Analisis Numerik Perilaku Buckling pada Kolom Batang Akibat Kompresi Axial

Transkripsi

1 LAPORAN RBL FISIKA KOMPUTASI Analisis Numerik Perilaku Buckling pada Kolom Batang Akibat Kompresi Axial Anggita Putri Sumarna, Ridho Muhammad Akbar, Qiva Chandra Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2015 Abstrak Pada tahun 1757, matematikawan asal Prancis, Leonhart Euler, mengajukan suatu model yang menjelaskan respon suatu batang terhadap beban kompresif axial. Batang yang diberikan beban secara axial disebut dengan kolom batang. Euler berhasil menemukan bahwa ada nilai beban maksimum yang mampu diterima oleh kolom sebelum akhirnya kolom mengalami buckling atau pembengkokan, disebut beban kritis. Pada karya ilmiah ini, nilai beban kritis akan dihitung secara numerik dengan metode penyelesaian persamaan diferensial iterasi Euler dikombinasikan dengan shooting method yang telah dimodifikasi. Metode yang sama juga akan digunakan untuk menyelidiki efek penambahan fiber pada material komposit terhadap dya tahan material komposit terhadap buckling. Hasil perhitungan numerik menunjukkan tingkat ketelitian yang baik dengan nilai error hanya sebesar 0.109% dari hasil perhitungan analitik. Hasil pemodelan juga menunjukkan bahwa penambahan fiber Ni sebesar 20% ke dalam material alumunium mampu meningkatkan daya tahan Alumunium terhadap buckling sampai 57%. kata kunci: Bending, Elastisitas, Modulus Young 1

2 1 Pendahuluan Pada tahun 1757, matematikawan asal Prancis, Leonhart Euler, mengajukan suatu model yang menjelaskan respon suatu batang terhadap beban kompresif axial. Batang yang diberikan beban secara axial disebut dengan kolom batang. Euler berhasil menemukan bahwa ada nilai beban maksimum yang mampu diterima oleh kolom sebelum akhirnya kolom mengalami buckling atau pembengkokan, disebut beban kritis. Pemberian beban di atas nilai beban maksimum ini akan mengakibatkan kegagalan pada kolom atau kolom rusak dan struktur yang disanggah oleh kolom akan mengalami keruntuhan. Model yang diajukan oleh Euler ini dkemudian dikenal dengan nama Euler Buckling. Euler Buckling sebenarnya tidak menjelaskan secara keseluruhan mengenai peristiwa pembengkokan kolom akibat beban kompresif axial. Namun model Euler ini berhasil memberikan gambaran yang sangat baik mengenai beban maksimum yang mampu ditahan oleh kolom sebelum akhirnya kolom mengalami kegagalan. Banyak model-model lain yang menjelaskan pembengkokan kolom dengan lebih baik dan tetap mendekati hasil perhitungan beban kritis Euler. Dalam karya ilmiah ini, akan disajikan simulasi respon kolom terhadap beban kompresif axial. Dari simulasi ini, nilai beban kritis yang mampu ditahan oleh batang akan dapat dihitung seacara numerik yang kemudian akan diverifikasi dengan nilai perhitungan beban kritis persamaan Euler Buckling. Dalam simulasi ini, dapat dilakukan juga analisis terhadap sifat batang yang tidak homogen, melainkan batang yang merupakan material komposit. Dengan mensimulasikan proses buckling pada komposit, maka nilai modulus Young komposit dapat diestimasi. 2 Dasar Teori Buckling - Dalam peristiwa buckling kolom akan terdeformasi sesuai dengan keadaan ujung-ujungnya seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1. Pada karya ilmiah ini akan ditinjau kasus contoh (b) dimana kedua ujung kolom ditahan konstan namun bebas terdeformasi. Keadaan (b) ini adalah keadaan yang paling umum dimana kasus-kasus yang lain dapat disederhanakan dengan model pined-pined end ini. Tinjau diagram gaya seperti pada gambar 2. Batang mengalami kompresi 1D oleh gaya pada arah sumbu x sehingga mengalami buckling dengan simpangan sebesar ψ. Berdasarkan hukum Hook, hubungan antara tegangan (σ) dan regagangan (ɛ) dinyatakan dengan persamaan (1). σ xx = ɛ x E (1) ɛ x = ψ ρ (2) dimana E adalah modulus Young dan ρ adalah radius of curvature yang dinyatakan dengan 2

3 Gambar 1: Beberapa kondisi ujung-ujung batang saat mengalami buckling. (a) Clamped - Free, (b) Pinned - Pinned, (c) Clamped - Pinned, dan (d) Clamped - Clamped Gambar 2: Diagram gaya dan deformasi pada batang yang mengalami buckling karena kompresi axial persamaan; untuk sudut deformasi yang kecil berlaku; 1 ρ = dθ (3) d s d s = d x 2 + dψ 2 (4) tanθ = dψ d x θ (5) 3

