ANALISIS RSA DENGAN PENAMBAHAN CHINESE REMAINDER THEOREM UNTUK MEMPERCEPAT PROSES DEKRIPSI NILAM AMALIA PUSPARANI G

Transkripsi

1 ANALISIS RSA DENGAN PENAMBAHAN CHINESE REMAINDER THEOREM UNTUK MEMPERCEPAT PROSES DEKRIPSI NILAM AMALIA PUSPARANI G DEPARTEMEN ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009

2 ANALISIS RSA DENGAN PENAMBAHAN CHINESE REMAINDER THEOREM UNTUK MEMPERCEPAT PROSES DEKRIPSI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Komputer pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh: NILAM AMALIA PUSPARANI G DEPARTEMEN ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009

3 ABSTRAK NILAM AMALIA PUSPARANI. Analisis RSA dengan Penambahan Chinese Remainder Theorem untuk Mempercepat Proses Dekripsi. Dibimbing oleh Dr. Sugi Guritman dan Panji Wasmana, S.Kom., M.Si. RSA merupakan algoritma kunci publik yang keamanannya bertumpu pada kesulitan untuk memfaktorkan modulus n yang sangat besar, tetapi kelebihan ini mengakibatkan lambatnya waktu untuk menyelesaikan proses. Penambahan CRT pada RSA diperlukan untuk mengefisienkan kinerja RSA. Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari kinerja RSA dari segi kecepatan dan keamanannya, serta menganalisis algoritmanya. Analisis kecepatan dilakukan dengan mengukur waktu kecepatan rata-rata enkripsi dan dekripsi RSA dan RSA-CRT. Analisis keamanan dilakukan melalui studi literatur. Dari hasil analisis algoritma, dapat ditarik kesimpulan bahwa RSA dan RSA-CRT memiliki kompleksitas yang sama untuk algoritma pembangkitan kunci dan proses enkripsi, yaitu O((lg n) 3 ). Tetapi pada pembangkitan kunci RSA-CRT, ada bagian yang kompleksitasnya O((lg (n/2)) 2 ). Algoritma dekripsi RSA memiliki kompleksitas O((lg n) 3 ), sedangkan RSA-CRT memiliki kompleksitas O((lg (n/2)) 3 ). Hasil ini dikuatkan oleh hasil implementasi yang memperoleh waktu dekripsi RSA-CRT yang lebih cepat dibandingkan waktu dekripsi RSA. Waktu rata-rata running time proses dekripsi RSA adalah ms, sedangkan pada RSA-CRT diperoleh running time rata-rata proses dekripsi ms. Kata kunci : RSA, RSA-CRT, Chinese Remainder Theorem.

4 Judul Nama NRP : Analisis RSA dengan Penambahan Chinese Remainder Theorem untuk Mempercepat Proses Dekripsi : Nilam Amalia Pusparani : G Pembimbing I, Menyetujui: Pembimbing II, Dr. Sugi Guritman NIP Panji Wasmana, S.Kom., M.Si NIP Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. drh. Hasim, DEA NIP Tanggal Lulus:

5 PRAKATA Puji syukur diucapkan ke hadirat Allah SWT atas segala curahan rahmat dan karunia-nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi ini merupakan hasil penelitian dengan bidang kajian Analisis RSA dengan Penambahan Chinese Remainder Theorem untuk Mempercepat Proses Dekripsi. Terima kasih kepada Bapak Dr. Sugi Guritman selaku pembimbing I yang telah banyak membantu dalam menyusun skripsi ini. Terima kasih juga diucapkan kepada Bapak Panji Wasmana, S.Kom., M.Si selaku pembimbing II yang telah banyak memberi saran, masukan, dan ide-ide. Ucapan terima kasih juga kepada Bapak Sony Hartono Wijaya, S.Kom, M.Kom selaku penguji yang telah banyak memberi saran dan masukan. Terima kasih juga diucapkan kepada: 1 Papa dan Mama yang selalu memberikan doa, nasihat, dukungan, semangat, dan kasih sayang yang luar biasa sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. 2 Aa Galuh dan Teh Wita yang selalu memberikan semangat dan dukungan. 3 Kang Irfan Shidqon yang telah menyemangati dan menemani saat-saat tersulit dalam penyelesain tugas akhir ini. 4 Mba Anggun yang telah menjadi sahabat terbaik. 5 Mas Ifnu dan Dian yang telah banyak membantu disaat sedang susah. 6 Ardi, Erna, dan Zaki M yang telah menjadi sahabat yang menemani dalam suka dan duka. 7 Phia dan Hilma atas persahabatannya yang indah. 8 Setya yang sering membantu menjelaskan program dan menghilangkan virus di laptop. 9 Lana, Riza, dan Musa yang telah memberikan dukungan, inspirasi, dan membantu selama perkuliahan di IPB. 10 Martin, Jefry, dan Wikhdal yang telah bersedia menjadi pembahas seminar. 11 Teman-teman yang berada dalam satu bimbingan: Nurul, Fitri, Alfath, Adi, dan Kaspar atas kerjasamanya selama penelitian. 12 Teman-teman Ilkom angkatan 39 yang telah banyak membantu selama menjalani perkuliahan di IPB. 13 Departemen Ilmu Komputer, staf, dan dosen yang telah banyak membantu baik selama penelitian maupun pada masa perkuliahan. Kepada semua pihak lainnya yang telah memberikan kontribusi yang besar selama pengerjaan penelitian ini yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, Penulis ucapkan terima kasih banyak. Semoga penelitian ini dapat memberikan manfaat. Bogor, Januari 2009 Nilam Amalia Pusparani

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 4 Mei 1985 dari ayah Endhay Kusnendar Mulyana Kontara dan ibu Iin Siti Djunaidah. Penulis merupakan anak kedua dari dua bersaudara. Tahun 2002 Penulis lulus dari SMUN 1 Jepara dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Ilmu Komputer, Departemen Ilmu Komputer, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB. Pada tahun 2005 Penulis melakukan kegiatan praktek lapang di Seameo Biotrop (Southeast Asian Regional Centre for Tropical Biology) Bogor selama kurang lebih dua bulan.

