ANALISA DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 ANALISA DAN PEMBAHASAN

2 STATISTIK DESKRIPTIF Statistik Deskriptif Data Polusi Udara Variabel Total Total Non Mising Total Mising Mean Standar deviasi Minimum Maksimum PM CO O

3 MISSING OBSERVATIONS Pada data terdapat beberapa data yang hilang (missing observations) Untuk menangani masalah tersebut, t digunakan metode imputasi i yang terdapat pada paket statistika SAS Perbandingan Metode imputasi Metode MSE MEAN 374,7 MIN 595 MAX 8098 MSE terkecil yaitu dengan menggunakan metode MEAN untuk tahap selanjutnya, data yang hilang diganti. dengan rata-rata dari data polusi udara pada tiaptiap variabel.

4 Pemodelan Data Polusi Udara PEMODELAN DATA POLUSI UDARA Setelah diregresikan antara variabel independent (X) dan variabel dependent (Y), diperoleh model sebagai berikut : dimana t= 1, 2,.,1096. Nilai estimasi dari tiap-tiap variabel diberikan pada tabel berikut: Prediktor Koefisien SE T P Constant 47,444 1,521 31,20 0,000 CO 6,024 1,139 5,29 0,000 O 3 0, , ,30 0,763 Variabel yang tidak signifikan dikeluarkan dari model, dan dilakukan pemodelan regresi yang melibatkan variabel yang berpengaruh.sehingga, diperoleh model untuk polusi udara di Kota Surabaya adalah sebagai berikut:

5 PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL Asumsi residual dalam analisis regresi meliputi uji independen, identik dan berdistribusi normal (0, σ 2 ). Uji Asumsi Independen Dengan melihat hasilnya, nilai Durbin-Watson akan kecil jika terdapat korelasi positif, dan besar jika terdapat korelasi negatif. Sehubungan dengan data di atas, maka dengan bantuan MINITAB 14 diperoleh nilai Durbin-Watson sebesar dengan nilai d L =1, dan nilai d U =1, Karena nilai d W <d L,maka tolak H 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa residual terdapat autokorelasi atau asumsi independen tidak terpenuhi. Selain menggunakan Uji Durbin-Watson, keberadaan autokorelasi juga dapat dilihat dari plot ACF (Autocorrelation Function).

6 PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (2) Uji Asumsi Independen Autocorrelation Function for RESIDUAL (with 5% significance limits for the autocorrelations) Autocorrelation Lag

7 PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (3) Uji Asumsi Identik Salah satu uji untuk menguji heteroskedastisitas ini adalah dengan melihat scatter plot dari varians residual tersebut. Jika dari scatter plot terlihat bahwa penyebaran residual tidak teratur, maka dapat disimpulkan bahwa varian homoskedastisitas atau asumsi dipenuhi. Berikut ditampilkan output residual versus fit untuk mengetahui kehomogenan pada residual regresi.

8 PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (4) Uji Asumsi Identik 10.0 Residuals Versus the Fitted Values (response is PM10) sidual Standardized Re Fitted Value

9 PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (5) Uji Asumsi Berdistribusi Normal Selanjutnya, asumsi lain yang perlu dipenuhi adalah residual berdistribusi normal. Berikut merupakan Probability Plots dari residual Probability Plot of RESI2 Normal Mean E-13 StDev N 1096 AD P-Value <0.005 Percent RESI

10 PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (5) Dari beberapa pengujian asumsi di atas, hanya asumsi identik yang terpenuhi, sehingga residual dari model regresi tersebut perlu dianalisis lebih lanjut. Plot ACF menunjukkan bahwa masih terdapat lag-lag yang signifikan yang dapat diartikan bahwa masih terdapat pengaruh residual pada periode pengamatan saat ini (t) dengan residual pada pengamatan sebelumnya (t-k). Selanjutnya residual dari model regresi dimodelkan dengan pemodelan timeseries. Pada penelitian kali ini akan dilakukan pemodelan pada residual dengan pendekatan ARIMA dan ARFIMA. Model yang terbaik adalah model yang menghasilkan kesalahan yang lebih kecil.

