PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

Transkripsi

1 PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT Oleh, SELFIE PATTIHAHUAN NIM : TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi : Matematika, Fakultas : Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga 202 i

2

3 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR Yang bertanda tangan dibawah ini, Nama : Selfie Pattihahuan NIM : Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir, : PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT Yang dibimbing oleh:. Dr. Adi Setiawan, M. Sc 2. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si Adalah benar-benar hasil karya saya. Di dalam laporan tugas akhir ini tidak terdapat keseluruhan atau sebagian tulisan atau gagasan orang lain yang saya ambil dengan cara menyalin atau meniru dalam bentuk rangkaian kalimat atau gambar serta simbol yang saya aku seolah-olah sebagai karya saya sendiri tanpa memberikan pengakuan kepada penulis atau sumber aslinya. Salatiga, Agustus 202 Yang memberikan pernyataan Selfie Pattihahuan ii

4 PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai civitas akademika Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW), saya yang bertandatangan di bawah ini : Nama : Selfie Pattihahuan NIM : Program Studi : Matematika Fakultas : Sains dan Matematika Jenis Karya : Skripsi Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada UKSW hak bebas royalti non-eksklusif (non-exclusive royalty free right) atas karya ilmiah saya yang berjudul: PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT Beserta perangkat yang ada (jika perlu). Dengan hak bebas royalti non-ekslusif ini, UKSW berhak menyimpan, mengalihmedia/mengalihformatkan, mengolah dalam bentuk pangkalan data, merawat, dan mempublikasikan tugas akhir saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis atau pencipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Salatiga Pada tanggal : Agustus 202 Yang menyatakan, Selfie Pattihahuan Mengetahui, Pembimbing Utama, Pembimbing Pendamping, Dr. Adi Setiawan, M.Sc. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si. iii

5 PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT Oleh: SELFIE PATTIHAHUAN NIM: TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari Prasyarat untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains (Matematika) Disetujui oleh, Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping Dr. Adi Setiawan, M. Sc. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si. Diketahui oleh, Kaprogdi Disahkan oleh, Dekan Dr. Adi Setiawan, M.Sc. Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc. FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA AGUSTUS 202 iv

6 MOTTO Tetapi carilah dahulu kerajaan Allh dan kebenarannya, maka semuanya itu akan ditambahkan kepadamu. (Matius 6: 33) Serahkanlah hidupmu kepada Tuhan dan percayalah kepada-nya, dan Ia akan bertindak (Mazmur 37 : 5) Perjalanan beribu-ribu mil, dimulai dengan satu langkah kecil (Lao-tzu-filuf Cina) PERSEMBAHAN Dengan rasa hormat dan cinta, karya ini Kupersembahkan untuk: Alm. Papa tercinta, Mama dan kedua kakakku. 5

7 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena atas segala berkat dan penyertaan-nya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai persyaratan menyelesaikan Studi Stara atau S pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama yang telah dipublikasikan. Makalah yang pertama beerjudul PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika XX dengan tema Membangun Dunia Pembelajaran Matematika yang Menyenangkan, Kreatif, dan Inovatif yang diadakan oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika (HIMATIKA) FMIPA UNY pada tanggal 24 Maret 202. Namun, makalah yang pertama dirasa kurang bagi penulis dikarenakan belum adanya penjelasan tentang menghitung KDE untuk dua titik dan untuk data yang lebih banyak. Oleh karena itu, penulis menyusun lagi makalah yang kedua dengan judul STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT. Akhirnya judul makalah diatas juga dipublikasikan dalam Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA dengan tema Pemantapan Profesionalisme Peneliti, Pendidik & Praktisi MIPA untuk Membangun Insan yang Kompetitif dan Berkarakter Ilmiah yang diselenggarakan oleh FMIPA UNY pada tanggal 2 Juni 202. Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak dapat terselesaikan dengan baik tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih atas segala doa, nasihat, bimbingan dan dorongan baik materi maupun spiritual kepada :. Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Matematika. 2. Dr. Adi Setiawan, M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika dan selaku pembimbing I yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. 3. Leopoldus Ricky Sasongko, S.Si selaku pembimbing II yang juga membimbing, memberikan saran, dan mengarahkan penulis sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. 4. Dosen pengajar, Dr. Bambang Susanto, Dra. Lilik Linawati, M.Kom, Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, Didit Budi Nugroho, M.Si, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW. 5. Seluruh staf TU FSM, Pak Edy, Mbak Eny, Mas Budi, dan Mas Basuki yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis. 6

