GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd

GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susnt MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN

KATA PENGANTAR Puji sukur dipnjtkn kehdirt Allh SWT ts segl rhmt tufiq dn hidh-n ng telh dilimphkn sehingg terselesiknn uku pegngn kulih untuk mt kulih Gemetri Anlitik Rung. Mt Kulih ini memut mteri tentng gris lurus persmn l lusn putrn dn lusn erderjd du. Selnjutn penulis mendri hw uku ini msih elum sempurn; untuk itu dimhn tnggpn ik erup kritik dn srn kepd pem demi keikn uku pegngn kulih ini. Akhirn mudh-mudhn uku ini ermnft gi pem. Penulis ii

DAFTAR ISI Hl. HALAMAN JUDUL.. KATA PENGANTAR. DAFTAR ISI.. i ii iii BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA. Titik dlm Rung Dimensi Tig Jrk Du Titik.. Vektr Dlm Rung Dimensi Tig. 5 Hsil Kli Silng Du Vektr. 9 BAB II GARIS LURUS.. Letk Gris Lurus Terhdp Bidng Dtr 4 Jrk Du Gris Bersilngn.. 9 BAB III PERSAMAAN BOLA..... Bidng Singgung Pd Bl. 4 BAB IV LUASAN PUTARAN..... 7 Sutu Ellips di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X 7 Sutu Prl di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X. 9 Sutu Hiperl di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X... Sutu Gris Lurus di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Sutu Lingkrn di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X... 4 Lusn Putrn Dengn Sumu Putr Gris Semrng 5 BAB IV LUASAN BERDERAJAT DUA.. 9 DAFTAR KEPUSTAKAAN. 56 iii

BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA. Titik Dlm Rung Dimensi Tig Ad eerp r menentukn letk sutu titik dlm rung dimensi tig. Cr-r terseut didsrkn pd penetpn ptkn mul ng digunkn. Dlm tulisn ini dlm menentukn letk sutu titik menggunkn sistem krdint krtesius siku-siku. Ptkn mul ng dimil dlm krdint krtesius dimensi tig dlh tig gris lurus ng sling tegk lurus ng dinmkn sumu sumu dn sumu. Meskipun letk gris-gris ng sling tegk lurus ini dpt dimil sesuk hti kit nmun dimil kesepktn segi erikut: sumu dimil mendtr rh ke knn merupkn rh psitif dn ke kiri merupkn rh negtif. Sumu dn sumu terletk pd kerts kit; sedngkn sumu tegk lurus pd kerts dn mellui titik ptng sumu dn sumu. Sumu ng menuju kit segi rh psitif dn rh lwnn segi rh negtif. Pengturn sistem seperti ini dinmkn sistem tngn knn. Hl ini kren jik empt jri tngn knn dikeplkn sehingg melengkung dri sumu psitif ke rh sumu psitif dn iu jri kn mengrh ke sumu psitif. Ketig sumu terseut menentukn tig idng itu idng idng dn idng. Ketig idng ini memgi rung menjdi delpn ktn itu ktn-ktn I II III IV... VIII. Oktn-ktn I II III dn IV di ts idng dn linn di wh idng. Oktn-ktn V VI VII dn VIII erturut-turut tept di wh ktn-ktn I II III dn IV. Letk sutu titik ditentukn leh jrk titik itu ke idng-idng krdint dn sert diliht pkh rh psitif tu negtif. Oleh kren itu sutu titik tertentu leh psngn (tripel tig ilngn misln titik P(. Psngn pertm itu diseut krdint tu sis. Psngn kedu itu diseut krdint tu rdint dn psngn ketig diseut krdint tu

plikt. Titik-titik P( 4 dn Q(4 - erturut-turut terletk dlm ktn I dn II. Titik O( diseut titik sl. Setip pd sumu rdint dn pliktn nl sedng sutu titik ng terletk pd idng pliktn nl. Selnjutn untuk menggmr seuh titik kit tidk perlu menggmr lk tetpi ukup dengn tig rus gris ng mentkn pnjng sis rdint dn pliktn. Segi nth perhtikn krdint T( 5 4 segi erikut. Z T(54 Y X Gmr. Setip titik ng pliktn psitif terletk di ts idng dn jik pliktn negtif terletk di wh idng. Demikin jug untuk idng-idng ng lin ( dn. Cnth.. Titik A( --4 terletk di ktn VI Titik B( 4 - terletk di ktn V Titik C(- - -5 terletk di ktn VII Titik D(-4-6 terletk di ktn III

. Jrk Du Titik Perhtikn gmr. diwh ini. Akn ditentukn jrk titik sl O ke titik P(. OA AB dn BP. Z P( Y X Gmr. Perhtikn OAB ng siku-siku di A mk OB OA AB Selnjutn pd OBP ng siku-siku di B erlku hw OP OB BP OP OP Jrk titik O ke titik P(. Selnjutn kn ditentukn rumus jrk du titik serng misln titiktitik P( dn Q(. Perhtkn gmr. di wh ini. Z Q( P(

D A Y B C X Gmr. AB BC DQ Segitig ABC siku-siku di B mk AC AB BC AC PD AC Segitig PDQ siku-siku di D mk PQ PD DQ PQ PQ Rumus dits dlh rumus jrk ntr P( dn Q(. Cnth.. Tentukn jrk ntr titik-titik P( - dn Q(5 5 7 Jw: PQ PQ ( 5 (5 (7 PQ 6 49 6 PQ 9 4

