IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG

TESIS IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG Oleh: ADNAN SAUDDIN NRP. 1304 201 008 PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 2006

IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKTIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.) di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Oleh: ADNAN SAUDDIN NRP. 1304 201 008 Disetujui Oleh Tim Penguji Tesis: Tangal Ujian : 31 Juli 2006 Periode Wisuda: September 2006 1. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D (Pembimbing 1) NIP. 130 368 808 2. DR. Drs. Purhadi, M.Sc (Pembimbing 2) NIP. 131 843 382 3. Prof. Drs. Nur Iriawan, MIkom., Ph.D (Penguji) NIP. 131 782 011 4. DR. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Sc (Penguji) NIP. 131 843 382 5. DR. Drs. Sony Sunaryo, M.Si (Penguji) NIP. 131 883 380 6. Ir. Mutiah Salamah, M.Kes (Penguji) NIP. 131 283 368 Direktur Program Pascasarjana Prof. Ir. Happy Ratna S., M.Sc., Ph.D. NIP. 130 541 829

IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG Oleh : Adnan Sauddin Pembimbing : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D Co. Pembimbing : Dr. Purhadi, M.Sc ABSTRAK Rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang sangat besar tidak memungkinkan untuk diterapkan didunia industri atau di bidang lainnya. Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan rancangan faktorial fraktional. Dalam penelitian, penentuan faktor mana dari sejumlah faktor yang dinyatakan potensial memberikan informasi terhadap masalah yang diteliti menjadi lebih sulit jika pengukurannya dilakukan tanpa pengulangan untuk setiap kombinasi perlakuan. Hal tersebut disebabkan oleh tidak adanya rata-rata kuadrat error yang dapat diperoleh pada sebagian besar rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penelitian ini dihasilkan statistik uji metode Bissell, Lenth, dan Fang beserta penaksir-penaksirnya yang memberikan suatu analisis formal tentang bagaimana menentukan suatu faktor signifikan atau tidak dalam rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Juga diperoleh funsi power dari ketiga metode tersebut, yang digunakan untuk membandingkan kekuatan uji masing-masingnya. Power uji menunjukkan metode Lenth dan Fang lebih kuat banding metode Bissell, dan antara metode Lenth dan Fang tidak memberikan indikasi adanya perbedaan kekuatan uji. Kata kunci: Fraksional Faktorial, fungsi power, metode Lenth, metode Fang, metode Bissell. iii

IDENTIFICATION SIGNIFICANT FACTORS OF UNREPLICATED FRACTIONAL FACTORIAL DESIGN BY USING BISSELL, LENTH, AND FANG METHODS By : Adnan Sauddin Supervisor : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D Co. Supervisor : Dr. Purhadi, M.Sc ABSTRACT Factorial design with number of factors very large is impossible to be apply in industrial world. To avoid such a problems, fractional factorial design is used instead. However, to select the right factor which should be used in order to supply information about the problem being analyzed will be difficult when we running each treatment combination without replication. That is causes by due to absence of mean square error in any analysis of most unreplicated fractional factorial design. In this research, statistical test of Bissell, Lenth, and Fang methods, including their estimation and the power function are resulted. The power function that resulting used to comparing power test of these methods, the result are Lenth and Fang method more powerfull than Bissell method, and Lenth and Fang methods showed with no indication of resulting different power test. Key words: fractional factorial, power function, unreplicated, Bissel method, Lenth method, Fang method. iv

DAFTAR ISI HALAMAN PENGESAHAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN KATA PENGANTAR iii iii iv vii viii ix x BAB I. PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang............................ 1 1.2 Permasalahan............................. 2 1.3 Tujuan Penelitian........................... 2 1.4 Manfaat Penelitian.......................... 3 1.5 Batasan Permasalahan........................ 3 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 4 2.1 Model Linier.............................. 4 2.1.1 Estimasi Kontras....................... 4 2.1.2 Distribusi dari β....................... 7 2.1.3 Penaksir σ 2.......................... 8 2.1.4 Pengujian Hipotesis...................... 9 2.2 Rancangan Fraksional Faktorial................... 10 2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2 k p................ 10 2.3.1 Identifikasi Struktur Alias.................. 14 2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level................... 17 2.4.1 Identifikasi Struktur Alias.................. 20 2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan.. 21 BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 27 3.1 Bahan dan Alat............................ 27 3.2 Metode Penelitian........................... 27 v

