Itegrl Droux BAB V INTEGRAL DARBOUX Pd thu 1875, mtemtikw I.G. Droux secr kostruktif memodifiksi defiisi itegrl Riem deg terleih dhulu medefiisik jumlh Droux ts (upper Droux sum) d jumlh Droux wh (lower Droux sum), seljuty medefiisik itegrl Droux ts (upper Droux itegrl) d itegrl Droux wh (lower Droux itegrl). Pd pemhs seljuty k didefiisik itegrl Droux d ekuivlesi itegrl Droux deg itegrl Riem. A. Jumlh Droux Ats d Jumlh Droux Bwh Dierik itervl tertutup, R, d f : [, ] R fugsi erili rel yg terts pd [, ]. Jik P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } semrg prtisi pd [, ], mk didefiisik M = sup f i [, ] d m = if f i [, ] Keterts fugsi f dpt mejmi eksistesi du ilg M d m terseut. Seljuty utuk i = 1, 2,, didefiisik M i = sup f i [x i 1, x i ], m i = if f i [x i 1, x i ] Dpt diphmi hw m m i f i M i M utuk seti = 1, 2,,. Seljuty Jumlh Droux ts fugsi f terkit deg prtisi P, diytk deg U(P; f), didefiisik segi U P; f = M i ( x i x i 1 ) d Jumlh Droux wh fugsi f terkit deg prtisi P, diytk deg L(P; f), didefiisik segi Lemm 5.1 L P; f = m i ( x i x i 1 ) Dierik, R, jik f : [, ] R fugsi yg terts pd [, ] d P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } semrg prtisi pd [, ], mk erlku L P; f U P; f. Dierik P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } semrg prtisi pd [, ], erdsrk defiisi supremum d ifemum sutu himpu mk diperoleh m i M i utuk setip i = 1, 2,,. Oleh krey diperoleh L P; f = m i (x i x i 1 ) M i (x i x i 1 ) = U P; f. 1 Thoiri - Herw : Alisis Rel II
Itegrl Droux Deg megguk defiisi yg sm utuk peghlus prtisi pd itegrl Riem, mk mucul Lemm erikut. Lemm 5.2 Dierik, R, d f : [, ] R fugsi yg terts pd [, ]. Jik P 1 d P 2 semrg du prtisi pd [, ], deg P 1 P 2 mk erlku L P 1 ; f L P 2 ; f d U P 2 ; f U P 1 ; f. Dierik P 1 = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } semrg prtisi pd [, ] d P 2 semrg prtisi pd [, ] deg P 1 P 2, mk dpt dimegerti hw setip su itervl [x i 1, x i ] dlm P 1 psti memut titik dri prtisi P 2, miiml x i 1 d x i itu sediri. Nmk titiktitik tmhy terseut x i 1 = t i0, t i1, t i2,, t ipi = x i deg sift sehigg diperoleh d x i 1 = t i0 < t i1 < t i2 < < t ipi = x i M ij = sup f ij j [t i(j 1), t ij ], m ij = if f ij j [t i(j 1), t ij ], Seljuty utuk i = 1, 2,, d j = 1, 2,, diperoleh m i m ij M ij M i Utuk suku ke i di dlm L(P 1 ; f) erlku m i x i x i 1 = m i t ij t i j 1 = m i t ij t i j 1 Jik hsil terseut di ts dijumlhk utuk semu ideks i, mk diperoleh: L P 1 ; f = Terukti L P 1 ; f L P 2 ; f. m i x i x i 1 Seljuty utuk suku ke i di dlm U(P 1 ; f) erlku M i x i x i 1 = M i t ij t i j 1 m ij t ij t i j 1 = M i t ij t i j 1 Jik hsil terseut di ts dijumlhk utuk semu ideks i, mk diperoleh: U P 1 ; f = Terukti U P 2 ; f U P 1 ; f. M i x i x i 1 M ij t ij t i j 1 m ij t ij t i j 1 = L P 2 ; f M ij t ij t i j 1 = U P 2 ; f.. Teorem 5.3 Dierik, R, d f : [, ] R fugsi yg terts pd [, ]. Jik P 1 d P 2 semrg du prtisi pd [, ], mk erlku L P 1 ; f U P 2 ; f. 2 Thoiri - Herw : Alisis Rel II
