BAB IV INTEGRAL RIEMANN

Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } pd itervl [, ] sehigg = x 0 < x 1 < x 2 < x = d i x i 1, x i, i = 1, 2,, diseut prtisi Rie pd itervl [, ]. Prtisi Rie ii serig diytk secr sigkt segi prtisi. Titik x i, i = 1, 2,, diseut titik prtisi (prtitio poit) d i x i 1, x i diseut titik tg (tg poit). Titik-titik pd prtisi P dpt diguk utuk egi itervl [, ] ke dl itervl-itervl gi yg tidk slig tupg tidih (o overlppig su itervls). Perhtik hw jik dierik serg itervl [, ] d P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } prtisi pd [, ] k itervl gi-itervl gi yg tidk slig tupg tidih terseut dlh x 0, x 1, x 1, x 2,, x 1, x. Itervl gi-itervl gi ii epuyi pjg erturut-turut x 1 = x 1 x 0, x 2 = x 2 x 1,, x = x x 1. Utuk setip prtisi P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } pd [, ] or prtisi P diotsik P didefiisik segi pjg itervl gi terpjg yg teretuk dri prtisi P. Jdi P = sup { x i i = 1, 2,, }. Defiisi 4.2 (refieet prtitio) Dierik itervl tertutup [, ], prtisi Q diseut peghlus (refieet) prtisi P pd [, ] jik P Q. Utuk sutu itervl [, ] tk erhigg yk prtisi yg dpt diut. Koleksi seu prtisi pd itervl [, ] diotsik deg P [, ]. Cotoh 4.3 Dierik itervl I = [0, 1]. Berikut ii dlh eerp prtisi pd I. = {0, P 5 = 0, 1, 1}, 4 2 = {0,, 1, 1}, 3 2 3 = {0,, 2, 1}, P 4 4 4 4 = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 1 = 0, 1, 1, 2, 5, 7, 1 8 8 8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4 8 Dpt dihitug hw = 3 4, P 2 = 1 2, P 3 = 1 4. 1, 2, 4, 5, 1}, 6 6 6 6 6 P 5 erupk peghlus dri P 3 se P 3 P 5, tetpi P 5 uk peghlus dri P 2 upu P 4 se P 2 P 5 d P 4 P 5. Prtisi P 3, P 4, d P 5 diseut prtisi serg. Le 4.4 Jik, P 2 P [, ] deg P 2 k erlku P 2. 21 Herw - Thoiri - Alisis Rel II

Bukti: Dierik = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } prtisi pd [, ]. Itegrl Rie = sup x i i = 1, 2,, = sup i = 1, 2,,. Dikethui P 2 tu P 2 peghlus dri, k P 2 dpt diytk segi P 2 = { = x 0 = x 10, x 11, x 12,, x 1k1, x 1 = x 20, x 21, x 22,, x 2k2,, x 1 = x 0, x 1, x 2,, x k, x = ; 11, 12,, 1k1 1 2, k2,, 1,, k } k P 2 = sup x ij x i(j 1) i = 1, 2,, ; j = 1, 2,, k i x i x iki ) i = 1, 2,,. Dpt diphi hw x ij x i(j 1) utuk setip i = 1, 2,, ; j = 1, 2,, k i d x i x iki utuk setip i = 1, 2,, Oleh kre itu sup x ij x i(j 1) i = 1, 2,, ; j = 1, 2,, k i x i x iki ) i = 1, 2,, sup i = 1, 2,, Jdi P 2. Le 4.5 Jik, P 2 P [, ] k P 2 erupk peghlus dri d P 2. Bukti diserhk kepd pec. Dierik itervl tertutup [, ]. Kre <, k erdsrk sift urut ilg rel diperoleh > 0, oleh krey utuk serg δ > 0 d erdsrk sift Archiides, terdpt dilg sli sehigg < δ. Jdi pd itervl [, ] dpt diut prtisi P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } deiki sehigg P < δ. Pejels terseut erupk ilustrsi ukti teore erikut. Teore 4.6 Utuk setip ilg rel δ > 0 terdpt prtisi P pd [, ] sehigg P < δ. Deg dy ji eksistesi sutu prtisi pd itervl, d dri eerp sift di ts, seljuty dpt dikostruksik itegrl Rie segi erikut. B. Itegrl Rie Dierik itervl tertutup [, ] d f : [, ] R fugsi erili rel yg terts pd [, ]. Jik P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } prtisi pd [, ] julh S P; f = P Diseut juh Rie fugsi f pd [, ] terkit prtisi P. 22 Herw - Thoiri - Alisis Rel II