4 sehingga persamaan (3) dapat ditulis; 1 ρ = d 2 ψ d x d x 2 d s (6) dapat ditunjukkan bahwa untuk simpangan yang kecil dimana ψ << x maka d x d s 1 dan persamaan (1) kini dapat ditulis menjadi; σ xx = Eψ d 2 ψ d x 2 (7) Saat kolom terdefromasi atau terdefleksi, maka akan ada pergerseran titik berat dari posisi awalnya sehingga akan timbul momen gaya pada batang, atau lebih dikenal sebagai bending moment yang dinyatakan dengan persamaan M = F ψ = σ xx ψd A = E I d 2 ψ A d x 2 (8) dari persamaan (8) ini persamaan untuk simpangan batang yang mengalami buckling dapat kita tuliskan sebagai; E I d 2 ψ + F ψ = 0; (9) d x2 persamaan (9) ini lah yang harus diselesaikan untuk memperoleh persamaan geometri kolom yang mengalami buckling. Persamaan ini dapat diselesaikan secara analitik dan menghasilkan persamaan untuk beban kritis yang dapat ditahan oleh kolom sebagai; F c = π2 E I L 2 (10) dimana apabila gaya F yang diberikan pada kolom kurang dari F c maka kolom tidak akan mengalami buckling. Komposit - Dalam desain material dikenal istilah material komposit, yaitu material yang dibuat dengan menggabungkan dua buah material lain dengan tujuan untuk memodifikasi sifat-sifat elastis material baik untuk menjadikannya semakin kuat. Pada proses pembuatan komposit, material dasar disebut dengan matriks, sedangkan material tambahan disebut dengan fiber. Pada persamaan (9) kita dapat lihat bahwa deformasi dari kolom bergantung pada modulus Young kolom. Dengan mensimulasikan peristiwa buckling ini pada material komposit, kita juga dapat mensimulasikan berapa nilai modulus Young maeterial komposit yang terbentuk dari dua buah material berbeda. Secara teoritik, tidak ada persamaan yang eksak mengenai nilai modulus Young material baru yang terbentuk. Pada pemodelan ini, nilai modulus Young yang terbentuk diasumsikan 4

5 sebagai gabungan antara modulus Young matriks dan modulus Young fiber dengan fraksinya masing-masing seperti ditunjukkan persamaan (11) 3 Model dan Algoritma E upper = f E f + (1 f )E m (11) f = V f i ber V tot al (12) Model - Untuk menyelesaikan kasus buckling pada kolom ini, kita perlu menyelesaikan persamaan diferensial (9) dengan syarat batas; x = 0 ψ = 0; (13) x = L ψ = 0; (14) yang jika kita kerjakan secara analitik, maka akan menghasilkan solusi; ( πz ) ψ = A sin L (15) F = n2 π 2 E I L 2 (16) Kita dapat lihat bahwa solusi persamaan (15) memenuhi semua syarat batas pada persamaan (13) dan (14) dan kita mendapat informasi bahwa bentuk kolom yang terdeformasi adalah sinusoidal setengah gelombang. Persamaan (15) juga memberikan syarat untuk nilai F agar solusi persamaan (9) terpenuhi yang ternyata adalah nilai beban kritis seperti persamaan (10). Persamaan (15) dan (16) memberikan gambaran mengenai bentuk deformasi batang dan syarat agar terjadi buckling. Akan tetapi, kita tidak mendapat informasi mengenai amplitudo simpangan A yang secara logika seharusnya merupakan fungsi dari gaya F yang diberikan. Untuk mendapatkan informasi mengenai bagaimana bentuk kolom yang terdeformasi sebagai fungsi dari gaya yang diberikan, maka kita perlu memodelkan kolom sedikit berbeda, yaitu dengan mengasumsikan bahwa ada ketidaksempurnaan pada kolom sebelum gaya F diaplikasikan pada kolom seperti ditunjukkan oleh gambar 4. Dengan model ini, maka persamaan diferensial (9) berubah bentuknya menjadi; d 2 ψ d x 2 + F E I (ψ + ψ 0) = 0 (17) dan jika kita ambil deformasi awal sebagai bentuk sinusoidal maka persamaan diferensialnay dapat kita tulis menjadi; d 2 ψ d x 2 + F [ ( )] πx ψ + A 0 sin = 0 (18) E I L 5