11 PEMODELAN ARIMA Tahap ini meliputi identifikasi model, penaksiran parameter, uji diagnostik, pemilihan model terbaik dan peramalan. Identifikasi Model Pertama-tama, data dibagi dua menjadi data in sample dan out sample. Pada umumnya, tahapan identifikasi yang pertama kali dilakukan dalam pemodelan time series adalah melihat plot time series in sample. Time Series Plot of Insample sample Ins In d e x

12 PEMODELAN ARIMA(2) ARIMA mengasumsikan kondisi stasioner, sehingga perlu diuji stasioner dalam varian dan mean. Dilihat dari TS plot dan ACF Plot terlihat bahwa data telah stasioner dalam varian dan mean. Untuk menguji kestasioneran dalam mean digunakan uji Dickey Fuller dengan Didapatkan hasil sebagai berikut : Prediktor Koefisien SE Koefisien T P_value Y t-1-0, , ,06 0,000 Sehingga data telah stasioner, sebab δ signifikan dengan alpha 0.05.

13 PEMODELAN ARIMA(3) Karena residual model regresi sudah stasioner dalam mean dan varian, maka dapat dilakukan penentuan orde dari model AR atau MA. Berikut adalah plot ACF dan PACF dari residual regresi. Autocorrelation Function for Insample (with 5% significance limits for the autocorrelations) Partial Autocorrelation Function for Insample (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Autoc correlation Partial A utocorrelation Lag Lag Plot ACF dan PACF residual Regresi Sehingga, dapat dilakukan pendugaan model yaitu : ARIMA ([1,2,3,5,8,9,11,12],0,0) 11 12] 0)

14 PEMODELAN ARIMA(4) Penaksiran Parameter dan Uji Signifikansi Parameter Setelah diperoleh model dugaan, selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi sg s parameter e model. Taksiran parameter e dari model serta pengujian signifikansi parameter adalah ARIMA ([1,2,3,5,8,9,11,12],0,0). Setelah diestimasi dan dilakukan pengujian signifikansi parameter, terdapat parameter yang tidak signifikan. Parameter yang tidak signifikan dikeluarkan dari model satu persatu dimulai dari yang memiliki nilai p_value terbesar.

15 SIGNIFIKANSI PARAMETER ARIMA Sehingga diperoleh model yang semua parameternya signifikan yaitu model ARIMA ([1,2,5,12],0,0). Estimasi dan pengujian signifikansi parameter model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) 12] 0) ditampilkan pada berikut. Tabel. Estimasi Parameter untuk Model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) Parameter Estimasi T_hit P_value φ 1 0, ,44 <0,001 φ 2 0, ,98 0,0029 φ 3 0, ,99 <0,001 φ 4 0, ,84 0,001 Dari tabel 4.4 dapat dilihat bahwa semua parameter untuk model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) 12] 0) signifikan ifik pada α=5%.

16 Cek Diagnosa CEK DIAGNOSA RESIDUAL ARIMA Pada tahap ini dilakukan pengujian terhadap residual dari model, yaitu uji white noise yaitu residual bersifat identik dan independen serta pengujian terhadap asumsi kenormalan residual. Uji Asumsi White Noise Pengujian yang digunakan untuk uji asumsi independensi adalah Ljung Box.

17 CEK DIAGNOSA RESIDUAL ARIMA(2) Tabel Nilai Statistik Uji Chi-Square Residual Model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) Lag p_value Kesimpulan 6 4,76 0,0925 Gagal Tolak Ho 12 11,57 0,1714 Gagal Tolak Ho 18 13,18 0,5127 Gagal Tolak Ho 24 16,21 0,7033 Gagal Tolak Ho 30 20,10 0,7869 Gagal Tolak Ho 36 28,64 0,6371 Gagal Tolak Ho 42 32,26 0,7314 Gagal Tolak Ho 48 40,10 0,6396 Gagal Tolak Ho Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa dari residual ARIMA ([1,2,5,12],0,0) memenuhi asumsi white noise karena semua p-value lebih besar dari α=5%.

18 CEK DIAGNOSA RESIDUAL ARIMA(3) Pengujian Kenormalan Residual Hasil perhitungan Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat signifikansi kesalahan 5% untuk pengujian kenormalan residual dapat dilihat pada Tabel berikut. Pengujian Kenormalan Residual untuk Model Model Statistik Uji D p-value ARIMA ([1,2,5,12],0,0) 0,09659 <0,0100 nilai p_value untuk uji Kolmogorov-Smirnov (<0,0100) lebih kecil dari α=5%, maka dapat disimpulkan bahwa residual untuk model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) tidak berdistribusi normal pada tingkat signifikansi kesalahan 5%.