BAB IV. PEMBAHASAN 31 4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya 31 4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya........ 31 4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth........ 33 4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang........ 37 4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang....... 39 4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang..... 41 4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level....... 42 4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level....... 45 BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 49 5.1 Kesimpulan.............................. 49 5.2 Saran.................................. 50 DAFTAR PUSTAKA 53 LAMPIRAN 54 Lampiran A. Matriks Rancangan dan Data 55 1.1 Data Eksperimen Permainan Golf.................. 55 1.2 Data Pembakaran pada Boiler.................... 55 Lampiran B. Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57 2.1 Permainan Golf............................ 57 2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level.................. 58 Lampiran C. Hasil Penghitungan Power dan Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf 62 Lampiran D. Listing Program 66 4.1 Listing Program Iterasi Bissell.................... 66 4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang....... 68 vi

DAFTAR TABEL 2.1 Susunan Rancangan Faktorial 2 3.................. 11 2.2 Susunan Rancangan Faktorial 2 3 1................. 11 2.3 Algoritma Yate untuk Rancangan 3 2................ 19 4.1 Rangkuman Hasil Analisis Varian.................. 42 4.2 Rangkuman Hasil Analisis Varian.................. 47 1.1 Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf........... 55 1.2 Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf.......... 55 1.3 Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler....... 55 1.4 Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaran pada Boiler.............................. 56 2.1 Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan Golf.................................. 58 2.2 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang......... 60 2.3 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang......... 61 3.1 Power Metode Bissell untuk Permainan Golf............ 62 3.2 Power Metode Lenth untuk Permainan Golf............ 63 3.3 Power Metode Fang untuk Permainan Golf............. 64 vii

DAFTAR GAMBAR 4.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf.................................. 46 3.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk Permainan Golf 65 viii

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A: Matrik Rancangan dan Data 55 1.1 Data Eksperimen Permainan Golf................... 55 1.2 Pembakaran pada Boiler........................ 55 Lampiran B: Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57 2.1 Permainan Golf............................. 57 2.2 Kasus Pembakaran Pada Boiled 3-Level............... 58 Lampiran C: Hasil Perhitungan Power dan Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang 62 Lampiran D : Listing Program 66 4.1 Listing Program Iterasi Bissell..................... 66 4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang....... 68 ix

Kata Pengantar Segala puji hanya milik Allah, hanya kepada-nya kami berlindung dan hanya kepada-nya kami memohon ampunan, kami berlindung kepada-nya dari keburukan diri kami dan kejelekan amalan-amalan kami. Bahwa, barang siapa diberi petunjuk oleh Allah SWT, tidak seorang yang dapat menyesatkannya dan barang siapa yang disesatkan oleh-nya, tidak seorang yang dapat memberinya petunjuk. Saya bersaksi bahwa tidak ada illah yang berhak diibadahi kecuali Allah SWT, dan aku bersaksi bahwa Muhammad rasulullah SAW adalah rasul-nya. Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul Identifikasi Faktor signifikan Rancangan Faktorial Fraksional tanpa Pengulangan Dengan Metode Bissell, Lenth, dan Fang. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Magister Sains (M. Si.) pada Jurusan Statistika, Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tesis ini masih sangat jauh dari kesempurnaan dan dalam penyelesaiannya tidak terlepas dari bantuan, bimbingan, dan arahan dari berbagai pihak, oleh karenanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi tingginya kepada yang terhormat: 1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S. selaku Koordinator Program Studi S2 Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 2. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D, selaku pembimbing satu yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. x

3. Dr. Purhadi, M.Sc, selaku pembimbing dua yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. 4. Para staf dosen Program Studi Statistika, Institut Teknologi Sepuluh November Surabaya yang telah membekali penulis dengan ilmu pengetahuan. 5. Semua pihak yang telah banyak membantu dan tidak sempat penulis sebutkan namanya satu persatu. Surabaya, Maret 2006 Penulis xi

