ABSTRAK Wahyu Setyawan. 2015. MODEL SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED SUSCEPTIBLE (SEIS). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Model matematika yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu yang sembuh dari penyakit tidak memiliki kekebalan tubuh yang permanen sehingga rentan terinfeksi kembali adalah model susceptible infected susceptible (SIS). Pada model SIS, kondisi individu dalam populasi dibagi menjadi dua kelompok yaitu individu rentan penyakit (susceptible) dan individu terinfeksi (infected). Beberapa penyakit memiliki periode laten atau masa inkubasi. Masa inkubasi merupakan suatu masa individu yang telah tertular penyakit mulai menunjukkan gejala-gejala klinis tetapi belum dapat menularkan penyakit. Individu yang sedang dalam masa inkubasi dinamakan individu exposed. Model SIS dikembangkan dengan memperhatikan masa inkubasi penyakit dinamakan model susceptible exposed infected susceptible (SEIS). Tujuan penelitian ini adalah mengonstruksi model SEIS, menentukan pola penyebaran, dan menentukan titik kesetimbangan. Dari pembahasan diperoleh model SEIS merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Untuk mengetahui pola penyebaran penyakit, ditentukan penyelesaian dari model SEIS. Model SEIS mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu bebas penyakit dan endemik. Selanjutnya, model SEIS diterapkan pada penyebaran penyakit pertussis serta dilakukan simulasi. Dari penerapan pada penyebaran penyakit pertussis diperoleh titik kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan endemik berarti bahwa dalam populasi masih terdapat penyebaran penyakit sepanjang waktu. Simulasi dilakukan dengan tujuan untuk mengetahui pengaruh nilai parameter terhadap pola penyebaran penyakit. Simulasi pada penelitian ini dilakukan dengan mengubah nilai parameter tanpa mengubah nilai awal. Perubahan laju kontak menyebabkan titik kesetimbangan berubah dari endemik ke bebas penyakit. Kata Kunci: SEIS, masa inkubasi, titik kesetimbangan, pertussis, simulasi iii
ABSTRACT Wahyu Setyawan. 2015. SUSCEPTIBLE EXPOSED INFECTED SUSCEP- TIBLE (SEIS) MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. A mathematical model that describes the pattern of spread of the disease with the characteristics of each individuals who has recovered from the disease do not have permanent immunity is susceptible infected susceptible (SIS) model. In SIS model, conditions of individuals in the population are divided into two groups, susceptible and infected. Some of disease have latent or incubation period. The incubation period is a period in which individuals who are attacked by viruses or bacteria shows clinical symptoms, but have not been able to transmit the disease. The individuals are in incubation period or known as exposed. The SIS model by taking into account the incubation period of the disease is called susceptible exposed infected susceptible (SEIS) model. The aims of this research are to construct the SEIS model, to determine the spread pattern of the disease, and the equilibrium point. From the discussion, the SEIS model is first order of nonlinear differential equations system. Solution of the SEIS model is the pattern of disease spreading. In addition, the SEIS model is applied to the spread of pertussis disease as well as simulation. The SEIS model has two equilibrium points, that are endemic and disease-free. From application on the spread of pertussis disease, it was obtained endemic equilibrium point. In other words, there is still a disease that spread in the population. Cause there are still a disease that spread in the population, so simulation was performed to know what factors that may cause the population in disease-free condition. Simulations carried out by changing the parameter values without changing the initial value. The change of contact rate caused the change of equilibrium point from endemic to be free of disease. Keywords: SEIS, incubation period, equilibrium point, pertussis, simulation iv
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan materi serta penulisan dalam skripsi, saran dan motivasi, dan 2. Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan materi serta penulisan dalam skripsi, saran dan motivasi. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Surakarta, Oktober 2015 Penulis v
PERSEMBAHAN Karya ini dipersembahkan untuk orang tua sebagai wujud atas doa, semangat, dan pengorbanan yang diberikan. vi
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i HALAMAN PENGESAHAN....................... ii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv KATA PENGANTAR........................... v PERSEMBAHAN.............................. vi DAFTAR ISI................................ vii DAFTAR TABEL............................. ix DAFTAR GAMBAR............................ x I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan Penelitian........................... 2 1.4 Manfaat Penelitian.......................... 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Landasan Teori............................ 6 2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial Orde Satu.......... 6 2.2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial......... 7 2.2.3 Algoritme Runge-Kutta................... 8 2.2.4 Kesetimbangan........................ 8 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 9 III METODE PENELITIAN 11 vii
