ABSTRAK. Kata kunci: model regresi Poisson, Binomial Negatif, overdispersi

Transkripsi

1

2

3

4

5 Model Regresi Binomial Negatif I Sebagai Alternatif Penanganan Overdispersi Untuk Mengetahui Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Angka Kematian Pada Kanker Paru-Paru Neva Satyahadewi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tanjungpura ABSTRAK Salah satu model regresi yang sering kali digunakan untuk menganalisis data diskrit adalah model regresi Poisson. Metode regresi Poisson mempunyai asumsi equi-dispersion, yaitu kondisi dimana nilai mean dan varians dari variabel respon bernilai sama. Akan tetapi kenyataannya, seringkali dijumpai data dengan variansi dari variabel respon lebih besar dari pada nilai rataannya (overdispersi). Untuk itu digunakan model regresi Binomial Negatif I sebagai alternatif untuk mengatasi overdispersi. Model regresi Binomial Negatif I dapat untuk memodelkan faktorfaktor yang mempengaruhi angka kematian yang disebabkan oleh kanker paruparu. Kata kunci: model regresi Poisson, Binomial Negatif, overdispersi Rokok disinyalir sebagai penyebab kanker tertinggi di Indonesia. Menurut data Yayasan Kanker Indonesia (YKI), hampir 80 persen pengidap kanker paru-paru mempunyai kebiasaan merokok. Semakin banyak jumlah batang rokok yang diisap, risiko terkena kanker pun semakin tinggi. Hal ini akan menyebabkan resiko angka kematian juga akan semakin tinggi. Penggolongan resiko adalah proses dari pemodelan alternatif dengan menggolongkan resiko menurut rating factors dengan karakteristik-karakteristik yang dibentuk ke dalam rating classes. Model regresi Poisson secara luas telah banyak digunakan untuk memodelkan penggolongan resiko. Bagaimanapun, model regresi Poisson adalah suatu metode statistika yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel dependen yang dapat dihitung (data cacah/count) dengan satu atau lebih variabel independen, dimana mean dan variansinya sama. Pada prakteknya seringkali data cacah memperlihatkan variansi yang sangat besar, dimana variansi sampel lebih VOKASI, Vol.7 1 Januari 2011 ISSN Page 1

6 besar dari mean sample (overdispersion). Oleh karena itu, sasaran dari penelitian ini untuk menggunakan model regresi Negatif Binomial I sebagai satu alternatif jika terjadi kasus overdispersi. Selanjutnya, model regresi Poisson dan Negatif Binomial I dicoba, diuji dan dibandingkan pada data jumlah angka kematian yang disebabkan oleh kanker paru-paru. METODE 2.1 Model Regresi Poisson Pada regresi Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen YY ii yang menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi Poisson, diberikan sejumlah variabel independen xx 1,, xx kk. Y i mengikuti distribusi Poisson, fungsi kepadatan peluang adalah, PPPP(YY ii xx 1,, xx kk ) = ee λλ yy iiλλ ii ii, yy yy ii! ii = 0,1, (0.1) atau YY ii ~PPPPPP(λλ ii ), ii = 1,2,3,, nn. Selanjutnya, dalam regresi Poisson hubungan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk: EE[YY ii xx ii ] = λλ ii = ββ 0 + xx 1 ββ xx kk ββ kk atau dalam bentuk vektor ditulis sebagai EE[YY ii xx ii ] = λλ ii = xx TT ii ββ (0.2) Karena nilai λλ ii > 0, maka digunakan fungsi link ηη ii = exp (xx TT ii ββ) atau ηη ii = llllllλλ ii = xx TT ii ββ untuk menghubungkan λλ ii = EE[YY ii xx ii ] dengan fungsi linear xx TT ii ββ, sehingga hubungan antara λλ ii = EE[YY ii xx ii ] dan xx TT ii ββ menjadi tepat. Dengan demikian, model regresi dapat ditulis dalam bentuk: EE[YY ii xx ii ] = λλ ii = eeeeee(xx TT ii ββ), ii = 1,2,, nn (0.3) Untuk memasukkan covariates dan untuk menjamin non-negatif, mean atau fitted value diasumsikan sebagai perkalian, yaitu, EE(YY ii xx ii ) = λλ ii = ee ii eeeeee(xx TT ii ββ), (0.4) di mana e i menunjukkan ukuran paparan (exposure), x i merupakan vektor p x 1 dari variabel penjelas, dan β merupakan vektor p x 1 dari parameter regresi.