. Vektr Dlm Rung Dimensi Tig Dlm rung dimensi tig sutu titik dintkn dengn tig kmpnen itu sis rdint dn plikt. Misln titik D( ; vektr psisi terhdp titik O dri D ini dlh d = i j k. Vektr-vektr sis i j k erturut-turut dlh vektr-vektr stun ng serh dengn sumu-sumu psitif psitif dn psitif. Selnjutn semu definisi dn terem vektr pd idng sm dengn definisi dn terem vektr dlm rung. Dlm hsn ini hn dierikn nth-nth untuk vektr dlm rung. Cnth.. Jik 4 dn 5 mk ( + = 4 = 5 = 7 7 ( 5 = 9 8 Untuk rumus perndingn erlku hw jik dlh vektr psisi titik A dn dlh vektr psisi titik B sert titik C terletk pd rus gris AB sedemikin hingg AC : CB m : n mk vektr psisi titik C dlh n m m n Apil vektr psisi titik C dlh mk diperleh huungn n m m n n m n m n m m n n m m n n m m n n m m n 5

Jdi n m ; m n n m m n ; n m m n Cnth.4. Segitig OAB dengn O titik sl A(4 - dn B(6 - -. Titik D terletk pd sisi AB sedemikin hingg AD : DB :. Tentukn krdint titik D. Jw: Mislkn D mk D D D Jdi.4.6 ( D D D 5 5.(.(..( 6 D 5 6. 5 5 5 5 5 Apil mk pnjng vektr ng ditulis dengn dlh Jik dlh vektr psisi titik A dn dlh vektr psisi titik B mk AB - AB ( ( ( Jik u u u u dn v v v v mk perklin titikn didefinisikn sm dengn pd vektr di idng itu: u v u v s dengn 6

Dn dengn mengingt i j dn k mk mudh dimengerti hw: i j j k i k dn i i j j k k Sehingg dpt diturunkn segi erikut: u v u u u. v v v u v uv uv uv dn hsil kli du vektr ini erup sklr. Selnjutn jik du vektr sling tegk lurus mk hsil kli titikn sm dengn nl; selikn jik hsil kli titik dri du vektr ng ukn vektr nl sm dengn nl mk du vektr terseut sling tegk lurus. Hl ini dpt ditulis segi erikut: u v u v tu u tu v Cnth.5. Dikethui vektr-vektr - - 5 dn - 4. Tunjukkn hw ketig vektr ini dpt merupkn sisi-sisi sutu segitig siku-siku. Jw: Untuk menunjukkn hw ketig vektr mementuk sutu segitig d du pertimngn itu: ( jumlh ketig vektr sm dengn vektr nl; tu ( slh stu vektrn sm dengn jumlh du vektr linn. Mengingt hw. Mk ketig vektr mementuk segitig. Selnjutn ditunjukkn hwsegitig terseut dlh segitig siku-siku. Kren =. + (-. +.(-4 = mk sehingg segitig terseut dlh segitig siku-siku. Untuk menentukn esrn sudut ng dientuk leh du vektr u u u u dn v v v v itu: s u v u v 7

tu s u u u v u u v u v v v v dlh sudut ng dientuk leh u dn v Cnth.6. Dikethui u - dn v -. Ntkn u segi jumlh sutu vektr ng sejjr v dn vektr ng tegk lurus pd v. Jw: Gmr.4 erikut ini memerikn ilustrsi dri ketentunketentun dlm sl dengn mengmil // v dn v. dlh preksi u pd v mk u v v - - v = - v 9 u v 9 4 9 4 9 Gmr.4 u - - 9 4 9 4 9 9 9-9 Untuk memeriks keenrn perhitungn ini tunjukkn hw tegk lurus itu. 8

.4 Hsil Kli Silng Du Vektr Perhtikn gmr.5 erikut ini. O Gmr.5 Dikethui i j k dn i j k sert dlh sudut ng dientuk leh dn dengn di silng didefinisikn segi erikut:. Hsil kli silng dri dn ditulis = sin u dengn u dlh vektr stun ng tegk lurus dengn dn dn mengikuti turn pd sistem tngn knn. Memperhtikn definisi terseut kren u dlh vektr stun mk = sin Kren rh u ditentukn dengn turn pd sistem turn tngn knn mk dpt disimpulkn hw: = sin. ( u = - sin. u = -( Sehingg diperleh huungn hw: = -( (sift nti kmuttif Dri definisi di ts jik dn sejjr itu = mk 9

= u sin = Mk dpt disimpulkn hw du vektr ng tidk nl dlh sejjr jik dn hn jik hsil kli silngn sm dengn nl. Hsil kli silng vektr-vektr ersift distriutif terhdp penjumlhn vektr itu: ( ( ( ( ( ( (uktikn segi ltihn Selnjutn kn diperleh hsilkli silng untuk vektr-vektr stun k dn j i dengn menerpkn definisi hsil kli silng di ts segi erikut. i j = k j i. sin i j = k Dengn r ng sm diperleh j i k i k j j k i i j k k i j k k j j i i Sekrng kn diri hsil kli silng dri k j i dn k j i = ( k j i ( k j i = ( k j i i ( k j i j ( k j i k = i j i k j k = ( ( ( k j i = k j i = k j i