8 6. Alm. Papa, Mama tercinta yang telah memberikan kasih sayang yang tulus, nasihat, pengorbanan, doa dan dorongan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik. 7. K uce dan K boby yang telah mendoakan dan memberi motivasi kepada penulis. 8. Terima kasih kepada Usi Mar2 dan Usi Yeyen atas persahabatannya selama ini baik dalam suka maupun duka selama mengikuti kuliah bersama. Love u all. 9. Teman-teman Progdi Matematika Angkatan 2008, terima kasih atas bantuan dan kebersamaannya selama ini. 0. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang juga mendukung penulis selama penulisan skripsi ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan segala saran dan nasihat dari pembaca. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak. Salatiga, Agustus 202 7

9 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PENGESAHAN... ii LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN... iii LEMBAR PERNYATAAN BEBAS ROYALTY DAN PUBLIKASI... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v KATA PENGANTAR... vi DAFTAR ISI... vii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN... ix MAKALAH I PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT MAKALAH II STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT KESIMPULAN... x DAFTAR PUSTAKA... xi 8

10 DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN 2 LAMPIRAN 3 LAMPIRAN 4 : Data kandungan Sabun Sirih Periode September 200-Desember : Program R untuk Grafik Pengendali berdasarkan Estimasi Densitas Kernel untuk data bivariat : Program Matlab untuk Grafik pengendali berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 titk : Program R untuk Grafik pengendali berdasarkan Estimasi Densitas Kernel untuk data bivariat dengan sampel size n=00, n=500, n=000, dan n=5000, p=

11 PENDAHULUAN Di era globalisasi yang semakin kompetitif ini, para pelaku bisnis tentu menginginkan agar produknya diterima oleh konsumen dan mampu bersaing di pasaran. Salah satu faktor yang mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih suatu produk adalah kualitas produk tersebut.. Konsumen akan merasa puas apabila kualitas produk yang mereka pilih sesuai dengan harapan mereka. Tingkat kepuasan konsumen dapat tercermin pada keputusan untuk membeli produk dan melakukan pembelian ulang terhadap produk tersebut. Oleh sebab itu, masalah kualitas menjadi hal yang penting dan perlu mendapat perhatian perusahaan. Mengingat pentingnya peranan kualitas produk dalam setiap perusahaan maka pengendalian kualitas produk sangat dibutuhkan dalam suatu proses produksi untuk menjaga kestabilan kualitas. Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistic adalah grafik pengendali ( control chart). Pembuatan grafik pengendali pada umumnya selalu didasarkan pada asumsi bahwa suatu proses produksi berdistribusi normal. Namun dalam kenyataannya, karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal. Oleh karena itu, perlu dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik karena metode non-parametrik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal (Najib, 2007). Metode statistika non-parametrik dapat digunakan untuk pengujian hipotesis atau dugaan. Salah satu dugaan menggunakan metode statistika non-parametrik adalah estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation). Dalam skripsi Taungke (20) dikembangkan grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel, selanjutnya dalam skripsi ini dikembangkan grafik pengendali berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel untuk data bivariat. Skripsi ini terdiri dari dua makalah yaitu (Pattihahuan et al., 202a) dan (Pattihahuan et al., 202b). Dalam makalah (Pattihahuan et al., 202a) yang pertama digunakan data karakteristik ph dan berat jenis Sabun Sirih. Analisis yang dilakukan yaitu membangun grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat. Pada data bivariat dapat dicari batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Selanjutnya berdasarkan data bivariat kemudian dibangun grafik pengndali untuk mengetahui titik-titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh atau titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control). Makalah yang kedua (Pattihahuan et al., 202b) membahas tentang studi simulasi grafik pengendali berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat. Data yang digunakan adalah dua titik sampel bivariat dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran sampel (sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dari studi simulasi 0

12 diperoleh hasil proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of significance) 0, 0027.

13 TAMBAHAN PEMBAHASAN Dalam makalah (Pattihahuan et al., 202a) digunakan data karakteristik ph dan berat jenis Sabun Sirih. Analisis yang dilakukan yaitu membangun grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat. Pada data bivariat dapat dicari batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Selanjutnya berdasarkan data bivariat kemudian dibangun grafik pengndali untuk mengetahui titik-titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) dengan tingkat signifikansi (level of significance) α= Dimana, jika level titik sampel lebih kecil dari level batas spesifikasi kernel maka titik sampel tersebut dinyatakan out of control. Berdasarkan batas tersebut, terdeteksi satu titik sampel yang berada di luar kendali (out of control) yaitu titik sampel ke-26 yang berada pada koordinat (3.86, ) dengan level , karena level titik sampel ke-26 lebih kecil dari level kernel maka titik sampel ke-26 dinyatakan out of control. Makalah yang kedua (Pattihahuan et al., 202b) membahas tentang studi simulasi grafik pengendali berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat. Data yang digunakan adalah dua titik sampel bivariat yang dipilih secara sembarang yaitu x,2, x 3,4 menggunakan matriks bandwidth identitas 2 dengan 0 H dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan 0 dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran ampel ( sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dalam makalah ini menekankan pada proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of significance) 0, Berdasarkan hasil penelitian diperoleh level (nilai estimasi densitas kernel) adalah dengan tingkat signifikansi α= Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur yaitu titik sampel ke-59 yang berada pada koordinat (2.2509, ) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.067, ) dengan level adalah Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda ditunjukkan dalam Tabel. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=000, n=500 dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai 0,0027. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan kesalahan dalam proses produksi. 2