7 Untuk mengestimasi parameter-parameter dalam regresi Poisson dapat digunakan metode estimasi maksimum likelihood (MLE). Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan fungsi likelihood dari model regresi Poisson. Selanjutnya dari fungsi likelihood diambil nilai lognya sehingga diperoleh fungsi log-likelihood dari persamaan di atas sebagai berikut: nn llllll LL(ββ) = λλ ii + yy ii llllllλλ ii llllllyy ii! ii=1 nn ii=1 nn ii=1 (2.5) Kemudian persamaan (2.5) diturunkan terhadap ββ jj dan disamakan dengan nol, yaitu: l(ββ) ββ jj nn = (yy ii λλ ii )xx iiii ii=1 = 0, jj = 1,2,, pp (0.6) Sehingga persamaan (0.6) sama dengan weighted least square (WLS), estimasi likelihood maksimum, ββ, dapat diestimasi dengan menggunakan Iterative Weighted Least Squares (IWLS). 2.2 Binomial Negatif I (NB I) Diasumsikan λλ ii untuk berdisribusi gamma dengan mean EE(λλ ii ) = μμ ii dan varians VVVVVV(λλ ii ) = μμ ii 2 vv ii 1, dan YY ii λλ ii menjadi berdisribusi Poisson dengan rataan bersyarat EE(YY ii λλ ii ) = λλ ii dapat ditunjukkan bahwa distribusi marjinal YY ii mengikuti distribusi binomial negatif dengan fungsi kepadatan peluang, PPPP(YY ii = yy ii ) = Γ(yy ii + vv ii ) Γ(yy ii + 1)Γ(vv ii ) vv ii vv ii + μμ ii vv ii μμ yy ii ii (0.7) vv ii + μμ ii di mana mean EE(YY ii ) = μμ ii, dan variansi adalah VVVVVV(YY ii ) = μμ ii + μμ ii 2 vv ii 1. Parameter berbeda dapat menghasilkan berbagai jenis distribusi Binomial Negatif. -1 Misalnya, dengan mengambil v i = aap, YY ii mengikuti sebuah distribusi Binomial Negatif dengan mean E (YY ii ) = μμ ii dan variansi Var (YY ii ) = μμ ii (1 + aaμμ ii ), di mana aa menunjukkan parameter dispersi (Lawless, 1987); (Cameron & Trivedi, 1986). Sehingga persamaan (0.7) menjadi, PPPP(YY ii = yy ii ) = ΓΓ(yy ii + aa 1 ) yy ii! ΓΓ(aa 1 ) aaμμ yy ii ii (1 + aaaaii ) aa 1 (0.8) 1 + aaaa ii Jika aa sama dengan nol, mean dan variansi akan sama, E(YY ii ) = Var(YY ii ), akan menjadi distribusi Poisson. Jika aa > 0, variansi akan melebihi mean, Var(YY ii ) >

8 E(YY ii ), dan distribusi memungkinkan overdispersi. Dalam tulisan ini, distribusi akan disebut sebagai Binomial Negatif I. Untuk mengestimasi parameter ββ dan aa dalam regresi binomial negatif I dapat digunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Jika diasumsikan bahwa mean atau fitted value adalah multiplikatif, yaitu, EE(YY ii xx ii ) = μμ ii = ee ii eeeeee(xx TT ii ββ), diperoleh fungsi log-likelihood untuk regresi Binomial Negatif I sebagai berikut: nn yy ii 1 ll(ββ, aa) = llllll (1 + aaaa) yy ii log (aa) llllll(yy ii!) ii=1 rr=0 + yy ii llllll(aaμμ ii ) (yy ii + aa 1 ) llllll(1 + aaμμ ii ) (0.9) Oleh karena itu, estimasi kemungkinan maksimum, ββ, aa, dapat diperoleh dengan memaksimalkan ll(ββ, aa)terhadap ββ dan aa. Persamaan terkait adalah, dan, (ββ, aa) (ββ, aa) ββ jj nn nn = (yy ii μμ ii )xx iiii = 0, jj = 1,2,, pp, (0.10) 1 + aaμμ ii yy ii 1 ii=1 rr = 1 + aaaa + aa 2 log(1 + aaμμ ii ) (yy ii + aa 1 )μμ ii (1 + aaμμ ii ) ii=1 = 0 rr=1 (0.11) Pendekatan yang lebih mudah untuk mengestimasi adalah dengan menggunakan perkiraan yang disarankan oleh (Breslow, 1984), yaitu dengan menyamakan Pearson Chi-Square Statistic dengan derajat bebas, (yy ii μμ ii ) 2 = nn pp μμ ii (1 + aaμμ ii ) (0.12) ii di mana n menunjukkan jumlah rating classes dan p jumlah parameter regresi. Prosedur iterasi seperti yang disebutkan di atas juga dapat digunakan, kali ini menghasilkan MLE dari ββ dan estimasi moment dari aa, ββ, aa.

