REGRESI KOMPONEN UTAMA DENGAN PEMODELAN SISAAN ARCH/GARCH NURSYITA PURNAMI

Transkripsi

1 REGRESI KOMPONEN UTAMA DENGAN PEMODELAN SISAAN ARCH/GARCH NURSYITA PURNAMI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2012

2 RINGKASAN NURS YITA PURNAMI. Regresi Komponen Utama dengan Pemodelan Sisaan ARCH/GARCH. Dibimbing oleh AJI HAMIM WIGENA dan YENNI ANGRAINI. Suhu merupakan salah satu unsur cuaca yang sangat penting karena dapat memberikan informasi mengenai pola curah hujan dan fenomena iklim ekstrim seperti El Nino dan La Nina. Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) telah melakukan pemodelan suhu maksimum. Pemodelan yang dilakukan menggunakan Regresi Komponen Utama (RKU) menghasilkan koefisien korelasi (r) sebesar dan Root Mean Square Error of Prediction (RMSEP) Namun, model ini menghasilkan sisaan yang saling berkorelasi dan ragam sis aan yang tidak homogen. Model deret waktu ARMA dapat mengatasi korelasi antar sisaan, dan Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) atau Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) merupakan model yang dibentuk untuk menangani masalah ketidakhomogenan ragam. Pemodelan ARMA dan ARCH/GARCH digunakan untuk mengatasi kedua masalah tersebut. Tujuan penelititan ini adalah memodelkan suhu maksimum menggunakan regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH. Hasil menunjukkan bahwa model GARCH (2,1) merupakan model ragam terbaik dengan model rataan ARMA (1,1) yang memberikan nilai korelasi dan RMSEP yang sama dengan model RKU yang dilakukan oleh BMKG, tetapi model regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH terbukti mampu mengatasi masalah korelasi antar sisaan dan ketidakhomogenan ragam sisaan. Kata kunci : suhu, regresi komponen utama, ARMA, ARCH/GARCH

3 REGRESI KOMPONEN UTAMA DENGAN PEMODELAN SISAAN ARCH/GARCH NURSYITA PURNAMI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2012

4 Judul Nama NRP : Regresi Komponen Utama dengan Pemodelan Sisaan ARCH/GARCH : Nursyita Purnami : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc Yenni Angraini, S.Si, M.Si NIP : NIP : Mengetahui, Ketua Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : Tanggal Lulus :

5 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunianya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini berjudul Regresi Komponen Utama dengan Pemodelan Sisaan ARCH/GARCH. Karya ilmiah ini penulis susun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Penulisan karya ilmiah ini tidak lepas dari dukungan dan bantuan dari banyak pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1. Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si selaku Ketua Departemen Statistika FMIPA IPB 2. Bapak Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc dan Ibu Yenni Angraini, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, informasi, ilmu, dan kesabaran yang luar biasa. 3. Bapak Dr. Ir. Anang Kurnia, selaku dosen penguji luar yang telah memberikan saran dan perbaikan kepada penulis. 4. Mama, Papa, Umi, dan kedua adik tercinta, Tia Restu Saputri dan Rere Kautsar atas doa, kasih sayang, perhatian, dan semua bantuan baik moril dan materiil yang telah diberikan. 5. Sona Triyanto atas waktu, tenaga, dan dukungan yang telah diberikan. 6. Seluruh Dosen Statistika yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat selama penulis menuntut ilmu di Departemen Statistika dan seluruh Staf Departemen Statistika yang telah banyak membantu penulis. 7. Bapak Wido Hanggoro, Pak Donaldi, Pak Hastu, Pak Danang, Mba Opi, Mba Angga, dan seluruh staf Puslitbang BMKG yang telah banyak memberikan bantuan dan ilmu selama penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang. 8. Anita Pratiwi, Lia Ratih Kusuma Dewi, Nur Hikmah, dan IDG Richard Alan Amori atas kebersamaan dan waktu yang telah disempatkan untuk berbagi suka dan duka. 9. Teman-teman seperjuangan Metha Naomi SP, Rafika Nur Zakkiyah, Rifki Rizal, dan Riska Dian Prawesti atas bantuan dan kebersamaan selama bimbingan. 10. Teman-teman Super B51 terutama Naima Rakhsyanda, Maya Widyastiti, Evi Muliyah, dan Isnan Mulia atas kekeluargaan yang telah terjalin. 11. Keluarga Statistika 45, 44, dan 43 atas bantuan, ilmu, dan kebersamaan yang telah diberikan. 12. Semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini sangat jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun guna perbaikan di masa yang akan datang. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat untuk semua pihak. Amin. Terima kasih. Bogor, Oktober 2012 Nursyita Purnami

6 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Bogor pada tanggal 19 Mei 1991 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Warsito Purnomo dan Mamay. Penulis menempuh pendidikan di SD Negeri Pasirgaok 5 ( ), SMP Negeri 6 Bogor ( ), dan SMA Negeri 6 Bogor ( ). Pada bulan Februari 2008 penulis dinyatakan lulus USMI IPB 2008 dengan Mayor Statistika. Ilmu Ekonomi dan Pembangunan merupakan program minor yang dipilih penulis untuk melengkapi program mayornya. Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB, penulis bergabung dengan Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA IPB sebagai Staf Departemen Sains dan Teknologi (2010/2011). Selain aktif dalam kepengurusan BEM FMIPA IPB, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB) dan BEM FMIPA seperti Pesta Sains 2009 sebagai staf Logistik dan Transportasi, Statistika Ria 2010 sebagai staf Divisi Dana Usaha, Pesta Sains 2010 sebagai staf Lead Officer (LO), Welcome Ceremony Statistics (WCS) 2011 sebagai staf Divisi Kesekretariatan, dan Lomba Jajak Pendapat Statistika 2011 sebagai staf Divisi Dana Usaha. Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB penulis juga mendapatkan kesempatan untuk menjadi asisten praktikum pada mata kuliah Metode Statistika Semester Ganjil Tahun Ajaran 2011/2012 dan Semester Pendek Tahun Ajaran 2012/2013. Penulis merupakan salah satu penerima beasiswa BCAfinance periode Pada Mei 2011, penulis memenangkan lomba Mandiri Goes to Campus secara berkelompok dan berhak atas beasiswa yang diberikan. Pada bulan Februari-April 2012 penulis melakukan kegiatan Praktik Lapang di Pusat Penelitian dan Pengembangan (Puslitbang), Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) di Jakarta Pusat. Saat ini penulis aktif sebagai pengajar.

