AFFINE-HILL-LU CIPHER WITH MATLAB IMPLEMENTATION

Transkripsi

1 AFFINE-HILL-LU CIPHER WITH MATLAB IMPLEMENTATION Joko Eliyanto Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Ahmad Dahlan Abstract Affine Hill LU Cipher is a Cipher Technique that incorporates Affine Cipher and Hill Cipher. Affine cipher is the cipher that uses a form y = ax + b where the integers modulo a must have an inverse in Z 29. Hill cipher is the cipher that uses a key of a square matrix and that inverse for the encryption and decryption process. The incorporation of this technique is done by replacing the integer a by a square matrix invertible in Z 29 A and B is a regular square matrix. Identify matrix invertible in the Z 29 is not an easy thing. Matrices L and U is a decomposition matrix of a square matrix. L is the lower triangular matrix, so that s must be invertible matrix.so we get new form of the cipher Y = LX + U. The key matrix of this cipher is K which can be decomposed into a matrix L & U, so by a single key we can produce two other key that is L and U. By this form we expected to produce a tough and difficult to hack. To identify the decomposition Matrix L and U, also to encrypt and decrypt this cipher it s so complex. To overcome this, the technique is implemented in MATLAB (Matrix Laboratory) software to calculate the matrix accurately and efficiently. Keyword : Affine-Hill-LU Cipher, Encryption Algorithm, Decryption Algorithm, Matrix,LU Decomposition. Z 29 PENDAHULUAN Sandi Affine Pada sandi Affine, teknik persandian menggunakan fungsi berikut : e(x) = (ax + b)mod 29 a, b Z 29 Proses dekripsi dan enkripsi sesuai kriptosistem berikut : Diberikan P = C = Z 29 dan diberikan K = {(a, b) Z 29 Z 29 gcd(a, 29) = 1}. Untuk K = (a, b) K, didefinisikan Sandi Hill Sandi ini ditemukan pada tahun 1993 oleh Lester S.Hill. Diberikan m bilangan bulat positif, dan didefinisikan P = C = (Z 29 ) m. Ide dasarnya adalah untuk mengambil kombinasi linear dari karakter huruf m pada plainteks, yang selanjutnya menghasilkan karakter huruf pada cipherteks. Diberikan m 2 bilangan bulat.diberikan P = C = (Z 29 ) m dan diberikan K = {m m matriks invertible pada Z 29 }. Untuk setiap kunci K,we definisikan e K (x) = (ax + b) mod 29 d K (y) = a 1 (y b) mod 29 e K (x) = xk d K (y) = yk 1 (x, y Z 29 ) (x, y Z 29 ) THE 5 TH URECOL PROCEEDING 706 ISBN

2 Dari kedua sandi ini, disusun sebuah sandi baru yang menggabungkan keduanya yaitu sani Affine-Hill dengan keriptosistem sebagai berikut : Diberikan P = C = Z 29 dan diberikan K = {(A, B), A, B, A 1 Z 29 } dengan m adalah bilangan prima dan n Z, n 2, maka untuk setiap K = (A, B) K, didefinisikan e K (X) = (AX + B) mod 29 d K (Y) = A 1 (Y B) mod 29 A, B, A 1 Z 29 dan A adalah matriks multiplicative invertible (memiliki invers modulo padaz 29 ). Sandi ini memiliki kelemahan yaitu untuk mencari matriks kunci yang memenuhi kriteria dalam kriptosistem tersebut. Maka sandi ini dikembangkan dengan teori Matriks Dekomposisi LU, dimana sebuah matriks persegi tunggal dapat difaktorkan menjadi dua buah matriks L dan U yang kemudian menggantikan matriks kunci A dan B. HASIL DAN PEMBAHASAN Kriptosistem Sandi Affine-Hill-LU Diberikan P = C = Z 29 dan diberikan K = {(K, L, U) K, L, U, L 1 Z 29, L U matrix dekomposisi dari K} dengan m adalah bilangan prima dan n Z, n 2, maka untuk setiap K = K = (L, U) K, didefinisikan e K (X) = (LX + U) mod 29 d K (Y) = L 1 (Y U) mod 29 K, L, U, L 1 Z 29 dan L adalah matriks multiplicative invertible (memiliki invers modulo padaz 29 ). Didefinisikan L 1 = (inv mod(det(l)) Adjoint(L))(mod 29) Karakteristik Matriks Kunci K Didefiniskan Matriks K Z 29 maka k 11 k 12 k K = [ 21 k 22 k n1 k n2 k 1n k 2n ] k nn kemudian dicari matriks dekomposisi L U dengan bentuk seperti berikut: 1 0 l L = [ 21 1 l n1 l n2 u 11 u 12 0 u U = [ ] 1 u 1n u 2n ] u nn (Epperson, 20013: ). Sesuai teorema yang berbunyi : Jika A adalah matriks segitiga n n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka det(a) adalah hasil kali entri-entri diagonal utama matriks tersebut ; yaitu det(a) = a 11 a 22 a nn.(rorres, 2004: 98-99) Maka determinan matriks L = 1, karena semua elemen diagonalnya=1, maka dipastikan L invertible. Algoritma Enkripsi Affine-Hill-LU Cipher 1. Input : a. Plainteks b. Matriks Kunci K 2. Output : Cipherteks THE 5 TH URECOL PROCEEDING 707 ISBN