Dengn mengingt kemli r menghitung determinn dengn menggunkn kfktr-kfktr ris pertm. Selnjutn dengn mengingt sift determinn hw pil du ris sutu determinn ditukrkn mk determinn ng linn negtif dri nili determinn semul. = i j k = - i j k = -( (ukti sift nti kmuttif Cnth.7. Dikethui - - 4 Hitunglh ; ;. Jw: = i j 4 k = i - 4 j + k 4 = i j k i j = ( i j ( i j k ( i 4 j k (i j

BAB II PERSAMAAN GARIS LURUS Pd gmr diwh ini l dlh gris ng mellui titik P ( dn sejjr dengn vektr v i j k. Untuk menentukn persmn gris l dimil serng titik P( pd gris l mk P P // v dn P P tv dengn t ilngn rel. Jik vektr-vektr psisi titik P dn P terhdp O dlh r dn r mk P P r r dn kren P P tv mk r r r r tv tv Z P P r r v Y X Kren r dlh vektr psisi serng titik P pd gris l dn memenuhi persmn terkhir mk setip titik P pd gris l kn memenuhi persmn terseut. Dengn kt lin persmn gris l ng mellui P ( dn sejjr vektr v = < > dlh r r tv Selnjutn persmn ini diseut persmn vektr gris l Atu

t t t t t t t ; ; Selnjutn persmn ini diseut persmn prmetrik (knnik dri gris l. Apil prmeter t dri persmn prmetrik ini dihilngkn mk diperleh. Selnjutn diseut persmn simetrik gris l dengn ilngn rh dn mellui titik (. Persmn prmetrik terseut terdiri dri du persmn itu dn Cnth Tentukn persmn simetrik dri gris ptng idng-idng 5 = -4 dn 4 + 5 + 4 = 8. Jw Dri du persmn idng terseut jik dihilngkn diperleh + = 8. Jik dihilngkn mk diperleh =. Selnjutn dri du persmn ini dpt disusun persmn simetrikn itu 8 tu 8 4 8.

Selnjutn dpt diri persmn gris mellui du titik. Mislkn titik A( dn B(. Vektr-vektr psisi titik-titik A dn B msing-msing dlh = < > dn = < dengn gris ng mellui A dn B. Dengn mengmil serng titik R( pd gris terseut ng vektr psisin dlh r = < >. Mk persmn vektr gris AB dlh r = + t( dengn t ilngn rel. < > = < > + t< > = + t( = + t( = + t(. Selnjutn persmn ini diseut persmn pr metrik gris AB. Dengn menghilngkn prmeter t dri persmn prmetrik terseut kn diperleh persmn simetrik dri gris AB segi erikut Cnth Tentukn persmn gris lurus ng mellui titik A( dn B(5 - - Jw Persmn gris lurus ng mellui A dn B dlh 5 Letk Gris Lurus Terhdp Bidng dtr Ad tig kemungkinn ng terjdi letk sutu gris terhdp sutu idng dtr itu gris memtng idng gris sejjr idng dn gris terletk pd idng. Perhtikn seuh gris l = Dn seuh idng = A + B + C + D = 4

Mislkn gris l dn idng terseut erptngn mk krdint titik ptngn diri dengn menelesikn dn dri tig persmn terseut. Slh stu r menelesiknn dengn memislkn hw = t = + t = + t = + t disustitusikn pd persmn idng mk diperleh A( + t + B( + t + C( + t + D = (A + B + Ct + A + B + C + D = Apil A + B + C mk kn diperleh nili t sehingg krdint titik ptng gris dn idng diperleh dengn mensustitusikn nili t kedlm persmn gris ng memut t. Jik A + B + C + D = dn A + B + C mk titik ptng gris dn idng dlh (. Jik A + B + C = dn A + B + C + D mk gris dn idng kn sejjr. Jik A + B + C = dn A + B + C + D = mk gris terletk pd idng Apkh srt ng hrus dipenuhi gr gris l tegklurus pd idng? Gris l tegklurus idng pil vektr rh gris l sejjr dengn vektr nrml idng. Vektr rh gris l dlh m = < > dn vektr nrml idng dlh n = <A B C>. Mk gris l tegk lurus idng pil m = kn dengn k sutu ilngn rel. Cnth Crilh persmn idng ng memut gris = + t = - + t = 4 + t dn titik ( - 5. 5

Jw Amil du titik pd gris dengn r memeri hrg t misl t = dn t = kn diperleh titik-titik ( - 4 dn ( 5. Selnjutn persmn idng ng diri dlh persmn idng ng mellui titik-titik ( - 5 ( - 4 dn ( 5 itu 5 4 5 5 = Penelesin r lin itu dengn menggunkn vektr rh gris itu m = < > dn seuh titik ( - 4 pd gris sert titik ( - 5 ng dikethui. Du titik ini menentukn vektr u = < >. Vektr nrml idng ng diri dlh m u = i j k i j Mk persmn idng ng diri dlh ( ( + = 5 = Letk du gris lurus dlm rung dimensi tig. Du uh gris lurus dlm rung mungkin kn erptngn sejjr erimpit tu ersilngn. Mislkn dikethui du gris erikut ini dn sudut ntr du gris terseut sm dengn sudut ng dientuk leh vektrvektr rhn itu m = < > dn m = < >. Jik dlh sudut ng dientuk leh du gris terseut mk 6