Defisi 4.7 Itegrl Rie Dierik itervl tertutup [, ], fugsi erili rel f : [, ] R diktk teritegrl Rie jik terdpt ilg rel A sehigg utuk setip ilg rel ε > 0 terdpt ilg δ > 0 deg sift utuk setip P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } prtisi pd [, ] deg P < δ erlku P A < ε tu S(P; f) A < ε Bilg rel A pd Defiisi 4.7 diseut ili itegrl Rie fugsi f pd itervl [, ] d ditulis A = (R) f x dx Seljuty utuk eudhk peulis, koleksi seu fugsi yg teritegrl Rie pd [, ] diotsik deg R[, ]. Jdi jik f : [, ] R diktk teritegrl Rie cukup ditulis deg f R[, ]. Defisi 4.8 Defiisi itegrl Rie di ts (Defiisi 4.7) dpt pul diytk segi liit deg li S P; f = A P 0 C. Sift-sift Dsr Itegrl Rie Bgi ii ehs sift-sift dsr itegrl Rie, di try ketuggl ili itegrl, kelier koleksi seu fugsi teritegrl Rie. Teore 4.9 Jik f R[, ] k ili itegrly tuggl Bukti Mislk A 1 d A 2 keduy ili itegrl Rie fugsi f, k cukup diuktik hw A 1 = A 2. Dikethui f R[, ]. Dierik serg ilg ε > 0. A 1 ili itegrl fugsi f pd [, ], k terdpt ilg δ 1 > 0 sehigg utuk setip prtisi = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } pd [, ] deg sift < δ 1 erlku S( ; f) A 1 < ε 2 A 2 ili itegrl fugsi f pd [, ], k terdpt ilg δ 2 > 0 sehigg utuk setip prtisi P 2 = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } pd [, ] deg sift P 2 < δ 2 erlku S(P 2 ; f) A 2 < ε 2 Dipilih δ = i {δ 1, δ 2 }, kity jik P serg prtisi pd [, ] deg sift erlku P < δ 1 d P < δ 2. Akity P < δ S(P; f) A 1 < ε 2 d 23 Herw - Thoiri - Alisis Rel II

Itegrl Rie Leih ljut A 1 A 2 = A 1 S P; f + S P; f A 2 A 1 S P; f + S P; f A 2 S P; f A 1 + S P; f A 2 < ε 2 + ε 2 = ε S(P; f) A 2 < ε 2 Kre ε serg ilg positif k dpt disipulk A 1 = A 2. Teore erikut eytk hw koleksi seu fugsi yg teritegrl Rie, yitu R[, ] dlh rug lier. Teore 4.10 Bukti Jik f, g R[, ] d α serg ilg rel, k. (f + g) R[, ] d (R) (f + g) x dx = (R) f x dx + (R) g x dx. αf R[, ] d (R) (αf) x dx = α(r) f x dx. Dikethui f, g R[, ]. Dierik serg ilg ε > 0. Kre f R[, ] k terdpt A 1 = (R) f x dx pd [, ] deg sift < δ 1 erlku d δ 1 > 0 sehigg utuk setip prtisi S( ; f) A 1 < ε 2 Kre g R[, ] k terdpt A 2 = (R) f x dx d δ 2 > 0 sehigg utuk setip prtisi P 2 pd [, ] deg sift P 2 < δ 2 erlku S(P 2 ; f) A 2 < ε 2 Dipilih δ = i {δ 1, δ 2 }, kity jik P serg prtisi pd [, ] deg sift erlku P < δ 1 d P < δ 2. Akity S P; f + g (A 1 +A 2 ) = P (f + g) i = P + g i = P P < ε 2 + ε 2 = ε. + P g i A 1 + P Terukti (f + g) R[, ] d (R) (f + g) x dx (A 1 +A 2 ) (A 1 +A 2 ) g i (A 1 +A 2 ) A 2 = A 1 + A 2 = (R) f x dx + (R) g x dx P < δ 24 Herw - Thoiri - Alisis Rel II