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan... 1 TINJAUAN PUSTAKA... 1 Conformal Cubic Atmospheric Model (CCAM)... 1 Model Output Statistik (MOS)... 1 Regresi Komponen Utama... 2 Autoregressive Moving Average (ARMA)... 3 Autoregressive Conditional Heterosceasticity (ARCH)... 3 Generalized Autoregressive Conditional Heterosceasticity (GARCH)... 3 Uji Pengganda Lagrange... 4 Uji Jarque Bera... 4 Akaike Informatian Criterion (AIC) dan Schwarz Bayesian Criterion (SBC)... 4 METODOLOGI... 5 Data... 5 Metode Analisis... 5 HASIL DAN PEMBAHASAN... 5 Eksplorasi Data... 5 Regresi Komponen Utama... 6 Pembentukan Model ARCH/GARCH... 6 Spesifikasi Model... 6 Pendugaan Parameter dan Pemilihan Model Terbaik... 7 Diagnostik Model... 8 Pendugaan Nilai Secara Keseluruhan... 9 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 11

8 viii DAFTAR TABEL Halaman 1 Koefisien regresi berganda Akar ciri dari matriks peragam Koefisien regresi komponen utama Eksplorasi data sisaan model RKU Nilai ACF dan PACF kuadrat sisaan Uji pengganda lagrange data sisaan Nilai ACF dan PACF sisaan terbakukan model GARCH(2,1) Uji pengganda lagrange model GARCH(2,1) Nilai ACF dan PACF kuadrat sisaan model GARCH(2,1) Model regresi komponen utama Model GARCH(2,1) Perbandingan nilai korelasi, RMSE, dan RMSEP... 9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Screeplot komponen utama Plot deret waktu data sisaan Plot ACF untuk sisaan Plot PACF untuk sisaan Plot kenormalan sisaan Plot sisaan model GARCH(2,1) Letak stasiun pengamatan Citeko Hasil scatterplot peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X) DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Letak stasiun pengamatan Citeko Hasil scatterplot peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X) Pemilihan model ragam terbaik Verifikasi model Validasi model... 16

9 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Suhu merupakan salah satu unsur cuaca yang sangat penting. Pengetahuan akan suhu dapat memberikan informasi tentang pola curah hujan dan fenomena iklim ekstrim seperti ekstrim kering (El Nino) dan ekstrim basah (La Nina). Kejadian ini sangat berdampak pada berbagai bidang termasuk sektor pertanian. Data mengungkapkan kerugian akibat El Nino terjadi pada tahun 1991, 1994, dan 1997, kerugian ekonomi akibat kegagalan panen mencapai 571 miliar rupiah. Sedangkan kerugian akibat La Nina yang terjadi tahun 1998 mencapai 91 miliar rupiah (Wigena 2006). Dengan demikian informasi tentang suhu sangat diperlukan. Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) sebagai salah satu badan yang menangani masalah meteorologi, klimatologi dan geofisika giat melakukan pengembangan model prediksi. Model yang dibentuk merupakan model prediksi untuk unsur-unsur cuaca seperti suhu, kelembaban, dan curah hujan (Kadarsah 2010). Hasil verifikasi bidang Analisa Meteorologi tahun 2004 melalui kegiatan Verifikasi dan Jangkauan Prakiraan Cuaca Jangka Pendek menunjukkan bahwa prakiraan khususnya parameter suhu maksimum, suhu minimum, kelembaban maksimum, kelembaban minimum, dan curah hujan masih belum memenuhi harapan atau kurang memuaskan (BMG 2006). Salah satu cara yang dilakukan BMKG untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan melakukan pemodelan melalui teknik Model Output Statistik (MOS). Prakiraan jangka pendek menggunakan teknik MOS telah dibangun oleh Bidang Analisa BMKG selama tahun menggunakan input produk NWP (Numerical Weather Prediction). Pada tahun 2011 dilakukan penelitian mengenai MOS dengan judul Kajian Aplikasi Model CCAM untuk Pengembangan MOS. Teknik MOS yang digunakan adalah regresi komponen utama. Verifikasi model regresi komponen utama menghasilkan korelasi sebesar dengan RMSE dan validasi model menghasilkan korelasi sebesar dengan RMSEP Pendekatan melalui regresi komponen utama menghasilkan sisaan yang saling berkorelasi dan ragam sisaan yang tidak homogen. Kendala tersebut akan diselesaikan pada penelitian ini dengan pemodelan menggunakan teknik MOS melalui regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH. Tujuan Tujuan penelitian ini, yaitu : 1. Memodelkan suhu maksimum melalui regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH. 2. Membandingkan tiga pemodelan suhu maksimum, yaitu regresi komponen utama, regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARMA, dan regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH. TINJAUAN PUSTAKA Conformal Cubic Atmospheric Model (CCAM) Model NWP adalah sekumpulan kode komputer yang merepresentasikan secara numerik persamaan - persamaan atmosfer yang digunakan untuk memprediksi kondisi atau status atmosfer yang akan datang dengan kemampuan komputer yang tinggi (BMG 2006). Salah satu model NWP adalah CCAM. CCAM merupakan model atmosfer global beresolusi peubah berbasis conformal cubic grid yang menggunakan transformasi Schmidt untuk prakiraan regional dan lokal menggunakan teknik multiple nesting untuk downscaling serta mempunyai data topografi dan land use yang telah terintegrasi di dalamnya (BMKG 2011). CCAM merupakan model global maka CCAM tidak bergantung pada boundary condition (syarat batas) dan hanya bergantung pada initial condition (kondisi awal). Dengan digunakannya sistem koordinat yang bisa diregangkan (stretching), CCAM dapat digunakan sebagai model prediksi global sekaligus model regional / lokal. Resolusi CCAM sebesar pergrid dengan ketinggian 3 km diatas permukaan laut. Model Output Statistics (MOS) Menurut Clark dan Hay (2000), hasil ramalan NWP untuk lokasi tertentu dengan resolusi tinggi seringkali bias terutama lokasi dengan topografi dan vegetasi yang kompleks, karena pengaruh lokal lebih dominan. Untuk mengoptimalkan pemanfaatan keluaran model NWP perlu dilakukan pemrosesan (post processing). Salah satu metode yang digunakan adalah MOS. MOS merupakan model yang menghubungkan peubah respon (Y)