9 Dalam tulisan ini, ketika aa diestimasi dengan MLE, model akan disebut sebagai Binomial Negatif I (MLE). Demikian juga, ketika diestimasi dengan metode moment, model akan disebut sebagai Binomial Negatif I (moment). 2.3 Evaluasi Model Pearson Chi-Square Ukuran lain yang bisa digunakan untuk uji goodness of fit yaitu statistik Pearson Chi- Square (McCullagh & Nelder, 1989) yang didefinisikan sebagai nn XX 2 = (yy ii μμ ii ) 2 VVVVVV(YY ii ) ii=1 (0.13) Deviance Deviance yaitu logaritma dari uji rasio likelihood-nya (McCullagh & Nelder, 1989). Uji rasio likelihoodnya membandingkan current model-nya dengan saturated model-nya. Deviance dituliskan sebagai berikut: DD = 2 ll(yy; yy) ll(μμ; yy) (0.14) di mana ll(yy; yy) dan ll(μμ; yy) adalah model log likelihood yang dievaluasi masingmasing di bawah μμ dan yy. Untuk model yang memadai, D juga memiliki asimtotik distribusi chi-squre dengan n - p derajat kebebasan. Oleh karena itu, jika nilai-nilai untuk kedua Pearson Chi-Square dan D adalah dekat dengan derajat kebebasan, model dapat dianggap memadai. 2.4 AIC dan BIC Ketika beberapa model cocok, dapat membandingkan performa modelmodel alternatif berdasarkan beberapa kemungkinan langkah-langkah yang telah diusulkan dalam literatur statistik. Dua yang paling sering digunakan adalah ukuran Akaike Information Criteria (AIC) dan Bayesian Schwartz Information Criteria (BIC). AIC didefinisikan sebagai AIC = 2l + 2p (0.15) dimana l menunjukkan log-likelihood dievaluasi di bawah μ dan p jumlah parameter. Untuk ukuran ini, semakin kecil AIC, semakin baik model. BIC didefinisikan sebagai (Schwarz, 1978),

10 BIC = 2l + p log(n) (0.16) mana l menunjukkan log-likelihood dievaluasi di bawah μ, p jumlah parameter dan n jumlah rating classes. Untuk ukuran ini, semakin kecil BIC, semakin baik model. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Data Data yang digunakan dalam tulisan ini adalah data kematian yang disebabkan oleh kanker paru-paru didasarkan pada usia dan status merokok, dimana usia dikelompokkan atas 9 kelas yaitu, 40-44, 45-49, 50-54, 55-59, 60-64, 65-69, 70-74, 75-79, dan 80+. Status merokok terdiri atas 4 kelas yaitu, doesn't smoke smokes, cigars or pipe only, smokes cigarrettes and cigar or pipe, dan smokes cigarrettes only. Data bisa diakses dari Internet dengan alamat website, Tabel 3.1 menunjukkan rating factors dan rating classes untuk exposure dan klaim yang dikeluarkan. Dalam hal ini, terdapat 9 4 = 36 perkalian rating classes yang diklasifikasikan menurut angka kematian. Tabel 3.1 Rating factors dan rating classes Rating factors Rating classes Usia Status merokok No cigarpipeonly cigarretteplus cigarretteonly