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL...vii DAFTAR GAMBAR...vii DAFTAR LAMPIRAN...vii PENDAHULUAN Latar Belakang...1 Tujuan Penelitian...1 Ruang Lingkup...1 TINJAUAN PUSTAKA Kriptografi...1 Kriptanalisis...1 Kriptosistem...1 Fungsi Satu Arah Pintu Jebakan...2 Enkripsi Kunci Publik...2 RSA (Rivest-Shamir-Adleman)...2 Algoritma Euclid...2 Relatif Prima...3 CRT (The Chinese Remainder Theorem)...3 RSA-CRT (Rivest-Shamir-Adleman-Chinese Remainder Theorem)...4 Analisis Algoritma...4 Analisis Uji Running Time...4 METODE PENELITIAN Analisis Algoritma...4 Analisis Keamanan...4 Analisis Hasil Implementasi...4 Spesifikasi Uji Implementasi...4 Lingkungan Penelitian...5 HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis Algoritma Analisis Subrutin RSA dan RSA-CRT Analisis Subrutin Primality Test Analisis Subrutin Euclid Analisis Subrutin Extended Euclid Analisis Subrutin Modular Exponentiation Analisis Algoritma RSA Analisis Algoritma Pembangkitan Kunci Analisis Algoritma Enkripsi Analisis Algorirma Dekripsi...6

8 Halaman 3. Analisis Algoritma RSA-CRT Analisis Algoritma Pembangkitan Kunci Analisis Algoritma Enkripsi Analisis Algorirma Dekripsi...7 Analisis Kemanan...7 Analisis Hasil Implementasi...8 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 11

9 DAFTAR TABEL Halaman 1 Waktu MIPS untuk Faktorisasi n Hasil pengukuran waktu enkripsi RSA Hasil pengukuran waktu dekripsi RSA Hasil pengukuran waktu enkripsi RSA-CRT Hasil pengukuran waktu dekripsi RSA-CRT...9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Teknik enkripsi menggunakan kunci publik Proses enkripsi pesan pada RSA Proses dekripsi pesan pada RSA Proses enkripsi pesan pada RSA-CRT Proses dekripsi pesan pada RSA-CRT Grafik hubungan waktu enkripsi RSA dan RSA-CRT terhadap ukuran file Grafik hubungan waktu dekripsi RSA dan RSA-CRT terhadap ukuran file...9 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Tampilan client Tampilan server Tampilan saat melakukan koneksi pada client Tampilan saat melakukan koneksi pada server Contoh pengiriman pesan dari client ke server menggunakan algoritma RSA Contoh pengiriman pesan dari server ke client menggunakan algoritma RSA-CRT Hasil pembangkitan kunci Contoh plaintext Ciphertext Hasil proses dekripsi Rincian waktu eksekusi enkripsi pada RSA Rincian waktu eksekusi dekripsi pada RSA Rincian waktu eksekusi enkripsi pada RSA-CRT Rincian waktu eksekusi dekripsi pada RSA-CRT... 22

10 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam era globalisasi sekarang ini, keamanan merupakan aspek yang sangat penting dalam transaksi informasi. Informasi yang dipertukarkan tidak semuanya terbuka bagi setiap orang. Informasi tersebut terkadang hanya ditujukan bagi kalangan tertentu saja dan dijaga kerahasiaanya dari orang lain. Teknik mengamankan informasi tersebut erat kaitannya dengan kriptografi. Kriptografi adalah studi teknik matematik yang berkaitan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan, integritas data, autentikasi entitas, dan autentikasi asal data (Menezes et al. 1996). Dalam kriptografi, ada dua proses yang sangat penting, yaitu enkripsi dan dekripsi. Enkripsi merupakan proses mengubah pesan asli (plaintext) menjadi pesan yang dikodekan (ciphertext). Sedangkan dekripsi adalah proses mendapatkan plaintext dari ciphertext. Beberapa algoritma yang digunakan untuk enkripsi dan dekripsi pesan, misalnya Data Encryption Standard (DES), Triple-DES, Advanced Encryption Standard (AES), Blowfish, 3DES, RC5, RSA, dan lain sebagainya. RSA adalah sebuah algoritma pada enkripsi kunci publik yang dikembangkan oleh Rivest- Shamir-Adleman. Algoritma ini menggunakan kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi. Keamanan metode ini terletak pada kesulitan untuk memfaktorkan modulus n yang sangat besar, tetapi kelebihan ini mengakibatkan lambatnya waktu untuk menyelesaikan proses. Sedangkan RSA-CRT adalah RSA yang dimodifikasi dengan menggunakan CRT yang bertujuan untuk mempercepat proses dekripsi. Quadratic Sieve dan Generalized Number Field Sieve merupakan algoritma faktorisasi bilangan bulat yang dapat menyerang RSA. Untuk mengatasi hal ini, maka dipilih nilai n yang besar. Nilai n besar membutuhkan sumber daya yang besar juga, maka dari itu diperlukan RSA-CRT untuk mengefisiensikan kinerja RSA. Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Mengimplementasikan skema enkripsi dan dekripsi RSA dan RSA-CRT. 2. Menganalisis tingkat keamanan serta waktu yang dibutuhkan untuk proses enkripsi dan dekripsi. Ruang Lingkup Penelitian ini menggunakan RSA sebagai algoritma enkripsi dan dekripsi pesan dan penambahan CRT pada RSA-CRT. Modulus n yang digunakan sepanjang 1024 bit. Penelitian dititikberatkan pada analisis algoritma dan kinerja algoritma RSA dan RSA- CRT yang meliputi analisis keamanan melalui telaah pustaka dan analisis uji running time enkripsi dan dekripsi. Data yang digunakan dalam percobaan adalah file teks (.txt) dengan ukuran yang bervariasi dari 1764 byte sampai dengan byte. TINJAUAN PUSTAKA Kriptografi Kriptografi adalah studi teknik matematik yang berkaitan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan, integritas data, autentikasi entitas, dan autentikasi asal data (Menezes et al. 1996). Kriptografi dapat memenuhi kebutuhan umum suatu transaksi yaitu: 1. Kerahasiaan (confidentiality) dijamin dengan melakukan enkripsi (penyandian). 2. Keutuhan (integrity) atas data-data pembayaran dilakukan dengan fungsi hash satu arah. 3. Jaminan atas identitas dan keabsahan (authenticity) pihak-pihak yang melakukan transaksi dilakukan dengan menggunakan password atau sertifikat dijital. Sedangkan keautentikan data transaksi dapat dilakukan dengan tanda tangan dijital. 4. Transaksi dapat dijadikan barang bukti yang tidak bisa disangkal (nonrepudiation) dengan memanfaatkan tanda tangan digital dan sertifikat dijital. Kriptanalisis Kriptanalisis adalah suatu ilmu dan seni membuka (breaking) ciphertext. Orang yang melakukannya disebut kriptanalis (Stallings 2003). Kriptosistem Kriptosistem adalah suatu fasilitas untuk mengkonversikan plaintext ke ciphertext dan sebaliknya. Proses enkripsi dan dekripsi diatur oleh satu atau beberapa kunci kriptografi. Secara umum, kunci-kunci yang digunakan untuk proses pengenkripsian dan pendekripsisan tidak perlu identik, tergantung pada sistem yang digunakan (Stallings 2003).