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penggunaan rancangan faktorial fraksional telah diperkenalkan oleh Tippett (Box dan Meyer, 1986), dan sejak Tahun 1980 - an telah menjadi perhatian. Voelkel dan Rochester (2004), dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa rancangan ini relatif lebih efisien. Eksperimen yang didasarkan pada rancangan faktorial, dimaksudkan untuk menentukan faktor mana diantara sejumlah faktor yang secara potensial memberikan efek pada respon. Namun, pada rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang besar dan diikuti oleh jumlah kombinasi perlakuan yang besar, eksperimen menjadi tidak efisien untuk dilakukan. Untuk menurunkan jumlah kombinasi perlakuan, digunakan rancangan faktorial fraksional. Jika terdapat lebih dari satu unit eksperimen untuk setiap perlakuan, maka digunakan analisis varian untuk menguji efek utama dan efek interaksi dalam model. Semua uji tersebut memerlukan rata-rata kuadrat error (mean squares error, MS E ), sebab estimasi dari varians error didasarkan pada variabilitas data yang diperoleh dari hasil pengukuran atau pengamatan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk setiap perlakuan. Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, bagaimana jika hanya terdapat satu pengamatan pada tiap-tiap perlakuan?. Kelemahan eksperimen tanpa pengulangan adalah tidak terdapat derajat bebas untuk mengestimasi σ 2, tidak ada error dalam setiap perlakuan, yang berakibat pada sulitnya melakukan interpretasi terhadap efek yang dimungkinkan berpengaruh, dan semua yang berkaitan dengan rata-rata kuadrat untuk uji signifikan statistik. Dalam menaksir efek faktor yang signifikan dari rancangan faktorial frak- 1

2 sional tanpa pengulangan, telah dikemukakan beberapa metode, diantaranya; Lenth (1989) menggunakan nilai margin of error atau batas kesalahan, simultan margin error dan pseudo sparsity of error untuk menentukan faktor yang signifikan yang didasarkan pada distribusi t, Hamada dan Balakrishnan (1998) mengemukakan bahwa kelemahan dari metode Lenth adalah lemah dalam mengontrol kesalahan type I. Dong (1993) memodifikasi metode Lenth, yaitu mengganti nilai s 0 dengan s 1 yang merupakan trimmed median. Bissell (1989, 1992), mengadopsi uji dispersi Cochran (1954) dalam mengkonstruksi uji statistik untuk mengidentifikasi faktor yang signifikan. Menurut Hamada dan Balakrishnan (1998), kelemahan dari metode Bissell adalah power ujinya akan mengalami penurunan tatkala terdapat banyak faktor yang signifikan. 1.2 Permasalahan Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, rumusan masalah dari penelitian adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana menentukan statistik uji dari metode Bissell, Lenth, dan Fang serta penaksirnya dalam mengindentifikasi faktor yang signifikan dalam faktorial fraksional tanpa pengulangan 2. Bagaimana menentukan faktor yang signifikan dalam rancangan faktorial fraksional 2 k dan 3 k tanpa pengulangan dengang menggunakan metode Bissell, Lenth, dan Fang. 1.3 Tujuan Penelitian Dari permasalahan yang dikemukakan di atas, tujuan penelitian dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Menentukan penaksir dan statistik uji untuk mendapat faktor yang signifikan dengan metode Bissell, Lenth, dan Fang.

3 2. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 2 k tanpa pengulangan pada kasus permainan golf. 3. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 3 k tanpa pengulangan pada kasus pembakaran pada boiler. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Menambah wawasan keilmuan menyangkut masalah penaksiran efek faktor pada rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan 2. Untuk memberikan alat analisis dalam menetapkan faktor yang signifikan dalam eksperimen rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. 1.5 Batasan Permasalahan Karena keterbatasan waktu dan mengacu pada rumusan masalah, penelitian ini dibatasi pada masalah pengidentifikasian faktor yang signifikan rancangan faktorial fraksional dua level dan tiga level.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Linier Diberikan variabel respon y dari rancangan faktorial fraksional yang pengamatannya dilakukan tanpa pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, dan x 1, x 2,..., x k, variabel input yang berkaitan dengan faktor independen. Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat digambarkan dalam persamaan berikut: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + ɛ (2.1) Jika dilakukan pengamatan sebanyak n kali, maka persamaan (2.1) menjadi: y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β k x ki + ɛ i ; i = 1, 2,, n Model terakhir ini dapat dituliskan dalam model linear, sebagai berikut: y = Xβ + ɛ (2.2) dimana; y = [y 1 y 2 y n ] T adalah vektor pengamatan berukuran n 1, β = [β 0 β 1 β 2 β k ] T adalah vektor dari parameter X adalah matriks berukuran n (k + 1), dan ɛ = [ɛ 1 ɛ 2 ɛ n ] T adalah vektor error berukuran n 1 dan berdistribusi N n (0, σ 2 I). Persamaan (2.2) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: y 1 1 x 11 x 21 x k1 β 0 ɛ 1 y 2. = 1 x 12 x 22 x k2 β 1........ + ɛ 2. y n 1 x 1n x 2n x kn β k ɛ n 2.1.1 Estimasi Kontras Pada analisis variansi dua arah rancangan faktorial fraksional dua faktor tanpa pengulangan dengan model sebagai berikut: y ij = µ + τ i + θ j + ɛ ij ; i = 1, 2; j = 1, 2 (2.3) 4