Itegrl Droux Dietuk P = P 1 P 2, mk P 1 P d P 2 P, sehigg erdsrk Lemm 5.2 diperoleh L P 1 ; f L P; f d U P; f U P 2 ; f. Berdsrk Lemm 5.1 diperoleh L P; f U P; f. Akity diperoleh L P 1 ; f U P 2 ; f. B. Itegrl Droux Ats d Itegrl Droux Bwh Igt, P [, ] dimksudk segi himpu semu prtisi pd,. Seljuty itegrl Droux ts fugsi f pd itervl,, diotsik deg U(f) tu D f x dx segi U f = D f x dx = if { U P; f : P P [, ]} didefiisik itegrl Droux wh fugsi f pd itervl,, diotsik deg L(f) tu D f x dx didefiisik segi Teorem 5.4 L f = D f x dx = sup { L P; f : P P [, ]} Dierik, R, d f : [, ] R fugsi yg terts pd [, ]. Jik fugsi f teritegrl Droux ts d teritegrl Droux wh pd itervl [, ], mk L f U f. Dikethui fugsi f teritegrl Droux ts d teritegrl Droux wh, rtiy dpt dipilih semrg prtisi P 1 P [, ] d P 2 P [, ]. Dipilih P = P 1 P 2, mk erdsrk Lemm 5.2 d Teorem 5.3 erlku L P 1 ; f L P; f U P; f U P 2 ; f. Jdi ilg rel U P 2 ; f merupk sutu ts ts dri { L P; f : P P [, ]}. Akity L f = sup { L P; f : P P [, ]} U P 2 ; f Demiki pul, L f merupk ts wh dri { U P; f : P P [, ]}, sehigg L f if { U P 2 ; f : P P [, ]} = U f. Terukti L f U f. Dri uri di ts, seljuty dierik defiisi itegrl Droux segi erikut. C. Itegrl Droux Defiisi 5.5 Fugsi erili rel d terts f : [, ] R diktk teritegrl Droux pd [, ], jik L f = U f tu D f x dx = D f x dx = D f x dx Teorem erikut meytk sutu criteri yg hrus dipeuhi oleh fugsi f : [, ] R supy teritegrl Droux pd itervl [, ] tp hrus megethui (meghitug) ili itegrly. 3 Thoiri - Herw : Alisis Rel II
Itegrl Droux Teorem 5.6 (Kriteri Riem utuk itegrl Droux) Fugsi erili rel d terts f : [, ] R teritegrl Droux pd [, ] jik d hy jik utuk setilg > 0, terdpt prtisi Riem P pd [, ] sehigg utuk setip prtisi Riem P pd itervl [, ] deg sift P P, erlku U P; f L P; f <. Syrt perlu: Dikethui fugsi f : [, ] R teritegrl Droux pd [, ], errti L f = U f. Dierik semrg ilg > 0, erdsrk defiisi U f mk terdpt prtisi Riem P 1 pd [, ] sehigg Kre L f = U f mk erlku U f U P 1 ; f < U f + 2 L f U P 1 ; f < L f + 2 Seljuty, utuk ilg > 0 terseut, erdsrk defiisi L f mk terdpt prtisi Riem P 2 pd [, ] sehigg L f 2 < L P 2; f L f. Berdsrk Teorem 5.3, erlku L P 2 ; f U P 1 ; f. Oleh kre itu, diperoleh L f 2 < L P 2; f U P 1 ; f < L f + 2 Dipilih P = P 1 P 2, mk P 1 P d P 2 P, sehigg erdsrk Lemm 5.2 diperoleh Akity L f 2 < L P 2; f L P ; f U P ; f U P 1 ; f < L f + 2 L f 2 < L P ; f U P ; f < L f + 2. Seljuty jik dimil semrg prtisi Riem P pd itervl [, ] deg sift P P, erlku mk didpt L f 2 < L P ; f L P; f U P; f U P ; f < L f + 2 L f 2 < L P; f U P; f < L f + 2 Akhiry diperoleh U P; f L P; f <. Syrt cukup: Dikethui utuk setilg > 0, terdpt prtisi Riem P pd [, ] sehigg utuk setip prtisi Riem P pd itervl [, ] deg sift P P, erlku U P; f L P; f <. Ii ekuivle deg U P; f < L P; f +. Berdsrk defiisi L f d U f, mk utuk setip prtisi Riem P pd [, ] erlku U f U P; f d L P; f L f, sehigg diperoleh U f U P; f < L P; f + L f + 4 Thoiri - Herw : Alisis Rel II