11 3.2 Hasil Analisis Data Data jumlah angka kematian dimodelkan dengan menggunakan model regresi Poisson untuk mengetahui hubungan antar variabel respon dengan rating factors. Selanjutnya, untuk mengetahui pengaruh yang diberikan setiap rating factors tersebut, dilakukan analisis Deviance. Tabel 3.2 memberikan hasil analisis deviance model regresi Poisson yang memuat rating factors. Tabel 3.2 Analisis deviance model regresi Poisson untuk masing-masing rating factors Berdasarkan analisis deviance, model terbaik adalah model yang semua rating factors signifikan. Adapun program R yang digunakan sebagai berikut: Poisson<- function(smoking3) { x=as.matrix(smoking3[,-(11:12)]) X=cbind(1,x) Dead=as.vector(smoking3[,12]) x=0 Exposure=as.vector(smoking3[,11]) new.beta <- rep(c(0.001), dim(x)[2]) for (i in 1:length(Dead)) { beta=new.beta miul=exposure*exp(as.vector(x%*%beta)) W=diag(miul) I.inverse=solve(t(X)%*%W%*%X) k=(dead-miul)/miul z=t(x)%*%w%*%k new.beta=as.vector(beta+i.inverse%*%z) new.miul=exposure*exp(as.vector(x%*%new.beta)) loglikelihood=sum((dead*log(new.miul))-new.miul-lfactorial(dead)) Deviance=sum(Dead*log(Dead/miul)-(Dead-miul)) pearson=sum((dead-miul)^2/new.miul) } varians=as.vector (diag(i.inverse)) std.error=sqrt(varians) df=dim(x)[1]-dim(x)[2] n=dim(x)[1]

12 p=dim(x)[2] AIC=-2*loglikelihood+2*p BIC=-2*loglikelihood+p*log(n) coef<-c(beta) SE<-c(std.error) tstat<-coef/se pval=2*pnorm(-abs(tstat)) cat("======================================================= ==","\n") frame=data.frame(beta=c("intercept","age 45-59","age 50-54","age 60-64","age 65-69","age70-74","age75-79","age 80+","cigarPipeOnly","cigarrettePlus","cigarretteOnly"),nilai_beta=new.beta,stan dar.error=std.error,varians=round(varians,3),pval=round(pval,3)) cat("nilai estimasi beta tiap dummy","\n") print(frame,digits=2) cat("======================================================= ==","\n") cat("df =",df,"\n") cat("pearson's X^2=",pearson,"\n") cat("deviance =",Deviance,"\n") cat("log L =",loglikelihood,"\n") cat("aic =",AIC,"\n") cat("bic =",BIC,"\n") } Poisson(smoking3) Selanjutnya untuk mengetahui pengaruh yang diberikan setiap variabel penjelas dilakukan pengujian parameter. Program R yang digunakan adalah: Poisson<- function(smoking5) { x=as.matrix(smoking5[,-(12:13)]) X=cbind(1,x) Dead=as.vector(smoking5[,13]) x=0 Exposure=as.vector(smoking5[,12]) new.beta <- rep(c(0.001), dim(x)[2]) for (i in 1:length(Dead)) { beta=new.beta miul=exposure*exp(as.vector(x%*%beta)) W=diag(miul) I.inverse=solve(t(X)%*%W%*%X) k=(dead-miul)/miul z=t(x)%*%w%*%k new.beta=as.vector(beta+i.inverse%*%z)