10 2 (pengamatan stasiun cuaca, seperti suhu minimum, suhu maksimum, kecepatan angin, dan lain-lain) dan peubah bebas (X) (data NWP, seperti suhu, angin dan sebagainya pada berbagai grid dan ketinggian). Disamping itu peubah bebas dapat juga berupa data geografi seperti lintang, bujur, dan waktu (t). MOS direpresentasikan dalam bentuk regresi berganda: j=1,2,..,n ; ; i=1,2,3,..,k ; dimana : = peubah respon ke-j = konstanta regresi = koefisien regresi peubah bebas ke-i = peubah bebas ke-i pengamatan ke-j = galat baku pengamatan ke-j k = banyaknya peubah bebas n = banyaknya pengamatan Asumsi asumsi yang harus dipenuhi dalam regresi linier berganda adalah sebagai berikut ; 1. Kondisi Gauss-Marcov E[ ] = 0 E[ = Var[ = E[, ]=0 dimana, 2. Galat bebas terhadap peubah bebas E[ ]=0, 3. Galat menyebar normal 4. Tidak ada multikolinearitas pada peubah bebas E[, ]=0, Menurut Neilley dan Hanson (2004), MOS mempunyai dua fungsi utama. Pertama, teknik MOS menghasilkan ramalan cuaca kuantitatif kedepan dan mungkin juga tidak secara eksplisit diperoleh dari model NWP seperti pendugaan presipitasi dan pendugaan peluang presipitasi. Kedua, MOS mereduksi rataan sisaan dari pendugaan model NWP dengan memperkecil bias dan pengoreksian model secara statistik. Peubah respon yang digunakan adalah data pengamatan di stasiun pengamatan, sedangkan peubah bebasnya adalah data NWP. Kombinasi linier terbaik antara peubah respon dan peubah bebas terletak pada 9 grid di sekitar stasiun pengamatan (Maini dan Kumar 2004). Regresi Komponen Utama Salah satu asumsi untuk regresi berganda adalah tidak adanya multikolinearitas. Multikolinearitas adalah adanya hubungan linier sempurna antar peubah bebas dalam model (Juanda 2009). Multikolinearitas ditunjukkan oleh nilai Variance Inflation Factors (VIF) lebih dari 10. Salah satu cara menangani masalah multikolinearitas adalah dengan melakukan regresi komponen utama. Regresi Komponen Utama (RKU) adalah suatu prosedur untuk mereduksi dimensi data melalui transformasi peubah-peubah asal yang berkorelasi menjadi sekumpulan peubah baru yang tidak berkorelasi. Peubah-peubah baru itu disebut dengan komponen utama (KU). Misalkan vektor acak, yang terdiri atas pengamatan sebanyak p peubah, maka KU adalah kombinasi linear dari peubah tersebut yang merupakan sistem koordinat baru yang didapat dari hasil rotasi sistem asal sebagai sumbu koordinat. Sumbu baru ( ) merupakan arah dengan variabilitas maksimum yang memberikan struktur peragam yang lebih sederhana dan adalah KU yang tidak berkorelasi (Johnson dan Winchern 2007). KU dapat diperoleh dari pasangan akar ciri-vektor ciri matriks peragam maupun matriks korelasi. Selanjutnya bila Σ adalah matriks ragamperagam dari vektor acak, Σ didapatkan berdasarkan rumus : dimana : = vector acak ke-i = jumlah pengamatan dan Σ memiliki pasangan akar ciri-vektor ciri,,, dengan Maka model KU dapat ditulis sebagai berikut :... dengan: = KU pertama, yang mempunyai ragam terbesar pertama = KU kedua, yang mempunyai ragam terbesar kedua = KU ke-p, yang mempunyai ragam terbesar ke-p = peubah asal pertama = peubah asal kedua = peubah asal ke-p dan diperoleh:

11 3 KU tidak berkorelasi dan mempunyai ragam yang sama dengan akar ciri dari Σ sehingga: sebagai berikut (Bowerman dan O Connell 1987) : Apabila total ragam populasi adalah maka: Proporsi ragam ke-i = Apabila KU yang diambil sebanyak k dengan (k<p), maka: Proporsi ragam k KU Apabila yang digunakan diawal adalah matriks peragam dari data yang distandarkan, karena diagonal utama matriks berisi nilai satu, maka total ragam populasi untuk peubah distandarkan adalah p, yang merupakan jumlah elemen diagonal matriks korelasi. Sehingga : Proporsi ragam ke-i Komponen utama terpilih adalah komponen utama yang memiliki nilai akar ciri (eigenvalue) lebih dari 1 dan nilai kumulatif persentase keragaman hingga komponen utama (KU) ke-m berada pada nilai 70% hingga 90%. Selain itu, dapat dikuatkan oleh screeplot hasil komponen utama. Nilai komponen utama (W) KU ke-i merupakan nilai dari hasil perkalian antara vektor ciri KU ke-i dengan peubah penjelas.. Autoregressive Moving Average (ARMA) Moving Average (MA) atau model rataan bergerak menyatakan bahwa peubah penjelas merupakan nilai sisaan pada periode sebelumnya. Bentuk umum proses MA(q) adalah sebagai berikut (Bowerman dan O Connell 1987) : dimana : = nilai pengamatan pada waktu ke-t = konstanta = parameter model MA = sisaan pada waktu ke-t merupakan polynomial karakteristik AR Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan gabungan dari model regresi diri ordo p dan model rataan bergerak ordo q. Model ini menjelaskan data deret waktu yang stasioner. Bentuk umum model ARMA(p,q) adalah sebagai berikut (Bowerman dan O Connell 1987) : Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) Engle yang pertama kali mengusulkan model ARCH untuk memodelkan perubahan ragam pada data deret waktu (Cryer 2008). Model ARCH dibentuk sebagai fungsi linier dari kuadrat sisaan sebelumnya. Bentuk umum dari ARCH dengan orde q adalah (Enders 2004) : dengan ragam bersyarat > 0, 0 < < 1, dimana adalah suatu proses ingar putih (white noise) dengan rataan nol dan ragam satu. Karena dan saling bebas maka rataan bersyarat dan tidak bersyarat dari sama dengan nol. Adapun ragam bersyarat dari proses ARCH(q) adalah dimana : = nilai pengamatan pada waktu ke-t = konstanta = parameter model MA = sisaan pada waktu ke-t merupakan polynomial karakteristik MA. Autoregressive (AR) atau model regresi diri menyatakan bahwa nilai pengamatan pada orde ke-t dipengaruhi oleh nilai-nilai pengamatan sebelumnya selama p periode. Secara umum, model AR(p) diformulasikan Sehingga proses ARCH(q) akan stasioner jika. Sebenarnya proses ARCH(q) dapat digambarkan sebagai proses AR(q), yaitu : Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) Model GARCH yang ditemukan oleh Bollerslev pada tahun 1986 merupakan perluasan dari model ARCH. Pemodelan

12 4 ARCH digunakan untuk model yang memiliki orde rendah. Model ARCH dengan orde yang sangat besar akan lebih sederhana jika direpresentasikan dalam model GARCH sehingga lebih mudah dalam identifikasi dan pendugaan (Enders 2004). Bentuk umum dari proses GARCH dengan orde (p,q) atau GARCH(p,q) adalah :,, dengan ragam bersyarat, Jika p=0, prosesnya menjadi ARCH(q) dan untuk p=q=0, akan berbentuk ingar putih. Jika pada proses ARCH(q) ragam bersyarat didefinisikan sebagai fungsi linier dari kuadrat sisaan sebelumnya, sementara pada GARCH(p,q) ragam bersyarat merupakan fungsi linier dari kuadrat sisaan dan ragam bersyarat sebelumnya. Proses GARCH(p,q) akan stasioner jika :, uji penganda lagrange ini mengikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas q yang merupakan orde dari ARCH. Hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada efek ARCH/GARCH akan ditolak jika statistik TR 2 lebih besar dari nilai dengan derajat bebas q pada taraf nyata tertentu. Uji Jarque-Bera (JB) Jarque-Bera adalah statistik yang digunakan untuk menguji kenormalan data. Uji ini berdasarkan bahwa sebaran normal memiliki indeks kemenjuluran (kemencengan) dan indeks keruncingan sama dengan nol (Cryer 2008). Uji ini memperbandingkan kemenjuluran dan keruncingan dari data yang menyebar normal. Hipotesis yang akan diuji adalah : H 0 : Sisaan menyebar normal H 1 : Sisaan tidak menyebar normal Statistik Jarque-Bera didefinisikan sebagai berikut (Cryer 2008): -3 Uji Pengganda Lagrange Pengganda lagrange merupakan uji formal untuk mendeteksi keberadaan efek ARCH pada sisaan model rataan. Pendeteksian awal keberadaan efek ARCH pada satu gugus data dapat dilakukan dengan mengamati nilai autokorelasi kuadrat yang signifikan yang diamati dari perilaku Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF)-nya (Enders 2004). Ada dua tahapan dalam uji pengganda lagrange (Enders 2004), yaitu : 1. Dapatkan model yang cocok dari data deret waktu (model regresi atau model ARIMA), kemudian cari sisaan (. 2. Dapatkan kuadrat sisaan (, kemudian regresikan kuadrat sisaan terhadap konstanta dan nilai yaitu Hipotesis yang akan diuji adalah H 0 : Statistik uji pengganda lagrange (Enders 2004) adalah TR 2 dimana T adalah jumlah pengamatan sisaan dan R 2 adalah koefisien determinasi hasil regresi kuadrat sisaan (Enders 2004). Statistik dimana adalah ragam contoh, dengan Y adalah data yang akan diuji, adalah kemenjuluran, adalah keruncingan dan adalah banyaknya pengamatan. Statistik Jarque-Bera mendekati sebaran khi kuadrat ( ) dengan derajat bebas dua. Hipotesis nol ditolak jika nilai JB lebih besar dari nilai khi kuadrat pada taraf nyata tertentu. Pengujian ini bermanfaat dalam pendugaan parameter. Parameter model ARCH/GARCH dapat diduga dengan metode maximum likelihood. Jika data tidak menyebar normal pendugaan parameter model menggunakan quasi maximum likelihood (QML) (Kuan 2004). QML dapat mempertahankan kekonsistenan ragam. Akaike Information Criterion (AIC) dan Schwarz Bayesian Criterion (SBC) AIC dan SBC adalah dua standar informasi digunakan sebagai kriteria pemilihan model terbaik. AIC dan SBC didefinisikan sebagai berikut (Enders 2004): AIC =T ln (Jumlah Kuadrat sisaan) + 2p SBC =T ln (Jumlah Kuadrat sisaan) + p ln (T) dimana p adalah jumlah parameter yang diduga dan T adalah jumlah pengamatan. Model terbaik adalah model yang memiliki nilai AIC dan SBC terkecil.

