Pilihan Topik Matematika

Transkripsi

1 Pilih Topik Mmik Apliki dlm Alii Rgki Lirik lh Sudro Sudirhm Drpublic Edii Juli

2 Pilih Topik Mmik Apliki dlm Alii Rgki Lirik olh Sudro Sudirhm ii Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

3 Hk cip pd puli. SUDIRHAM, SUDARYATNO Bbrp Topik Mmik Apliki Dlm Alii Rgki Lirik Drpublic, Kk D-, Bdug, 5. iii

4 Pgr Buku ii brii bh mgi opik-opik mmik g dipilih rki dg pggu dlm Alii Rgki Lirik. Sudh brg u bhw mmik bgi ilmu dr idk h rpki dlm lii rgki lirik. Nmu uri dlm buku ii dikik dg buku-buku li g puli uu, bhk cooh-cooh prol g dibrik bk dimbil dri buku-buku rbu; dg puli buku ii puli brmkud mmbri pjl mgi dr mmik g diguk di dlm. Dlm buku ii puli mcob mjik bh mmik dri ii pdg pliki kik, dg g mmbi pggu ugkp mmi; pdfiii d pmbuki formul-formul digi dg pr-pr r gmbr grfi g lbih mudh difhmi. Dg cr dmiki puli brhrp bhw pgri mmi g diprluk bi difhmi dg lbih mudh. Pdlm lbih lju dp diprolh dri buku-buku g mmik g diguk bgi rfri dlm kulih mmik. Kmju kologi kompur lh g mmbu pro pmch prol di bidg kik. Nmu buku ii idk mmbh cr prhiug dg mgguk kompur rbu, mlik mjik bh mgi pgri-pgri dr g opik mmik g dipilih, g puli ggp dp mmbrik pmhm mgi pro prhiug dg mgguk kompur. Akhir k, puli hrpk uli ii brmf bgi pmbc. Bdug, Juli Wlm, Puli iv Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

5 Dfr Ii Pgr Dfr Ii iii v Bb : Pgri Fugi d Grfik Fugi. Domi. Kurv, Kkoiu, Simri. Buk Implii. Fugi Brili Tuggl d Brili Bk. Fugi dg Bk Pubh Bb. Koordi Polr. Pmb Bh d Sji Bh. Bb : Fugi Liir 5 Fugi Tp. Fugi Liir Prm Gri Luru. Prgr Kurv. Prpoog Gri. Bb : Gbug Fugi Liir 7 Fugi k Tgg. Fugi Rmp. Pul. Prkli Rmp d Pul. Gbug Fugi Rmp. Bb : Mooom d Poliom 7 Mooom: Mooom Pgk Du, Mooom Pgk Tig. Poliom: Fugi Kudr. Pmbh Mooom Pgk Tig pd Fugi Kudr. Bb 5: Bgu Gomri 55 Prm Kurv. Jrk Ar Du Tiik. Prbol. Ligkr. Elip. Hiprbol. Kurv brdrj Du. Prpur Sumbu. Bb 6: Fugi Trigoomri 69 Pubh Bb Bru Drj. Pubh Bb Bru Rdi. Fugi Trigoomri Ivri. Bb 7: Gbug Fugi Siu 85 Fugi Siu D Coiu. Kombii Fugi Siu. Sprum D Lbr Pi Fugi Priodik. Bb 8: Fugi Logrim. Nurl, Ekpoil, Hiprbolik 97 Fugi Logrim Nurl. Fugi Epoil. Fugi Hiprbolik. Bb 9: Koordi Polr 7 Rli koordi Polr d Koordi Sudu-iku. Prm Kurv Dlm Koordi Polr. Prm Gri Luru. Prbol, Elip, Hiprbol. Lmik d Ovl Cii. Lu Bidg. v

