Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.. PENGANTAR DEFINISI. : PERSAMAAN LINEAR Sutu persm lier deg peuh x, x 2,, x dpt diytk dlm etuk : x + 2 x 2 + + x = (.) dim, 2,, d dlh kostt-kostt rel. DEFINISI.2 : PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR Peyelesi dri persm lier (.) dlh urut dri ilg s, s 2,, s sehigg persm terseut dipeuhi il x = s, x 2 = s 2,, x = s (.2) disustitusik terhdpy. Himpu semu pemech persm terseut dimk himpu peyelesi. DEFINISI.3 : SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sutu himpu erhigg dri persm- persm lier dlm peuh-peuh x, x 2,, x dimk sistem persm lier tu sistem lier. Sutu urut ilg-ilg s, s 2,, s dimk pemech dri sistem terseut jik (.2) dlh pemech dri msig-msig persm pd sistem terseut. Seuh sistem serg yg terdiri dri m persm lier deg ilg yg tidk dikethui : x + 2 x 2 + + x = 2 x + x 2 + + 2 x = 2 :. : (.3)... m x + m2 x 2 + + m x = m DEFINISI.4 : KONSISTENSI. Seuh sistem persm yg tidk memiliki peyelesi diktk tidk kosiste. Jik d setidk-tidky stu pemech, mk sistem persm terseut diktk kosiste. 2. Sutu sistem persm lier mugki tidk memiliki peyelesi, tu memiliki persis stu peyelesi, tu memiliki tk erhigg yky peyelesi. Dlm 2 dimesi dpt digmrk segi erikut : y k y k l y k,l l x x x G.. () () (c) tidk d peyelesi terdpt stu peyelesi tk higg yk peyelesi Si Hlim- Tekik Idustri UK. Petr
Sistem Persm Lier D Mtriks Diktt Aljr Lier PROPOSISI.5 : AUGMENTED MATRIX Persm (.3) dpt ditulisk dlm etuk ugmeted mtrix (mtriks yg diperesr) segi erikut : m 2 2 m2 2 m 2 m (.4) PROPOSISI. : OPERASI BARIS ELEMENTER Peyelesi sistem persm (.3) dpt dilkuk deg opersi ris elemeter (OBE) pd mtriks diperesry, deg ctt mtriks tidk memilik ukur yg terllu esr. OPERASI BARIS ELEMENTER :. Kliklh seuh ris deg seuh kostt yg tidk sm deg ol 2. Pertukrklh kedu ris terseut 3. Tmhklh perkli dri stu ris pd ris yg li..2. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN DEFINISI.7: SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN Seuh sistem persm lier diktk homoge jik pd persm (.3) ili i = 0 utuk setip i =,2,,m Tip-tip sistem persm lier homoge dlh sistem yg kosiste, kre x =x 2 = = x = 0 sellu merupk peyelesi. Peyelesi ii dimk peyelesi trivil. Jik d peyelesi li yg memeuhi persm homoge terseut, mk peyelesi terseut dimk peyelesi tk trivil. TEOREMA.8: Sistem persm lier homoge deg leih yk ilg tk dikethui (peuhy) dripd yky persm, sellu mempuyi tk higg yk peyelesi..3. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS DEFINISI.9: MATRIKS Mtriks dlh sutu susu dri jr (rry) ilg-ilg dlm etuk segi empt, deg jumlh ris seyk m d jumlh kolom seyk d diotsik segi A = ( ij ) mx i =,,m d j =,, sert ij dlh eleme dri mtriks A pd ris ke-i kolom ke-j 2 Si Hlim- Tekik Idustri UK. Petr
Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks A = 2 i m 2 i2 m2 j 2 j ij mj 2 i m (.5) CATATAN-CATATAN.0:. Mtriks A diktk erukur m x (erdimesi mx) 2. Mtriks A deg dimesi x diseut segi vektor ris, sedgk yg erdimesi m x diseut segi vektor kolom 3. Jik jumlh ris sm deg jumlh kolom, yitu m =, mk mtriks A diktk segi mtriks ujur sgkr deg orde. 4. Pd mtriks (.5) jik m=, mk eleme ii diseut segi eleme digol dri A, eleme-eleme li merupk eleme di lur digol dri A 5. Pd mtriks (.5) deg m=, il ii 0 sedgk eleme di lur digol dri A sm deg ol, yitu, ij = 0 utuk i j, mk mtriks A diseut segi mtriks digol. Jik pd mtriks digol di ts ili ii = c utuk setip i=,.., mk mtriks terseut diktk segi mtriks sklr. Deg kt li mtriks sklr dlh mtriks digol deg seluruh digoly erili sm. 7. Jik pd mtriks digol di ts ili ii = utuk setip i=,, mk mtriks terseut diktk segi mtriks idetits (diotsik deg I ). 