11 Fungsi Satu Arah Pintu Jebakan Fungsi satu arah pintu jebakan adalah fungsi satu arah f : A B yang apabila diberikan informasi ekstra, maka perhitungan mencari nilai x A, diketahui y B sehingga y = f(x), menjadi mudah (Guritman 2003). Enkripsi Kunci Publik Pada enkripsi kunci publik, satu kunci digunakan untuk enkripsi dan satu kunci digunakan untuk dekripsi. Kunci enkripsi disediakan untuk umum, sedangkan kunci dekripsi harus dijaga kerahasiannya. Pengirim dan penerima pesan harus mempunyai satu dari pasangan kunci yang cocok. Algoritma ini mempunyai karakteristik yang penting yaitu secara perhitungan tidak layak menentukan kunci dekripsi dari kunci enkripsi (Stallings 2003). Berikut ini adalah hal-hal yang dibutuhkan supaya keamanan enkripsi kunci publik tetap terjaga. 1. Salah satu kunci harus dijaga kerahasiannya. 2. Pesan tidak dapat di-dechipher jika tidak ada informasi ekstra. 3. Kunci yang lain tidak bisa ditentukan walaupun dilengkapi dengan pengetahuan mengenai algoritma, salah satu kunci, dan contoh-contoh dari ciphertext. Misalkan {Ee/e K} adalah himpunan semua transformasi enkripsi dan {Dd/d K} adalah himpunan semua transformasi dekripsi yang terkait, dimana K adalah ruang kunci. Pasangan transfromasi (Ee, Dd) mempunyai sifat bahwa diketahui Ee dan sembarang c C, secara perhitungan tidak layak dapat menentukan m M sehingga Ee(m) = c. Diasumsikan bahwa transformasi enkripsi Ee adalah fungsi satu arah pintu jebakan, sehingga kunci dekripsi d dapat dihitung dari e yang ditambahkan informasi ekstra. Dalam penggunaan model enkripsi ini, kunci yang digunakan berbeda untuk enkripsi dan dekripsi. Digambarkan pada Gambar 1, pembangkitan kunci akan menghasilkan dua buah kunci, yaitu kunci enkripsi dan kunci dekripsi. Kunci enkripsi dapat diketahui oleh umum, sedangkan kunci dekripsi dijaga kerahasiannya. RSA (Rivest-Shamir-Adleman) RSA adalah sebuah algoritma pada enkripsi kunci publik yang dikembangkan oleh Rivest- Shamir-Adleman. Algoritma ini menggunakan kunci publik untuk enkripsi dan kunci pribadi untuk dekripsi. Keamanan metode ini terletak pada kesulitan untuk memfaktorkan modulus n yang sangat besar, tetapi kelebihan ini mengakibatkan lambatnya waktu untuk menyelesaikan proses. Algoritma ini memberikan tujuan kerahasiaan dan penandaan dijital. Keamanan bertumpu kepada kompleksitas problem faktorisasi bilangan bulat. Tiga tahapan dari algoritma RSA adalah pembangkitan kunci, enkripsi, dan dekripsi. Enkripsi adalah proses mengubah pesan asli (plaintext) menjadi pesan yang dikodekan (ciphertext), sedangkan dekripsi adalah proses mendapatkan plaintext dari ciphertext (Stallings 2003). Pembangkitan kuncinya adalah sebagai berikut. 1. Pilih dua bilangan prima, p dan q secara acak dan terpisah untuk setiap p dan q. Hitung n = p x q. 2. Hitung (n) = (p-1) (q-1). 3. Pilih bilangan bulat antara satu dan (1<e< ) yang juga merupakan coprime dari. Coprime yang dimaksud adalah bilangan terbesar yang dapat membagi e dan untuk menghasilkan nilai 1 (pembagi ini dinyatakan dengan gcd (greatest common divisor). 4. Hitung d, dimana d e -1 mod (n). Enkripsi pada RSA adalah sebagai berikut. 1. Plaintext : M < n. 2. Ciphertext : C = M e (mod n). Dekripsi pada RSA adalah sebagai berikut. 1. Ciphertext : C. 2. Plaintext : M = C d (mod n). Gambar 1 Teknik enkripsi menggunakan kunci publik. Algoritma Euclid Algoritma Euclid merupakan salah satu teknik dalam teori bilangan yang berfungsi untuk menentukan gcd dari dua bilangan bulat positif (Stallings 2003). Jika a, b +, maka

12 dengan algoritma pembagian berlaku langkahlangkah berikut ini. Langkah ke-1 a = q 1 b + r 1 0< r 1 <b Langkah ke-2 b = q 2 r 1 + r 2 0<r 2 < r 1 Langkah ke-3 r 1 = q 3 r 2 + r 3 0<r 1 < r Langkah ke(i+2) r i = q i+2 r i+1 +r i+2 0<r i+2 < r i Langkah ke-k r k-2 = q k r k-1 +r k 0<r k <r k-1 Langkah ke-(k+2) r k-1 = q k+1 r k Maka r k, sisa tak nol terakhir, adalah gcd(a,b). Notasi gcd (a, b) mempunyai arti gcd dari a dan b. Nilai gcd yang diperoleh harus positif, maka gcd (a, b) = gcd (a, -b) = gcd (-a, b) = gcd (-a, -b) = gcd ( a, b ) (Stallings 2003). Sifatsifat lain dari pembagi bersama terbesar adalah: 1. gcd (a, 0) = a dan gcd (0,0) tak terdefinisikan, 2. c = gcd (a, b) gcd (a/c, b/c) = 1. Bilangan bulat a dan b disebut prima relatif jika gcd (a, b) =1. Berdasarkan teorema, ada x, y Z sehingga xa + yb = 1. Teorema: Untuk setiap a, b +, ada tepat satu c + sehingga c = gcd (a, b). Selanjutnya ada x, y + sehingga c = xa + yb (c adalah suatu kombinasi linear dari a dan b). Algoritma Euclid: EUCLID(a,b) (a) A a ; B b (b) if B = 0 return A = gcd (a, b) (c) R = A mod B (d) A B (e) B R (f) goto 2 Algoritma Euclid dapat diperluas sehingga tidak hanya menghasilkan gcd dari dua bilangan bulat a dan b, tetapi juga menghasilkan bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = d. Prosedur berikut merupakan algoritma Euclid yang diperluas. procedure gcd (a, b : bilangan bulat positif, positif, a b) begin if b = 0 then begin d := a, x := 1, y := 0 return (d, x, y) end x2 := 1, x1 := 0, y2 := 0, y1 := 1 while b > 0 do begin q:= a/b, r:=a qb, x:=x2 qx1, y:= y2- qy1 a:=b, b:=r, x2:=x1, x1:=x, y2:=y1, y1:=y end d := a, x := x2, y := y2 return (d, x, y) end Relatif Prima Dua buah bilangan a dan b disebut relatif prima apabila gcd (a, b) = 1. Sebagai contoh bilangan 7 dan 11 adalah relatif prima, karena pembagi 7 dan 1 adalah 7, sedangkan pembagi 11 adalah 1 dan 11, sehingga gcd (7, 11) = 1 (Cornel et al. 1990) CRT (The Chinese Remainder Theorem) CRT adalah suatu pernyataan tentang kongruensi simultan. Misalkan n 1,..., n k adalah bilangan bulat positif yang setiap pasangnya adalah coprime (yang artinya gcd (n i, n j ) = 1 untuk setiap i j). Untuk setiap bilangan bulat a 1,..., a k, selalu ada bilangan bulat x yang merupakan penyelesaian dari sistem kongruensi simultan (Wells 1992). (a) x_solves_it=true; (b) for(i= 1; i <= k; i++) (c) if(x % n[i]!= a[i] % n[i]) (d) x_solves_it=false; Suatu penyelesaian x dapat ditemukan dengan cara sebagai berikut. Untuk setiap i, bilangan bulat n i dan n/n i adalah coprime, dan menggunakan ekstensi algoritma Euclid kita dapat menemukan bilangan bulat r dan s sehingga r n i + s n/n i = 1. Jika kita menentukan e i = s n/n i, maka untuk j i sebagai berikut. (a) for (i= 1; i <= k; i++) (b) {r, s}= ExtendedEuclid( n[i], n / n[i] ); (c) e[i]= s * n / n[i]; (d) for(j= 1; j <= k; j++) (e) if (j!= i) (f) assert(e[i]%n[i]==1&&e[i]%n[j]==0); Penyelesaian dari sistem kongruensi simultan ini adalah: (a) for(i= 1; i <= k; i++)