13 5 METODOLOGI Data Data yang digunakan adalah data suhu maksimum harian. Peubah respon (Y) merupakan data pengamatan suhu maksimum harian dari stasiun pengamatan meteorologi Citeko. Sedangkan peubah bebas (X) merupakan data suhu maksimum harian dari keluaran model NWP, CCAM, yaitu suhu maksimum harian di sembilan titik yang berdekatan dengan stasiun pengamatan (Lampiran 1). Data yang digunakan ada lah data tanggal 1 Januari 2009 sampai 31 Desember Proses verifikasi model menggunakan data 1 Januari 2009 sampai dengan 31 Oktober Sedangkan untuk validasi model menggunakan data tanggal 1 November 2010 sampai 31 Desember Metode Analisis Metode yang digunakan adalah regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH. Langkah-langkah analisis adalah sebagai berikut : 1. Melakukan eksplorasi data, yaitu melihat hubungan antara peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X). 2. Meregresikan peubah penjelas (X) dengan peubah respon (Y). Jika terdapat multikolinearitas yang ditunjukkan dengan nilai VIF > 10, lakukan regresi komponen utama. 3. Menghitung nilai sisaan yang diperoleh dari mengurangi nilai ypengamatan dengan nilai yduga RKU. 4. Melakukan pemodelan ARCH/GARCH pada data sisaan dengan tahap sebagai berikut : Tahap 1. Spesifikasi model 1. Menentukan model rataan data sisaan, model yang digunakan adalah model deret waktu Bo x- Jenkins. 2. Mendeteksi efek ARCH melalui fungsi autokorelasi kuadrat sisaan model deret waktu Bo x- Jenkins. 3. Melakukan pengujian efek ARCH menggunakan uji pengganda lagrange. Tahap 2. Pendugaan parameter dan pemilihan model terbaik 1. Membentuk model tentatif dengan pendugaan parameter model menggunakan QML. 2. Membandingkan nilai AIC dan SBC dari model tersebut. Model terpilih adalah model yang memiliki nilai AIC dan SBC paling kecil dan nilai dugaan yang signifikan Tahap 3. Diagnostik model Malakukan analisis sisaan duga dari model deret waktu + ARCH/GARCH] meliputi kebebasan sisaan, kehomogenan ragam sisaan, dan kenormalan sisaan. 5. Mennjumlahkan nilai Y duga dari RKU dan nilai Y duga dari model sisaan. Jumlah kedua nilai tersebut adalah nilai Y duga total. 6. Melakukan verifikasi model menggunakan koefisien korelasi dan Root Mean Square Error (RMSE) 7. Melakukan validasi model menggunakan koefisien korelasi dan Root Mean Square Error of Prediction (RMSEP) HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Ekplorasi data menunjukkan masingmasing peubah penjelas memiliki hubungan linier dengan peubah respon yang ditunjukkan oleh titik yang membentuk garis linier (Lampiran 2). Berdasarkan hasil tersebut maka model regresi linier berganda dapat dibentuk. Hasil regresi berganda pada Tabel 1 menunjukkan bahwa peubah X1 tidak berpengaruh nyata terhadap model. Hal ini ditunjukkan oleh nilai p (0.165) yang nilainya lebih dari alpha (0.050). Berbeda dengan peubah X1, peubah X2 menunjukkan pengaruh yang signifikan dengan nilai p (0.004) yang kurang dari alpha (0.050). Namun, peubah X3 sampai dengan peubah X9 tidak menunjukkan pengaruh yang signifikan karena nilai p lebih besar dari alpha (0.050). Koefisien determinasi yang diperoleh model sebesar 40.1%, artinya hanya 40.1% keragaman suhu maksimum yang dapat dijelaskan oleh peubah bebas, sisanya 59.9% dijelaskan oleh peubah lain yang tidak dimasukkan ke dalam model. Selain itu, kesembilan peubah bebas memiliki nilai VIF lebih dari 10. Hal ini menunjukkan terdapat multikolinearitas sempurna pada model. Salah satu cara menangani masalah multikolinearitas adalah pemodelan menggunakan regresi komponen utama.