Cs = Du gris kn sejjr pil vektr-vektr rhn sejjr itu m = tm dengn t sutu ilngn rel. Sehingg entukn menjdi < > = t< > tu. Du gris sling tegk lurus pil vektr-vektr rhn sling tegk lurus itu m.m = < >. < > = + + = Du gris kn erptngn pil d penelesin untuk dn dri empt persmn idng ng mentkn du persmn gris terseut. Cnth Tunjukkn hw gris-gris 4 dn 4 6 erptngn dn rilh persmn idng ng memut du gris terseut. Jw Dimislkn hw: 4 t dn k 4 6 Atu = 4t = + t = - + 6k X = k = + k = - + 6k Mk diperleh persmn: 4t = k + t = + k dn 4 t = - + 6k Dri k = 4t + k = t + diperleh t = dn k = ng memenuhi persmn 4 t = - + 6k. 7

Jdi titik ptngn dlh ( 4. Untuk menri persmn idng ng memut du gris terseut ditentukn vektr nrmln dulu itu dengn perklin silng dri vektrvektr rh gris itu m dn m 6 4 Vektr nrml idngn dlh n m m i 4 j k 6 n i 6 j k Jdi persmn idng ng diri dlh persmn idng ng mellui titik ( 4 dn tegk lurus n itu: ( + 6( ( 4 = + 6 = 68. Telh dikethui hw gris dengn persmn mempuni ilngn-ilngn rh dn tu mempuni vektr rh m = < >. Selnjutn kn ditentukn ilngn-ilngn rh dri gris terseut ke dlm persmn simetrik (knnik misln melenpkn kemudin melenpkn dri du persmn idng terseut. Dengn melenpkn didpt (A B A B + ( C A C + ( D A D = Dengn melenpkn diperleh (A B A B + (B C B C + (B D B D = Dri du persmn terseut diperleh BD BD A B A B B C B C A D A D A B A B A C AC A B A B Terliht hw ilngn-ilngn rh (vektr rh dri gris terseut dlh m = <B C B C -A C + A C A B A B > 8

Atu dlm entuk determinn menjdi m B C B C A C A C A B A B Jrk Du Gris Bersilngn Mislkn dikethui du gris g dn g jrk gris g dn g ditentukn dengn r segi erikut. Diut idng mellui gris g dn sejjr g. Pilih sutu titik P pd gris g. Mk jrk gris g dn g sm dengn jrk titik P ke idng. Cnth Berpkh jrk gris g : 7 4 8 = 7 5 + 7 = dn gris g : 7 + 8 6 = 7 = 5 Jw Persmn idng ng mellui gris g dlh nggt erks idng (7 + 4 8 + t(7 5 + 7 =. Atu 7 + 7t + (4 5t 8 + 7t =. Vektr nrml idng ini dlh n = <7 7t 4-5t>. Sedngkn vektr rh gris g dlh m 7 8 7 8 7 7 5649. Bidng ng mellui g sejjr g mk hrus dipenuhi m n itu m. n <-56 49>. <7 7t 4-5t> = -8 + t + 4 5t = t = - Jdi idng ng mellui g dn sejjr g dlh 7 4 + 4 = ng disederhnkn menjdi + 6 =. Pilih titik P( pd gris g mk jrk P ke idng + 6 = dlh 9

.. 6 d = 6 4 4 Jdi jrk gris-gris g dn g dlh 6. Sl-sl. Crilh persmn prmeter dn persmn simetrik gris lurus ng mellui titik-titik ( - dn (4 5 6.. Crilh persmn simetrik gris ptng idng-idng + = dn + 7 = 9 sert tentukn vektr rhn.. Crilh persmn simetrik gris ng mellui titik (4 6 dn tegk lurus pd idng 5 + =. 4. Crilh persmn gris ng mellui titik (-5 7 - dn tegk lurus pd vektr-vektr < -> dn <5 4 ->. 5. Crilh persmn gris ng mellui titik (5-4 dn memtng tegk lurus s. 6. Crilh persmn gris ng mellui titik ( -4 5 ng sejjr dengn idng 8 + = 5 dn tegk lurus pd gris g: 7. Crilh persmn idng ng memut gris-gris g : = - + t = + 4t = t dn g : = t = 4t = + t 5 8. Crilh persmn idng ng memut gris g : = t = + t = t dn sejjr dengn gris g : + = + + =.

BAB III PERSAMAAN BOLA Bl dengn pust titik O (titik sl dn erjri-jri r persmnn diperleh dengn r mengmil serng titik P( pd l. Sehingg OP r (. Z r P( O Y X Pd gmr dits OP r jri-jrin r = r r = + +. Kren P( serng titik pd l mk setip titik ( pd l erlku + + = r. Ini errti persmn l dengn pust O dn erjrijri r dlh: + + = r. Selnjutn kn diri persmn l dengn jri-jri r dn titik pust M(. Amil serng titik P( pd l mk vektr PM r (.