14 3

15 PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT Selfie Pattihahuan, Adi Setiawan, Leopoldus Ricky Sasongko Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro Salatiga 507, Abstrak Pengendalian kualitas memiliki peranan penting dalam meningkatkan penjualan produk. Salah satu metode statistik yang digunakan dalam mengendalikan produk adalah penggunaan grafik pengendali. Kualitas suatu produk biasanya ditentukan oleh lebih dari satu karakteristik. Jika dipunyai dua karakteristik (bivariat) maka dapat dibuat grafik pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Dimana dari data bivariat dapat dicari nilai estimasi densitas kernel bivariat (kernel density estimation) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Penelitian ini akan menggunakan data bivariat karakteristik ph dan berat jenis Sabun Sirih dari perusahaan B selama bulan September sampai dengan Desember 200. Pada grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat diperoleh batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) dengan tingkat signifikansi (level of significance) α= Berdasarkan batas tersebut, terdeteksi satu titik sampel yang berada di luar kendali (out of control) yaitu titik sampel ke-26 yang berada pada koordinat (3.86, ) dengan level Kata kunci : estimasi densitas kernel (kernel density estimation), grafik pengendali.. Pendahuluan Perkembangan industri di tanah air, menyebabkan terjadinya persaingan yang cukup ketat antar perusahaan dalam menarik perhatian konsumen untuk menggunakan produk yang dihasilkan oleh perusahaan tersebut. Salah satu faktor yang mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih suatu produk adalah kualitas produk tersebut. Mengingat pentingnya peranan kualitas produk dalam setiap perusahaan maka pengendalian kualitas produk sangat dibutuhkan dalam suatu proses produksi untuk menjaga kestabilan kualitas. Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dan yang standar (Montgomery, 990). Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali (control chart). Pembuatan grafik pengendali pada umumnya selalu didasarkan pada asumsi bahwa suatu proses produksi berdistribusi normal. Namun dalam kenyataannya, karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal. Oleh karena itu, perlu dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik karena metode non-parametrik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal (Najib, 2007). 4

16 Metode statistika non-parametrik dapat digunakan untuk pengujian hipotesis atau dugaan. Salah satu dugaan menggunakan metode statistika non-parametrik adalah estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation) yang akan diterapkan pada kandungan Sabun Sirih A pada perusahaan B. Data dalam penelitian ini terdiri dari dua jenis variabel yaitu kadar ph dan berat jenis Sabun Sirih, selanjutnya akan dicari estimasi fungsi densitas kernel dari kedua variabel tersebut kemudian dibuat dalam suatu grafik pengendali. Dalam makalah ini akan dibahas tentang bagaimana menerapkan grafik pengendali nonparametrik berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel untuk data bivariat. Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan kernel untuk data bivariat dan mengidentifikasi titik sampel yang berada di luar grafik pengendali. 2. Dasar Teori 2. Grafik Pengendali Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 990). Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama. Dalam pembuatan grafik pengendali bivariat dapat menggunakan metode Hotteling T 2 yaitu grafik pengendali bivariat berbentuk elips, untuk lebih lengkapnya dapat dilihat pada Darmawan (200). 2.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang probabilitas sebaran data. Dalam statistik, estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB ). Misalkan suatu sampel bivariat X, X 2,..., X n yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi densitas kernelnya adalah n x ; H n K x fˆ () i H X i dengan X, X 2,...,X n adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth, x x T x 2 X X T untuk i =, 2,...., n. Dalam hal ini x H 2 K H 2 x X, i i i2 K H, dan dan 5