8. Jik pd mtriks digol di ts ili ii = 0 utuk setip i=,.., mk mtriks terseut diktk segi mtriks NULL (diotsik deg O x ). Secr umum utuk serg mtriks A mx, il seluruh elemey erili 0 mk mtriks terseut diotsik deg O mx DEFINISI.: OPERASI-OPERASI PADA MATRIKS. Du mtriks A = ( ij ) d B = ( ij ) diktk sm jik d hy jik A d B memiliki dimesi yg sm, misl m x, d ij = ij i=,,m d j =,,. 2. Pejumlh Mtriks Jik du uh mtriks memiliki dimesi yg sm, merek diktk comformle utuk pejumlh. Jik A = ( ij ) mx d B = ( ij ) mx mk A+B = ( ij + ij ) mx 3. Perkli Mtriks deg Sklr Jik A dlh mtriks erukur mx d c dlh sclr mk ca = (c ij ) mx 4. Pegurg Mtriks A B = ( ij ij ) mx Hl ii erls kre : A B = A + (-) B = ( ij ) mx + (-) ( ij ) mx = ( ij + (-) ij ) mx = ( ij ij ) mx Si Hlim- Tekik Idustri UK. Petr 3
Sistem Persm Lier D Mtriks Diktt Aljr Lier 5. Perkli Mtriks Mislk A = ( ij ) mxp d B = ( ij ) px mk perkli tr A db dlh C=(c ij ) mx yitu AB= C dim c ij = ik kj i =,..,m j =,, [ i i2 i ] k = 2 j j j = = c i j ij + i2 2j + + i j (.) A d B diktk comformle utuk perkli jik d hy jik jumlh kolom dri mtriks A sm deg jumlh ris dri mtriks B..4. ATURAN ATURAN DALAM ILMU HITUNG MATRIKS Dlm perkli mtriks elum tetu erlku hukum komuttif, yitu AB BA wlupu AB d BA yg didefiisik memiliki ukur yg comformle. Teorem.2: Deg megggp hw ukur-ukur mtriks comformle mk tur-tur ilmu hitug mtriks erikut dlh vlid. Notsi deg huruf esr dlh mtriks d huruf kecil dlh sklr.. A + B = B + A 9. A+ 0 = 0 + A = A 2. A + (B+C) = (A+B) + C 0. A- A = 0 3. A(BC) = (AB)C. 0 A = - A 4. A (B±C) = (AB ±AC) 2. AO = 0 ; 0A = 0 5. (B ± C)A = (BA ± CA). (B±C) = B ± C 7. (±) C = C ± C 8. (BC) = (B)C = B(C).5. PARTISI MATRIKS Mtriks A dpt diprtisi mejdi sumtriks-sumtriks yg leih kecil deg memishky deg ris-ris vertikl d horisotl tr ris-ris d kolomkolomy. Cotoh.3: A = 5 0 0 5 Mtriks A di ts dpt diprtisi mejdi, misly A A 2 A A 2 = 5 0 0 5 4 Si Hlim- Tekik Idustri UK. Petr
Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks Sumtriks A ij diseut jug segi lok mtriks. Secr umum jik lok-lok mtriks ii memiliki ukur-ukur yg ersesui, mk perkli lok-lok ii dpt diselesik deg cr seperti pd perkli mtriks is. PROPOSISI.4 Jik A = (A ij ) sxt B = (B ij ) txr mk AB = (C ij ) dim C ij = lok-lok A ik B kj coformle seperti pd perkli mtriks is. k = A ik B kj deg syrt.. OPERASI DARI TRANSPOSE DAN TRACE DEFINISI.5 : TRANSPOSE Trspose dri mtriks A = ( ij ) mx dlh mtriks A T = ( ij ) xm dim ij = ji. Jik A T = A, A dlh mtriks ujur sgkr, mk A diseut mtriks simetrik. Jik A T = - A, mk A diseut mtriks skew simetrik. Hukum-hukum yg erlku pd trspose Jik A = ( ij ) mx B = ( ij ) mx d c sklr, mk : (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (ca) T = c A T TEOREMA. Jik A = ( ij ) mxp B = ( ij ) px mk (AB) T = B T A T DEFINISI.7: TRACE Trce dri mtriks ujur sgkr A =( ij ) x didefiisik segi jumlh dri digoldigol utm dri mtriks A. Tr(A) = ii (.7) i= Hukum-hukum yg erlku pd trce Jik A = ( ij ) x B = ( ij ) x d c sclr, mk: Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) Tr(cA) = c Tr(A) Tr(AB) = Tr (BA) Si Hlim- Tekik Idustri UK. Petr 5