13 (b) x += a[i] * e[i]; RSA-CRT (Rivest-Shamir-Adleman-Chinese Remainder Theorem) RSA-CRT adalah RSA yang dimodifikasi dengan penambahan CRT sehingga menghasilkan waktu dekripsi yang lebih cepat dibandingkan RSA tanpa CRT. Pembangkitan kuncinya adalah sebagai berikut. 1. Pilih bilangan prima p dan q secara acak, sehingga gcd (p-1, q-1) = Hitung n = p x q. 3. Pilih 2 bilangan bulat dp dan dq secara acak, sehingga gcd (dp, p-1) = 1, gcd (dq, q-1) = 1dan dp == dq mod Cari suatu nilai d sehingga d == dp mod p-1 dan d == dq mod q Hitung e = d -1 (mod (n)). Enkripsi pada RSA-CRT adalah sebagai berikut. 1. Plaintext : M < n. 2. Ciphertext : C = M e (mod n). Dekripsi pada RSA-CRT adalah sebagai berikut. 1. Mp = C dp mod p dan Mq = C dq mod q. 2. v = (Mq Mp) p_inv_q mod q. 3. M = Mp + pv. Analisis Algoritma Analisis algoritma dilakukan untuk menduga besarnya sumber daya waktu yang dibutuhkan untuk sembarang ukuran input n (Cormen et al. 1990). Kompleksitas, T(n), didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan oleh suatu algoritma untuk menyelesaikan proses dengan input berukuran n. Berdasarkan waktu eksekusi program T(n), dapat ditentukan growth rate-nya, yaitu laju pertumbuhan waktu terhadap variasi ukuran input. Sebagai contoh, analisis suatu algoritma menghasilkan T(n) = an 2 + bn + c, dengan a, b, dan c adalah suatu konstanta, maka dapat dikatakan growth rate algoritma tersebut adalah n 2 yang merupakan bagian paling signifikan pada polinomial an 2 + bn + c. Nilai-nilai konstanta a, b, dan c tergantung pada jenis komputer dan platform bahasa pemrograman yang hanya dapat ditentukan melalui percobaan eksekusi program. Kompleksitas komputasi dari suatu algoritma memberikan gambaran umum bagaimana perubahan T(n) terhadap n. Kompleksitas waktu ini tidak dipengaruhi oleh faktor-faktor nonteknis implementasi seperti bahasa pemrograman ataupun sarana perangkat lunak tertentu. Dalam platform uji yang seragam, suatu algoritma dengan growth rate yang rendah, misalkan log n atau n log n, lebih cepat jika dibandingkan dengan algoritma yang memiliki growth rate lebih besar, misalnya n 2, n 3, n!, dan n n. Analisis Uji Running Time Running time dari suatu algoritma didefinisikan sebagai ukuran operasi primitif atau tahapan proses yang dieksekusi (Cormen et al. 1990). Jika ditinjau pada sisi waktu, maka running time dapat didefinisikan sebagai ukuran waktu total yang dibutuhkan untuk melakukan seluruh operasi primitif atau tahapan proses yang dieksekusi. Pada penelitian ini, algoritma RSA dan RSA-CRT dievaluasi (diukur) berdasarkan keadaan running time untuk waktu rata-rata. METODE PENELITIAN Analisis Algoritma Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap kompleksitas algoritma RSA dan RSA-CRT yang meliputi: a. kompleksitas algoritma pembangkitan kunci, b. kompleksitas algoritma enkripsi, dan c. kompleksitas algoritma dekripsi. Analisis Keamanan Pada tahap ini dilakukan analisis keamanan algoritma RSA dan RSA-CRT melalui telaah pustaka dari berbagai literatur. Literatur diambil dari buku, makalah, dan internet. Analisis Hasil Implementasi Pada tahap ini dilakukan analisis uji running time terhadap hasil implementasi enkripsi dan dekripsi algoritma RSA dan RSA-CRT. Hal-hal yang diamati adalah: a. Waktu yang diperlukan untuk melakukan enkripsi pada RSA dan enkripsi pada RSA- CRT serta hubungannya terhadap ukuran file yang berbeda. b. Waktu yang diperlukan untuk melakukan dekripsi pada RSA dan dekripsi pada RSA- CRT serta hubungannya terhadap ukuran file yang berbeda. Spesifikasi Uji Implementasi Uji implementasi dilakukan dengan menggunakan 10 ukuran file teks yang berbeda dalam selang 1764 byte sampai dengan byte sebagai obyek kajian, dilanjutkan dengan

