Bahasa energi dalam fisika dan implikasinya pada peratarataan suatu besaran fisis Abdurrouf Jurusan Fisika, Fakultas MIPA, Universitas Brawijaya ABSTRAK Dalam fisika, dikenal empat jenis nilai rata-rata dari suatu besaran fisis, yaitu rata-rata langsung, akar kudarat rata-rata, kebalikan dari rata-rata resiprok, serta nilai termungkin. Tulisan ini membahas nilai rata-rata yang bersifat operasional untuk suatu besaran fisis tertentu. Juga ditunjukkan alasan pemiilihan besaran operasional tersebut, termasuk kaitannya dengan besaran energi. Kata kunci: rata-rata langsung, akar kuadrat rata-rata, kebalikan dari rata-rata resiprok, nilai termungkin PENDAHULUAN Upaya kita untuk memahami fenomena alam diformulasikan secara matematis dalam berbagai hukum Fisika. Untuk kasus mekanika, dinamika alam mula-mula dipahami dengan pendekatan hukum Newton dalam bahasa gaya. Selanjutnya, juga dipakai pendekatan energi, mulai dari prinsip kekekalan energi mekanik, prinsip lagrangian, kurung Poisson, dan prinsip Hamiltonian.[1] Persamaan Schroedinger dalam mekanika kuantum, adalah bentuk formula Hamiltonian, di dalam ungkapan operator energi kinetik, potensial, dan energi mekanik.[2] Pendekatan energi ini menjadi semakin penting karena pengukuran yang dilakukan biasanya didasarkan atas respon alat ukur terhadap besaran energi atau yang setara, dari sistem yang diukur. Pada giliran berikutnya, pendekatan yang dipakai akan mempengaruhi cara kita dalam mendefinisikan nilai rata-rata teoritis dari suatu besaran fisis. Ada beberapa situasi dalam fisika, di mana kedaan suatu sistem diperikan oleh suatu fungsi kerapatan peluang, sehingga suatu besaran teoritis harus diperoleh melalui prosedur peratarataan. Contoh pertama adalah sistem kuantum, di mana kerapatan peluang diberikan oleh kuadrat modulus fungsi gelombangnya. [2] Dalam hal ini, nilai suatu besaran terukur didapatkan dari penerapan operator pada fungsi gelombangnya, mengalikan dengan fungsi gelombang konjugatnya, dan mengintegrasikan- nya sepanjang ruang volume yang didefinisikan. Contoh yang kedua adalah sistem banyak partikel. Pada kasus ini, kerapatan peluang partikel diberikan oleh salah satu dari fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac, tergantung pada jenis partikelnya. [3,4] Nilai suatu besaran fisis didapatkan dengan mengalikan besaran tersebut dengan fungsi kerapatan dan mengintegrasikan-nya sepanjang ruang volume yang didefinisikan. Secara statistik, dikenal berbagai jenis nilai rata-rata, yaitu rata-rata aritmatik atau rata-rata langsung, median, modus atau nilai termungkin, rata-rata geometrik, rata-rata harmonik, serta akar kuadrat rata-rata. [5] Dari semua besaran di atas, ada 4 jenis pola perataratan yang sering dipakai dalam fisika, yaitu rata-rata langsung mean average, ), akar rata-rata kuadrat root mean square, ), rata-rata harmonik harmonic average, serta nilai termungkin most probably value, ). Dari sini setidaknya muncul 3 pertanyaan. Yang pertama adalah: model ratarata manakah yang paling sesuai dan bersifat operasional untuk sustu besaran fisis tertentu? Yang kedua: apakah semua besaran fisis memiliki model perataratan yang sama? Yang ketiga: adakah pola tertentu yang mengatur model peratarataan besaran fisika? Paper ini mencoba menjawab ketiga pertanyaan di atas. Mula-mua dibahas i) pengertian dari masing-masing model peratarataan serta ii) penerapan masingmasing model peratarataan pada berbagai besaran fisis yang sesuai. Selanjutnya iii) nilai rata-rata yang diperoleh melalui berbagai model peratarataan dan perbandingannya dengan nilai eksperimen, sehingga diketahui rata-rata mana yang bersifat operasional. Pada akhirnya, akan didapatkan suatu kaidah umum model peratarataan besaran fisika.