Itegrl Rie. Bukti utuk ltih Teore erikut eytk sutu kriteri yg hrus dipeuhi oleh fugsi f supy teritegl Rie pd itervl [, ] tp hrus egethui (eghitug) ili itegrly. Teore 4.11 (Kriteri Cuchy utuk Keteritegrl Rie) f R[, ] jik d hy jik utuk setip ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 sehigg utuk setip du prtisi pd [, ], = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } d P 2 = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } deg sift < δ d P 2 < δ erlku P 2 Bukti Syrt perlu: Dikethui f R[, ]. Dierik serg ilg ε > 0, k terdpt A = (R) f x dx d terdpt δ > 0 sehigg utuk setip = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } prtisi pd [, ] deg < δ erlku A < ε 2. Jik P 2 = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } jug serg prtisi pd [, ] deg P 2 < δ erlku Diperoleh P 2 A < ε 2. < ε. P 2 = P 2 A + A = < ε 2 + ε 2 = ε. A + A P 2 A + P 2 A Syrt cukup: Jik dikethui utuk setip ilg ε > 0 terdpt δ > 0 sehigg utuk setip du prtisi pd [, ], = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } d P 2 = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } deg sift < δ d P 2 < δ erlku P 2 < ε 25 Herw - Thoiri - Alisis Rel II

k ditujukk f R[, ]. Itegrl Rie Dietuk ris ε deg ε > 0 utuk setip N yg ooto turu d koverge ke 0. Jdi utuk setip ilg ε > 0 terdpt ilg 1 N sehigg utuk setip ilg sli 1 erlku ε 0 < ε 2. Berdsrk yg dikethui, k utuk setip ε terdpt ilg δ > 0 shigg utuk setip = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } d P 2 = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } du prtisi pd [, ] deg < δ d P 2 < δ erlku P 2 < ε Seljuty didefiisik utuk setip ilg N. s = P Dietuk ris ilg rel positif δ deg δ 1 = δ 1 d δ 2 = i δ 1, δ 2, δ = i δ 1, δ 2,, δ 1, δ utuk = 3, 4, 5, (*) Seljuty diil ilg sli d deg 1 d 1. Tp egurgi keuu, disusik, k erdsrk (*) erlku δ δ Ail serg prtisi = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } d P 2 = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } pd itervl [, ] deg < δ d P 2 < δ, sehigg diperoleh s s = P 2 < ε d kre ε 0 < ε 2 k diperoleh s s < ε 2 Jdi (s ) erupk ris Cuchy dl R, oleh krey (s ) ris yg koverge. Mislk i koverge ke s R, errti terdpt ilg sli 2 deg 2 sehigg erlku s s < ε 2 Dipilih ilg sli 0 = ks { 1, 2 }. Jik P = { = x 0, x 1,, x = ; 1,, } serg prtisi pd [, ] deg P < δ 0, diperoleh P = P P s P 0 P 0 + P 0 + P 0 s s 26 Herw - Thoiri - Alisis Rel II

Itegrl Rie < ε 0 + s 0 s < ε 2 + ε 2 = ε Terukti f R[, ]. Teore erikut eytk huug keteritegrl sutu fugsi deg keterts. Teore 4.12 Jik f R[, ] k f terts pd [, ]. Bukti utuk Ltih Kovers dri teore 4.12 ii tidk erlku, rtiy d fugsi yg terts tetpi tidk teritegrl Rie. Cotoh fugsi deiki k dihs pd seljuty. 27 Herw - Thoiri - Alisis Rel II