Introduction (Linear Programming) Toha Ardi Nugraha

Transkripsi

1 Introduction (Linear Programming) Toha Ardi Nugraha

2 Optimization=Engineering Engineering is the process of taking the discoveries from science... implementing them as practical devices, and then... making them better,... and better,... and better. This is optimization.

3 Pendahuluan Mengapa mata kuliah ini diberikan? adalah untuk memberikan wawasan, pengetahuan dan skill bagaimana membuat sistem menjadi optimal. Metode Optimasi adalah cabang ilmu pengetahuan inter disiplin yang berhubungan dengan penyelesaian masalah menggunakan pendekatan matematik dan diolah secara komputatif

4 Pendahuluan Banyak sekali persoalan-persoalan optimasi dalam kahidupan sehari-hari seperti : optimasi pengunaan jalan, optimasi bahan bakar minyak, optimasi pemakaian listrik, optimasi pemakaian air, optimasi pemakaian pulsa telpon, dsb,,

5 Toha Ardi Nugraha Optimasi??

6 Nilai terbaik Proses mencari Berdasar Kriteria dan beberapa alternatif Optimasi?????

7 Tahapan Optimasi Identifikasi Masalah Memilih Tujuan Definisi Sistem Metode Approach Bangun Fungsi Tujuan/Kendala Konstruksi, Simulasi, Simplikasi, Verifikasi

8 Lingkup Materi dalam Metode Optimasi Analitik Numerik Intelijen Linier Non Linier Fibonacci Fuzzy Logic Single Variabel Dgn Kendala Multi Variabel Tanpa Kendala Evolusi Complex Combinasi Neural Network/JST Genetic Algoritm

9 Linier Programming

10 Linier Programming Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendalakendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier.

11 Mathematical Programming (MP) MP adalah ilmu manajemen yang menentukan suatu optimasi, atau efisiensi yang sangat tinggi, dengan menggunakan sumber daya untuk mencapai tujuan individu pada suatu bisnis Kata kunci :Optimasi (Optimization)

12 Penerapan Optimasi Penentuan Product Manufaktur Transportasi dan Logistik Perencanaan Finansial Dll. 12

13 Karakteristik Masalah Optimasi Keputusan (Decisions) Kendala (Constraints) Tujuan (Objectives)

14 Bentuk Umum Optimasi MAX (or MIN): f 0 (X 1, X 2,, X n ) Subject to: f 1 (X 1, X 2,, X n )<=b 1 : f k (X 1, X 2,, X n )>=b k : f m (X 1, X 2,, X n )=b m N.B: Jika seluruh fungsi bersifat linier, maka disebut dengan masalah Program Linier/ Linear Programming (LP) problem

15 Masalah Program Linier (PL) MAX (or MIN): c 1 X 1 + c 2 X c n X n Subject to: a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n <= b 1 : a k1 X 1 + a k2 X a kn X n >=b k : a m1 X 1 + a m2 X a mn X n = b m

16 Contoh Penulisan Persamaan PL

17 Contoh lain Penulisan Persamaan PL dengan lambang penjumlahan

18

19 Penulisan dalam bentuk matriks

20 Asumsi-asumsi yang Harus Dipenuhi dalam Program Linier

21

22 Contoh PL Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis pipa, yaitu : Aqua & Hydro, degan rincian sumber daya sbb: Aqua Hydro Pompa 1 1 Jam Kerja 9 jam 6 jam Pipa 12 meter 16 meter Laba/Unit $350 $300 Terdapat 200 pompa, 1566 jam kerja, dan 2880 meter persediaan pipa.

23 5 Langkah Formulasi Model PL 1. Memahami masalah 2. Identifikasi variabel keputusan X 1 =jumlah pipa Aqua yang dihasilkan X 2 =jumlah pipa Hydro yang dihasilkan 3. Penentuan fungsi tujuan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan MAX: 350X X 2

24 5 Langkah Formulasi Model PL (sambungan) 4. Menentukan konstrain sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan 1X 1 + 1X 2 <= 200 } pompa 9X 1 + 6X 2 <= 1566 } jam kerja 12X X 2 <= 2880 } pipa 5. Identifikasi batas atas atau bawah dari variabel keputusan. X 1 >= 0 X 2 >= 0

25 Model PL PT. GUNDAR MAX: 350X X 2 S.T.: 1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= X X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0