dengan syarat τ 1 + τ 2 = 0 τ 1 = τ 2 dan θ 1 + θ 2 = 0 θ 1 = θ 2. 5 Model tersebut juga dapat dituliskan dalam bentuk persamaan regresi linier, yaitu y i = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ɛ i ; i = 1, 2, 3, 4 (2.4) untuk x 1 bernilai ( 1, +1) dan x 2 bernilai ( 1, +1). Keterkaitan antara kedua model tersebut dalam menetapkan kontras untuk penaksir efek faktor dapat ditunjukkan sebagai berikut. Dari syarat τ 1 = τ 2 dan θ 1 = θ 2 serta nilai dari x 1 ( 1, +1), dan x 2 ( 1, +1), selanjutnya y 11 = µ + τ 1 + θ 1 + ɛ 11 y 12 = µ + τ 1 θ 1 + ɛ 12 y 21 = µ τ 1 + θ 1 + ɛ 21 y 22 = µ τ 1 θ 1 + ɛ 22 karena (2.3) dan (2.4) ekuivalen, maka dan y 1 = β 0 + β 1 + β 2 + ɛ 1 y 2 = β 0 + β 1 β 2 + ɛ 2 y 1 = β 0 β 1 + β 2 + ɛ 3 y 1 = β 0 β 1 β 2 + ɛ 4 y 11 = y 1 µ + τ 1 + θ 1 = β 0 + β 1 + β 2 (2.5) y 12 = y 2 µ + τ 1 θ 1 = β 0 + β 1 β 2 (2.6) y 21 = y 1 µ τ 1 + θ 1 = β 0 β 1 + β 2 (2.7) y 22 = y 1 µ τ 1 θ 1 = β 0 β 1 β 2 (2.8) Persamaan (2.5) dan (2.6) dijumlahkan µ + τ 1 + θ 1 = β 0 + β 1 + β 2 µ + τ 1 θ 1 = β 0 + β 1 β 2 + 2µ + 2τ 1 = 2β 0 + 2β 1 (2.9) Persamaan (2.5) dan (2.7) dijumlahkan µ + τ 1 + θ 1 = β 0 + β 1 + β 2 µ τ 1 + θ 1 = β 0 β 1 + β 2 + 2µ + 2θ 1 = 2β 0 + 2β 2 (2.10)

Persamaan (2.6) dan (2.7) dijumlahkan 6 µ + τ 1 θ 1 = β 0 + β 1 β 2 µ τ 1 + θ 1 = β 0 β 1 + β 2 + 2µ = 2β 0 µ = β 0 (2.11) Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.9) dan (2.10), diperoleh τ 1 = β 1 dan θ 1 = β 2 Dengan demikian, menaksir parameter-paramter pada model anova adalah sama dengan melakukan penaksiran parameter-parameter pada model regresi. Estimasi kontras dari model pada persamaan (2.2), yaitu: y = Xβ + ɛ dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square Method), yaitu dengan mengambil turunan pertama dari jumlah kuadrat error terhadap β dan menyamakannya dengan nol yang dijelaskan sebagai berikut: y = Xβ + ɛ ɛ = y Xβ L = ɛ T ɛ = (y Xβ) T (y Xβ) (2.12) persamaan (2.12) merupakan jumlah kuadrat error. Selanjutnya, ambil turunan pertama dari L terhadap β L β = 2XT (y Xβ) = 2X T y + 2X T Xβ L β = 0 2XT y + 2X T Xβ = 0 X T Xβ = X T y β = (X T X) 1 X T y (2.13)