PM r r. r (. (. r = ( + ( + (. Z P( M O Y X Kren P( serng titik pd l mg memenuhi persmn terseut dits mk setip titik ( pd l memenuhi persmn terseut. Hl ini errti persmn l dengn jri-jri r dn titik pust ( dlh: ( + ( + ( = r. Cnth Crilh persmn l ng erpust di titik ( dn mellui titik ( 5. Jw Jri-jri l dlh jrk du titik terseut itu r ( (5 ( 4 4. Persmn l ng diri dlh persmn l dengn jri-jri dn erpust di titik ( itu: ( + ( + ( = 9 Jik dijrkn menjdi + + 6 4 + 5 =.

Rumus persmn l itu ( + ( + ( = r dpt ditulis segi erikut: + + + + + r = Jik = A - = B - = C dn + + r = D mk persmn l terseut dpt ditulis segi erikut + + + A + B + C + D = Nmpk disini hw persmn l dlh sutu persmn kudrt dlm dn dengn iri-iri: ( tidk memut suku-suku tu dn ( kefisien-kefisien dn sellu sm. Selnjutn kn ditentukn titik pust dn jri-jri dri l dengn persmn + + + A + B + C + D =. Persmn ini is diuh dengn melengkpi kudrt dri dn segi erikut: ( + A +. 4 4 4 4 ( 4 ( 4 D C B A C C B B A. 4 4 4 ( ( ( D C B A C B A Dri persmn ini dpt dengn mudh ditentukn titik pust dn jri-jri l itu: jrin jri dlh D C B A r dn pustn titik segi C B A M 4 4 4 ( Cnth Tentukn pust dn jri-jri l jik dikethui persmn l terseut dlh segi erikut: + + 8 + 68 =. Jw Dengn prses melengkpkn kudrt persmn l diuh menjdi:

( + 5 + ( 8 + 6 + ( + 6 = 5 + 6 + 6 68 ( 5 + ( 4 + ( 6 = 9 Ini errti l erpust di titik (5 4 6 dengn jri-jri. Sl dits dpt jug diselesikn dengn menggunkn rumus sehingg diperleh: Titik pust l M ( A B C = M ( ( ( 8 ( = (5 4 6 Jri-jri l dlh r 4 A 4 B C 4 D r = ( ( 8 ( 68 4 4 4 r r 5 6 6 68 9 Bidng Singgung Pd Bl Mislkn l dengn persmn ( + ( + ( = r ; dn sutu titik T( pd l. Akn diri persmn idng singgung pd l di titik T(. Bidng singgung di titik T dn jri-jri l mellui T sling tegk lurus mil serng titik V( pd idng singgung mk TV pd idng singgung Pust l dlh P( mk PT ( Kren TV PT mk PT. TV 4

PT.( PT PV PT. PT PT. PV r - < >. < > = ( ( + ( ( + ( ( = r. Ini dlh persmn idng singgung l dengn persmn ( + ( + ( = r ; di titik T( pd l. Cnth Tentukn persmn idng singgung pd l ( + ( + ( = 9 di titik (. Jw Titik ( terletk pd l se krdint-krdintn memenuhi pd persmn l. Mk persmn idng singgung pd l di titik ( dlh: ( ( + ( ( + ( ( = 9. - + + 7 =. Sl-sl. Tuliskn persmn l ng pustn di titik (-6 - dn jri-jrin.. Crilh persmn l ng erpust di titik ( 4 5 dn meninggung idng.. Crilh persmn l jik dimetern dlh rus gris ng menghuungkn titik (- 7 dn (4-5. 4. Tentuknlh pust dn jri-jri l dengn persmn : 4 + 4 + 4 4 + 8 + 6 =. 5. Crilh persmn l-l ng ersinggungn ng titik-titik pustn erturut-turut (- dn (5-6 dn jri-jrin sm. 5

6. Crilh persmn l dlm kudrn pertm ng jri-jrin 6 dn meninggung idng-idng krdint. 7. Crilh persmn l dengn pust ( 4 dn meninggung idng + =. 8. Tentukn persmn l ng mellui titik-titik ( - (- 4 dn (-5 ng titik pustn terletk pd idng + + =. 9. Tentukn persmn l ng erjri-jri dn meninggung idng + + + = di titik T( -.. Tentukn persmn idng singgung pd l ( + ( + + ( = 5 ng sejjr dengn idng 4 + 7 =. 6

BAB IV LUASAN PUTARAN Mislkn sumu dimil segi sumu putr dn kurv ng diputr terletk pd idng YOZ. Persmn kurv ng diputr dlh f ( Selnjutn dimil T( serng titik pd kurv. Mk dipenuhi : = dn f( =. Amil T( serng titik pd kurv. Mk dipenuhi f ( Lingkrn ng dillui T dlh perptngn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu putr itu sumu dengn l ng pustn pd sumu mislkn titik O dn jri-jrin OT. Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Selnjutn dengn mengeleminsi dn sehingg diperleh persmn lusn putrnn. Berikut ini kn diri ermm-mm persmn lusn putrn.. Sutu Ellips Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Persmn ellips pd idng XOY erentuk Mislkn T( serng titik pd ellips. Mk hrus dipenuhi = 7

Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn ellipsid putrn dengn sumu putr sumu. Z O Y X Jik sumu putrn sumu mk persmn ellipsid diperleh segi erikut. Persmn ellips ng diputr dlh Mislkn T( serng titik pd ellips. 8