Abdurrouf : Bahasa energi dalam fisika dan implikasinya pada peratarataan suatu besaran fisis 2 METODOLOGI Lebih dahulu, kita diskusikan pengertian masing-masing nilai rata-rata. [5] Rata-rata langsung adalah rata-rata yang didapatkan dengan menjumlahkan semua kemungkinan nilai dan membaginya dengan jumlah data yang ada. Secara matematis, rata-rata langsung dari suatu besaran dari suatu besaran yang fungsi distribusinya adalah Selanjutnya akar rata-rata kuadrat dari suatu besaran adalah akar dari rata-rata kuadrat besaran. Secara matermatis, dapat ditulis sebagai * Berikutnya rata-rata harmonik adalah 1 dibagi rata-rata dari resiprok besaran tersebut, atau * Terakhir, modus atau nilai termungkin adalah suatu nilai yang paling banyak dimiliki partikel atau paling sering muncul dalam pengukuran. Secara matematis, hal tersebut bersesuaian dengan puncak kurva kerapatan, atau Perlu disampaikan di sini, bahwa, sekalipun keempat model peratarataan di atas pers 1)-4)) memiliki ekspresi yang berbeda, tetapi semuanya menghasilkan besaran dalam dimensi yang sama, yaitu dimensi besaran yang diukur. Hal ini mudah dimengerti, karena pola yang dipakai, misalnya akar dari kuadrat atau kebalikan dari resiprok, tidak merubah dimensi. Sekalipun demikian, nilai rata-rata yang didapatkan bisa saja berbeda. Mengacu pada 4 jenis peratarataan, di sini kita akan membahas 4 besaran, yaitu i) energi rata-rata pada distribusi partikel klasik, ii) laju rata-rata pada distribusi partikel klasik, iii) jarak radial atau jari-jari rata-rata elektron pada atom hidrogenik, iv) panjang gelombang ratarata pada sistem foton. Untuk itu kita memerlukan 3 sistem yang berbeda. Kasus i) dan ii) terkait dengan sistem partikel klasik, kasus iii) terkait dengan sistem distribusi elektron pada atom hidrogenik, sedang kasus iv) terkait dengan sistem partikel boson. HASIL DAN PEMBAHASAN Rata-rata langsung: kasus energi Kita mulai dengan mendiskusikan energi pada partikel klasik, di mana kerapatan peluangnya diberikan oleh fungsi peluang Maxwell-Boltzmann. Karena kita akan menghitung energi, maka dibutuhkan fungsi peluang Maxwell-Boltzmann dalam variabel energi, sebagai berikut [7]: ) Mula-mula kita hitung energi rata-rata langsung, menurut persamaan 1). ) ) Pada persamaan di atas, digunakan, di mana adalah fungsi gamma, yang nilainya adalah [6] { ) Berikutnya kita hitung nilai akar rara-rata kuadrat,
3 Abdurrouf : Bahasa energi dalam fisika dan implikasinya pada peratarataan suatu besaran fisis ) ) Mengacu pada persamaan 2), didapatkan nilai akar rata-rata kuadrat, sebagai berikut Selanjutnya dihitung rata-rata resiprok ) energinya atau respon besaran yang setara dengan energi, seperti daya dan intensitas. Dengan demikian, nilai rata-rata operasional untuk energi adalah rata-rata langsung. Model rata-rata langsung juga berlaku untuk untuk daya, intensitas, komponen energi, tegangan dan arus listrik, serta frekuensi pada osilator harmonis kuantum. Akar rata-rata kuadrat: kasus laju Kita lanjutkan dengan mendiskusikan laju pada partikel klasik. Kerapatan peluang partikel klasik menurut lajunya, didapatkan dari persamaan 5) dengan substitusi, sebagai berikut [7] ) ) ) Sekarang dapat dihitung