Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon pohon bukan pohon bukan pohon

Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon. Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n 1 buah sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan. Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon.

Pohon Merentang (spanning tree) Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf merentang yang berupa pohon. Pohon merentang diperoleh dengan memutus dalam graf. sirkuit di G T 1 T 2 T 3 T 4

Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang. Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).

Aplikasi Pohon Merentang 1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain. 2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer. (a) Router Subnetwork (b) (a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast

Pohon Merentang Minimum Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang. Pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree ). b 55 5 a 25 c 40 e 45 20 d 15 30 g 50 h b 5 a d 25 30 c 40 20 15 e g h 35 10 10 f f

Algoritma Prim Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n 2 kali.

procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubungberbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E ) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)} for i 1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T {(u,v)} endfor

Contoh: 1 10 2 50 30 4 45 25 20 55 40 5 35 15 3 6

Langkah Sisi Bobot Pohon rentang 1 (1, 2) 10 1 2 10 2 (2, 6) 25 1 10 2 25 3 (3, 6) 15 1 6 10 3 25 15 6 4 (4, 6) 20 1 10 2 4 25 3 20 15 6 5 (3, 5) 35 1 10 2 4 45 25 20 55 5 35 15 3 6

Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1 10 2 4 45 25 20 55 5 35 15 3 6 Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama. Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang akan dipilih berbobot sama.

Contoh: a 3 b 4 c 2 d 4 2 3 6 e 5 f 4 g 4 h 5 3 5 4 i 6 j 4 k 2 l Tiga buah pohon merentang minimumnya: a 3 b c 2 d a 3 b c 2 d a 3 b 4 c 2 d 4 2 3 f g h e 4 5 3 4 4 2 3 f h e 4 5 3 4 4 2 3 f g h e 4 5 3 4 i j 4 k 2 l i j 4 k 2 l i j k 2 l Bobotnya sama yaitu = 36

Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n 1 kali.

procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E ) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T {(u,v)} endif endfor

Contoh: 1 10 2 50 30 4 45 25 20 55 40 5 35 15 3 6

Sisi-sisi diurut menaik: Sisi (1,2) (3,6) (4,6) (2,6) (1,4) (3,5) (2,5) (1,5) (2,3) (5,6) Bobot 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Langkah Sisi Bobot Hutan merentang 0 1 2 3 4 5 6 1 (1, 2) 10 1 2 2 (3, 6) 15 1 2 3 4 5 6 3 (4, 6) 20 1 2 3 5 4 6 4 (2, 6) 25 1 2 3 5 4

5 (1, 4) 30 ditolak 6 (3, 5) 35 1 2 5 3 4 6 Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1 10 2 4 (2, 6) 25 4 45 25 20 55 6 5 3 35 1 2 3 15 4 5 Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree). a a b c d b c d e f g e f g h i j h i j (a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat dibuang

b e a e f b d g a c d d f c h e g h g h b f b sebagai akar a c e sebagai akar Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan dua simpul berbeda sebagai akar

Terminologi pada Pohon Berakar Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu a b c d e f g h i j k l m

2. Lintasan (path) Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j. Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. a 3. Saudara kandung (sibling) f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka e b f c g d berbeda. h i j k l m

4. Upapohon (subtree) a b c d e f g h i j k l m

5. Derajat (degree) Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut. Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0. Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3 a b c d e f g h i j k l m

6. Daun (leaf) Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. 7. Simpul Dalam (internal nodes) Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a b c d e f g h i j k l m

8. Aras (level) atau Tingkat Aras a 0 b c d 1 e f g 2 h i j k 3 l m 4 9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.

Pohon Terurut (ordered tree) Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree). 1 1 2 3 4 3 4 2 5 6 7 8 9 8 9 6 5 7 10 10 (a) (b) (a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda

Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence> <subject> <verb> <object> <article> <noun phrase> wears <article> <noun> A <adjective> <noun> a <adjective> <noun> tall boy red hat Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.

Pohon Biner (binary tree) Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak aplikasinya. Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon biner adalah pohon terurut.

a a b c b c d d Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda

a a b b d c c d Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan

Gambar Pohon biner penuh

Pohon Biner Seimbang Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1. T 1 T 2 T 3 Gambar T 1 dan T 2 adalah pohon seimbang, sedangkan T 3 bukan pohon seimbang.

Terapan Pohon Biner 1. Pohon Ekspresi * + / a b c + d e Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e)) daun operand simpul dalam operator

2. Pohon Keputusan a : b a > b b > a a : c b : c a >c c > a b > c c > b b : c c > a > b a : c c > b > a b > c c > b a >c c > a a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen

3. Kode Awalan 0 1 0 1 0 1 01 10 11 0 1 000 001 Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}

4. Kode Huffman Tabel Kode ASCII Simbol Kode ASCII A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 01000100 rangkaian bit untuk string ABACCDA : 01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001 atau 7 8 = 56 bit (7 byte).

Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman untuk string ABACCDA Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111 Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ABACCDA : 0110010101110 hanya 13 bit!

Algoritma pembentukan pohon Huffman 1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang kedua anaknya. 2. Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil. 3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.

ABCD, 7/7 0 1 A, 3/7 CBD, 4/7 0 1 C, 2/7 BD, 3/7 0 1 B, 3/7 D, 3/7 A = 0, C = 10, B = 110, D = 111

5. Pohon Pencarian Biner R Kunci(T1) < Kunci(R) Kunci(T2) > Kunci(R) T1 T2

Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70 50 32 50 18 40 52 70 5 25

Penelusuran (traversal) Pohon Biner 1. Preorder : R, T 1, T 2 - kunjungi R - kunjungi T 1 secara preorder - kunjungi T 2 secara preorder 2. Inorder : T 1, R, T 2 - kunjungi T 1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T 2 secara inorder 3. Postorder : T 1, T 2, R - kunjungi T 1 secara postorder - kunjungi T 2 secara postorder - kunjungi R

R Langkah 1: kunjungi R R Langkah 2: kunjungi R T1 T2 T1 T2 Langkah 2: kunjungi secara preorder T1 Langkah 3: kunjungi secara preorder T2 Langkah 1: kunjungi T1 secara inorder Langkah 3: kunjungi T2 secara inorder (a) preorder (b) inorder R Langkah 3: kunjungi R T1 T2 Langkah 1: kunjungi secara postorder T1 Langkah 2: kunjungi secara postorder T2 (c) postorder

preorder : * + a / b c - d * e f (prefix) inorder : a + b / c * d - e * f (infix) postorder : a b c / + d e f * - * (postfix) * + - a / d * b c e f

Soal latihan 1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.

2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4- ary berikut ini: a b c d e f g h i j k l m n o p q

3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.

4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis). a 5 b 4 c d 2 3 5 6 3 7 e 1 f 6 8 3 4 4 g 4 h 2 i

6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut: P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O (a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder, dari pohon jawaban (a) di atas.

Terima Kasih