17 2 h h2 H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite posititive) artinya 2 h2 h2 2 2 semua eigen valuenya positif dengan h X, h X dan covx i X Dalam hal ini T K x var i 2 var i 2 exp x x adalah kernel normal standard bivariat. 2 2 h. 2, Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada Chacon (2009) dan Tarn Duong (2003). i2 3. Metode Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder pada proses produksi Sabun Sirih pada bulan September 200 sampai dengan Desember 200 sebanyak 200 titik sampel. Adapun karakteristik kualitas produk Sabun Sirih A yang digunakan dalam penelitian ini antara lain kadar ph dengan batas spesifikasi perusahaan adalah dan berat jenis dengan batas spesifikasi perusahaan adalah Langkah langkah dalam analisis data dijabarkan sebagai berikut : Mencari nilai H bandwidth optimal dari data karakteristik produk sabun sirih A dengan menggunakan packages ks pada software R Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data karakteristik produk sabun sirih A berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang berada di luar kendali (out of contol). 4. Analisis dan Pembahasan 4. Grafik Pengendali Bivariat Berdasarkan Spesifikasi Perusahaan Perusahaan telah menetapkan standar spesifikasi atau batasan nilai untuk masing-masing karakteristik kualitas produk. Produk dianggap cacat jika tidak memenuhi batas spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan. Batas spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan untuk kadar ph Sabun Sirih adalah sedangkan untuk berat jenis Sabun Sirih adalah Dari data diperoleh semua titik sampel berada dalam batas spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan. Data produksi Sabun Sirih dengan menggunakan batas spesifikasi perusahaan ditunjukan pada Gambar. 6

18 Berat Jenis Gambar. Grafik pengendali bivariat produk Sabun Sirih dengan batas spesifikasi ph perusahaan 4.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat Untuk Data Sabun Sirih Untuk menentukan nilai estimasi fungsi densitas kernel bivariat yang optimal maka kita perlu menentukan terlebih dahulu nilai H optimal untuk matriks bandwidth yang positif definit pada data Sabun Sirih dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE). Dengan bantuan packages ks pada software R diperoleh matriks bandwidth optimal pada data Sabun Sirih yaitu H dengan eigen value , sehingga bandwidth H positif definit. Informasi lebih lanjut tentang penentuan H bandwidth dapat dilihat pada WEB 2. Selanjutnya, dihitung nilai estimasi densitas kernelnya dengan menggunakan persamaan (). Nilai estimasi fungsi densitas kernel dapat ditunjukan pada Gambar 2 dan 3. 7

19 Density function Ph Gambar 2. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 25 EL 25 bandwidth optimal Gambar 2 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 25 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat. Berat Jenis Gambar 3. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL 25 bandwidth optimal 8

20 Gambar 3 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horisontal (azimuth) 250 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat. Dari data Sabun Sirih di atas dapat dibuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat yang ditunjukkan pada Gambar 4. Gambar 4 memperlihatkan perbandingan antara grafik pengendali berdasarkan batas spesifikasi perusahaan dan batas spesifikasi yang diperoleh berdasarkan estimasi densitas kernel. Pada Gambar 4 kontur merah menunjukan batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) dengan tingkat signifikansi α= sehingga setiap titik sampel yang berada di dalam kontur merah dianggap terkendali. Sebagai contoh, akan dihitung level untuk titik sampel ke-. Data karakteristik produk untuk titik sampel ke- dinyatakan dalam x menggunakan persamaan di bawah ini, dihitung nilai. Dengan f x; H n n i 2 H e i 2 T xx H x X i f x ; H i e 4 6 T X i X i diperoleh level pada titk sampel ke- adalah , sehingga dapat disimpulkan bahwa titk sampel ke- masih berada dalam kontur karena levelnya lebih besar dari batas level Gambar 4 menunjukan dari data Sabun Sirih terdapat satu titik sampel yang out of control atau berada di luar batas spesifikasi yaitu titik sampel ke-26 yang berada pada koordinat (3.86, ) dengan level karena level dari titik sampel ke-26 lebih kecil dari batas level Hal itu berarti dapat dihitung level untuk setiap titik sampel sehingga dapat diidentifikasi titik sampel yang berada di dalam kontur dan yang di luar kontur. 9

21 Berat Jenis ph Gambar 4. Grafik pengendali bivariat Sabun Sirih berdasarkan batas perusahaan dan estimasi densitas kernel 5. Kesimpulan Melalui pembahasan di atas dapat disimpulakan bahwa dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Selanjutnya berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control. 6. Daftar Pustaka Chacón, J.E. and Duong, T Multivariate plug-in bandwidth selection with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari Darmawan Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T 2 Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Montgomery, Douglas C Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Najib, Mohammad Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, Januari

22 Tarn Duong and Martin L. Hazelton Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal Diunduh pada Minggu, 3 Januari [WEB ] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus [WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus

23 2. Grafik Pengendali Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 990). Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama. 2.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB). Misalkan suatu sampel bivariat X,...,, X 2 X n yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi densitas kernelnya adalah fˆ n x; H n K x i H X i x x, x2 dengan X, X 2,...,X n adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth, T X X T untuk i =, 2,...., n. Dalam hal ini x H 2 K H 2 x X, i i i2 K H dan dan 2 h h2 H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite positive) dengan 2 h2 h2 2 2 h X, h X dan covx i X K var i 2 var i T x 2 exp x x 2 h. Dalam hal ini 2, adalah kernel normal standard bivariat. 2 Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada Tarn Duong dan Martin L. Hazelton (2003). i2. Metode Penelitian Dalam penelitian ini digunakan langkah-langkah yang dijelaskan sebagai berikut: 22

24 Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel Membangkitkan data simulasi bivariat dari distribusi normal bivariat N dengan rumus p N 4, 25 dengan bobot 0<p< dan matrik kovarians 8 pn, Jika digunakan ukuran sampel (sample size) n=500 dengan p=0.5. Mencari nilai H bandwidth optimal dari data simulasi dengan menggunakan packages ks pada software R Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang out of control. Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=000, n=500 dan p=0.5. Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0., p= Analisis dan Pembahasan 4. Estimasi Kernel Densitas Bivariat dari Dua Titik Jika dipunyai dua titik sembarang x,2 dan 3,4 x dan dengan menggunakan 0 matriks bandwidth identitas H maka estimasi densitas kernel dapat digambarkan dengan 0 grafik 3 dimensi pada Gambar dan 2. Gambar adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 20 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat, sedangkan Gambar 2 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 60 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat. 2 Gambar. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 20 EL 25 23

25 Gambar 2. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 60 EL 25 Berdasarkan estimasi densitas kernel dapat dibuat grafik pengendali bivariat untuk 2 titik yang ditunjukan pada Gambar 3. Kurva garis putus-putus menunjukkan batas grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel. Gambar 3. Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 Titik 4.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Untuk Data Simulasi Untuk memberikan gambaran, pada simulasi ini, dibangkitkan data acak bivariat dari distribusi normal p N 4, 25 8 pn, 20 dengan bobot 0<p< dan matrik kovarians Pemilihan rata-rata distribusi bivariat normal yaitu (4,25) T dan (8,20) T dan matriks kovariansi hanya untuk memberikan gambaran simulasi. Jika digunakan ukuran sampel (sample size) n=500 dengan p=0.5 dan dengan bantuan packages ks pada software R diperoleh matriks bandwidth optimal adalah H

26 dengan eigen value , Selanjutnya, berdasarkan data hasil simulasi tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernel dengan menggunakan persamaan (). Nilai estimasi fungsi densitas kernel untuk data simulasi yang dibangkitkan dapat ditunjukan pada Gambar 4. Terlihat kurang lebih separuh titik membentuk bukit pertama sedangkan separuh titik yang lain membentuk bukit kedua. Hal ini sesuai dengan yang diharapkan karena menggunakan bobot p=0.5. Gambar 4. Grafik estimasi densitas kernel bivariat untuk data simulasi Dengan p=0.5 untuk n= 500 Berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat pada Gambar 4, dapat dibuat grafik pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 5. Kontur merah menunjukan batas spesifikasi dengan tingkat signifikansi α= yang bersesuaian dengan level (nilai estimasi densitas kernel) adalah Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur yaitu titik sampel ke-59 yang berada pada koordinat (2.2509, ) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.067, ) dengan level adalah Gambar 5. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel 25

27 untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 500 Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda ditunjukkan dalam Tabel. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=000, n=500 dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai 0,0027. Untuk grafik pengendali bivariat dengan banyak sampel (sample size) n=000 dan n=500 ditunjukkan pada Lampiran. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan kesalahan dalam proses produksi. Hasil yang analog bisa diperoleh untuk penganbilan bobot p yang lain sebagai contoh p=0., p=0.8. n Tabel. Tabel hasil simulasi untuk berbagai macam n Level Banyaknya titik sampel yang out of control Proporsi out of control Kesimpulan Dalam makalah ini dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel dan untuk banyaknya sampel dengan n yang berbedabeda sehingga dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik-titik sampel yang out of control. 5. Daftar Pustaka Chacón, J.E. and Duong, T Multivariate plug-in bandwidth selection with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari Montgomery, Douglas C Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Najib, Mohammad Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, Januari

28 Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko Penerapan Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 202. Tarn Duong and Martin L. Hazelton Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal Diunduh pada Minggu, 3 Januari [WEB ] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus [WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus Lampiran : Grafik Pengendali Bivariat Untuk n=000, n=500 dengan p=0.5 Gambar 6. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 000 hasil[,2] hasil[,] 27