Itegrl Droux Diperoleh U f < L f + Kre ilg > 0 dimil semrg mk didptk U f L f Berdsrk hsil ii d Teorem 5.4 diperoleh L f = U f. Terukti f teritegrl Droux. Akit 5.7 Dierik fugsi erili rel d terts f : [, ] R, jik P ris prtisi Riem pd itervl [, ] deg lim U P ; f L P ; f = 0, mk f teritegrl Droux pd [, ] d utuk ltih. lim U P ; f = D f x dx = lim L P ; f. Teorem erikut ii meytk hw itegrl Riem d itegrl Droux ekuivle. Teorem 5.8 Dierik f : [, ] R sutu fugsi erili rel d terts, f teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik f teritegrl Droux pd [, ]. Syrt perlu: Dikethui fugsi f : [, ] R teritegrl Riem pd [, ], errti terdpt ilg A = R f x dx, rtiy utuk semrg ilg > 0, terdpt ilg δ > 0 sehigg utuk setip P = { = x 0, x 1, x 2,, x = ; 1,, } prtisi pd [, ] deg P < δ erlku P f i x i x i 1 A < 2. Amil semrg [x i 1, x i ] ; i = 1, 2,,, erdsrk defiisi m i mk terdpt i [x i 1, x i ] demiki sehigg sehigg m i f i < m i + 2( ). m i x i x i 1 f i x i x i 1 < m i + x 2( ) i x i 1 m i x i x i 1 f i x i x i 1 < m i x i x i 1 + 2( ) x i x i 1 m i x i x i 1 m i x i x i 1 f i x i x i 1 < m i x i x i 1 + 2( ) x i x i 1 f i x i x i 1 < m i x i x i 1 + 2 L P; f S P; f < L P; f + 2. (1) 5 Thoiri - Herw : Alisis Rel II
Itegrl Droux Demiki pul utuk semrg [x i 1, x i ] ; i = 1, 2,,, erdsrk defiisi M i mk terdpt i [x i 1, x i ] demiki sehigg M i 2( ) < f i M i. Deg cr yg sm diperoleh U P; f < S P; f U P; f. (2) 2 Dri (1) d (2) diperoleh U P; f 2 < L P; f + 2 U P; f L P; f < 2 + 2 = Berdsrk criteri Riem utuk itegrl Droux terukti f teritegrl Droux pd [, ]. Syrt cukup: Dikethui fugsi f : [, ] R teritegrl Droux pd [, ]. Amil semrg ilg > 0, erdsrk Teorem 5.6 terdpt prtisi P δ pd [, ] sehigg utuk setip prtisi Riem P pd itervl [, ] deg sift P δ P, erlku U P; f L P; f <. Dipilih δ > 0 dlh ilg positif sehigg P δ < δ. Jik P semrg prtisi pd itervl [, ] deg sift P δ P, mk P P δ < δ. Jdi utuk setip > 0 terdpt δ > 0 demiki sehigg utuk setip prtisi Riem P pd [, ] deg P < δ erlku U P; f L P; f <. Di li pihk utuk semrg prtisi P pd [, ] erlku L P; f S P; f U P; f, Sehigg diperoleh S P; f L P; f U P; f L P; f < Akity S P; f L P; f < Terukti f teritegrl Riem. Telh diuktik hw itegrl Riem d itegrl Droux ekuivle, mk sift-sift dsr itegrl Riem yg telh dihs pd IV seelumy, yitu ketugl ili itegrl, kelier, sert keterts fugsiy erlku pul pd itegrl Droux, sehigg utuk meguji sutu fugsi teritegrl Riem tukh tidk, dpt ditujukk deg megguk itegrl Droux. 6 Thoiri - Herw : Alisis Rel II