13 new.miul=exposure*exp(as.vector(x%*%new.beta)) loglikelihood=sum((dead*log(new.miul))-new.miul-lfactorial(dead)) Deviance=sum(Dead*log(Dead/miul)-(Dead-miul)) pearson=sum((dead-miul)^2/new.miul) } varians=as.vector (diag(i.inverse)) std.error=sqrt(varians) df=dim(x)[1]-dim(x)[2] n=dim(x)[1] p=dim(x)[2] AIC=-2*loglikelihood+2*p BIC=-2*loglikelihood+p*log(n) coef<-c(beta) SE<-c(std.error) tstat<-coef/se pval=2*pnorm(-abs(tstat)) cat("======================================================= ==","\n") frame=data.frame(beta=c("intercept","age 45-59","age 50-54","age 55-54","age 60-64","age65-69","age70-74","age75-79","age80+","cigarPipeOnly","cigarrettePlus","cigarretteOnly"),nilai_beta=new. beta,standar.error=std.error,varians=round(varians,3),pval=round(pval,3)) cat("nilai estimasi beta tiap dummy","\n") print(frame,digits=2) cat("======================================================= ==","\n") cat("df =",df,"\n") cat("pearson's X^2=",pearson,"\n") cat("deviance =",Deviance,"\n") cat("log L =",loglikelihood,"\n") cat("aic =",AIC,"\n") cat("bic =",BIC,"\n") } Poisson(smoking5) Hasil estimasi parameter untuk masing-masing rating factors, dapat dilihat pada tabel 3.3. Tabel 3.3 Estimasi Parameter untuk model regresi Poisson

14 Nilai p-value untuk parameter cigarpipeonly sama dengan 0.21, nilai ini mengidentifikasikan bahwa estimasi parameter tidak signifikan. Dengan demikian nilai-nilai parameter yang tidak signifikan tersebut dikombinasikan dengan intercept. Kemudian dilakukan estimasi ulang sampai semua nilai signifikan. Jika model empat faktor yang sama dicocokan dengan model regresi binomial negatif I, estimasi parameter dan standar error akan bisa dibandingkan. Contoh program R untuk model regresi Binomial Negatif I (MLE) disajikan berikut ini: NB.mle<- function(smoking4) { x=as.matrix(smoking4[,-(9:10)]) X=cbind(1,x) Dead=as.vector(smoking4[,10]) R=Dead-1 nilai=1:max(r) sumr=0 sums=0 sumt=0 Exposure=as.vector(smoking4[,9]) new.a <- c(0.001) new.beta <- rep(c(0.001), dim(x)[2]) for (i in 1:length(Dead)) {

15 a=new.a beta=new.beta miul=exposure*exp(as.vector(x%*%beta)) W=diag(miul/(1+ a*miul)) I.inverse=solve(t(X)%*%W%*%X) k=(dead-miul)/miul z=t(x)%*%w%*%k new.beta=as.vector(beta+i.inverse%*%z) new.miul=exposure*exp(as.vector(x%*%new.beta)) Ri=R[i] r=nilai[0:ri] if (Dead[i]<1) sumr[i]=0 else sumr[i]=sum(r/(1+new.a*r)) if (Dead[i]<1) sums[i]=0 else sums[i]=sum((r/(1+new.a*r))^2) if (Dead[i]<1) sumt[i]=0 else sumt[i]=sum(log(1+new.a*r)) total1=sum(sumr)-sum(sumr[i]) total2=sum(-sums)-sum(sums[i]) total3=sum(sumt)-sum(sumt[i]) G=total1+sum((new.a^-2)*log(1+new.a*miul)-((Dead+(new.a^- 1))*miul)/(1+new.a*miul)) G.Prime=total2+sum(-2*(new.a^-3)*log(1+new.a*miul)+(2*(new.a^- 2)*miul)/(1+new.a*miul)+((Dead+(new.a^-1))*miul^2)/(1+new.a*miul)) new.a=a-g/g.prime loglikelihood=(total3+sum(-(dead*log(dead))- lfactorial(dead[i])+dead*log(new.a*miul)-(dead+(new.a^- 1))*log(1+new.a*miul))) Deviance<-2*sum(Dead*log(Dead/miul)-(Dead+(new.a^- 1))*log((1+new.a*Dead)/(1+new.a*miul))) pearson=sum((dead-miul)^2/(miul*(1+new.a*miul))) } varians=as.vector (diag(i.inverse)) std.error=sqrt(varians) df=dim(x)[1]-dim(x)[2]-1 n=dim(x)[1] p=dim(x)[2] AIC<--2*loglikelihood+2*p BIC<--2*loglikelihood+p*log(n) cat("nilai a =",a,"\n") coef<-c(beta) SE<-c(std.error) tstat<-coef/se pval<-2*pnorm(-abs(tstat)) cat("======================================================= ==","\n") frame=data.frame(beta=c("intercept","age 45-59","age 60-64","age 65-69","age 70-74","age75-79","age 80+","cigarrettePlus","cigarretteOnly"),nilai_beta=new.beta,standar.error=std.erro r,varians=round(varians,3),pval=round(pval,3))