29 KESIMPULAN Berdasarkan kedua makalah (Pattihahuan et al., 202a) dan (Pattihahuan et al., 202b) dapat disimpulkan :. Dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali bivariat dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel bivariat. Selanjutnya berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel bivariat dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control. 2. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontrol yaitu titik sampel ke-59 yang berada pada koordinat (2.2509, ) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.067, ) dengan level adalah Telah dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat untuk dua titik sampel dan untuk sampel berukuran n dengan n=500,n=000, n=500 sehingga diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai 0,

30 DAFTAR PUSTAKA Chacón, J.E. and Duong, T Multivariate plug-in bandwidth selection with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari Darmawan Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T 2 Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Montgomery, Douglas C Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Najib, Mohammad Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, Januari Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 202a. Penerapan Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 202. Pattihahuan, Selfie. Setiawan, A. & Sasongko, L Ricky.. 202b. Studi Simulai Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XXI UNY tanggal 2 Juni 202. Tarn Duong and Martin L. Hazelton Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal Diunduh pada Minggu, 3 Januari [WEB ] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus [WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus

31 Lampiran : Data Sabun Sirih Periode September 200-Desember 200 Sampel ke ph Berat Jenis Sampel ke ph Berat Jenis Sampel ke ph Berat Jenis

32 Lampiran (Lanjutan) Sampel ke ph Berat Jenis Sampel ke ph Berat Jenis Sampel ke ph Berat Jenis

33 Lampiran 2 : Program R untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat #Packages ks (dapat diunduh di cran.r.project.org) yang diinstal terlebih dahulu di R #Input data Data berat jenis (Xt) dan ph(yt) >Xt<-c( ,3.800,3.7700,3.7900,3.7800,3.7300,3.7700,3.800,3.9000,3.8500,3.8500,3.6700,3.8200, ,3.6900, ,3.8400,3.8200,3.800,3.8400, ,3.8000,3.8500,3.8200,3.7800,3.8700,3.8500,3.8900,3.8700, ,3.7000,3.7000,3.6800,3.7000,3.7600,3.7500,3.6600,3.6400,3.700,3.7300,3.7000,3.7200, ,3.8400, ,3.8600,3.8800,3.8400,3.9000, ,3.8000,3.800,3.7900,3.8000,3.800,3.8500,3.8000,3.7900,3.7300,3.8000, ,3.8300,3.8400,3.8300,3.8300,3.8400,3.8200,3.8300,3.8400,3.8900,3.9000,3.8300,3.9000, ,3.7400, ,3.8300,3.8200,3.800, ,3.8000,3.800,3.7500,3.8400,3.700,3.6900,3.6800,3.700,3.7900,3.800,3.7400,3.7500, ,3.7200, ,3.7700,3.6900,3.6700,3.7300,3.800, ,3.6500,3.7000,3.7600,3.6700,3.6700,3.6700,3.6900,3.6200,3.6800,3.6700,3.800,3.7200,3.7 00,3.7400, ,3.7900,3.7800,3.8600,3.8000, ,3.7300,3.7700,3.7800,3.7800,3.8600,3.7900,3.7200,3.6700,3.7700,3.7400,3.7600,3.9000, ,3.7900, ,3.7200,3.7500,3.7700,3.8500, ,3.7700,3.7600,3.7900,3.800,3.8400,3.8400,3.7700,3.8600,3.8200,3.8700,3.8400,3.8700,3.8 00,3.8300, ,3.700, ,3.7900,3.7300,3.9000,3.6500,3.7700,3.7800,3.6300,3.8600,3.6900,3.6300,3.7000,3.7300, ,3.6700, ,3.6300,3.6900,3.600, ,3.8000,3.8000,3.8300, ,3.6500,3.7400,3.600,3.8000,3.7800,3.7500,3.8500,3.7700,3.7900,3.800,3.8000,3.8700, ,3.8200, ,3.7800,3.7500,3.6400,3.800) >Yt<-c( 32