26 Penyelesaian Masalah PL: Pendekatan Intuitif Ide : Setiap Aqua (X 1 ) menimbulkan laba/unit yg tertinggi ($350), buatlah kemungkinan tersebut! Seberapa besar hal tsb. dapat terjadi? Misalkan X 2 = 0 Konstrain-1: 1X 1 <= 200 Konstrain-2: 9X 1 <=1566 or X 1 <=174 Konstrain-3: 12X 1 <= 2880 or X 1 <= 240 Jika X 2 =0, nilai maksimum X 1 adalah 174 keuntungan totalnya adalah $350*174 + $300*0 = $60,900 Solusi tersebut layak (feasible), tapi apakah optimal? No!

27 Penyelesaian Masalah PL: Pendekatan Grafik Beberapa konstrain/kendala suatu PL mendefinisikan daerah feasiblenya Titik terbaik dari daerah feasible adalah solusi optimal masalah tersebut Untuk PL dengam 2 variabel, sangatlah mudah untuk memplot daerah feasible dan menentukan solusi optimalnya

28 X 2 Plotting Konstrain (0, 200) Garis batas dari konstrain pompa X 1 + X 2 = (200, 0) X 1

29 X (0, 261) Plotting Konstrain-2 Garis batas dari konstrain jam kerja 9X 1 + 6X 2 = (174, 0) X 1

30 X 2 Plotting Konstrain (0, 180) Garis batas dari konstrain pipa 12X X 2 = Daerah Feasible (240, 0) X 1

31 Plotting Sebuah Kurva Bertingkat Dari Fungsi Tujuan 250 X (0, ) Fungsi Tujuan 350X X 2 = (100, 0) X 1

32 X 2 Kurva Kedua Dari Fungsi Tujuan (0, 175) Fungsi Tujuan 350X X 2 = Fungsi Tujuan 350X X 2 = (150, 0) X 1

33 X 2 Gunakan Kurva Bertingkat Untuk Melokalisir Solusi Optimal Fungsi Tujuan 350X X 2 = Solusi Optimal Fungsi Tujuan 350X X 2 = X 1

34 Perhitungan Solusi Optimal Solusi optimal terjadi dimana kendala pompa dan jam kerja beririsan. Hal ini terjadi ketika: X 1 + X 2 = 200 (1) dan 9X 1 + 6X 2 = 1566 (2) Dari (1) kita dapatkan X 2 = 200 -X 1 (3) Subtitusi (3) ke dalam (2), dan kita punyai : 9X (200 -X 1 ) = 1566 yang menghasilkan X 1 = 122 Sehingga solusi optimalnya adalah : X 1 =122, X 2 =200-X 1 =78 Total Keuntungan = $350*122 + $300*78 = $66,100

35 X 2 Hitung Nilai Fungsi Tujuan Setiap Titik Sudut obj. value = $54,000 (0, 180) Catt.: Metode ini tak akan berjalan jika solusinya tak terbatas obj. value = $64,000 (80, 120) obj. value = $66,100 (122, 78) 50 0 obj. value = $0 obj. value = $60,900 (0, 0) (174, 0) X 1

36 Ringkasan Pendekatan Grafik Pada Masalah PL 1. Plot garis batas setiap konstrain 2. Identifikasi daerah feasible/layak 3. Lokalisasi solusi optimal dengan melakukan: a. Plotting Kurva bertingkat b. Hitung nilai setiap titik sudut

37 Kondisi Khusus PL Sejumlah anomali dapat terjadi pada masalah PL, a.l. : Solusi optimal bergantian Kendala redundan (mubazir) Solusi tak terbatas Tak layak

38 X 2 Contoh Solusi Bergantian Kurva bertingkat f. tujuan 450X X 2 = Solusi optimal bergantian X 1

39 X 2 Contoh Kendala Redundan Garis batas konstrain pipa Garis batas konstrain pompa Garis batas konstrain jam kerja 50 Daerah Layak X 1

40 Contoh Solusi Tak Terbatas X Fungsi tujuan X 1 + X 2 = 600 Fungsi tujuan X 1 + X 2 = 800 -X 1 + 2X 2 = X 1 + X 2 = X 1

41 X 2 Contoh Tak Layak X 1 + X 2 = 200 Daerah layak untuk konstrain Daerah layak untuk konstrain-1 X 1 + X 2 = X 1