14 pengukuran running time dari setiap perlakuan. Ulangan setiap perlakuan dilakukan sebanyak 10 kali untuk masing-masing RSA dan RSA- CRT. Lingkungan Penelitian Perangkat keras dan perangkat lunak yang digunakan adalah sebagai berikut. a. Perangkat lunak: sistem operasi Windows XP Professional Edition dan aplikasi bahasa pemrograman Java, b. Perangkat keras: Prosesor Intel Core Duo. HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis Algoritma Pada penelitian ini dilakukan analisis terhadap algoritma RSA dan RSA-CRT. Algoritma tersebut dapat dibagi menjadi tiga bagian utama, yaitu algoritma pembangkitan kunci, algoritma enkripsi, dan algoritma dekripsi. Adapun subrutin-subrutinnya diacu dari Menezes. Masing-masing algoritma tersebut dapat dilihat pada analisis berikut. 1. Analisis Subrutin RSA dan RSA-CRT 1.1 Analisis Subrutin Primality Test Pada subrutin ini RSA menggunakan algoritma Miller-Rabin. Algoritma Miller-Rabin adalah sebagai berikut. (a) x ;= a m mod n; (b) If (x 1 mod n) return n is prime and halt; (c) For (j = 0, 1,..., k-1) (d) If (x -1 mod n) return n is prime and halt; (e) Else x := x 2 mod n; (f) Return n is composite and halt; Subrutin Primality Test menggunakan algoritma modular exponentiation, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 3 ). (Menezes et al. 1996). 1.2 Analisis Subrutin Euclid Subrutin Euclid berfungsi untuk menentukan gcd antara 2 bilangan bulat a dan b. Algoritma subrutin Euclid adalah sebagai berikut. (a) If b = 0 Then (b) Euclid a (c) Else (d) Euclid (b, a mod b) Proses ini dilakukan dengan menggunakan algoritma perkalian, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 2 ). (Menezes et al. 1996). 1.3 Analisis Subrutin Extended Euclid Subrutin Extended Euclid digunakan untuk mencari kunci pribadi. Algoritma subrutin Extended Euclid adalah sebagai berikut. (a) If b = 0 Then (b) return (a, 1, 0) (c) (d1, x1, y1) Extended Euclid (b, a, mod b) (d) (d, x, y) (d1, y1, x1 - a/b y1) (e) return (d, x, y) Subrutin Extended Euclid juga menggunakan algoritma perkalian, sama seperti pada subrutin Euclid, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 2 ). (Menezes et al. 1996). 1.4 Analisis Subrutin Modular Exponentiation Algoritma Modular Exponentiation digunakan untuk melakukan operasi modular, a b mod n. Algoritmanya adalah sebagai berikut. (a) d 1 (b) Andaikan (b 1, b 2,... b k-1, b k ) adalah representasi biner dari b (c) Untuk i 1 sampai k lakukan (d) d (d*d) mod n (e) Jika b i = 1 maka (f) d (d*a) mod n (g) Modular Exponentiation d Algoritma Modular Exponentiation mempunyai kompleksitas sebesar O((lg n) 3 ) (Menezes et al. 1996). 2. Analisis Algoritma RSA 2.1 Analisis Algoritma Pembangkitan Kunci (a) Pilih dua bilangan prima, p dan q secara acak dan terpisah untuk setiap p dan q. (b) Hitung n = p x q. (c) Hitung (n) = (p-1) (q-1). (d) Pilih bilangan bulat antara satu dan (1<e< ) yang juga merupakan coprime dari. Coprime yang dimaksud adalah bilangan terbesar yang dapat membagi e dan untuk menghasilkan nilai 1 (pembagi ini dinyatakan dengan gcd. (e) Hitung d, dimana d e -1 mod (n). Pada baris (a), diperlukan algoritma Miller- Rabin untuk menentukan prima tidaknya suatu bilangan, sehingga kompleksitasnya sebesar O((lg n) 3 ). Baris (b) dan (c) merupakan

15 perkalian biasa, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 2 ). Baris (d) menggunakan subrutin Euclid, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 2 ). Baris (e) menggunakan subrutin Extended Euclid yang mempunyai kompleksitas sebesar O((lg n) 2 ). Jadi total secara keseluruhan, kompleksitas algoritma pembangkitan kunci pada RSA adalah O((lg n) 3 ). 2.2 Analisis Algoritma Enkripsi Diagram alir proses enkripsi pada algoritma RSA dapat dilihat pada Gambar 2. Kunci Publik (n,e) Plaintext Proses Enkripsi Pesan Gambar 3 Proses dekripsi pesan pada RSA Proses dekripsi pesan pada RSA adalah menghitung M, dimana M = C d (mod n), dengan d adalah eksponen dekripsi, M adalah plaintext, C adalah ciphertext, dan n adalah modulus. Proses ini dilakukan menggunakan algoritma modular exponentiation, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 3 ). Ciphertext Gambar 2 Proses enkripsi pesan pada RSA Proses enkripsi pesan pada RSA adalah menghitung C, dimana C = M e (mod n), dengan e adalah eksponen enkripsi, M adalah plaintext, C adalah ciphertext, dan n adalah modulus. Proses ini dilakukan menggunakan algoritma modular exponentiation, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 3 ). 2.3 Analisis Algoritma Dekripsi Diagram alir proses dekripsi pada algoritma RSA dapat dilihat pada Gambar Analisis Algoritma RSA-CRT 3.1 Analisis Algoritma Pembangkitan Kunci (a) Pilih bilangan prima p dan q secara acak, sehingga gcd (p-1, q-1) = 2. (b) Hitung n = p x q. (c) Pilih 2 bilangan bulat dp dan dq secara acak, sehingga gcd (dp, p-1) = 1, gcd (dq, q-1) = 1dan dp == dq mod 2. (d) Cari suatu nilai d sehingga d == dp mod p-1 dan d == dq mod q-1. (e) Hitung e = d -1 (mod (n)). Pada baris (a) menggunakan algoritma Miller-Rabin, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 3 ). Baris (b) merupakan perkalian biasa, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 2 ). Pada baris (c), dp Є Z* p-1 dan dq Є Z* q-1. Didapat O((lg (p-1) 2 ) + (lg (q-1) 2 )) = O((lg (n/2)) 2. Baris (d) merupakan operasi modular biasa, sehingga didapat, O((lg (p-1)) + (lg (q- 1))) = O((lg (n/2)). Baris (e) menggunakan subrutin Extended Euclid yang mempunyai kompleksitas sebesar O((lg n) 2 ). Jadi total secara keseluruhan, kompleksitas algoritma pembangkitan kunci pada RSA-CRT adalah O((lg n) 3 ). 3.2 Analisis Algoritma Enkripsi Diagram alir proses enkripsi pada algoritma RSA-CRT dapat dilihat pada Gambar 4.