IV PEMBAHASAN 12 4.1 Konstruksi Model SEIS....................... 12 4.2 Kesetimbangan............................ 15 4.3 Penerapan dan Simulasi....................... 16 V PENUTUP 22 5.1 Kesimpulan.............................. 22 5.2 Saran.................................. 23 DAFTAR PUSTAKA 24 viii
DAFTAR TABEL 4.1 Banyaknya individu tiap kelompok saat setimbang dan saat mulai setimbang dengan variasi nilai γ................... 19 4.2 Banyaknya individu tiap kelompok saat setimbang dan saat mulai setimbang dengan variasi nilai β................... 20 ix
DAFTAR GAMBAR 4.1 Diagram alur perubahan sesaat tiap kelompok individu pada model SEIS.................................. 13 4.2 Banyaknya individu S (biru), E (hijau), dan I (merah) dalam 500 hari pertama............................. 18 x
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Kesehatan adalah faktor penting dalam kehidupan manusia. Individu dikatakan sehat jika memiliki keadaan sejahtera dari badan dan jiwa yang memungkinkan individu tersebut hidup produktif. Jika kesehatan terganggu maka akan berpengaruh pada kegiatan yang dilakukan. Salah satu gangguan yang terjadi pada kesehatan adalah timbulnya penyakit. Penyakit adalah keadaan abnormal dari tubuh atau pikiran yang menyebabkan ketidaknyamanan terhadap individu yang dipengaruhi. Salah satu jenis penyakit yang dapat diamati pola penyebarannya adalah penyakit menular. Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh kuman, bakteri, virus dan jamur serta dapat menyebar ke individu lain melalui kontak langsung. Pola penyebaran penyakit dapat dinyatakan ke dalam bentuk model matematika. Menurut Allen [1], model matematika yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu yang sembuh dari penyakit tidak memiliki kekebalan tubuh yang permanen sehingga rentan terinfeksi kembali adalah model susceptible infected susceptible (SIS). Pada model SIS, kondisi individu dalam populasi dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu individu yang rentan penyakit disebut individu susceptible (S) dan individu terinfeksi penyakit disebut individu infected (I ). Individu terinfeksi dapat menularkan penyakit secara langsung, tetapi beberapa jenis penyakit membutuhkan waktu untuk dapat menular ke individu lain. Penyakit menular seperti rubella, measles, mumps, dan pertussis mempunyai periode laten dalam penyebarannya (Piccolo dan Billings [8]). Periode laten didefinisikan sebagai suatu periode ketika individu yang telah terinfeksi oleh suatu 1
penyakit tetapi individu tersebut belum dapat menularkan penyakit. Periode laten dikenal juga sebagai masa inkubasi atau masa ketika individu rentan penyakit telah menunjukkan gejala-gejala klinis (Diekmaan dan Hesterbeek [4]). Individu yang telah menunjukkan gejala klinis tetapi belum bisa menularkan penyakit disebut individu exposed (E). Model SIS dengan memperhatikan masa inkubasi dinamakan model susceptible exposed infected susceptible (SEIS). Pola penyebaran penyakit diketahui dengan menentukan penyelesaian dari model SEIS. Penyelesaian model SEIS adalah banyaknya individu susceptible, exposed, dan infected pada setiap saat. Menurut Meyer [7], sistem dinamis dikatakan setimbang jika tidak ada perubahan pada sistem tersebut sepanjang waktu. Pentingnya menentukan titik kesetimbangan adalah untuk melihat pola penyebaran penyakit pada saat tidak ada perubahan individu tiap kelompok pada populasi sepanjang waktu. Pada penelitian ini dikonstruksikan model susceptible exposed infected susceptible (SEIS) serta ditentukan pola penyebaran penyakit dan menentukan titik kesetimbangan model tersebut. Selanjutnya, model SE- IS diterapkan pada penyakit pertussis, menginterpretasikannya dan melakukan simulasi. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang didapat rumusan masalah 1. bagaimana mengonstruksi model SEIS, 2. bagaimana menentukan pola penyebaran dan titik kesetimbangan, dan 3. bagaimana menerapkan model SEIS pada penyakit pertussis, menginterpretasikan dan melakukan simulasi. 1.3 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk 1. mengonstruksikan model SEIS, 2
2. menentukan pola penyebaran dan titik kesetimbangan, dan 3. menerapkan model SEIS pada pada penyakit pertussis, menginterpretasikan dan melakukan simulasi. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui gambaran awal tentang pola penyebaran penyakit pada model SEIS secara lebih jelas. Selain itu, simulasi yang dilakukan pada model SEIS dapat mengetahui gambaran pola penyebaran penyakit dengan karakteristik model SEIS di masa mendatang tanpa mengganggu kondisi nyatanya. Selain itu, penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai pengembangan wawasan mengenai pemodelan matematika khususnya pada model penyebaran penyakit. 3