Mk hrus dipenuhi Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn ellipsid putrn dengn sumu putr sumu. Titik titik punkn dlh ( (- ( ( - ( dn (.. Sutu Prl Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Persmn prl pd idng XOY erentuk: p Mislkn T( serng titik pd prl. Mk hrus dipenuhi = = p Persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn 9

+ = p. Persmn ini merupkn persmn prlid putrn dengn sumu putr sumu. Z O Y X. Sutu Hiperl Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Persmn hiperl pd idng XOY erentuk Mislkn T( serng titik pd hiperl. Mk hrus dipenuhi = Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn

Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun du dengn sumu putr sumu. Titik punkn d du itu (- dn (. Z O Y X Jik hiperl pd idng XOY terseut diputr mengelilingi sumu mk diperleh persmn lusn segi erikut. Persmn hiperl pd idng XOY erentuk Mislkn T( serng titik pd hiperl. Mk hrus dipenuhi = Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh

= + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun stu dengn sumu putr sumu. Beerp titik punkn dlh ( (- ( dn ( -. Z O Y.4 Sutu Gris Lurus Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X. Mislkn persmn gris ng diputr dlh m p Mislkn T( serng titik pd gris ng diputr. Mk hrus dipenuhi = X = m + p Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + +

Z O Y X Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn m ( + p + p =. Persmn ini merupkn persmn keruut.. Mislkn gris ng diputr menilng sumu mk persmnn erentuk k m p Mislkn T( serng titik pd gris ng diputr. Mk hrus dipenuhi = k = m + p Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn k ( p m k Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun stu.

Z O Y X.5 Sutu Lingkrn Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Mislkn persmn lingkrn pd idng XOY erentuk ( r Mislkn T( serng titik pd gris ng diputr. Mk hrus dipenuhi ( r Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn ( + + r = 4 (r. 4

5 Persmn ini merupkn persmn trus..6 Lusn Putrn Dengn Sumu Putr Gris Serng Mislkn persmn sumu putrn dlh dn persmn kurv ng diputr dlh ( ( f f Mislkn T( serng titik pd kurv ng diputr. Mk hrus dipenuhi ( ( f f Lingkrn ng dillui T dlh perptngn idng mellui T dn tegk lurus sumu putr dengn l ng pustn di titik P ng terletk pd sumu putr dn erjri-jri PT. Di sini dpt dimil P(. Persmn idng mellui T dn tegk lurus sumu putr dlh ( + ( + ( =. Persmn l ng pustn di titik P( dn erjri-jri PT dlh X Y O Z

( + ( + ( = ( + ( + ( Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn lusn putrn. Cnth Tentukn persmn lusn ng terjdi dri perputrn prl mengelilingi gris Jw 4 Persmn sumu putr dlh Vektr rh dri sumu putr ini dlh m = <- ->. Mislkn T( serng titik pd prl. Mk hrus dipenuhi = = 4 Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu putr dlh -( + ( ( = tu + = + Persmn l ng pustn di titik P( dn erjri-jri PT = ( dlh + + ( = + + (. Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh + = + + + ( = + + (. Selnjutn didpt + =. 6

Akitn = 4 = 4( + = 4 + 8. Dengn mensustitusikn dn diperleh + + ( = ( + + (4 + 8 + Setelh dijrkn dn disederhnkn diperleh persmn lusn itu: Y 4 4 =. Cnth Dikethui persmn gris g = Tentukn persmn lusn ng terentuk dri gris g ng diputr mengelilingi sumu. Jw Mislkn T( serng titik pd gris g. Mk hrus dipenuhi Persmn idng ng mellui titik T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng titik pustn di O dn mellui T dlh + + = + +. Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + +. Kit mempuni = +. Selnjutn dengn mensustitusikn dn diperleh persmn + + = + ( + +. Setelh dijrkn dn disederhnkn diperleh persmn lusn ng ditnkn itu: -4 + + 4 =. 7

8 Sl-sl. Sutu ellips dengn persmn 6 4 diputr mengelilingi sumu. Tentukn persmn ellipsid putrn ng terentuk.. Jik sutu hiperl dengn persmn 9 6 diputr mengelilingi sumu. Tentukn persmn lusn putrn ng terjdi.. Sutu prl dengn persmn diputr mengelilingi gris. Tentukn persmn lusn putrn ng terjdi. 4. Sutu prl dengn persmn diputr mengelilingi sumu. Tentukn persmn lusn ng terjdi. 5. Sutu gris diputr mengelilingi gris dengn persmn. Tentukn persmn lusn putrn ng terjdi.

BAB V LUASAN BERDERAJAD DUA Berikut ini kn diselidiki sutu lusn ng terjdi dri sutu ellips dn hiperl ng letk dn esrn eruh menurut turn tertentu.. Pd idng XOY terletk ellips dengn persmn Pd idng YOZ terletk ellips dengn persmn Kedu ellips dits mempuni punk-punk ng sm pd sumu. Selnjutn ellips ng terletk pd idng XOY digerkkn dengn turn segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng XOY titik pustn tetp pd sumu du dri punkn sellu terletk pd ellips ng terletk pd idng YOZ dn d ellips tetp sengun dengn ellips ng digerkkn. Berrti ellips pd idng YOZ merupkn gris rh dri ellips ng ergerk. Adpun persmn lusn ng terjdi dpt diri segi erikut. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi tu ( 9