16 mempunyai kompleksitas sebesar O((lg (n/2)) 2 ). Pada baris (c) dapat diperoleh, O((lg p) ((lg (n/2)) 2 ) = O((lg (n/2)) 3 ). Jadi total secara keseluruhan, kompleksitas algoritma dekripsi pada RSA-CRT adalah O((lg (n/2)) 3 ). Gambar 4 Proses enkripsi pesan pada RSA- CRT Proses enkripsi pesan pada RSA-CRT adalah menghitung C, dimana C = M e (mod n), dengan e adalah eksponen enkripsi, M adalah plaintext, C adalah ciphertext, dan n adalah modulus. Proses ini dilakukan menggunakan algoritma modular exponentiation, sehingga kompleksitasnya adalah O((lg n) 3 ). 3.3 Analisis Algoritma Dekripsi Diagram alir proses dekripsi pada algoritma RSA-CRT dapat dilihat pada Gambar 5. Gambar 5 Proses dekripsi pesan pada RSA- CRT Algoritma dekripsi pada RSA-CRT adalah sebagai berikut. (a) Mp = C dp mod p dan Mq = C dq mod q (b) v = (Mq Mp) p_inv_q mod q (c) M = Mp + pv Pada baris (a) menggunakan algoritma modular exponentiation, sehingga di dapat, O(((lg p) 3 ) + ((lg q) 3 )) = O((lg (n/2)) 3 ). Baris (b) Analisis Keamanan Kekuatan algoritma RSA terletak pada tingkat kesulitan memfaktorkan modulus n. Jika n berhasil difaktorkan menjadi p dan q, maka (n) = (p-1) (q-1) dapat dihitung. Selanjutnya, karena kunci enkripsi e tidak rahasia, maka kunci dekripsi d dapat dihitung dari persamaan d e -1 mod (n). Algoritma RSA dikatakan aman jika penyerang sulit memfaktorkan modulus n menjadi p dan q. Untuk n yang besar dengan faktor prima yang besar juga, akan sulit untuk memfaktorkannya. Hal ini yang menjadi alasan mengapa RSA bertumpu kepada faktorisasi bilangan bulat. Nilai p dan q panjangnya lebih dari 100 digit. Dengan demikian hasil kali n = p x q akan lebih dari 200 digit. Usaha untuk memfaktorkan bilangan bulat 200 digit menjadi faktornya sangat besar. Ada beberapa serangan terhadap implementasi RSA. Serangan-serangan ini umumnya mengeksploitasi kelemahan dalam cara RSA digunakan, bukan merusak algoritma RSA. Berikut ini adalah beberapa serangannya, yang secara teori dapat dilakukan. 1. Brute force Diberikan c = m e mod n, coba semua nilai kunci d ; 0 e (n) untuk memenuhi m = c d mod n. Dalam prakteknya, K = (n) 2500 ruang kunci yang begitu besar tidak memungkinkan untuk menemukan d. 2. Mencari (n) Diberikan n, e, c = m e mod n. Cari (n) dan hitung d = e -1 mod (n). menghitung (n) dipercaya sesulit memfaktorkan n. 3. Langsung mencari nilai d Diberikan n, e, c = m e mod n. Cari nilai d dan hitung m = c d mod n. menghitung d dipercaya sesulit memfaktorkan n. 4. Memfaktorkan n Diberikan n, e, c = m e mod n, faktor p x q = n, kemudian hitung : (n) = (p-1) (q-1) e = d -1 mod (n) m = c d mod n Sangat sulit mefaktorkan n. Tabel 1 berikut adalah waktu yang diperlukan untuk memfaktorkan n. (Menezes et al. 1996).

17 Tabel 1 Waktu MIPS untuk faktorisasi n Desimal Bit Waktu MIPS Algoritma QS QS QS QS GNFS GNFS GNFS Keterangan : QS = Quadratic Sieve GNFS = Generalized Number Field Sieve Analisis Hasil Implementasi Implementasi algoritma RSA dan RSA-CRT dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Java. Hal ini didasarkan atas pertimbangan bahwa Java mampu membangkitkan bilangan besar. Class yang dipakai adalah BigInteger. Java memperlakukan BigInteger sebagai string, sehingga tidak akan terjadi overflow. Sistem diimplementasikan dengan menggunakan metode client-server. Tampilan program client dan server dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2. Untuk dapat berkomunikasi, server membuka koneksi terlebih dahulu. Setelah itu, client juga membuka koneksinya. Tampilan saat melakukan koneksi pada client dan server dapat dilihat pada Lampiran 3 dan Lampiran 4. Sebelum pengiriman pesan dimulai, kunci dibangkitan terlebih dahulu. Contoh pembangkitan kunci dapat dilihat pada Lampiran 7. Ada dua algoritma yang tersedia, yaitu RSA dan RSA-CRT. Pengiriman pesan dalam satu waktu hanya bisa memilih salah satu diantara kedua algoritma tersebut. Contoh pengiriman pesannya dapat dilihat pada Lampiran 5 dan Lampiran 6. Dari hasil implementasi ini dilakukan pengukuran waktu enkripsi dan dekripsi, serta membandingkan waktu enkripsi dan dekripsi dari RSA dan RSA-CRT. Nilai e (eksponen enkripsi) yang dipakai adalah 65537, nilai eksponen ini dianjurkan supaya waktu komputasinya bisa cepat dan kemanan tetap terjaga. Contoh plaintext, ciphertext, dan hasil dekripsi masing-masing dapat dilihat pada Lampiran 8, Lampiran 9, dan Lampiran 10. Tujuan dari membandingkan waktu enkripsi dan dekripsi kedua algoritma ini adalah untuk membuktikan bahwa penambahan CRT pada algoritma RSA berdampak pada meningkatnya kecepatan waktu dekripsi. Penambahan CRT tidak berdampak pada waktu enkripsi, jadi secara teori waktu enkripsi RSA dan RSA-CRT relatif sama. Pengukuran dilakukan dengan menggunakan 10 ukuran file teks yang berbeda dalam selang 1764 byte sampai dengan byte sebagai obyek kajian, dengan perulangan untuk setiap perlakuan sebanyak 10 kali. Hasil pengukuran waktu enkripsi dan dekripsi pada RSA dan RSA-CRT dapat dilihat pada Tabel 2, Tabel 3, Tabel 4, dan Tabel 5. Tabel 2 Hasil pengukuran waktu enkripsi RSA NO Ukuran File (byte) Waktu Enkripsi (ms) Waktu Rata-rata (ms) Tabel 3 Hasil pengukuran waktu dekripsi RSA NO Ukuran File (byte) Waktu Dekripsi (ms) Waktu Rata-rata (ms)