19 MODEL ARIMA TERBAIK Model terbaik untuk residual regresi adalah model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) AIC sebesar 9159,503 dan MSE out sample sebesar residual model ARIMA ([12512]00) ([1,2,5,12],0,0) tidak memenuhi asumsi normal karena terdapat outlier Time Series Plot of Aktual, Ramalan Outsample Variable Aktual Ramalan O utsample 150 Da ata Index

20 PEMODELAN ARFIMA Autocorrelation Function for Insample (with 5% significance limits for the autocorrelations) Time Series Plot of periodogram Autocorrelation periodogram Lag Index (a) (b) Long memory dapat dilihat dari plot ACF yang autokorelasinya turun lambat secara hiperbolik Selain itu dengan melihat bentuk periodogram. Bentuk periodogram yang meningkat menuju nilai yang sangat besar tetapi berhingga untuk frekuensi yang semakin mendekati nol (Gambar (b)) menunjukkan adanya ketergantungan jangka panjang

21 ESTIMASI PARAMETER MODEL ARFIMA Langkah-langkah: 1. estimasi nilai d. Pada penelitian ini ditentukan terlebih dahulu nilai parameter differencing d pada data keseluruhan (data in sample), sehingga dalam estimasi parameter dari model-model awal ARFIMA menggunakan nilai d yang sama. Data in sample residual regresi memiliki nilai d sebesar Ini dilihat dari nilai p_value = 0,000 yang lebih kecil dari nilai. 2. Estimasi aspek jangka pendek yaitu parameter p dan q dilihat dari plot ACF

22 ESTIMASI PARAMETER MODEL ARFIMA (2) Model No ARFIMA 1 1,d,, 1] 2 [1,2],d, 1 3 [1,2,3],d, 1 φ 1 φ 2 φ 3 θ 1-0, [0.000] [0.000] [0.000] 000] [0.059] 059] [0.000] 000] 0, , , , [0,003] 003] [0,183] [0,744] [0,000] 000] model dugaan adalah ARFIMA (1,d,1).

23 UJI ASUMSI RESIDUAL ARFIMA (1, d, 1) Model ARFIMA Normal ARCH 1-1 Portmanteau ARFIMA [0.000] 000]** [0.0183]* [0.8670] (1,d, 1) Residual untuk model ARFIMA (1 d 1) Residual untuk model ARFIMA (1,d, 1) memenuhi asumsi white noise, tetapi tidak memenuhi asumsi kenormalan.

24 MODEL ARFIMA TERBAIK AIC 9159,00399 MSE outsample 280,337 Pada ARFIMA (1,d,1) tidak memenuhi asumsi normal, sehingga analisis dilanjutkan dengan pendeteksian outlier.

25 PEMODELAN ARIMA DENGAN DETEKSI OUTLIER Outlier pada data menyebabkan ketidaknormalan. Outlier dapat dideteksi dengan menggunakan Boxplot Pada penelitian ini, i di ambil dua buah outlier yang paling ekstrim yaitu data ke-804 dan data ke Boxplot of R esi Resi

26 SIGNIFIKANSI PARAMETER ARFIMA Parameter Estimasi t-hit P_value φ -7,15 1-0, , θ 1 0, ,60 0,000 92, ,04 0, Model di atas sudah memenuhi asumsi white noise dan homogenitas tetapi belum memenuhi asumsi distribusi normal Persamaan model ARFIMA (1,d, 1) dapat dituliskan sebagai berikut AIC = 9125,61531 dan MSE sebesar 271,304

27 HISTOGRAM RESIDUAL ARFIMA Summary for REsi5 A nderson-darling Normality Test A -Squared P-Value < Mean StDev V ariance Skew ness Kurtosis N Minimum st Q uartile Median rd Q uartile Maximum % C onfidence Interv al for Mean % C onfidence Interv al for Median % Confidence Intervals 95% C onfidence Interv al for StDev Mean Median Ketidaknormalan data juga dapat dilihat dari nilai kurtosis yaitu 46,9632 (berdistribusi normal bila nilai kurtosis adalah nol). Pada penelitian ini, residual model ARFIMA (1,d,1) dengan outlier t=804 p, (,, ) g memiliki kurtosis positif, yang biasa disebut dengan leptoturtic