nilai rata-rata langsung dengan menggunakan persamaan 1), Dengan menggunakan persamaan 4), didapatkan nilai rata-rata harmonik Nilai rata-rata terakhir adalah nilai energi termungkin, yang dapat dihitung ) Dengan demikian, didapatkan ) * Terlihat bahwa, semua model rata-rata energi memberikan nilai energi dalam dimensi, meskipun nilainya cukup bervariatsi, di mana. Dari semua nilai, terlihat bahwa adalah nilai yang sama dengan nilai eksperimen. Hal ini bisa dimaklumi, karena dalam pengukuran suatu sistem, yang diukur adalah respon ) ) ) ) Berikutnya nilai akar rata-rata kuadrat dapat diperoleh mensubstitusikan fungsi distribusi persamaan 10)) pada persamaan 2), sebagai berikut * * ) ) * ) ) Selanjutnya, nila rata-rata harmonik dari laju adalah
Abdurrouf : Bahasa energi dalam fisika dan implikasinya pada peratarataan suatu besaran fisis 4 * * * ) ) * ) ) Terakhir, nilai laju termungkinnya dapat diperoleh dengan cara berikut ) ) ) * Dengan demikian, didapatkan Pada akhirnya, perlu dicatat di sini bahwa: sekalipun besaran operasional untuk laju adalah akar rata-rata kuadrat, tetapi model ratarata yang lain juga memiliki kegunaan. Misalnya, rata-rata langsung dipakai untuk menghitung fluks partikel yang keluar dari suatu pinhole, di mana Ini terjadi karena pengukuran fluks biasanya dilakukan dengan melihat respon tekanannya. Rata-rata harmonik: kasus jari-jari atom Sebagai contoh ketiga, ditinjau jari-jari atom hidrogenik. Untuk kulit pertama), kerapatannya adalah [2] ) ) Dari hasil 11)-14), terlihat bahwa semua nilai rata-rata untuk laju adalah dalam orde ), meskipun besarnya bervariasi, di mana. Dari semua nilai, terlihat bahwa ) adalah nilai yang sesuai dengan nilai eksperimen. Ini bisa dimaklumi, karena dalam pengukuran suatu sistem, yang diukur adalah respon energinya. Di sisi lain, energi sebanding dengan kuadrat laju,. Dengan demikian, yang kita ukur adalah ratarata kuadrat laju, sehingga besaran operasional untuk laju adalah. Sebagai konsekuensinya, semua besaran yang kuadratnya setara dengan energi, juga memiliki rata-rata operasional dalam bentuk akar rata-rata kuadrat. Contoh besaran tersebut adalah komponen kecepatan dan ), momentum ) dan komponennya, dan ), simpangan ) pada osilator harmonis, serta tegangan dan arus listrik. Nilai akar ratarata tegangan listrik adalah Dengan menggunakan persamaan 15), dapat dihitung jari-jari kulit pertama atom hidrogen ). Nilai rata-rata langsung jari-jari pertama atom hidrogen adalah ) ) ) Selanjutnya dihitung nilai untuk jari-jari pertama atom hidrogen, sebagai berikut:
5 Abdurrouf : Bahasa energi dalam fisika dan implikasinya pada peratarataan suatu besaran fisis [ ) ] * ) * ) Selanjutnya dihitung nilai untuk jari-jari pertama atom hidrogen, sebagai berikut: Nilai termungkin: kasus panjang gelombang Sejauh ini, kita belum mendefinisikan nilai termungkin. Nilai termungkin dipakai jika kita hanya tertarik pada nilai besaran yang paling sering terjadi, atau pada puncak suatu spektrum. Contoh pemakaian nilai termungkin adalah pada penurunan hukum pergeseran Wien pada suatu radiasi elektromagnetik. Kerapatan energi radiasi elektromagnetik diberikan oleh persamaan Planck sebagai berikut [8] [ ) ] * ) * ) Terakhir, nilai laju termungkinnya dapat diperoleh dengan cara berikut ) ) ) Dengan demikian, didapatkan Dari hasil 16)-19), terlihat bahwa semua nilai rata-rata untuk jari-jari adalah dalam orde, meskipun besarnya bervariasi, di mana. Dari semua nilai, terlihat bahwa adalah nilai yang sesuai dengan nilai eksperimen. Ini bisa dimaklumi, karena dalam pengukuran suatu sistem yang diukur adalah respon energinya. Di sisi lain, energi pada suatu kulit atom berbanding terbalik terhadap jari-jarinya,. Dengan demikian, yang kita ukur adalah rata-rata, dan besaran operasional untuk adalah. Contoh besaran dengan model rata-rata yang sama adalah panjang gelombang pada osilator harmonis. Dengan demikian, kerapatan energi akan maksimum pada saat, atau [ ]. Kondisi tersebut memberi kita [ ] Dengan substitusi ), diperoleh Persamaan terakhir adalah persamaan transedental yang pemecahannya diperoleh dengan cara paling sederhana dengan merajah dua kurva, yaitu dan, dan dengan memperhatikan harga pada perpotongan kedua kurva. Hal tersebut menghasilkan. Jadi, sehingga kita dapatkan hukum pergeseran Wien dalam bentuk [8] Kegunaan lain dari nilai termungkin adalah untuk menghitung median atau nilai tengah,
Abdurrouf : Bahasa energi dalam fisika dan implikasinya pada peratarataan suatu besaran fisis 6, di mana didapatkan [5] Untuk energi,, suatu nilai yang lebih kecil dari. Hal ini menunjukkan bahwa distribusi energi condong ke kiri nilai rendah) dan memiliki ekor di sebelah kanan nilai tinggi). Hal yang sama, berlaku untuk laju ) )) dan jari-jari ) )). KESIMPULAN Sebagai kesimpulan, paper ini telah mendemonstrasikan keterkaitan nilai rata-rata suatu besaran fisis terhadap energi, sebagai salah satu respon pengukuran yang dipakai. Suatu besaran akan memiliki rata-rata operasional dalam bentuk rata-rata langsung jika besaran tersebut sebanding dengan energi, memiliki rata-rata operasional dalam bentuk akar rata-rata kuadrat jika kuadrat besaran tersebut sebanding dengan energi, dan memiliki rata-rata operasional dalam bentuk rata-rata harmonik jika invers besaran tersebut sebanding dengan energi. Sebagai tambahan, besaran termungkin dapat dipakai untuk menerangkan perilaku dengan probabilitas tertinggi, dari suatu besaran fisis. UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih disampaikan pada mahasiswa peserta mata kuliah Fisika Statistik di program S1 Fisika UB, sebagi inspirator penulisan paper ini. DAFTAR PUSTAKA [1] H. Goldstein, C. Poole, dan J. Safko, Classical Mechanics, 3 rd ed., 2001, Addison-Wesley [2] S. Gasiorowicz,, Quantum Physics, 3 rd ed., 2003, Wiley [3] R.P. Feynman, 1982, Statistical Mechanics: A Set of Lectures, The Benjamin Cummings Publishing Company, Inc. [4] B. Linder, 2004, Thermodynamics and Introductory Statistical Mechanics, Wiley-Interscience [5] M.R. Spiegel dan L.J. Stephens, 1999, Schaum s Outlines of Theory and Problems of Statistics, 3 rd ed., McGraw- Hill [6] M.L. Boas, 2005, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3 rd ed., Wiley [7] A.J. Pointon, 1967, An Introduction to Statistical Physics for Students, Longman, London [8] M.W. Zemansky dan R.H. Dittman, 1982, Heat and Thermodynamics, McGraw-Hill