34 .0009,.0029,.0024,.002,.0024,.0029,.0025,.0027,.0027,.000,.00,.0020,.0029,.00 6,.002,.007,.0005,.0005,.0023,0.9993,.007,.0034,.006,.0024,.0022,.0036,.0038,.002,.007,.0036,.004,.0038,.0032,.0028,.0024,.003,.0042,.0037,.0049,.0025,.0035,.0037,.00 9,.000, ,.0005,.0067,.0038,.006,.0027,.0029,.0032,.0032,.003,.003,.0030,.0035,.0037,.003,.0027,.002,.0032,.0030,.0024,.0028,.0026,.0034,.0025,.0022,.0023,.0095,.003,.0026,.00 2,.0032,.0030,.0025,.0027,.0030,.0039,.0033,.0025,.0042,.0037,.008,.0039,.0033,0.9985,.006,.0024,.0025,.0025,.00 30,.0028,.0035,.0026,.004,.0027,.002,.0027,.0076,.0080,.0036,.0042,.0029,.0029,.0040,.003,.0028,.0025,.0030,.0026,.0024,.00 32,.003,.003,.0035,.0024,.003,.0025,.005,.0029,.0027,.0029,.0020,0.9867,.003,.0026,0.9976,.0040,.0045,.0030,.0047,.00 33,.0030,.0028,.0032,.0024,.02,.0002,.003,.0038,.0036,.0032,.0035,.0082,.0026,.0032,.0022,.0034,.0037,.0032,.0028,.00 07,.0024,.006,.0020,.0032,.0037,.005,.0032,.0028,.0038,.0026,.0025,.0023,.0026,.0032,.0026,.0006,.00 02,.0035,.0028,.002,.0025,.0023,.0032,.008,.002,.0029,.002,.003,.0024,.002,.0022,.0032,.0036,.0029,.0027,.0028,.0034,.0036,.0029,.00 28,.0050,.008,.0020,.0025,.025,.0024) #Buat data bivariat seli=[xt Yt] > seli <- cbind(xt,yt) #Gambar dari data asli bivariat seli > plot(seli,xlab="ph",ylab="berat Jenis") 33

35 #Grafik pengendali berdaarkan spesifikasi Perusahaan dan spesifikasi kernel #Panggil (load) packages ks >library(ks) >H<-Hpi(seli) #matriks H bandwidth optimal dari data bivariat >H >eigen(h) # nilai eigen dari data bivariat >fhat <- kde(seli, H=H) >lev <- contourlevels(fhat,prob=c( )) #level (nilai etimasi densitas kernel) >lev >plot(fhat,display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="ph",ylab="beratjenis",ylim=c(0.98,.03),xli m=c(3.4,4)) >points(seli,cex=0.5,pch=6) >lines(u,rep(0.9834,length(u)),lty=2) >lines(u,rep(.0227,length(u)),lty=2) >lines(rep(3.5,length(v)),v,lty=2) >lines(rep(3.9,length(v)),v,lty=2) >win.graph() # Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 25 EL 25 bandwidth optimal >plot(fhat,display="persp",border=na,shade=0.3,main="",theta=25,phi = 25,xlab="Ph",ylab="Berat Jenis") >win.graph() # Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL 25 bandwidth optimal >plot(fhat,display="persp",border=na,shade=0.3,main="",theta=250,phi = 25,xlab="Ph",ylab="Berat Jenis") > fhat.hitung <- function(x,h,data) { bantu <- 0 n <- dim(data)[] for (i in :n) { bantu <- bantu + (/n)*dmvnorm(x,mean=data[i,],sigma=h) } return(bantu) } 34

36 hasil <- numeric(200) >for (i in :200) hasil[i] <- fhat.hitung(seli[i,],h,seli) >sum(hasil<lev) #berapa banyak data diluar contol >which(hasil<lev) #data mana yang berada diluar control >lev # level (nilai estimasi densitas kernel) >seli[26,] #koordinat data yang di luar control >hasil[26] #level data yang di luar control >min(hasil) #data diluar control = data yang memiliki level paling minimum 35

37 Lampiran 3: Program Matlab untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas bivariat 2 Titik function KDE = KDE2(X,H,p,q) [x,y] = meshgrid(min(x(,:))-8:.05:max(x(,:))+8, min(x(2,:))-8:.05:max(x(2,:))+8); n=length(x(:,)); a=h(,); b=h(2,); c=h(2,2); rho=b/(sqrt(c)*sqrt(a)); %korelasi help = zeros(); for i = :n Q=(/(-rho^2))*((x-X(i,)).^2/a); Q2=(/(-rho^2))*((y-X(i,2)).^2/c); Q3=(2*rho)*(/(-rho^2))*((x-X(i,)).*(y-X(i,2))/sqrt(a*c)); Q=Q-Q3+Q2; help = help + ((det (H))^-0.5)*(/2/pi)*exp(-Q/2); end Kernel=help/n; mesh(x,y,kernel) %view(q, p) %figure(2) %hold on contour(x,y,kernel,[ ],'-.') xlabel('hasil ') ylabel('hasil 2') hold on plot(x(:,),x(:,2),'b*') hold off % q sudut rotasi horisontal, p sudut elevasi vertikal) % MESH(X,Y,Z,C) gambar parametrik berwarna mesh didefinisikan oleh 4 Matiks. % Sudut pandang secara spesifik dapat dilihat dengan view(az,el) % [X,Y] = MESHGRID(x,y) merubah bentuk bidang dari x dan y ke dalam % X dan Y yang dapat digunakan untuk evaluasi fungsi dari 2 variabel % dan gambar permukaan 3 dimensi 36