dengan syarat X T X tidak singular, diperoleh β = (X T X) 1 X T y yang merupakan penaksir dari β. 7 2.1.2 Distribusi dari β a. Ekspektasi β Dari hasil sebelumnya, penaksir dari β adalah β = (X T X) 1 X T y. Untuk menentukan apakah estimasi dari β bias atau tidak, dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut E( β) = E{(X T X) 1 X T y} = E{(X T X) 1 X T (Xβ + ɛ)} = E{(X T X) 1 X T Xβ + (X T X) 1 X T ɛ)} Karena (X T X) 1 X T X = I dan E(ɛ) = 0, maka E( β) = β Karena E( β) = β, maka β merupakan estimator tak bias dari β b. Varians β V ar( β) = V ar{(x T X) 1 X T y} = {(X T X) 1 X T }V ar(y){(x T X) 1 X T } T = {(X T X) 1 X T }σ 2 I{(X T X) 1 X T } T = σ 2 {(X T X) 1 X T }{(X T X) 1 X T } T = σ 2 {(X T X) 1 X T X(X T X) 1 } Karena (X T X) 1 X T X = I, maka V ar( β) = σ 2 (X T X) 1. Oleh karena β merupakan kombinasi linear dari y 1, y 2,..., y n yang berdistribusi normal, sehingga distribusi dari β adalah β N(β, σ 2 (X T X) 1 ) (2.14)

2.1.3 Penaksir σ 2 8 Selanjutnya, untuk menentukan MS E, diketahui ŷ = X β dan ɛ = (y ŷ) SS E = (y ŷ) T (y ŷ) = (y X β) T (y X β) = y T y y T X β β T X T y + β T X T X β karena β T X T y adalah skalar, dan transposnya, (β T X T y) T = y T X β juga merupakan suatu skalar, dan X T y = X T X β maka SS E = y T y 2 β T X T y + β T X T X β = y T y 2 β T X T y + β T X T y = y T y β T X T y dengan demikian jumlah kuadrat error adalah SS E = y T y β T X T y (2.15) Dari persamaan (2.13), β = (X T X) 1 X T y X β = X(X T X) 1 X T y andaikan matriks X(X T X) 1 X T = P dan I n P simetri dan idempoten, maka X β = Py, sehingga y X β = (I n P)y karena SS E = (y X β) T (y X β), maka SS E = ((I n P)y) T ((I n P)y) = y T (I n P) T (I n P)y

= y T (I n P)y 9 karena PX β = X β dan E(y T (I n P)y) = tr((i n P)Σ + µ T (I n P)µ) dengan demikian diperoleh E(SS E ) = E(y T (I n P)y) = σ 2 Itr(I n P) + (Xβ) T (I n P)Xβ E(SS E ) = σ 2 (n p) sehingga, suatu estimator tak bias dari σ 2 diberikan sebagai berikut ˆσ 2 = SS E n p MS E = SS E df 2.1.4 Pengujian Hipotesis = (y X β) T (y X β) n p Untuk mengetahui faktor-faktor yang signifikan, tentunya perlu dilakukan pengujian hipotesis. Pengujian koefisien regresi atau efek faktor dari suatu model anova dalam mempengaruhi variabel responnya, dapat dilakukan secara serentak dan satu persatu. Pengujian secara serentak menggunakan uji sebagai berikut: 1. Hipotesis: H 0 : β i = 0; i = 1, 2, 3,..., k H 1 : Paling sedikit terdapat satuβ i 0 2. Statistik uji yang berkaitan adalah F hitung = MS R MS E 3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan Tolak H 0 jika F hitung > F v1,v 2 ;α, untuk v 1 sebagai derajat bebas untuk faktor perlakuan dan v 2 sebagai derajat bebas dari error.