18 Tabel 4 Hasil pengukuran waktu enkripsi RSA- CRT NO Ukuran File (byte) Waktu Enkripsi (ms) Waktu Rata-rata (ms) dekripsi RSA adalah ms, sedangkan pada RSA-CRT adalah ms. Dari data ini, dapat diperoleh bahwa RSA-CRT pada percobaan dengan 10 kali pengulangan, 3 kali lebih cepat dari RSA. Penambahan CRT pada RSA terbukti mampu mempercepat proses dekripsi. Rincian waktu eksekusi dekripsi pada RSA dan RSA-CRT dapat dilihat pada Lampiran 12 dan Lampiran 14. Pada RSA-CRT, perhitungan modulo p dan modulo q dipecah menggunakan CRT. Hal inilah yang menyebabkan komputasi dekripsi pada RSA-CRT menjadi lebih cepat dibandingkan pada RSA. Perbandingan waktu enkripsi dan dekripsi pada RSA dan RSA-CRT terhadap ukuran file dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar 7. Tabel 5 Hasil pengukuran waktu dekripsi RSA- CRT NO Ukuran File (byte) Waktu Enkripsi (ms) Waktu Rata-rata (ms) Berdasarkan Tabel 2 dan Tabel 4, waktu rata-rata enkripsi RSA dan RSA-CRT masingmasing adalah ms dan ms. Nilai ini bisa dikatakan hampir sama. Penambahan CRT tidak berpengaruh pada enkripsi. Hal ini dikarenakan penambahan CRT dilakukan pada dekripsi saja bukan pada enkripsi. Seiring meningkatnya ukuran file, waktu enkripsi juga mengalami peningkatan. Rincian waktu eksekusi enkripsi pada RSA dan RSA-CRT dapat dilihat pada Lampiran 11 dan Lampiran 13. Dari data Tabel 3 dan Tabel 5, dapat dilihat bahwa waktu rata-rata dekripsi pada RSA-CRT lebih cepat dibandingkan pada RSA. Waktu Gambar 6 Grafik hubungan waktu enkripsi RSA dan RSA-CRT terhadap ukuran file Dari gambar 6, dapat terlihat bahwa waktu enkripsi RSA dan RSA-CRT tidak berbeda jauh. Algoritma enkripsi pada RSA-CRT sama dengan RSA, yaitu C = M e (mod n). Gambar 7 Grafik hubungan waktu dekripsi RSA dan RSA-CRT terhadap ukuran file Pada Grafik 7, jelas terlihat waktu komputasi RSA lebih lambat dibandingkan RSA-CRT. RSA-CRT mengalami peningkatan waktu komputasi dekripsi yang relatif rendah, sedangkan RSA mengalami peningkatan waktu komputasi dekripsi yang lebih pesat. Hal ini

19 memungkinkan dekripsi pada RSA-CRT lebih dari 3 kali lebih cepat dari RSA. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Algoritma RSA merupakan algoritma kunci publik yang keamanannya bertumpu pada kompleksitas problem faktorisasi bilangan bulat. Akibat dari kompleksitas ini, kecepatan RSA menjadi lambat. CRT ditambahkan pada algoritma dekripsi RSA untuk mempercepat proses dekripsi. Eksponensial enkripsi di sarankan bernilai kecil untuk mempercepat proses enkripsi, tetapi juga memberikan jaminan keamanan, maka dari itu dipilih e = Dari hasil analisis algoritma, dapat ditarik kesimpulan bahwa RSA dan RSA-CRT memiliki kompleksitas yang sama untuk algoritma pembangkitan kunci dan enkripsi, yaitu O((lg n) 3 ). Tetapi pada pembangkitan kunci RSA-CRT, ada bagian yang kompleksitasnya O((lg (n/2)) 2 ). Algoritma dekripsi RSA memiliki kompleksitas O((lg n) 3 ), sedangkan RSA-CRT memiliki kompleksitas O((lg (n/2)) 3 ). Hal ini membuktikan bahwa waktu dekripsi RSA-CRT lebih cepat dibandingkan RSA. Dari hasil analisis keamanan diperoleh kesimpulan bahwa keamanan RSA bertumpu pada problem faktorisasi bilangan bulat yang sangat bergantung pada panjang modulus yang dipilih. Panjang bit kunci yang dipakai pada penelitian ini adalah 1024 bit, yang mampu memberikan keamanan yang lebih lama. Berdasarkan analisis hasil implementasi proses enkripsi dan dekripsi RSA dan RSA- CRT, dapat disimpulkan RSA-CRT memiliki waktu dekripsi yang lebih cepat dibandingkan RSA. Hal ini membuktikan penambahan CRT pada RSA mampu mempercepat proses dekripsi. Saran Ruang lingkup penelitian ini dibatasi pada algoritma RSA untuk panjang modulus kunci 1024 bit. Penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan menggunakan kunci yang lain yaitu kunci 2048 bit. Eksponensial enkripsi (e) yang digunakan pada penelitian ini adalah Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan e random. Penelitian ini menggunakan algoritma RSA- CRT untuk mempercepat proses dekripsi. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan varian RSA yang lain seperti Rebalanced RSA- CRT. DAFTAR PUSTAKA Cormen TH, Leiserson CE, dan Rivest RL Introduction to Algorithms. Massachussets-London: The MIT Press. Erivani P Implementasi Chinese Remainder Theorem dalam Membentuk Varian RSA (Rivest-Shamir-Adleman) untuk Pengamanan Data Digital /Makalah/Makalah pdf. [28 November 2008]. Guritman S Pengantar Kriptografi. Handout mata kuliah Pengantar Kriptografi / Data Security. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB. Bogor. Menezes AP, van Oorschot, dan Vanstones Handbook of Applied Chryptograpy. New York: CRC Press. Nursanto D Tinjauan Mengenai Aplikasi Metode Montgomery Multiplication- Chinese Remainder Theorem (CRT) dalam Mmpercepat Dekripsi RSA. budi.insan.co.id/courses/ec7010/dikmenjur/djok o-nursanto-revisi.doc. [2 Januari 2006]. Pressman RS Rekayasa Perangkat Lunak. Yogyakarta: Penerbit ANDI. Stallings W Chrytograpy and Network Security Principles and Practice. Third Edition. New Jersey: Pearson Education. Wells D Chinese Remainder Theorem. shtml. [7 Januari 2006].

20 LAMPIRAN

21 Lampiran 1 Tampilan client Lampiran 2 Tampilan server

22 Lampiran 3 Tampilan saat melakukan koneksi pada client Lampiran 4 Tampilan saat melakukan koneksi pada server

23 Lampiran 5 Contoh pengiriman pesan dari client ke server menggunakan algoritma RSA

24 Lampiran 6 Contoh pengiriman pesan dari server ke client menggunakan algoritma RSA-CRT

25 Lampiran 7 Hasil pembangkitan kunci RSA client private key= RSA client public key= RSA server private key= RSA server public key= RSACRT client p= RSACRT client q= RSACRT client dp= RSACRT client dq= RSACRT server p= RSACRT server q= RSACRT server dp= RSACRT server dq=

26 Lampiran 8 Contoh plaintext Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Vestibulum convallis. Aliquam at odio. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Praesent pretium sem quis nulla. Mauris in tellus. Nulla in ante ut purus mattis fringilla. Sed faucibus ante nec orci. Nulla dictum dapibus lorem. Suspendisse viverra diam vitae tellus. Quisque pretium pulvinar leo. Nam molestie aliquam nunc. Quisque vulputate lacinia libero. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Morbi viverra fringilla nisl. Vivamus eu eros. Nam vel dolor. Pellentesque at massa a risus tempor malesuada. Ut arcu. In quis nisl. Duis ipsum urna, bibendum ultricies, consectetur euismod, condimentum aliquam, diam. Phasellus et ligula. Mauris ipsum. Nunc in est id lacus egestas cursus. Fusce nibh mauris, aliquam placerat, euismod non, pulvinar a, nibh. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Vestibulum consequat nisl quis justo. Suspendisse nulla massa, iaculis sit amet, porttitor a, volutpat ac, pede. Proin ac turpis. Nulla dui purus, aliquam quis, tempus et, fermentum ac, nibh. Etiam consectetur velit eget eros. In rutrum. Integer et lacus. Integer adipiscing vestibulum diam. Integer ullamcorper metus in elit. Nullam a turpis. Nulla ipsum. Nam blandit. Nam laoreet aliquet quam. Ut iaculis lacus non lectus. Duis faucibus mollis ligula. Nullam faucibus lectus at arcu. Vestibulum rutrum dictum dolor. Etiam egestas mi eget sapien. Quisque blandit leo vehicula turpis. Etiam et mauris id erat scelerisque egestas. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Cras cursus. Morbi tortor leo, ornare ut, laoreet id, lacinia sit amet, lorem. Vivamus bibendum. Phasellus et ante. Morbi a lacus id tortor condimentum blandit.