6 Bb : Turu Fugi Poliom 9 Pgri Dr. Mooom. Poliom. Nili Puck. Gri Siggug. Bb : Turu Fugi-Fugi 5 Fugi Prkli Du Fugi. Fugi Pgk Dri Suu Fugi. Fugi Riol. Fugi Implii. Fugi Brpgk Tidk Bul. Kidh Ri. Difril d d d. Bb : Turu Fugi-Fugi Trd 7 Fugi Trigoomri. Fugi Trigoimri Ivri. Fugi Trigoomri Dri Suu Fugi. Fugi Logrimik. Fugi Ekpoil. Bb : Igrl 55 Mcm-mcm Igrl. Igrl Tk Tu, Igrl Tu. Lu Sbgi Suu Igrl. Apliki. Bb : Igrl Tk Tu Fugi-Fugi 77 Fugi Tp. Mooom. Poliom. Fugi Pgk dri Fugi. Fugi Brpgk Su. Fugi Ekpoil. Tp Brpgk Fugi. Fugi Trigoomri. Fugi Hiprbolik. Igrl Mghilk Fugi Trigoomri. Tbl Rli Difril-Igrl. Bb 5: Prm Difril Ord- 87 Pgri. Solui. Prm Difril Ord Su Dg Pubh Yg Dp Dipihk. Prm Difril Homog Ord Su. Prm Difril Liir Ord Su. Solui Pd Brbgi Fugi Pmk. Bb 6: Prm Difril Ord- Prm Difril Liir Ord Du. Tig Kmugki Buk Solui. Bb 7: Mrik Kop Dr Mrik. Pgri d Opri Mrik. Mrik Khuu. Pur Mrik. Sim Prm Liir. Elimii Gu. Kblik Mrik, Elimii Gu-Jord. vi Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

7 Bb 8: Bilg d Pubh Komplk Pgri d Dfiii. Opri-Opri Aljbr. Rpri Grfi. Buk Sudu Siku d Buk Polr. Fugi Komplk. Pol d Zro. Apliki uuk Mk Fugi Siu. Bb 9: Trformi Lplc 5 Pmhm Trformi Lplc. Trformi Lplc. Sif-if Trformi Lplc. Trformi Blik Bb : Dr d Trformi Fourir 7 Dr Fourir. Kofii Fourir. Dr Fourir Buk Ekpoil. Trformi Fourir. Sif-Sif Trformi Fourir. Trformi Blik. Dfr Puk 97 Biod puli 98 vii

8 Hlm Koog viii Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

9 Bb Pgri Fugi d Grfik Fugi d d buk-buk kurv k ki guk cr lu di buku ii uuk mmhmi brbgi rli mmi. Olh kr iu bb prm ii ki k mmpljri cr umum lbih dulu mgi fugi d grfik... Fugi Apbil uu br mmiliki ili g rgug dri ili br li, mk dikk bhw br rbu mrupk fugi br. Cooh: pjg bg logm mrupk fugi mprur. Scr umum uu fugi diulik bgi buh prm f. Prhik bhw puli f buklh brri m dg f kli, mlik uuk mk bhw mrupk fugi dri g idk li dlh buh ur u buh ku brpkh k mmiliki ili jik kpd ki brik uu ili. d dlh pubh vribl g dibdk bgi pubh-kbb d pubh-bb. Pubh-bb dlh imbol dri uu br g bi mmiliki ili mbrg dri uu bilg. Smr pubh-k-bb mmiliki ili g rgug dri ili g dimiliki. Dilih dri ili g dimiliki olh ru kiri d ru k,. dlh buh prm. Nmu kdu ru iu mmiliki pr g brbd. Ki mbil cooh dlm rli fii L T L λt dg L T dlh pjg bg logm pd mprur T, L dlh pjg pd mprur ol, T mprur d λ dlh kofii mui pjg. Pjg bg rgug dri mprur; mki iggi mprur mki pjg bg logm. Nmu blik, mki pjg bg logm idk llu brri mprur mki iggi. Jik logm rbu mglmi bb rik mil, i k brmbh pjg mu idk brri mprur migk.