10 Sedangkan untuk menguji apakah suatu faktor atau koefisien regresi secara individu berpengaruh secara nyata atau tidak terhadap variabel repsonnya, dilakukan dengan menggunakan uji t sebagai berikut: 1. Hipotesis: H 0 : β i = 0; i = 1, 2, 3,..., k H 1 : β i 0 2. Statistik uji yang berkaitan adalah t hitung = β i se( β i ) 3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan Tolak H 0 jika t hitung > t α/2,db. 2.2 Rancangan Fraksional Faktorial Dalam suatu eksperimen, rancangan faktorial adalah suatu rancangan yang mengikutkan seluruh kombinasi perlakuan dari k faktor atau variabel input. Apabila jumlah dari k faktor ini cukup besar, maka akan berakibat pada besarnya jumlah kombinasi perlakuan yang akan dilakukan, dan ini tidak cukup efisien. Rancangan yang sering digunakan untuk menanggulangi hal tersebut, adalah dengan menggunakan rancangan faktorial fraksional dalam rangka menurunkan jumlah kombinasi perlakuan, dan beberapa diantaranya dilakukan tanpa pengulangan. 2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2 k p Secara umum, notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial fraksional mengikuti notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial. Untuk keperluan interpretasi hasil dari eksperimen, akan dijelaskan beberapa pengertian yang berkaitan dengan penyusunan rancangan eksperimen faktorial fraksional.

11 Tabel 2.1: Susunan Rancangan Faktorial 2 3 Kontras Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC (1) + + + + a + + + + b + + + + ab + + + + c + + + + ac + + + + bc + + + + abc + + + + + + + + a. One-Half Fractional dari Rancangan 2 k Andaikan eksperimen dengan tiga faktor, masing-masing terdiri atas dua level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan dalam eksperimen, yaitu empat dari delapan kombinasi perlakuan. Tabel 2.2: Susunan Rancangan Faktorial 2 3 1 Kontras Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC a + + + + b + + + + c + + + + abc + + + + + + + + ab + + + + ac + + + + bc + + + + (1) + + + + Pada Tabel 2.1, jika dipisahkan interaksi tingkat tingginya, berdasarkan tanda plus dan minusnya, maka akan terbentuk dua kelompok kontras yang masingmasing terdiri dari empat kombinasi perlakuan, sebagaimana yang ditunjukkan pada Tabel 2.2. Dimana, kolom kontras berkaitan dengan efek faktor, sedangkan kolom I mewakili mean total untuk pengamatan dan disebut kolom identitas dan ABC dan +ABC disebut generator atau defining relation.

b. Estimasi Efek Perlakuan 12 Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 2 3 1 = 4 kombinasi perlakuan, maka akan terdapat d.f T otal = 4 1 = 3 derajat bebas untuk menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada koefisien kontras. sebagai contoh, dari Tabel 2.2 untuk defining relation positif, I = ABC. Namun sebelum menentukan penaksir efek dari masing-masing faktor terlebih dahulu akan ditentukan kontras untuk masing-masing faktor, baik faktor utama maupun faktor interaksinya. Kontras A = C A = (a b c + abc) Kontras B = C B = ( a + b c + abc). Kontras BC = C BC = (a b c + abc) Dari kontras tiap faktor tersebut kemudian dapat ditentukan penaksir efek dari masing-masing faktor, sebagai berikut ini, Estimasi efek utama, Estimasi efek interaksi dua faktor, Â = 1 2 C 3 2 A = 1 (a b c + abc) 2 B = 1 2 C 3 2 B = 1 ( a + b c + abc) 2 Ĉ = 1 2 C 3 2 C = 1 ( a b + c + abc) 2 BC = 1 2 C 3 2 A = 1 (a b c + abc) 2 ÂC = 1 2 C 3 2 B = 1 ( a + b c + abc) 2 ÂB = 1 2 C 3 2 C = 1 ( a b + c + abc) 2 Dari Penaksir efek di atas, nampak bahwa penaksir efek utama A dan interaksi BC, B dengan interaksi AC, dan C dengan interaksi AB adalah sama, sehingga tidak mungkin untuk menyatakan ada perbedaan antara A dan BC,

