sebagai suatu parameter tergumpal (lumped parameter). Jadi resistansi kawat itu dinyatakan sebagai satu elemen rangkaian, yaitu R, sehingga diagram rangkaian menjadi seperti di samping ini. 6.2. Hukum Kirchhoff Kita telah mempelajari piranti dan modelnya serta bagaimana hubungan antara arus dan tegangan pada piranti tersebut dengan memandangnya sebagai suatu komponen yang berdiri sendiri. Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang terhubung membentuk suatu rangkaian. Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian menuruti suatu hukum yang menyatakan sifat-sifat rangkaian, hasil pemikiran ilmuwan Jerman Gustav Kirchhoff (1824-1887), yang disebut hukum Kirchhoff. Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yang terkait dengan diagram rangkaian, yang perlu kita fahami, yaitu : Terminal : ujung akhir piranti atau sambungan rangkaian. Rangkaian : beberapa piranti yang dihubungkan pada terminalnya. Simpul ( ode): titik sambung antara dua atau lebih piranti. R sumber R beban 6-3
Catatan : Walaupun sebuah simpul diberi pengertian sebagai sebuah titik tetapi kawat-kawat yang terhubung langsung ke titik simpul itu merupakan bagian dari simpul; jadi dalam hal ini kita mengabaikan resistansi kawat. Simpai (Loop) : rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kita berjalan mulai dari salah satu simpul mengikuti sederetan piranti dengan melewati tiap simpul tidak lebih dari satu kali dan berakhir pada simpul tempat kita mulai perjalanan. Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkan hubungan atau sambungan-sambungan kita akan menggunakan caracara seperti terlihat pada Gb.6.3. a) b) c) Persilangan tak terhubung Persilangan terhubung Gb.6.3. Penggambaran sambungan rangkaian. 6.2.1. Hukum rus Kirchhoff (HK) - Kirchhoff's Current Law (KCL) Hukum Kirchhoff yang pertama ini menyatakan bahwa : Terminal dan sambungan terminal Setiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nol. Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yang menuju simpul diberi tanda positif, maka arus yang meninggalkan simpul diberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yang meninggalkan bertanda positif, arus yang menuju simpul bertanda negatif). Perlu diingat bahwa arah arus di sini adalah arah referensi dan bukan arah arus sebenarnya. Hukum rus Kirchhoff merupakan pernyataan prinsip konservasi muatan. Jumlah elektron per detik yang datang dan yang pergi haruslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itu jumlah arus di suatu simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadi penumpukan muatan di simpul tersebut yang menurut hukum 6-4 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1)
Coulomb akan terjadi ledakan muatan ; tetapi hal demikian tidak pernah terjadi. 6.2.2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) - Kirchhoff's Voltage Law (KVL) Hukum Kirchhoff yang kedua ini menyatakan bahwa : Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalah nol. Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalam menuliskan persamaan tegangan loop. Tegangan diberi tanda positif jika kita bergerak dari ke dan diberi tanda negatif bila kita bergerak dari ke. i 2 v 2 i v 4 4 B 2 4 v 1 1 i 1 HK untuk simpul : i 3 i 5 loop 1 v 3 3 loop 2 C loop 3 HTK untuk loop : : i1 i2 1: v1 v2 v3 B : i2 i3 i4 2 : v3 v4 v5 C : i1 i3 i4 3 : v1 v2 v4 v5 Gb.6.4. HK dan HTK Hukum Tegangan Kirchhoff merupakan pernyataan kembali prinsip konservasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.6.4., sebagian piranti mungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban. Menurut prinsip konservasi energi, energi yang diberikan oleh sumber dalam suatu selang waktu tertentu harus sama dengan energi yang diserap oleh beban selama selang waktu yang sama. Mengingat konvensi pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semua piranti adalah nol, dan berarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasil kali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nol. 5 v 5 6-5
