KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA N U R M A I L Y SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada DNA adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Nurmaily NRP G551070281
ABSTRACT NURMAILY. The Study of Discrete Hidden Markov Model and Its Application on DNA Sequence. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N. K. KUTHA ARDANA. A discrete hidden Markov model is a model which consists of the cause of event and observation process. This model assumes that the cause of event is a Markov chain, which is not observed directly. The observation process has discrete range. Parameters of this model are transition probability matrices. They are estimated using the maximum likelihood method and expectation maximization algorithm. The estimation procedure involves the change of measure. The estimation of parameters uses Mathematica 7.0, a functional programming based on algebraic computer systems. The model is applied to the DNA sequence. The estimated parameters are used to calculate the expectation of DNA sequence. The result depends on the decision of the initial value. There should be another study for determining the initial value which gives the optimal result. Keywords: Markov chain, discrete hidden Markov model, expectation maximization algorithm.
RINGKASAN NURMAILY. Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada DNA. Di bawah bimbingan BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA. Setiap kejadian berkaitan erat dengan penyebab kejadian. Jika penyebab kejadian tersebut tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM). Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω,,. Misalkan ; adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, sedangkan ; adalah proses observasinya. Pasangan proses stokastik, merupakan model Hidden Markov. Model Hidden Markov (Elliot et al. 1995) yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah + Y CX W, untuk di mana,,,,,,,, A dan C merupakan matriks peluang transisi dengan dan, yang memenuhi 1, 0, dan 1, 0. dan memenuhi 0, 0 diag diag diag diag. Jika, maka vektor,,, merupakan nilai harapan dari, yaitu dan untuk ergodic memenuhi dan 1. Parameter yang digunakan pada model di atas adalah, 1,,, 1, 1. Akan ditentukan parameter baru dengan menggunakan algoritme EM,1,,, 1, 1, yang memaksimumkan fungsi log-likelihood bersyaratnya. Hasilnya berupa parameter dalam bentuk pendugaan rekursif, diantaranya penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu dan penduga proses observasi.
Pendugaan rekursif yang diperoleh adalah 1. Pendugaan untuk state,.,,,. 2. Pendugaan Banyaknya Lompatan =,,, Penduga banyaknya lompatan adalah, 1,,,. Penduga smoother banyaknya lompatan adalah,,,. 3. Pendugaan Lamanya Waktu Kejadian, Penduga lamanya waktu kejadian adalah,,,,. Penduga smoother lamanya waktu kejadian adalah,,,. 4. Pendugaan untuk Proses Observasi,,,,. Penduga untuk proses observasi adala,,,,,. Penduga smoother untuk proses observasi adalah,,,. Dari pendugaan rekursif dapat ditentukan parameter model sebagai berikut, 1,., 1, 1. Nilai Harapan adalah 1 1. Model Hidden Markov diskret di atas diaplikasikan pada perubahan urutan basa DNA pada spesies Aspergillus niger, dengan N = 2. Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi yang berbasis pemprograman fungsional untuk menyelesaikan masalah tersebut. Software yang digunakan adalah Mathematica 7.0. Hasil yang di peroleh pada penelitian ini sangat bergantung pada penentuan nilai awal. Sampai saat ini hasil yang diperoleh belum cukup baik, karena belum ditemukan cara untuk menentukan nilai awal yang paling baik sehingga hasil yang diperoleh optimal. Kata kunci: Rantai Markov, model hidden Markov diskret, algoritme EM.
Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya Tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA N U R M A I L Y Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Wayan Mangku, M.Sc.
Judul Tesis Nama NRP : Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada DNA. : Nurmaily : G551070281 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Berlian Setiawaty, M.S. Ketua Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof, Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 19 Agustus 2009 Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga tugas akhir yang berjudul Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada DNA ini bisa terselesaikan sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terimakasih yang mendalam penulis sampaikan kepada: 1. Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasinya. 2. Dr. Ir. Wayan Mangku, M.Sc. selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritiknya. 3. Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. 4. Seluruh keluarga atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. 5. Mahasiswa S2 Matematika Terapan IPB angkatan 2007, serta semua pihak yang telah membantu penulis. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih begitu banyak kekurangan. Dengan segala keterbatasan yang ada, semoga tugas akhir ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2009 Nurmaily
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Banda Aceh pada tanggal 21 Mei 1971 dari pasangan Bapak Rusli Tgk. Ali (Alm) dan Ibu Nurjannah. Penulis merupakan anak ketiga dari lima bersaudara. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Syiah Kuala Banda Aceh, lulus pada tahun 1996 dan pada tahun 2007 penulis diberi kesempatan melanjutkan studi di Program Studi Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor dengan beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia. Penulis bekerja sebagai guru matematika pada Madrasah Aliyah Negeri Model Banda Aceh sampai sekarang.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI xii DAFTAR GAMBAR.. xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Tujuan Penelitian... 3 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Teori Peluang... 4 2.2 Rantai Markov... 10 2.3 Ruang Hasil Kali Dalam.. 13 BAB 3 MODEL HIDDEN MARKOV 3.1 State dan Proses Observasi dalam waktu diskret 15 3.2 Perubahan Ukuran... 21 3.3 Pendugaan Rekursif. 29 3.4 Pendugaan Parameter.. 38 3.5 Nilai Harapan.. 47 3.6 Algoritme Pendugaan Parameter... 47 BAB 4 APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET PADA DNA 4.1 DNA Sebagai Materi Genetik. 50 4.2 Data Input DNA.. 52 4.3 Aplikasi Model Hidden Markov Diskret pada DNA.. 53 4.4 Hasil Komputasi 54 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan... 58 5.2 Saran. 58 DAFTAR PUSTAKA. 59 LAMPIRAN 61
DAFTAR TABEL Halaman 1 Tabel nilai harapan model dengan 2 penyebab kejadian.. 68
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Pembentukan secara skematik struktur dsdna dari gula fosfat sebagai backbone dan basa nukleotida (A). Bentuk skematik double-helix DNA (B) 52 2 Grafik distribusi nilai dugaan urutan DNA menggunakan penduga smoother untuk 2 penyebab kejadian (N = 2). Banyaknya data, 0.16 0.26 0.31 0.66 T = 1000. Nilai awal 0.69 0.34, 0.09 0.02 0.40 0.43 0.35 0.29 dan 0.49..... 55 0.51 3 Grafik distribusi nilai dugaan urutan DNA menggunakan penduga smoother untuk 2 penyebab kejadian (N = 2). Banyaknya data, 0.37 0.20 0.37 0.35 T = 1000. Nilai awal 0.63 0.65, 0.27 0.02 0.26 0.33 0.10 0.45 dan 0.50... 56 0.50
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti Teorema 3.3.5... 61 2 Program 1... 66 3 Program 2... 72 4 Tabel nilai harapan model dari Program 1... 78 5 Tabel nilai harapan model dari Program 2... 83