4 Kren turn dn d mk dipenuhi Atu. ( = (. Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: tu ( ( Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn ellipsid dengn titik pust O dn sumusumun erimpit dengn sumu-sumu krdint. Jik du dintr dn dlh sm mk ellipsid terseut merupkn sutu ellipsid putrn. Jik = = mk ellipsid terseut merupkn l. O X Y Z

. Ellips ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn persmn gris rh dri ellips ng ergerk dlh hiperl pd idng YOZ dengn persmn Selnjutn ellips digerkkn dengn turn: idngn sellu sejjr dengn idng XOY titik pust ellips sellu terletk pd sumu du dri punkn sellu terletk pd gris rh dn d ellips ng digerkkn sellu tetp sengun dengn ellips semul. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi tu ( Kren turn dn d mk dipenuhi tu. ( = (. Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: tu 4

4 ( ( Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid erdun stu dengn titik pust O dn sumu-sumun erimpit dengn sumu-sumu krdint. Jik = mk diperleh hiperlid putrn.. Ellips ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn gris rh dri ellips ng digerkkn dlh hiperl dengn persmn Aturn untuk menggerkkn dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng XOY O Z Y X

4 titik pust ellips sellu terletk pd sumu du dri punkn sellu terletk pd gris rh dn d ellips ng digerkkn sellu tetp sengun dengn ellips semul. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi - ( tu Kren turn dn d mk dipenuhi tu. ( = (. Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: tu ( ( Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun du dengn titik pust O dn sumun dlh sumu. Jik = mk persmn ini menjdi persmn hiperlid putrn erdun dengn titik pust O dn sumun dlh sumu Z.

Z O Y X 4. Ellips ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn gris rh dri ellips ng ergerk dlh prl pd idng YOZ dengn persmn p turn untuk menggerkkn ellips dlh: idngn sellu sejjr dengn idng XOY titik pust ellips sellu terletk pd sumu du dri punkn sellu terletk pd gris rh dn d ellips ng digerkkn sellu tetp sengun dengn ellips semul. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi = p. Kren turn dn d mk dipenuhi 44

45 tu = p Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: p p Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn p Persmn ini merupkn persmn prlid ellips dengn titik punk di O. Jik = mk persmn ini menjdi persmn prlid putrn dengn sumu segi sumu putrn. 5. Mislkn hiperl ng digerkkn terletk pd idng YOZ dengn persmn O Z X Y

46 dn gris rhn erup ellips pd idng XOY dengn persmn Aturn untuk menggerkkn hiperl dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng YOZ titik pustn sellu terletk pd sumu hiperln sellu tetp sengun dengn hiperl semul dn d titik-titik punkn sellu terletk pd gris rh. Mislkn hiperl digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun ng sejjr dengn sumu dn sumu erturutturut dlh dn. Dri gris turn dits titik punk ( terletk pd gris rh sehingg hrus dipenuhi ( ( tu sehingg jug dn tu. Jdi persmn hiperl ngterletk pd idng = dlh ( ( Dengn mengeliminsi dri persmn hiperl dits dpt diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperl erdun stu.

47 6. Mislkn hiperl ng digerkkn terletk pd idng YOZ dengn persmn dn gris rhn erup ellips pd idng XOY dengn persmn Aturn untuk menggerkkn hiperl dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng YOZ titik pustn sellu terletk pd sumu hiperln sellu tetp sengun dengn hiperl semul dn d titik-titik punkn sellu terletk pd gris rh. Mislkn hiperl digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun ng sejjr dengn sumu dn sumu erturutturut dlh dn. Dri gris turn dits titik punk ( terletk pd gris rh sehingg hrus dipenuhi ( ( tu sehingg jug dn tu. Jdi persmn hiperl ngterletk pd idng = dlh ( (

Dengn mengeliminsi dri persmn hiperl dits dpt diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid erdun du dengn sumu segi sumun. 7. Mislkn hiperl ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn gris rhn erup prl pd idng YOZ dengn persmn p Aturn untuk menggerkkn hiperl dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng YOZ titik pustn sellu terletk pd sumu hiperln sellu tetp sengun dengn hiperl semul dn d titik-titik punkn sellu terletk pd gris rh. Mislkn hiperl digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun ng sejjr dengn sumu dn sumu erturut-turut dlh dn. Berdsrkn turn dits titik punk ( terletk pd gris rh sehingg = p. Kren turn dn d mk dipenuhi tu = p Jdi persmn hiperl ng terletk pd idng = terseut dlh: 48

49 p p Dengn mengeleminsi dn persmn hiperl ini diperleh persmn p Persmn ini merupkn persmn prlid hiperlis dengn sumu segi sumun. 8. Pndng persmn ellipsid Titik pust ellipsid ini dlh (. Sumu-sumu simetrin dlh sumu sumu dn sumu ng msingmsing pnjngn dn. Titik-titik punkn d enm itu ( (- ( ( - ( dn ( -. Persmn idng singgung pd ellipsid dpt diri segi erikut. Mislkn T( merupkn titik singgung terseut. Persmn gris ng mellui T dengn ilngn-ilngn rh p q dn r dlh r q p Krdint-krdint titik-titik ptng gris ini dengn ellipsid dits diperleh segi erikut. ( ( ( r q p Setelh dijrkn persmn dits menjdi r q p r q p Slh stu kr dri persmn kudrt ini dlh =.