13 B dan AC, dan C dan AB. Oleh karena itu, A disebut alias dengan BC, atau dibaurkan (confounded), demikian halnya dengan B alias dengan AC, dan C alias dengan AB. c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek Faktor Struktur alias untuk rancangan faktorial fraksional dapat diperoleh melalui defining relation. Dalam contoh sebelumnya, rancangan 2 3 dengan a, b, c dan abc sebagai kombinasi perlakuan yang diamati dan I = ABC didefinisikan sebagai defining relation Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan mengalikan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining relation, akan diperoleh alias untuk efek tersebut. Sebagai contoh, untuk mendapatkan alias untuk AB, kalikan AB dengan I = ABC, maka: AB.I = AB.ABC = A 2 B 2 C = C d. Jenis Khusus Rancangan Fraksional Faktorial 2 k Rancangan faktorial fraksional dibagi dalam beberapa jenis, yaitu (i) Rancangan resolusi III, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan efek utama yang lainnya, tapi efek utama dibaurkan dengan interaksi dua faktor. sebagai contoh 2 3 1 rancangan resolusi III. (ii) Rancangan resolusi IV, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan efek utama yang lain atau efek interaksi dua faktor, tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan sesamanya. Contoh 2 4 1 rancangan resolusi IV. (iii) Rancangan resolusi V, dimana tidak ada efek utama atau interaksi dua faktor yang dibaurkan efek faktor utama dan interaksi dua faktor yang lainnya. Tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan interaksi tiga faktor. Contoh 2 5 1 rancangan resolusi V.

14 Secara umum, suatu rancangan resolusi R adalah keadaan dimana tidak ada efek faktor p yang dibaurkan dengan efek lainnya yang memuat kurang lebih R p faktor. Untuk mengidentifikasi resolusi dari rancangan faktorial fraksional, digunakan angka romawi sebagai indeks. 2.3.1 Identifikasi Struktur Alias Box dan Wilson (1951), Bisgaard (1991) menunjukkan bahwa konsep alias didasarkan pada struktur kelompok antara kolom-kolom ekuivalen yang memungkinkan adanya penyimpangan dari penaksir kuadrat terkecil dari efek utama yang muncul akibat dari dihilangkannya efek interaksi tingkat tinggi. Selanjutnya, struktur alias dari rancangan dapat diperoleh dengan menggunakan defining relation. Misalkan, rancangan faktorial fraksional 2 3, dengan faktor-faktornya A, B, dan C. Defining relation dari rancangan tersebut adalah interaksi tingkat tingginya yaitu, ABC, dengan mengalikan setiap faktor utama dengan ABC dan faktor interaksi, maka akan diperoleh faktor yang akan diikutkan dalam perhitungan selanjutnya dan struktur alias dari faktor tersebut. Akan tetapi, metode penentuan struktur alias dengan menggunakan defining relation hanya dapat bekerja dengan baik pada rancangan yang sederhana, dan tidak dapat digunakan pada rancangan yang kompleks, seperti irregular fraction dan partial fold-over design. Lebih lanjut, terdapat beberapa rancangan faktorial fraksional yang tidak mempunyai defining relation, seperti Plackett-Burman designs, sedemikian hingga metode ini, tidak mungkin untuk digunakan. Dalam suplemen buku Design and Analysis of Experiment, Montgomery (2005) mengemukakan bahwa, terdapat suatu metode yang secara umum dapat bekerja dengan baik dalam banyak keadaan. Metode tersebut menggunakan polynomial atau model regresi yang merupakan representasi dari model. Secara formal, faktor yang diikutkan dalam penelitian adalah β 1 dan X 1 matriks rancangan yang berkaitan dengan β 1. Diberikan model linear sebagai berikut ; y = X 1 β 1 + ɛ