27 Lampiran 9 Ciphertext 0=* \?gp?re -@.??H?'?,L?Bx??????x?o?-?? [? zq?h[ >? j d }m???????????=?9@??? SC?o??E??b?S????Fp???9^??wgu?J??? IgI?o?? 1=D???}??b?*2?K?"????"?y?Z??2????Uk??! V?.???S M 5E??? 1aV? Ud#?*3O-??b 2=? k????>yv??y#???- %Hl?,??????*???}? N?Xr?Hw???S9g)[????%k????4??[e? \y=???a??m?????si? 3=Pm???4Grfq ~?? T {??V?? A?????????????n????????;?[?-@??HO,??? }C]N?-b <??]v 1?3??$ )???".?1????#)??b,?Y~r?$4?HHZ 9? 4=?o?d?L??J?jk %??V v?j?5n5(?ea*#?????y? 3 G=I??Y??I#0(????K????.?K???>CgjG~?L tc??>?????jh?????w????3?$? %?E&??????!;/M<? 5=G N??-1??F?l7?W??!???2 i??? P???????V?4r???????6????Ns z5? 6?2;R?Nv6?f?Q? f?0?dxb?}?????q?g???????? xy? Z? 6=+????N???????j? %?N!???:D????$ft??i???R?^?????U?9tu???G??!????{?z z?`?? =9?PnO?? Y?????j?yG????FkJ??3'??:%?.{,?L?? 7=A????Q=1??RC??U?q?kBo?? yq?w m8{?c? dq???4>?e*i?????re?v??????x]?=g1?rk2?? c? J~?L? T?{? \2o??????$N?? M?7' Th???5E?`N??? 8=6E3?`{$[W????I?w0??cpD?+F??2T?<#??????nB?? ci%,??????w? p:??2?v?t??1/~gd???????q??? 9=(e????P z???? ``g[????k?p????z????u@??>qe?}????;?l{ 10=D??ZO??o?????]9r?eID??????_???????? 2(a"????7???t?????$B 11=O?-g????Y??vC??7ZYP:q??? 12=]?L3 p?????u?v?????0~u????n~???y/u????:?%.b(??x??`g6????? `a??t??~????h{?e Y?q??zuf??? 13=?i y?r?!?kv????????f?/?.????>q??? 4??p??[}=?_#/1??3?~??K????????gn?x?U???)????D????d??$?S\R????-O??m?J m i?t?? 6B

28 Lampiran 9 Lanjutan 14=E????{?^?r? mg:# T???\?dX????????R??{??;??#?.????????(?S?S??(????TS???e?T-?t??? 1?]T?????c???_???9???R??????7?{??,<? 15=-/??^? c k?2c U?=?ZI16???4?.y??JAb?Tb?1???R q^???16 z? [??????-?????}+??????O HjN 16=:????tq??f?????i?U0?/??Z?\c??$?????1???k??J;??+??&s?_w????:i?? l??????b%?,? o???ma~? + L?}j? h??+???x?`????h?b]??? 17=!????_/*????D?+??KFl??+???,?w??????n???b?9QRg-?? /b??!u; E???Z???t??g?????~?>vS????o@ g -???2 fyy???c9? JK??v??Z Gx?d?z 18=,Yl???@g??c b1??!?????h? 6cA??M?2?? m?&?j????/?p?8'??? RM??6t`b???????????7k??[u?????t l???? pss??g????????8????xk 19=?t#G??'?8(?t O?????`?{?????<h1?:?n#,?E6?F????????y[_?????=????D??{????0 NI??e:?? yab????? Av???Z???

29 Lampiran 10 Hasil proses dekripsi Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Vestibulum convallis. Aliquam at odio. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Praesent pretium sem quis nulla. Mauris in tellus. Nulla in ante ut purus mattis fringilla. Sed faucibus ante nec orci. Nulla dictum dapibus lorem. Suspendisse viverra diam vitae tellus. Quisque pretium pulvinar leo. Nam molestie aliquam nunc. Quisque vulputate lacinia libero. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Morbi viverra fringilla nisl. Vivamus eu eros. Nam vel dolor. Pellentesque at massa a risus tempor malesuada. Ut arcu. In quis nisl. Duis ipsum urna, bibendum ultricies, consectetur euismod, condimentum aliquam, diam. Phasellus et ligula. Mauris ipsum. Nunc in est id lacus egestas cursus. Fusce nibh mauris, aliquam placerat, euismod non, pulvinar a, nibh. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Vestibulum consequat nisl quis justo. Suspendisse nulla massa, iaculis sit amet, porttitor a, volutpat ac, pede. Proin ac turpis. Nulla dui purus, aliquam quis, tempus et, fermentum ac, nibh. Etiam consectetur velit eget eros. In rutrum. Integer et lacus. Integer adipiscing vestibulum diam. Integer ullamcorper metus in elit. Nullam a turpis. Nulla ipsum. Nam blandit. Nam laoreet aliquet quam. Ut iaculis lacus non lectus. Duis faucibus mollis ligula. Nullam faucibus lectus at arcu. Vestibulum rutrum dictum dolor. Etiam egestas mi eget sapien. Quisque blandit leo vehicula turpis. Etiam et mauris id erat scelerisque egestas. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Cras cursus. Morbi tortor leo, ornare ut, laoreet id, lacinia sit amet, lorem. Vivamus bibendum. Phasellus et ante. Morbi a lacus id tortor condimentum blandit.

30 Lampiran 11 Rincian waktu eksekusi enkripsi pada RSA NO Ukuran File (byte) Waktu Enkripsi (ms) Lampiran 12 Rincian waktu eksekusi dekripsi pada RSA NO Ukuran File (byte) Waktu Dekripsi (ms)

31 Lampiran 13 Rincian waktu eksekusi enkripsi pada RSA-CRT NO Ukuran File (byte) Waktu Enkripsi (ms) Lampiran 14 Rincian waktu eksekusi dekripsi pada RSA-CRT NO Ukuran File (byte) Waktu Dekripsi (ms)