5 Agr gris meninggung ellipsid mk hruslh = =. Hl ini hn terjdi untuk r q p Dengn mengeliminsi p q dn r diperleh ( ( ( Persmn ini merupkn persmn gris ng meninggung ellipsid di T. Jdi persmn idng singgung di T pd ellipsid dlh Mislkn T( sutu titik dilur ellipsid. Dri titik T diut idngidng ng meninggung ellipsid. Mislkn P( sutu titik singgung dri idng singgung ng mellui titik T. Berdsrkn urin dits persmn idng singgung di titik P dlh Kren idng singgung mellui T mk dipenuhi Ini errti setip titik singgung dri idng singgung pd ellipsid ng mellui T terletk pd idng dengn persmn Persmn ini merupkn persmn idng kutu dri titik T terhdp ellipsid Tmpk hw jik T terletk pd ellipsid mk persmn idng kutu dri T merupkn persmn idng singgung di T. Persmn ts ngn ellipsid leh sinr-sinr ng mellui T( dlh

Cnth Crilh m sehingg idng + m = meninggung ellipsid 44 6 9 Jw Mislkn T( sutu titik singgung ellipsid Mk dipenuhi 44 6 9 Persmn idng singgung ellipsid di T dlh 44 6 9 Atu + 4 + 6 44 =. Bidng singgung ini hrus erimpit dengn idng + m = Ini errti hrus dipenuhi tu = = - = 8 Atu = 8. 4 6 44 m Kren titik T( pd ellipsid mk 44 4(6 64(9 Untuk = 8 diperleh m = -8 dn untuk = -8 diperleh m = 8. Jdi nili m ng ditnkn dlh m = 8. 9. Pndng persmn hiperlid erdun Stu 5

5 Sumu-sumu simetrin dlh sumu sumu dn sumu. Titiktitik punkn ng terletk di sumu-sumu krdint d empt itu: ( (- ( dn ( -. Selnjutn dengn r seperti pd ellipsid diperleh persmn idng singgung pd hiperlid erdun stu di titik singgung T( itu Demikin jug dengn persmn idng kutu dri titik T( terhdp hiperlid rdun stu itu Berikut ini kn diuh entuk entuk persmn hiperlid erdun stu. Mislkn persmn hiperlid erdun stu dlh Bentuk ini dpt dintkn segi tu Berrti d du susunn gris pd hiperlid erdun stu itu ( ( dengn prmeter. Akn diuktikn hw gris-gris dlm stu susunn sling ersilngn. Mislkn persmn gris-gris dlm stu susunn terseut dlh

5 dn Andikn kedu gris terseut erptngn mk terdpt hrg dn sehingg ( dengn Berrti tu =. ( dengn Berrti tu = -. Sehingg diperleh sutu kntrdiksi itu = = - (kren. Jdi pengndin dits dlh slh dn hruslh kedu gris dlm stu susunn dlh ersilngn.. Pndng persmn hiperlid erdun du Hiperlid ini hn mempuni stu sumu simetri itu sumu. Titik-titik punk d du itu ( dn (-. Pnjng sumu-sumun dlh dn. Dengn r seperti pd ellipsid diperleh persmn idng singgung di titik T( itu Demikin jug persmn idng kutu dri titik T( terhdp hiperlid erdun du itu

Jik titik T terletk pd hiperlid erdun du mk idng kutu dri T menjdi idng singgung di T. p. Pndng persmn prlid elliptis Titik punk d stu dn sumu simetrin dlh sumu. Dengn r seperti pd ellipsid diperleh persmn idng singgung di T( pd prlid elliptis itu: p ( Persmn idng kutu dri T( terhdp prlid elliptis dlh p ( Jik titik T pd prlid elliptis mk idng kutu dri T menjdi idng singgung di T.. Pndng persmn prlid hiperlis p ( p Dengn r seperti pd ellipsid dpt diperleh persmn idng singgung di titik T( pd prlid hiperlis itu p ( Jik titik T pd prlid hiperlis mk idng kutu menjdi idng singgung. 54

Sl-sl. Tentukn semu titik-titik punk ellipsid 9 + 4 + 6 = 6 ng terletk di sumu-sumu krdint. p. Tentukn irisn prlid hiperlis ( p idng XOY. dengn. Tentukn irisn idng = dengn ellipsid 6 4 4. Tunjukkn hw idng + 6 = memtng prlid hiperlis 5 6 dlm entuk prl dn tentukn punk dn prmeter 4 prln. 5. Tentukn persmn idng singgung ellipsid 4 + 6 + 8 = ng sejjr dengn idng + + 7 =. 55

DAFTAR KEPUSTAKAAN Kleteni D. Prlems in Anlti Gemetr Msw: Pee Pulisher t.th. Mehrti Hdiwidjj Ilmu Ukur Anlitik Bidng Bgin III Ygkrt: FMIPA IKIP Ygkrt 994. Mehrti Hdiwidjj Vektr dn Trnsfrmsi dlm Gemetri Ygkrt: FMIPA IKIP Ygkrt 989. Purell Edwin J (Penterjemh: Rwuh Bn Krtssmit Klkulus Dn Gemetri Anlitis Jilid II Jkrt: Erlngg 984. Thms Gerge B. JR. Clulus nd Anlti Gemetr Tk Jkrt Pulitins Trding Cmpn Ltd 96. 56