v 1 i1 v2i2 v3i3 v4i4 v5i4 Karena i 1 = i 2 dan i 2 = i 3 i 4 maka persamaan di atas dapat kita tulis i3 ( i i ) v ( i i ) v1 3 atau ( v v v ) i ( v v v v ) 1 4 2 Karena nilai arus tidak nol maka haruslah 2 3 3 6-6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1) 4 4 v3i3 v4i4 v5i4 v 1 v2 v3 dan v1 v2 v4 v5 Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaan kedua adalah untuk loop-3. Dari persamaan loop-1 kita peroleh v 1 v 2 = v 3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akan kita peroleh persamaan loop-2 yaitu: 1 2 v 3 v4 v5 Pengembangan HTK dan HK. Loop-1 dan loop-2 pada Gb.6.4. merupakan loop-loop terkecil yang tidak melingkupi loop lain di dalamnya. Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda dengan loop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan mesh-2 (loop-1 dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa mesh disebut juga mesh super. Persamaan dari suatu mesh super adalah gabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimana telah ditunjukkan di atas. Kita perhatikan sekarang simpul dan B pada Gb.6.4. HK untuk kedua simpul ini adalah: i 1 i2 dan i2 i3 i4 Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh : i 1 i3 i4 Ini adalah persamaan dari sebuah simpul yang merupakan gabungan dari dua simpul, yaitu simpul dan B. Simpul gabungan dari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lain untuk simpul super adalah gabungan simpul B dan C. Persamaan simpul super BC ini adalah : i 2 i4 i5 i1 4 5
Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya dua simpul. Jika simpul, B, dan C kita gabungkan akan menjadi simpul super BC yang persamaannya adalah : Dengan demikian maka : i 4 i5. HK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul super dan HTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh super CO TOH-6.3: plikasikan HTK pada empat macam rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperoleh dengan arus elemen sebagai peubah jika arus awal induktor dan tegangan awal kapasitor adalah nol. a). v 1 b). v 1 v s R 1 R2 v 2 v L v s R 1 L c). v 1 d). v 1 v L v s R 1 C v C v s R 1 L C v C Penyelesaian : plikasi HTK untuk masing-masing rangkaian akan memberikan a). vs v1 v2 vs = i1r1 i2r2 b). vs v1 vl di v v v i R L L s = 1 L = 1 1 dt c). vs v1 vc 1 vs = v1 vc = i1r1 icdt C d). vs v1 vl vc di v = v v v = i R L L 1 s 1 L C 1 1 ic dt dt C 6-7
CO TOH-6.4: plikasikan HK untuk simpul dari berbagai macam bagian rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperoleh dengan tegangan elemen sebagai peubah jika tegangan awal kapasitor dan arus awal induktor adalah nol. i 1 R 1 R 2 i 2 i 1 R 1 R 2 i 2 a). v 1 v 2 R 3 v 3 i 3 b). v 1 v L L v 2 i L i 1 R 1 C i C i 1 R 1 C i C c). v 1 v 3 v C R 3 i 3 d). v 1 v L L v C i L Penyelesaian : plikasi HK untuk simpul pada bagian-bagian rangkaian tersebut di atas memberikan: v1 v2 v3 a). i 1 i2 i3 R R R 1 2 3 v 1 b). 0 1 v i 2 1 i2 il = vldt R1 R2 L v c). 0 1 dvc v3 i1 ic i3 = C R1 dt R3 v 1 d). 0 1 dv i1 i i = C C C L vldt R1 dt L Pemahaman : Pada contoh 6.2. dan 6.3. di atas terlihat bahwa persamaan rangkaian dapat berbentuk persamaan aljabar biasa, yaitu apabila elemen-elemen rangkaian hanya terdiri dari resistor saja, atau berbentuk persamaan diferensial orde satu atau persamaan integro-diferensial. Dua bentuk persamaan terakhir ini terjadi jika rangkaian mengandung elemen dinamis. 6-8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1)