6 Gambar 3: Model kolom yang tidak lurus melainkan sedikit bengkok dengan defleksi awal ditunjukkan oleh garis abu-abu sebesar ψ 0 = A 0 sin(πx/l) Persamaan (8) ini lah yang harus diselesaikan untuk dapat mengetahui bagaimana respon deformasi kolom sebagai fungsi dari gaya yang diberikan. Tentu saja dalam proses produksi material, material yang lurus lebih diinginkan dibandingkan material yang sudah bengkok. Mudah saja, untuk mengetahui bagaimana respon material yang lurus sempurna kita dapat mengambil nilai limit dari ψ 0 menuju nol atau kita dapat mengambil; ( πx ) ψ 0 = lim A 0 sin A0 0 L (19) Algoritma - Persamaan diferensial (18) dapat dikerjakan dengan menggunakan metode Euler dengan syarat batas seperti pada persamaan (13) dan (14). Akan tetapi, metode Euler membutuhkan syarat awal sementara persoalan ini adalah persoalan syarat batas (boundary value problem (BVP)). Untuk itu, kita perlu mengubah persoalan ini menjadi persoalan syarat awal (initial value problem (IVP)) yang dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana, shooting method. Idenya adalah, kita menebak-nebak nilai ψ (x = 0) sedemikian sehingga semua-syarat batas terpenuhi. Nilai ψ (0) kemudian dijadikan syarat awal untuk menghitung solusi persamaan diferensial dengan metode Euler. Secara lebih jelas, metode penyelesaian persamaan diferensial ini digambarkan oleh diagram flowchart sebagai berikut; 6

7 Gambar 4: Flowchart standar penyelesaian persamaan diferensial dengan metode Euler dan shooting method Akan tetapi, menentukan nilai ψ(0) sampai ditemukan nilai yang tepat akan memakan waktu yang panjang dan ketelitian yang rendah. Oleh karena itu, metode ini dapat dikombinasikan dengan metode lain untuk mempercepat waktu penyelesaian persamaan diferensial. Dalam karya ilmiah ini, metode shooting method dikombinasikan dengan interpolasi untuk mempercepat proses penyelesaian dan meningkatkan ketelitian solusi persamaan diferensial. Algoritma yang telah termodifikasi dengan kombinasi proses interpolasi secara lebih jelas diperlihatkan pleh diagram flowchart pada gambar 6. Gambar 5: Flowchart penyelesaian persamaan diferensial dengan metode Euler dan shooting method yang telah termodifikasi 7

8 Secara matematis, misalkan vektor G berisi n-buah elemen g yang merepresentasikan tebakan nilai ψ (0) dan vektor H berisi n-buah elemen h yang merepresentasikan ψ(l) hasil iterasi Euler untuk setiap nilai g. Kita dapat membuat persamaan interpolasi berderajat (n 1); 1 h1 1 h1 2 h1 n 1 1 h 1 2 h2 2 h2 n hn 1 hn 2 hn n 1 a 0 a 1. a n 1 g 1 = g 2. Selesaikan persamaan (20) kita akan mendapatkan persamaan polinomial untuk g (h) sebagai; n 1 g = a 0 + a k h k (21) k=1 karena kita menginginkan nilai psi (0) sedemikian sehingga ψ(l) = 0 maka kita cukup memilih nilai h = 0 sehingga didapat g = a 0 = ψ (0). Dari sini kita telah mengubah BVP menjadi IVP yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode iterasi Euler. g n (20) ψ(0) = 0 ψ(l) = 0 4 Hasil dan Pembahasan ψ(0) = 0 ψ (0) = a 0 (22) Hasil Simulasi - Algoritma simulasi di atas diaplikasikan pada kolom yang terbuat dari material carbon nanotube yang memiliki modulus Young sebesar 940 GPa. Kolom memiliki panjang 50cm dan diameter 1cm. Kolom diberi beban yang terus meningkat sampai titik batas ketahanan kolom terhadap kompresi tercapai, atau sampai terjadi buckling pada kolom. Hasilnya adalah kurva antara defleksi maksimum batang terhadap besar gaya yang diberikan seperti pada gambar 7. Pada gambar 7 terlihat bahwa kurva selalu asimpotik pada beban sekitar 18kN berapapun nilai simpangan awalnya (A 0 ). Pada nilai beban dibawah 18kN, deformasi maksimum kolom kecil dibawah 10mm, dalam hal ini, kita dapat katakan bahwa kolom belum mengalami failure buckling. Pada beban mendekati nilai 18kN, nilai deformasi menaik secara drastis menuju tak hingga. Artinya, pada titik ini, kolom telah mengalami failure buckling. Dapat ditarik kesimulan bahwa titik inilah titik kritis beban kompresional yang mampu ditahan oleh kolom. Pada gambar 7 pun terlihat bahwa semakin kecil nilai deformasi awal kolom, maka kurva yang dihasilkan semakin tegak. Artinya, apabila kolom yang diuji tegak sempurna, maka kolom tidak akan mengalami buckling sebelum beban mencapai titik kritisnya. Lebih teliti lagi, nilai beban kritis dari simulasi ini dapat dihitung secara numerik dan menghasilkan nilai 18.23kN setara dengan beban seberat 1823 kg. Perhitungan nilai titik kritis ini dapat 8