28 PERBANDINGAN MODEL ARIMA DAN ARFIMA Model AIC MSE ARIMA ([1,2,5,12],0,0) 9259, ,5336 ARFIMA (1,d, 1) dengan outlier t= , ,304 model regresi untuk pemodelan polusi udara mengikuti model ARFIMA sebagai berikut:

29 KESIMPULAN 1. Metode yang paling baik untuk mengatasi missing observations pada data penelitian ini adalah metode MEAN jika dibandingkan dengan metode MINIMUM dan MAKSIMUM. 2. Berdasarkan perhitungan MSE model regresi dengan error, kombinasi model regresi dan ARFIMA memberikan nilai MSE yang jauh lebih kecil dibandingkan model dengan kombinasi regresi dan ARIMA, sehingga dapat dikatakan bahwa model regresi dengan ARFIMA merupakan metode terbaik untuk memodelkan polusi udara di Kota Surabaya 3. Model terbaik yang diperoleh adalah model ARFIMA(1,d, 1) dengan outlier t=804

30 SARAN Saran yang dapat direkomendasikan untuk penelitian Saran yang dapat direkomendasikan untuk penelitian selanjutnya adalah dengan menambah variabel prediktor untuk mendapatkan pemodelan yang lebih sesuai.

31 DAFTAR PUSTAKA Dahlhaus, R., Efficient location and regression estimation for long range dependent regression models. Ann.Statist. 23, Doornik, J. A. dan Ooms, M. (2001) Computational Aspects of Maximum Likelihood Estimation of Autoregressive Fractionaly Integrated Moving Average models. Nuffield College, University of Oxford, Oxford OXI 1NF, UK and Departemen of Econometrics, Free University of Amsterdam 1081 HV Amsterdam, Te Nederlands. d Granger, C. W. J. (1980), An Introduction to Long-Memory Time Series Models and Fractional Differencing. Journal of Time Series Analysis, 1, Hall, P., Lahiri, S.N. dan Polzehl, J., On bandwidth choice in nonparametric regression with both short and longrange dependency errors. Ann. Statist. 23, Hanea, R., Data assimilation Concept and the Kalman Filter Approach for an Atmospheric Application. Bahan RWS, TU Delft. Hauser, M. A. (1998). Maximum Likelihood Estimators for ARMA and ARFIMA Models : A Monte Carlo Study. University of Econometrics and Business Administraton, Department of Statistics, Vienna. Iglesias, P., Jorquera, H., dan Palma, W. (2005). Data Analysis Using Regression Model with Missing Observations and Long-memory: An Application Study. Journal of Computational Statistics and Data Analysis 50, Irhamah. (2001). Perbandingan Metode metode Pendygaan Parameter Model ARFIMA. Tesis Magister (tidak dipublikasikan). Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. John, H.R., Spectrum Estimation With Missing Observations. Air Force Office of Scientific Research, Office of Aerospace Research, United Related Fields 95, Koul, H.L. dan Mukherjee, K., Asymptotics of R-, MD- and LAD estimators in linear regression with long range dependent errors. Probab. Theory Related Fields 95,

32 DAFTAR PUSTAKA Lardic S. dan Mignon V. (2003). The Exact Maximum Likelihood Estimation of ARFIMA Processed and Model Selection Criteria: A Monte Carlo Study. MODEM- CNRS, University of Paris X. Palma, W. dan Chan, N.H., Estimation and forecasting of long-memory processes with missing values. J. Forecasting 16, Palma, W. dan Del Pino, G., Statistical analysis of incomplete long-range dependent data. Biometrika 86, Robinson, P.M. dan Hidalgo, F.J., Time series regression with long-range dependence. Ann. Statist. 25, Sowell, F., Maximum likelihood estimation of stationary univariate fractionally integrated models. J. Econometrics 53, Wei, W.W.S. (1990), Time Series Analysis.Canada: Addison Wisley Pubblishing Company. Widarjono, A., Ekonometrika. Teori dan Aplikasi untuk Ekonomi dan Bisnis. Ekonisia. Yogyakarta. Yajima, Y., On estimation of a regression model with long-memory stationary errors. Ann. Statist. 16, Yajima,Y. dan Nishino, H., Estimation of the autocorrelation function of a stationary time series with missing observations. Sankhy a Ser. A 61,