14 Eige nv a lue 6 Tabel 1 Koefisien regresi berganda Peubah Koefisien P VIF Konstanta X X X X X X X X X Regresi Komponen Utama Tabel 2 Akar ciri dari matriks peragam Komponen Akar Proporsi Proporsi Utama Ciri Kumulatif Z Z Z Z Z Z Z Z Z Transformasi menghasilkan komponen utama pertama sebagai komponen utama yang nyata (Tabel 2). Hasil ini diperolah berdasarkan dua kriteria, yaitu nilai akar ciri lebih dari 1 yaitu dan proporsi sumbangan terbesar dari kesembilan komponen utama adalah Z1 (komponen utama 1) yaitu sebesar 97,9%. Selain itu, dapat dikuatkan dengan screeplot pada Gambar intersep sebesar dan penduga parameter W1 sebesar Nilai p untuk masingmasing parameter bernilai 0.000, Karena nilai p kurang dari alpha (0.050) maka kedua parameter tersebut nyata pada taraf 5%. Tabel 3 Koefisien regresi komponen utama Parameter Koefisien Nilai P Konstanta W Sisaan model ( ) diperoleh dari nilai pengamatan dikurangi nilai dugaan regresi komponen utama. Beberapa ringkasan statistik dari data sisaan disajikan pada Tabel 4. Nilai rataan bernilai positif menunjukkan data sisaan mengalami tren naik. Koefisien kemenjuluran yang merupakan ukuran kemiringan (kemencengan) pada data sisaan adalah sebesar Nilai ini menunjukkan sisaan memiliki distribusi yang miring ke kiri, artinya data cenderung menumpuk pada nilai tinggi. Nilai koefisien keruncingan yang diperoleh sebesar Nilai koefisien keruncingan yang lebih dari tiga menunjukkan bahwa distribusi sisaan memiliki ekor yang lebih padat dibandingkan sebaran normal. Tabel 4 Eksplorasi data sisaan model RKU Statistik Dugaan Mean Median Maksimum Minimum Std. Dev Kemenjuluran Keruncingan Jarque-Bera Peluang Jarque-Bera Compone nt Numbe r Gambar 1 Screeplot komponen utama Langkah selanjutnya adalah meregresikan Y dengan nilai komponen utama yang terpilih (W1). Tabel 3 merangkum hasil yang diperoleh dari regresi komponen utama. Regresi komponen utama menghasilkan Pembentukan Model ARCH/GARCH Ada tiga tahapan dalam pembentukan model ragam ARCH/GARCH, yaitu spesifikasi model, pendugaan parameter dan pemilihan model terbaik, dan diagnostik model. Spesifikasi Model Tahapan spesifikasi model terdiri dari pembentukan model rataan, pendeteksian awal gejala heteroskedastisitas, dan uji pengganda lagrange. Model rataan yang dibentuk merupakan model deret waktu. Hal ini disebabkan data sisaan saling berkorelasi yang

15 Partial A utocorrelation A ut ocorre la t ion SISA A N 7 perlu ditangani dengan model deret waktu. Gambar 2 menunjukkan bahwa sisaan stasioner dalam nilai tengah dan ragam Inde x Gambar 2 Plot deret waktu data sisaan Uji formal yang digunakan untuk menguji kestasioneran data dalam nilai tengah adalah Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Uji ADF menunjukkan bahwa data sisaan sudah stasioner dalam nilai tengah. Nilai statistik uji ADF yang diperoleh sebesar dengan nilai kritis pada taraf nyata 5% sebesar Nilai statistik uji ADF yang lebih kecil dari nilai kritis pada taraf nyata 5% menunjukkan bahwa data sisaan stasioner dalam nilai tengah. Pembentukan model dapat dilihat dari plot ACF dan PACF dari sisaan tersebut. Plot ACF menunjukkan bahwa model efektif sampai lag enam (Gambar 3) La g Gambar 3 Plot ACF untuk sisaan Plot PACF menunjukkan bahwa model efektif sampai lag dua yang tertera pada Gambar Sisaan nyata pada ACF dan PACF sehingga model deret waktu yang akan digunakan adalah model ARMA. Dari hasil plot ACF dan PACF didapatkan beberapa model tentatif diantaranya ARMA(1,1), ARMA(2,1), ARMA(1,2), dan ARMA(1,3). Dari model tentatif tersebut, model ARMA (1,1) merupakan model terbaik untuk sisaan dan memiliki nilai Jumlah Kuadrat (JK) sebesar dan Kuadrat Tengah Galat (KTG) sebesar Overfitting tidak dilakukan karena model ARMA (2,1) memiliki parameter yang tidak signifikan. Pendeteksian gejala heteroskedastisitas ditunjukkan oleh fungsi autokorelasi kuadrat sisaan yang signifikan (p=0.000) pada taraf nyata 5% (Tabel 5). Tabel 5 Nilai ACF dan PACF kuadrat sisaan Lag ACF PACF Q-Stat Peluang Dengan menganggap ARMA (1,1) sebagai model rataan selanjutnya dilakukan uji pengganda lagrange terhadap data sisaan. Tabel 6 menunjukkan hasil uji pengganda lagrange. Uji ini menghasilkan statistik uji F sebesar dengan nilai peluang Nilai peluang (0.020) kurang dari alpha (0.050) maka hipotesis nol ditolak. Artinya memang terdapat efek ARCH pada taraf nyata 5%. Tabel 6 Statistik Uji F Uji pengganda lagrange data sisaan Peluang Obs*R 2 Peluang Chi- F(1,646) Square(1) La g Gambar 4 Plot PACF untuk sisaan Pendugaan Parameter dan Pemilihan Model Terbaik Langkah awal adalah menentukan model tentatif dengan pendugaan parameter menggunakan Quasi Maximum Likelihood (QML). QML digunakan karena data sisaan