9 Gambar 6: Grafik defleksi maksimum kolom terhadap beban yang diberikan. Nilai defleksi maksimum meningkat secara drastis pada titik kritis ( 18.23kN) Gambar 7: Grafik hubungan linier antara defleksi maksimum dengan rasio antara defleksi maksimum dan tension. Gradien kurva adalah nilai beban kritis dilakukan dengan memplot rasio nilai defleksi maksimum - tension dan nilai defleksi maksimum seperti pada gambar 8. Gradien dari kurva adalah nilai titik kritis kolom. Nilai beban kritis yang dihitung secara analitik sesuai dengan persamaan (10) menghasilkan nilai 18.21kN atau setara dengan beban 1821 kg. Dengan kata lain, model ini berhasil menghitung titik kritis beban dengan error sebesar 0.109%. Untuk kasus material komposit, pada karya ilmiah ini digunakan contoh komposit yang terbentuk dari Alumunium dan Nikel. Komposit ini sering digunakan dalam bahan baku pem- 9

10 buatan mesin-mesin karena kuat dan memiliki titik didih yang tinggi. Alumunium memiliki modulus Young sebesar 70Gpa sedangkan Nikel memiliki modulus Young sebesar 290GPa. Dalam pemodelan ini, akan dibandingkan material komposit Al-Ni dengan berbagai ukuran perbandingan komposisi Al dan Ni yaitu 80/20, 90/10, dan 95/5. Hasil dari simulasi kompresi ditunjukkan pada gambar 8. Gambar 8: Grafik simulasi kompresi untuk komposit Al+Ni dengan berbagai perbandingan komposisi Pada gambar 8 terlihat hanya dengan menambahkan Nikel sebesar 5% saja sudah mampu meningkatkan beban kritis material sampai sekitar 100N atau setara dengan 10kg. Pada penambahan nikel sebesar 20% beban kritisnya mampu ditingkatkan sampai 1900 N, bertambah 58% dari beban kritis Alumunium murni. Gambar 9 menunjukkan bentuk kolom yang mengalami buckling pada beban 130kg untuk alumunium murni, nikel murni, dan komposit Al+Ni. Gambar 9: Bentuk buckling alumunium murni (biru), nikel murni (merah) dan komposit (hitam) untuk komposisi Ni 5%(kiri), 10%(tengah), dan 20%(kanan) pada beban 130kg 10

11 5 Simpulan Dari pemodelan di atas, ternyata metode neumerik dapat dilakukan untuk menyelesaikan kasus Buckling dengan baik. Metode iterasi Euler dapat dikombinasikan dengan metode shooting untuk mengubah persamaan diferensial dengan kasus syarat batas menjadi kasus syarat awal. Modifikasi shooting method dengan interpolasi berjalan dengan baik untuk menghitung solusi dari persamaan diferensial secara numerik. Hal ini ditunjukkan dengan perhitungan nilai beban kritis yang hanya memiliki kesalahan sebesar0.109% dari nilai yang dihitung secara analitik. Pencampuran suatu material dengan material lain terbukti mampu meningkatkan kekuatan material dengan baik. Hal ini terlihat pada grafik gambar 8 dimana pemberian Nikel pada material Alumunium dengan fraksi 20% mampu meningkatkan kekuatan Alumunium sebesar 58%. Akan tetapi, pemodelan material komposit pada makalah ini masih perlu diperbaiki karena modulus Young material komposit diasumsikan berbanding lurus secara linier dengan fraksi dari fiber yang ditambahkan. Padahal mungkin modulus Young material komposit juga dipengaruhi oleh cara penyusunan fiber di dalam matriks atau faktor-faktor lain yang menyebabkan hubungan antara modulus Young dengan fraksi fiber tidak linier. References [1] (Diakses pada 27 April 2015) [2] Paul A. Lagace. "The Column and Buckling". Department of Aeronautics and Astronautics, Massachusetts Institute of Technology. [3] Adreas Landa "The Buckling Resistance Structures Subjected to Impulsive Types of Actions". Norwegian University of Science and Technology. [4] Safa Bozkurt CoÅ kun dan Baki ÃŰztÃijrk "Elastic Stability Analysis of Euler Columns Using Analytical Approximate Technique". Intech Publisher. 11