38 Lampiran 4 : Program R untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat dengan sampel size n=500, n=000, dan n=500, p=0.5 #Panggil (load) package mvtnorm. Untuk data n = 500 sim <- function(n,p) { hasil <- matrix(0,n,2) x <- rmvnorm(n,c(4,25), sigma=matrix(c(,0.5,0.5,),2,2)) y <- rmvnorm(n,c(8,20), sigma=2*matrix(c(,0.5,0.5,),2,2)) for (i in :n) { r <- runif() if (r < p) hasil[i,] <- x[i,] else hasil[i,] <- y[i,] } return(hasil) } hasil <- sim(500,0.5) >win.graph() >plot(hasil) #Panggil (load) package ks >library(ks) >H<-Hpi(hasil) >H >eigen(h) >fhat <- kde(hasil, H=H) >lev <- contourlevels(fhat,prob=c( )) >win.graph() >plot(fhat, display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="data ",ylab="data 2") >points(hasil,cex=0.5,pch=6) >win.graph() >plot(fhat, display="persp", border=na, shade=0.3,xlab="data ",ylab="data 2") fhat.hitung <- function(x,h,data) { bantu <- 0 n <- dim(data)[] for (i in :n) { bantu <- bantu + (/n)*dmvnorm(x,mean=data[i,],sigma=h) } return(bantu) } >has<- numeric(500) >for (i in :500) has[i] <- fhat.hitung(hasil[i,],h,hasil) # Mengetahui data di luar control >sum(has<lev) >which(has<lev) >lev 37

39 2. Untuk n = 000 sim <- function(n,p) { hasil <- matrix(0,n,2) x <- rmvnorm(n,c(4,25), sigma=matrix(c(,0.5,0.5,),2,2)) y <- rmvnorm(n,c(8,20), sigma=2*matrix(c(,0.5,0.5,),2,2)) for (i in :n) { r <- runif() if (r < p) hasil[i,] <- x[i,] else hasil[i,] <- y[i,] } return(hasil) } hasil <- sim(000,0.5) win.graph() plot(hasil) #Panggil (load) package ks >library(ks) >H<-Hpi(hasil) >H >eigen(h) >fhat <- kde(hasil, H=H) >lev <- contourlevels(fhat,prob=c( )) >win.graph() >plot(fhat, display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="data ",ylab="data 2") >points(hasil,cex=0.5,pch=6) >win.graph() >plot(fhat, display="persp", border=na, shade=0.3,xlab="data ",ylab="data 2") fhat.hitung <- function(x,h,data) { bantu <- 0 n <- dim(data)[] for (i in :n) { bantu <- bantu + (/n)*dmvnorm(x,mean=data[i,],sigma=h) } return(bantu) } >has<- numeric(000) >for (i in :000) has[i] <- fhat.hitung(hasil[i,],h,hasil) # Mengetahui data di luar control >sum(has<lev) >which(has<lev) >lev 38

40 3. Untuk n = 500 sim <- function(n,p) { hasil <- matrix(0,n,2) x <- rmvnorm(n,c(4,25), sigma=matrix(c(,0.5,0.5,),2,2)) y <- rmvnorm(n,c(8,20), sigma=2*matrix(c(,0.5,0.5,),2,2)) for (i in :n) { r <- runif() if (r < p) hasil[i,] <- x[i,] else hasil[i,] <- y[i,] } return(hasil) } >hasil <- sim(500,0.5) >win.graph() >plot(hasil) #Panggil (load) package ks >library(ks) >H<-Hpi(hasil) >H >eigen(h) >fhat <- kde(hasil, H=H) >lev <- contourlevels(fhat,prob=c( )) >win.graph() >plot(fhat, display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="data ",ylab="data 2") >points(hasil,cex=0.5,pch=6) >win.graph() >plot(fhat, display="persp", border=na, shade=0.3,xlab="data ",ylab="data 2") fhat.hitung <- function(x,h,data) { bantu <- 0 n <- dim(data)[] for (i in :n) { bantu <- bantu + (/n)*dmvnorm(x,mean=data[i,],sigma=h) } return(bantu) } >has<- numeric(500) >for (i in :500) has[i] <- fhat.hitung(hasil[i,],h,hasil) # Mengetahui data di luar control >sum(has<lev) >which(has<lev) >lev 39