16 cat("nilai estimasi beta tiap dummy","\n") print(frame,digits=2) cat("======================================================= ==","\n") cat("df =",df,"\n") cat("pearson's X^2=",pearson,"\n") cat("deviance =",Deviance,"\n") cat("log L =",loglikelihood,"\n") cat("aic =",AIC,"\n") cat("bic =",BIC,"\n") } NB.mle(smoking4) Perbandingan antara ketiga model tersebut dapat dilihat pada tabel 3.4. Tabel 3.4 Poisson vs Binomial Negatif I Parameter Poisson Binomial Negatif I (MLE) Binomial Negatif I (moment) est std.error p-value est std.error p-value est std.error p-value a 0,025 0,098 Intercept -2,720 0,034 0,000-2,730 0,075 0,000-2,750 0,120 0, ,380 0,059 0,000-0,340 0,127 0,008-0,300 0,210 0, ,720 0,032 0,000 0,690 0,105 0,000 0,710 0,190 0, ,070 0,033 0,000 1,070 0,104 0,000 1,080 0,190 0, ,340 0,035 0,000 1,360 0,104 0,000 1,380 0,190 0, ,630 0,041 0,000 1,640 0,106 0,000 1,660 0,190 0, ,920 0,048 0,000 1,900 0,110 0,000 1,920 0,190 0,000 cigarretteplus 0,190 0,029 0,000 0,200 0,076 0,010 0,210 0,140 0,128 cigarretteonly 0,380 0,031 0,000 0,380 0,077 0,000 0,380 0,140 0,005 df Pearson's X^ Dev iance log L Tabel. 3.4 memperlihatkan perbandingan antara model regresi Poisson dengan model regresi binomial negatif I. Parameter regresi untuk semua model memberikan nilai-nilai yang mendekati. Nilai standar error untuk model regresi Binomial Negatif I (MLE) dan Binomial Negatif I (moment) lebih besar dari Poisson. Dalam kasus ini, model terbaik adalah model regresi binomial negatif I (MLE). KESIMPULAN Pertama, analisis regresi Poisson adalah analisis regresi dimana variabel dependennya diasumsikan berdistribusi Poisson dan nilai dari variabel dependennya adalah count (cacah) dan non negatif. Sedangkan nilai untuk variabel independennya dapat saja bernilai real, cacah atau kategorik. Asumsi

17 pada regresi Poisson E(Y) = Var(Y), pada kenyataannya sering ditemukan kasus dimana E(Y) > VVVVVV(YY) maka dikatakan terjadi overdispersi, untuk mengetahui adanya overdispersi adalah dengan melihat nilai deviance yang dibagi dengan derajat bebasnya atau Pearson Chi-Square yang dibagi dengan derajat bebasnya. Model regresi Binomial Negatif I dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan overdispersi yang terjadi pada model regresi poison. Kedua, cara menguji model regresi Binomial Negatif I terbaik untuk penggolongan resiko pada jumlah klaim yaitu pengujian signifikansi parameter regresi menggunakan uji normalitas dengan melihat p-value nya. Ketiga, hasil dari beberapa contoh analisis data pada jenis data angka kematian yang disebabkan oleh kanker paru-paru menunjukkan bahwa model regresi Binomial Negatif I (MLE) merupakan model yang paling tepat digunakan untuk data yang bersifat overdispersi dibandingkan dengan model regresi Poisson. DAFTAR PUSTAKA Breslow, N. E. (1984). Extra-Poisson Variation in Log-Linear Models. Journal of the Royal Statistical Society, Blackwell Publishing for the Royal Statistical Society. Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (1986). Econometric Models Based on Count Data: Comparisons and Applications of Some Estimators and Tests. Journal of Applied Econometrics, Lawless, J. F. (1987). Negative Binomial and Mixed Poisson Regression. The Canadian Journal of Statistics, McCullagh, P., & Nelder, J. (1989). Generalized Linear Models (2nd Edition ed.). London: Chapman and Hall. Schwarz, G. (1978). Estimating the Dimension of a Model. The Annals of Statistics,