3 3. Langkah-langkah : a. Masukkan plainteks b. Masukkan Matriks kunci K c. Penghitungan dan pengujian dekomposisi L U dari K, apakah L L, U Z 29 d. Menguji apakah setiap L dan U anggota Z 29. e. Mengubah plainteks menjadi huruf kapital. f. Mengubah plainteks menjadi angka anggota Z 29. g. Mengecek kunci L,U adalah matriks bujur sangkar. h. Jika modulo jumlah elemen matriks plainteks dengan jumlah elemen matriks L tidak sama dengan 0, maka plainteks ditambah angka 0 sebanyak selisih dari elemen kunci dan hasil modulo tsb, dan sebaliknya. i. Mengubah bentuk matriks vector plainteks menjadi matriks. dengan ukuran kolom sama dengan jumlah elemen kunci. j. Mengubah bentuk matriks plainteks menjadi matriks dengan ukuran n m, m =kolom tergantung jumlah huruf. k. Meskripsikan matriks kunci U baru dengan jumlah kolom sama dengan plainteks. l. Mengenkripsi masing masing matriks plainteks dengan formula berikut : e K (X) = (LX + U)mod 29 m. Mengubah bentuk matriks cipher menjadi vector cipher. n. Mengubah vector cipher menjadi huruf. Algoritma Dekripsi Affine-Hill-LU Cipher 1. Input : a. Cipherteks b. Matriks Kunci K 2. Output : Plainteks 3. Langkah-langkah : a. Masukkan cipherteks b. Matriks kunci K c. Penghitungan dan pengujian dekomposisi L U dari K, apakah L L, U Z 29 d. Menguji apakah setiap L dan U anggota Z 29. e. Mengubah cipherteks menjadi huruf kapital. f. Mengubah cipherteks menjadi angka anggota Z 29 g. Mengecek kunci L,U adalah matriks bujur sangkar. h. Jika modulo jumlah elemen matriks cipherteks dengan jumlah elemen matriks L tidak sama dengan 0, maka cipherteks ditambah angka 0 sebanyak selisih dari elemen kunci dan hasil modulo tsb, dan sebaliknya i. Mengubah bentuk matriks vector cipherteks menjadi matriks dengan ukuran kolom sama dengan jumlah elemen kunci. j. Mengubah bentuk matriks cipherteks menjadi matriks dengan ukuran n m, m =kolom tergantung jumlah huruf. k. Meskripsikan matriks kunci U baru dengan jumlah kolom sama dengan cipherteks l. Menkripsi masing masing matriks cipherteks dengan formula berikut : d K (Y) = L 1 (Y U)mod 29 m. Mengubah bentuk matriks plainteks menjadi vector plainteks. n. Mengubah vector plainteks menjadi huruf. M-File Affine-Hill-LU Enkripsi_AHLU %Affine_Hill_Encrypt_Break_Plain text P=input('Masukkan Matriks Plaintetxt= ','s');%input matriks yang akan dipecah %Menghilangkan Spasi P=upper(P);%membuat kalimat menjadi huruf kapital P=real(P);%membuat karakter pada kalimat menjadi angka ASCII cp=p-65;%membuat representasi huruf a=0, b=1 dst sampai z=25 indeks_spasi=find(cp<0);%mencari spasi(nilai indeks spasi)/ spasi slalu kurang dari 0 cp([indeks_spasi])=[];%menghilan gkan elemen spasi THE 5 TH URECOL PROCEEDING 708 ISBN

4 K=input('Masukkan kunci K(HARUS MATRIKS BUJUR SANGKAR)= ');%matrik yang akan menjadi panutan pemecahan n=size(k); n=n(1,1); [L,A]=LU_factor(K,n); U=A; if ceil(l)~=l Error('Dekomposisi L bukan L=L; if ceil(u)~=u Error('Dekomposisi U bukan U=U; ukuran_kunci=size(l);%ukuran matriks kunci if ukuran_kunci(1,1)== ukuran_kunci(1,2)%cek matriks kunci bujur sangkar atau tidak m=ukuran_kunci(1,1)*ukuran_kunci (1,2);%hasil kali jumlah baris dan kolom(jumlah elemen) disp('matriks Kunci Tidak Sesuai Permintaan'); j=size(l,2); a=size(cp); a=a(1,2);%jumlah elemen matriks target if mod(a,m)==0 cp=cp; if a>m X=zeros(1,abs(mmod(a,m)));%a>m X=zeros(1,abs(amod(a,m)));%m>a cp;h=size(cp);h=h(1,2);plain=res hape(cp,m,(h/m)); n=size(plain,2);plain=reshape(pl ain,j,j*n);u=[u U U]; C=mod(L*Plain+U,29);l=size(C,1)* size(c,2);c=reshape(c,1,l); C=C+65;C=char(C);disp('Ciphertex t');disp(c); Dekripsi_AHLU %Affine_Hill_Encrypt_Break_Plain text P=input('Masukkan Matriks Cipherteks= ','s');%input matriks yang akan dipecah %Menghilangkan Spasi P=upper(P);%membuat kalimat menjadi huruf kapital P=real(P);%membuat karakter pada kalimat menjadi angka ASCII cp=p-65;%membuat representasi huruf a=0, b=1 dst sampai z=25 indeks_spasi=find(cp<0);%mencari spasi(nilai indeks spasi)/ spasi slalu kurang dari 0 cp([indeks_spasi])=[];%menghilan gkan elemen spasi K=input('Masukkan kunci (HARUS MATRIKS BUJUR SANGKAR)= ');%matrik yang akan menjadi panutan pemecahan n=size(k); n=n(1,1); [L,A]=LU_factor(K,n); U=A; if ceil(l)~=l Error('Dekomposisi L bukan L=L; if ceil(u)~=u Error('Dekomposisi U bukan U=U; ukuran_kunci=size(l);%ukuran matriks kunci THE 5 TH URECOL PROCEEDING 709 ISBN