16 Pe rce nt 8 tidak menyebar normal. Hal ini ditunjukkan oleh statistik Jarque-Bera sebesar dengan nilai peluang (Tabel 4). Hipotesis nol ditolak karena nilai p (0.000) kurang dari alpha (0.050). Artinya sisaan tidak menyebar normal. Pembentukan model tentatif menghasilkan beberapa model ragam yaitu ARCH(1), ARCH(2), ARCH(3), GARCH(1,1), GARCH(1,2), GARCH(2,1), dan GARCH(3,1). Pendugaan parameter model tersebut terdapat pada Lampiran 3. Pemilihan model ragam terbaik berdasarkan nilai AIC dan SBC paling minimum, dugaan parameter yang signifikan, dan diagnostik model. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa model ragam GARCH (2,1) merupakan model ragam terbaik. Nilai AIC dan SBC berturut-turut adalah dan dengan semua parameter nyata pada taraf nyata 5%. Overfitting tidak dilakukan karena model GARCH (3,1) memiliki dugaan parameter yang tidak signifikan. Diagnostik model Diagnostik model meliputi analisis kebebasan sisaan, kehomogenan ragam sisaan, dan kenormalan sisaan. Nilai statistik Durbin- Watson untuk model ini sebesar 1.919, nilai ini menandakan bahwa sisaan saling bebas. Selain itu, kebebasan sisaan ditunjukkan oleh nilai ACF dan PACF sisaan terbakukan yang tidak signifikan pada taraf nyata 5% (Tabel 7). Tabel 7 Nilai ACF dan PACF sisaan terbakukan model GARCH(2,1) Lag ACF PACF Q-Stat Peluang nilai alpha (0.050) sehingga hipotesis nol tidak ditolak. Artinya tidak terdapat efek ARCH pada taraf nyata 5%. Tabel 8 Statistik Uji F Uji pengganda lagrange model GARCH(2,1) Peluang Obs*Rsquared F(1,646) Peluang Chi- Square(1) Selain itu, terpenuhinya asumsi kehomogenan ragam sisaan ditunjukkan oleh nilai ACF dan PACF kuadrat sisaan dari model yang tidak signifikan yang dirangkum pada Tabel 9. Tabel 9 Nilai ACF dan PACF kuadrat sisaan model GARCH (2,1) Lag ACF PACF Q-Stat Peluang Uji kenormalan sisaan dilakukan menggunakan kolmogorov-smirnov test dengan hipotesis Ho : sisaan menyebar normal vs H 1 : sisaan tidak menyebar normal. Nilai p dari Kolmogorov-smirnov test sebesar karena nilai p (0.095)> alpha (0.050) maka hipotesis nol tidak dapat ditolak. Kesimpulannya sisaan menyebar normal pada taraf nyata 5%. Gambar 5 menunjukkan plot sisaan menyebar normal Nilai p = Kehomogenan ragam sisaan ditunjukkan oleh uji pengganda lagrange untuk model ragam GARCH(2,1) dengan persamaan rataan ARMA (1,1). Uji ini menghasilkan statistik uji F sebesar dengan nilai peluang (Tabel 8). Nilai peluang (0.712) lebih dari sisaan model Gambar 5 Plot kenormalan sisaan 3 4 5

17 s is a a nfina l 9 Gambar 6 menunjukkan sisaan model GARCH(2,1) stasioner dalam nilai tengah dan ragam. Plot sisaan tidak berpola dan memiliki lebar pita yang sama. 4 Model kedua adalah model GARCH(2,1) dengan model rataan ARMA(1,1). Nilai dugaan dari model ini selanjutnya akan disebut Yduga-sisaan. Nilai Yduga-sisaan diperoleh dengan memasukkan data sisaan ke dalam model GARCH(2,1) dengan persamaan rataan ARMA(1,1). Tabel 11 merangkum koefisien model GARCH(2,1) dengan persamaan rataan ARMA(1,1). Nilai Yduga-sisaan yang diperoleh sebanyak 649 data. Nilai Ydugatotal diperoleh dari penju mlahan nilai Ydugarku dengan nilai Yduga-sisaan. Sehingga terdapat 649 data nilai Yduga-total. Nilai Yduga-total merupakan nilai dugaan untuk suhu maksimum Inde x Gambar 6 Plot sisaan model GARCH(2,1) Pendugaan Nilai Secara Keseluruhan Seluruh asumsi dalam sisaan telah terpenuhi sehingga model yang terbentuk dapat menghasilkan nilai dugaan yang lebih baik. Pendugaan nilai Y diperoleh dari dugaan nilai Y dari dua model yang terbentuk. Model pertama adalah model regresi komponen utama. Tabel 10 menunjukkan nilai koefisien dari sembilan peubah pada model regresi komponen utama. Nilai Y duga dari model regresi komponen utama selanjutnya akan disebut Yduga-rku. Nilai Yduga-rku diperoleh dengan memasukkan data peubah bebas ke dalam model regresi komponen utama. Nilai Y duga yang diperoleh sebanyak 649 data. Tabel 10 Model regresi komponen utama Peubah Koefisien Konstanta X X X X X X X X X Tabel 11 Model GARCH(2,1) Parameter Koefisien Persamaan Rataan AR(1) MA(1) Persamaan Ragam C RESID(-1)^ GARCH(-1) GARCH(-2) Nilai koefisien korelasi dan nilai RMSE merupakan alat untuk mengukur kebaikan model. Korelasi yang dihitung adalah nilai korelasi antara data pengamatan (data sebenarnya) dengan data dugaan (nilai Ydugatotal). Sedangkan nilai RMSE dihitung berdasarkan nilai sisaan yang diperoleh dari data pengamatan dikurangi data dugaan. Hasil verifikasi model menunjukkan bahwa data pengamatan dengan data dugaan memiliki korelasi sebesar dan nilai RMSE sebesar (Lampiran 4). Sedangkan untuk validasi model memiliki korelasi sebesar dengan nilai RMSEP (Lampiran 5). Tabel 12 menunjukkan performa setiap pemodelan terhadap nilai dugaan untuk suhu maksimum. Performa digambarkan oleh nilai korelasi, RMSE dan RMSEP untuk setiap model. Tabel 12 Perbandingan nilai korelasi, RMSE, dan RMSEP Model Verifikasi Validasi Korelasi RMSE Korelasi RMSEP RKU RKU + ARMA(1,1) RKU + [ARMA(1,1)+ GARCH(2,1)] Berdasarkan Tabel 12, model RKU+ARMA(1,1) memiliki nilai korelasi paling tinggi dan RMSE paling rendah pada verifikasi model. Sedangkan untuk validasi, model RKU+[ARMA(1,1)+GARCH(2,1)] memiliki nilai korelasi dan RMSEP yang sama dngan model RKU. Validasi model RKU+ARMA(1,1) menunjukkan nilai korelasi yang rendah yaitu dengan RMSEP