CO TOH-6.5: Gambar di bawah ini menunjukkan keadaan di sekitar simpul dari suatu rangkaian. Tentukan i 2 dan tegangan di simpul-simpul yang bukan simpul referensi. C i L =2cos2t L=4H i 1 =3 i 2 B D R 1 =2Ω R 2 =2Ω i C v C =5sin2t V C=2F E Penyelesaian : plikasi HK pada simpul memberikan : i1 il i2 ic i2 = ic il i1 d(5sin 2t) i2 = 2 2 cos 2t 3 = 18 cos 2t 3 dt Tegangan simpul-simpul non-referensi adalah v = vc = 5sin 2t V vb = v i1r1 = 5 sin 2t 6 V d(2cos2t) vc = v vl = 5sin2t 4 = 11sin 2t dt v D = v i2r2 = 5sin2t 36cos2t 6 V V CO TOH-6.6: Pada rangkaian di bawah ini, diketahui bahwa arus-arus i 1 = 5, i 2 = 2, dan i 3 = 8. Tentukanlah arus i 1, i 2, dan tegangan v. i 4 v 4Ω 3Ω i B 1 i C 2 i 3 i 5 6-9
Penyelesaian : Jika kita gabungkan simpul, B, dan C menjadi satu simpul super dan kita aplikasikan HK, kita akan mendapatkan persamaan untuk simpul super BC : i 4 i1 i3 i4 = i3 i1 = 8 5 = 3 plikasi HK untuk simpul C memberikan: i 2 i5 i3 i5 = i3 i2 = 8 2 = 6 Tegangan v dapat kita cari dengan mengaplikasikan HTK untuk loop BC : v 3i5 4i2 v = 3 6 4 2 = 10 V 6.3. Basis nalisis Rangkaian Sesungguhnya dalam contoh-contoh 6.1. sampai 6.5. kita telah melakukan analisis rangkaian. nalisis tersebut kita lakukan dengan cara menerapkan langsung hukum Kirchhoff. Secara tidak sadar, disamping hukum Kirchhoff, kita telah pula memasukkan batasanbatasan elemen yang membentuk rangkaian tersebut yaitu berupa karakteristik i-v dari elemen. Pada resistor R misalnya, harus berlaku v R = i R R ; untuk induktor harus berlaku v L = L di/dt dan untuk kapasitor i C =C dv C / dt. Jadi di dalam suatu rangkaian, Hukum Kirchhoff harus dipenuhi sementara elemen-elemen yang membentuk rangkaian itu mempunyai karakteristik i-v masing-masing yang juga harus dipenuhi. Kita katakan bahwa Hukum Kirchhoff merupakan persyaratan rangkaian sedangkan karakteristik i-v elemen merupakan persyaratan elemen. Dalam suatu rangkaian, kedua persyaratan tersebut secara bersamaan harus dipenuhi dan hal ini menjadi basis untuk melakukan analisis rangkaian. Selain daripada itu kita menganggap bahwa rangkaian-rangkaian yang kita hadapi tersusun dari elemen-elemen linier sehingga rangkaian kita merupakan rangkaian linier. Disamping linier, semua elemen juga mempunyai nilai yang tidak tergantung dari waktu sehingga kita mempunyai rangkaian yang tidak merupakan fungsi waktu atau invarian waktu. Jadi dalam analisis rangkaian yang akan kita pelajari dalam buku ini, hanyalah sinyal yang merupakan fungsi waktu sedangkan karakteristik rangkaian tidak merupakan fungsi waktu. 6-10 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1)
Soal-Soal 1. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen (termasuk sumber) pada rangkaian-rangkaian berikut. 30V a) b) 1 c) 2cos10t d). 20cos10t V e) 20cos10t V 0.1F f) 20cos10t V 2H 6-11
2. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian berikut ini. 1 a) b) 10V 5cos10t 10µF `10 c) d) 10µF 5cos10t e) 2H 10cos10t V 3. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian ini. 1 2 a) b) 2 10V 1 5 10V 2 c) d) 5 6-12 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik (1)
13