5 if ukuran_kunci(1,1)== ukuran_kunci(1,2)%cek matriks kunci bujur sangkar atau tidak m=ukuran_kunci(1,1)*ukuran_kunci (1,2);%hasil kali jumlah baris dan kolom(jumlah elemen) disp('matriks Kunci Tidak Sesuai Permintaan'); j=size(l,2); a=size(cp); a=a(1,2);%jumlah elemen matriks target if mod(a,m)==0 cp=cp; if a>m X=zeros(1,abs(mmod(a,m)));%a>m X=zeros(1,abs(amod(a,m)));%m>a cp;h=size(cp);h=h(1,2);cipher=re shape(cp,m,(h/m));n=size(cipher, 2);Cipher=reshape(Cipher,j,j*n); U=[U U U]; K1=inverse_matix_modulo(L);C=mod (K1*(Cipher-U),29); l=size(c,1)*size(c,2);c=reshape( C,1,l);C=C+65;C=char(C); disp('plaintext');disp(c); Implementasi Enkripsi Affine-Hill-LU Cipher dengan MATLAB >> Enkripsi_AHLU Masukkan Matriks Plaintetxt= matematika uad yogyakarta Masukkan kunci K(HARUS MATRIKS BUJUR SANGKAR)= [1 2-2;2 1 2;0 0 2] Ciphertext NYTGRARXMBUAF\OENCLURVGA\GC Implementasi Dekripsi Affine-Hill-LU Cipher dengan MATLAB >> Dekripsi_AHLU Masukkan Matriks Cipherteks= NYTGRARXMBUAF\OENCLURVGA\GC Masukkan kunci (HARUS MATRIKS BUJUR SANGKAR)= [1 2-2;2 1 2;0 0 2] Plaintext MATEMATIKAUADYOGYAKARTAAAAA KESIMPULAN Dalam penelitian ini sandi Affine-Hill-LU terbukti mampu diimplementasi dengan baik, secara teoritis sandi ini lebih kuat dibandingkan sandi Affine atau Hill saja, terutama terhadap cryptanalysis dengan metode known plaintext attack dan statistical analysis karena lebih banyaknya kemungkinan ciphertext yang dihasilkan. Perbedaan masar dengan Affine- Hill biasa adalah sandi ini hanya membutuhkan kunci tunggal dengan spesifikasi tertentu sehingga sandi ini cukup sulit untuk dibuat begitu juga untuk dipecahkan. Sandi Affine- Hill-LU ini juga dapat dijadikan sebagai khasanah baru dari perkembangan sandi klasik yang sudah ada dan dapat dikembangkan dengan teori-teori lain. REFERENSI Anton Howard. Rorres Chris Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi.Edisis Kedelapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Barr, Thomas.H Invitation to Cryptology. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall,Inc. Dian Eka Wijayanti.2016 Modifikasi Tehnik Transformasi Affine dalam Kriptografi. Lembaga Penelitian dan Pengembangan Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta. Epperson James F An Introduction to Numerical Methods amd Analysis. Second Edition.New York :John Willey & Sons.Inc THE 5 TH URECOL PROCEEDING 710 ISBN

6 M.G.Vara Prasad, P.Pari Purna Chari, K.Pydi Satyam Affine Hill cipher key generation matrix of order 3 by using in an arbitrary line y=ax+b. International Journal of Science Technology and Management Vol. No 5, Issue No. 8, Agustus Hal. ( ). Schneier, B Applied Cryptography : Protocols, Algorithms, and Source Code in C. SecondEdition. New York : John Wiley & Sons, Inc. Setyaningsih Emi Kriptografi & Implementasinya menggunakan MATLAB. Yogyakarta : Penerbit Andi Stinson, R.D Cryptography Theory and Practice.Third Edition. New York: Chapman & Hall/CRC. THE 5 TH URECOL PROCEEDING 711 ISBN