15 dimana y vektor respon n 1, X 1 matriks berukuran n p 1 yang memuat rancangan matriks yang telah diperluas pada model yang ditetapkan oleh peneliti berdasarkan faktor yang dipilih, β 1 vektor dari parameter model berukuran p 1 1, dan ɛ vektor error. Diketahui taksiran dari β 1 adalah β 1 = (X T 1 X 1 ) 1 X T 1 y Andaikan model lengkapnya adalah y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + ɛ dimana X 2 matriks berukuran n p 2 yang memuat variabel tambahan yang tidak diikutkan dalam model dan β 2 vektor berukuran p 2 1 dari parameter yang berkaitan dengan variabel yang terpilih. Struktur aliasnya dapat ditunjukkan sebagai berikut: β 1 = (X T 1 X 1 ) 1 X 1 y E( β 1 ) = E{(X T 1 X 1 ) 1 X 1 y} = (X T 1 X 1 ) 1 X 1 E(y) = (X T 1 X 1 ) 1 X 1 E(X 1 β 1 + X 2 β 2 + ɛ) = (X T 1 X 1 ) 1 X 1 E(X 1 β 1 ) + (X T 1 X 1 ) 1 XE(X 2 β 2 ) + (X T 1 X 1 ) 1 X 1 E(ɛ) = (X T 1 X 1 ) 1 X 1 X 1 β 1 + (X T 1 X 1 ) 1 X 1 X 2 β 2 + 0 = β 1 + (X T 1 X 1 ) 1 X 1 X 2 β 2 E( β 1 ) = β 1 + (X T 1 X 1 ) 1 (X T 1 X 2 )β 2 Ambil (X T 1 X 1 ) 1 (X T 1 X 2 ) = A, selanjutnya persamaan di atas menjadi E( β 1 ) = β 1 + Aβ 2 dengan A disebut matriks alias. Contoh penerapannya, pada Tabel 2.2 diberikan rancangan faktorial fraksional 2 3 1, dengan I = ABC atau I = x 1 x 2 x 3 sebagai defining relation, dengan mengacu pada persamaan (2.2), bahwa model yang hanya memperhatikan faktor

utama, dapat dinyatakan sebagai berikut: 16 y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + ɛ dimana x 1 merupakan komponen kolom faktor A, x 2 komponen kolom faktor B, dan x 3 komponen kolom faktor C yang dinyatakan dalam bentuk matriks X 1. Model diatas dapat dinyatakan β 1 = β 0 β 1 β 2 β 3 1 1 1 1, dan X 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 Andaikan bahwa, model yang sebenarnya memuat seluruh interkasi dua faktor, sedemikian hingga modelnya adalah y = β 0 + β 1 x 1 +β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 12 x 1 x 2 + β 13 x 1 x 3 + β 23 x 2 x 3 + ɛ (2.16) dan untuk bagian interaksi dua faktor dari persamaan (2.16), dimana x 1 x 2, x 1 x 2, dan x 2 x 3 berturut menyatakan komponen kolom faktor AB, AC, dan BC, yang dinyatakan dalam bentuk matriks X 2, yaitu β 2 = β 12 β 13 β 23 1 1 1 1 1 1, dan X 2 = 1 1 1. 1 1 1 Selanjutnya, diketahui bahwa 0 0 0 (X T 1 X 1 ) 1 = 1 4 I dan 0 0 4 XT 1 X 2 = 0 4 0 4 0 0 Oleh karena itu, E( β 1 ) = β 1 + (X T 1 X 1 ) 1 X T 1 X 2 β 2

β 0 β E 1 β 2 = β 3 β 0 β 1 β 2 β 3 0 0 0 + 1 0 0 4 4 0 4 0 β 0 β 1 + β 23 = β 2 + β 13 4 0 0 β 12 β 13 β 23 17 β 3 + β 12 2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level Konsep rancangan faktorial fraksional dua level dapat diperluas menjadi rancangan faktorial fraksional tiga-level. Bagian terbesar dari faktorial fraksional 3 k adalah rancangan faktorial fraksional 3 k 1, rancangan dibagi ke dalam tiga blok, dimana tiap blok dapat dipilih sebagai rancangan yang akan digunakan. Jika A α 1 B α 2 C α3 K α k merupakan komponen interaksi yang akan digunakan untuk mendefinisikan blok, maka I = A α 1 B α 2 C α3 K α k disebut defining relation dari rancangan faktorial fraksional. Tiap estimasi efek utama atau efek interaksi mempunyai dua alias yang dapat diperoleh dengan mengalikan efek dengan I dan I 2 modulo 3. Secara umum, untuk melakukan pembauran dalam rancangan 3 k diberikan suatu prosedur umum untuk mengkonstruksi suatu defining contrast, yaitu: L = α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α k x k mod(3) dimana α i pangkat dari faktor ke i dalam efek yang akan dibaurkan dan x i level dari faktor ke i dalam tiap kombinasi perlakuan. a. One-third fraction dari Rancangan 3 k Andaikan rancangan faktorial 3 3 yang faktor-faktornya A, B dan C, masingmasing terdiri dari tiga level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan, maka akan terbentuk empat kelompok kontras yang masing-masing terdiri dari delapan kombinasi perlakuan, sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 2.3. Sebagaimana pada rancangan faktorial fraksional