18 Nilai korelasi dan RMSE untuk masingmasing model tidak mengalami perubahan yang signifikan. Namun, keunggulan model RKU+[ARMA(1,1)+GARCH(2,1)] adalah terpenuhinya semua asumsi dalam sisaan. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Hasil pemodelan suhu maksimum menggunakan regresi komponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH terbukti mampu mengatasi pelanggaran asumsi kehomogenan ragam sisaan. Model GARCH(2,1) merupakan model terbaik untuk model ragam sisaan dengan ARMA(1,1) sebagai model rataan. Korelasi antara data pengamatan dengan data dugaan untuk verifikasi model dan validasi model menghasilkan nilai yang tidak berbeda nyata dengan model RKU. Namun, n ilai RMSE untuk model RKU+ ARMA(1,1) dan model RKU+[ARMA(1,1)+GARCH(2,1)] lebih baik dibandingkan nilai RMSE dari model RKU. Meskipun nilai korelasi dan RMSEP untuk model RKU+[ARMA(1,1)+GARCH(2,1)] belum memenuhi harapan tetapi seluruh asumsi dalam regresi berganda yang terpenuhi menjadi keunggulan model ini. Saran Berdasarkan simpulan diatas, beberapa saran yang dapat diberikan antara lain : 1. Nilai RMSE dan RMSEP yang dihasilkan masih jauh dari nol sehingga diperlukan perbaikan dalam pemilihan model ragam sisaan. Model ragam sisaan yang dapat digunakan antara lain IGARCH, EGARCH, dan TARCH. 2. Perlu adanya penambahan panjang data agar pendugaan model menjadi lebih baik. 3. Data CCAM masih tergolong data baru dalam pemodelan sehingga diperlukan kajian lebih mendalam untuk penggunaannya. 4. Pemodelan menggunakan regresi deret waktu. DAFTAR PUSTAKA [ BMG ] Badan Meteorologi dan Geofisika Uji Operasionalisasi dan Validasi Model Output Statistik (MOS). [Laporan]. Jakarta. [ BMKG ] Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika Kajian Aplikasi Model CCAM (Conformal Cubic Atmospheric Model)untuk Pengembangan MOS (Model Output Statistik) Prediksi Cuaca. [Laporan Tahunan]. Jakarta : Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. Bowerman BL, O Connell RT Time Series Forecasting Unified Concepts and Computer Implementation, 2 nd edition. USA : PWS Publishers. Clark MP, Hay LE Development of Operational Hydrologic Forecasting Capabilities. [terhubung berkala] rado.edu/admin/publicati on_files/resource-664-wwa_poster_7.pdf [17 Oktober 2012]. Cryer JD, Chan K Time series Analysis with Application in R, 2 nd edition. New york : Springer Science+Business Media, LCC. Enders W Applied Econometric Time Series 2 nd edition. New York : McGraw- Hill. Johnson RA, Wichern DW Applied Multivariate Statistical Analysis 6 th edition. USA : Pearson Education, Hill. Juanda B Ekonometrika : Pemodelan dan Pendugaan. Bogor : IPB press. Kadarsah Aplikasi ROC untuk Kehandalan Model HYBMG. [Jurnal Meteorologi dan Geofisika 11(1)]. Jakarta : Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. Kuan C-M Chapter 9 The Quasi- Maximum Likelihood Method: Theory. [terhubung berkala] t01/ch9.pdf [14 Agustus 2012]. Maini P, Kumar A Development of Statistical-Dynamical Models at NCMRWF for Predicting Location Specific Weather During Monsoon. New Delhi: Department of Science & Technology, National Centre for Medium Range Weather Forecasting. Neilley PP, Hanson KA Are Model Output Statistics Still Need? Preprints, 20th Conference on Weather Analysis and Forecasting/16th Conference on Numerical Weather Prediction, Seattle, WA, Amer. Meteor. Soc., CD-ROM, 6.4. Wigena AH Pemodelan Statistical Downscaling dengan Regresi Projection Pursuit untuk Peramalan Curah Hujan Bulanan. [Disertasi]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

19 LAMPIRAN 11

20 12 Lampiran 1 Letak stasiun pengamatan Citeko Gambar 7 Stasiun pengamatan Citeko beserta 9 titik terdekat

21 TMA X TMA X TMA X TMA X TMA X TMA X TM A X TMA X TMA X 13 Lampiran 2 Hasil scatterplot peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X) TM A X SCR(7,1) TMA X SCR(7,2) TMA X SCR(7,3) Gambar 8.a Scatterplot Y dan X1 Gambar 8.b Scatterplot Y dan X2 Gambar 8.c Scatterplot Y dan X TMA X SCR(7,4) TMA X SCR(7,5) TMA X SCR(7,6) Gambar 8.d Scatterplot Y dan X4 Gambar 8.e Scatterplot Y dan X5 Gambar 8.f Scatterplot Y dan X TMA X SCR(7,7) TMA X SCR(7,8) TMA X SCR(7,8) Gambar 8.g Scatterplot Y dan X8 Gambar 8.h Scatterplot Y dan X8 Gambar 8.i Scatterplot Y dan X9

22 Lampiran 3 Pemilihan model ragam sisaan 14

23 15 Lampiran 4 Verifikasi model yduga-rku yduga-total yobs-yduga ysisaanduga (yobsyduga)^2 jumlah (yobs-yduga)^ banyaknya data RMSE Correlations: TMAX, rku-arma-garch-ver Pearson correlation of TMAX and rku-arma-garch-ver = P-Value = 0.000

24 16 Lampiran 5 Validasi model yduga-sisaan ydugarku ydugatotal yobsyduga (yobsyduga)^2 jumlah (yobsyduga)^ banyaknya data RMSEP Correlations: TMAX-VAL, rku-arma-garch-val Pearson correlation of TMAX-VAL and rku-arma-garch-val = P-Value = 0.062