10 Wlupu ili di ru k. bi brubh cr bb, mr ru kiri rgug dri ru k, mu ili p hru diuk b m i bolh brvrii... Domi Domi ilh rg ili irvl ili di m pubh-bb brvrii. Dlm kbk pliki, rg ili ii bi brbuk bgi briku:. rg ili brup bilg- g rlk r du ili d b. Ki ulik rg ili ii bgi < < b Ii brri bhw bi mmiliki ili lbih br dri mu lbih kcil dri b. Rg ii dibu rg rbuk, g dp ki gmbrk bgi briku: d b idk rmuk dlm rg rbu. b. rg ili ki gmbrk bgi < b Di ii muk dlm rg ili, pi b idk. Ii mrupk rg gh rbuk. c. rg ili b Dlm rg ii bik mupu b muk dlm rg ili. Ii dlh rg ruup, d ki gmbrk b b b Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

11 .. Kurv, Kkoiu, Simri Kurv. Fugi f dp diviuliik cr grfi. Dlm viulii ii ki mmrluk koordi. Suu gri horiol mmjg dri k rh kiri mpi k rh k, dipk bgi umbu- u bi. Pd gri ii dipk pul iik rfri r pjg u kl, dmiki rup higg ki dp mggmbrk ili-ili pd gri ii lih Gb..; pubh mmiliki ili g brup bilg-. Q[-,] III - IV R[-,-] II - - P[,] S[,-] - Gb... Sim koordi - u koordi udu-iku. C: Suu bilg- dp dik dg diml rb mupu diml k rb. Cooh:,,,...dlh bilg- bul;,586 dlh bilg- dg diml rb; π dlh bilg- dg diml k rb, g jik h dilih mpi mbil gk di blkg kom ili dlh,5965. Sli umbu- dipk pul umbu- g gk luru pd umbu-, mmjg k rh k bwh d rh k, g mlwi iik rfri di umbu- d dibu ordi. Tiik prpoog umbu- dg umbu- mrupk iik rfri g dibu iikl d ki uli brkoordi [,]. Pd umbu- dipk jug u kl pri hl pd umbu-, g mmugkik ki uuk mggmbrk poii bilg- di umbu-. Br fiik g dik dg pubh-k-bb dlm kl umbu- idk hru m dg br fiik d kl umbu-; mil umbu- I

12 mujukk wku dg u dik/kl, dgk umbu- mujukk jrk dg u mr/kl. Bidg dr di m ki mggmbrk umbu- d umbu-, lju ki bu bidg -, k rbgi dlm kudr, iu kudr I, II, III d IV pri rlih pd Gb... Sip iik K pd bidg dr ii dp ki k poii bgi K[ k, k ], dg k d k bruru-uru mujukk jumlh kl di umbu- d di umbu- dri iik K g dg ki iju. Pd Gb... mil, poii mp iik g digmbrk di kudr I, II, III, IV, mig-mig ki ulik bgi P[,], Q[-,], R[-,-] d S[,-]. Dg dmiki ip pg bilg- k brki dg u iik di bidg -. Dg cr iilh pg ili g dimiliki olh ru kiri d ru k uu fugi f dp diviuliik pd bidg -. Viulii iu k brbuk kurv fugi di bidg -, d kurv ii mmiliki prm f, ui dg pr fugi g diviuliik. Cooh: buh fugi, 5. Sip ili k muk u ili. Jik ki muk dlm uu bl, ili d k rlih pri pd Tbl-.. Tbl-.. - d. -,5,5,5 d. Fugi, 5 g mmiliki pg ili d pri rcum dlm Tbl-.. di k mmbrik kurv pri rlih pd Gb... Kurv ii brbuk gri luru mllui iikl [,] d mmiliki kmirig ru g k ki pljri lbih lju; prm gri ii dlh, 5. Dg cooh ii, rli. g mrupk rli fugiol, lh brbuk kurv brubh mjdi buh prm iu prm dri kurv g diprolh. Ru kiri d k prm ii mjdi brimbg kr mllui kurv rbu ki Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

13 bi mdpk dg mudh ili jik dikhui ili, d blik ki jug dp mmprolh ili jik dikhui ili. P,5,5,5 -,5 - Gb... Kurv dri fugi, 5 Dg cooh di ki mgri bhw fugi, 5 mmbuk kurv dg prm, 5 di bidg -. Dlm cooh ii iikiik P, Q, d R rlk pd gri rbu dg koordi P[-,-.5], Q[,], R[,.5]. Pgri g fugi d prm kurv ii prlu ki fhmi br kr kdu iilh ii k mucul cr prll dlm pmbh buk-buk gomri. Kkoiu. Suu fugi g koiu dlm uu rg ili ru, k mmbuk kurv g idk rpuu dlm rg rbu. Sr uuk rjdi fugi g koiu dik bgi briku: Suu fugi f g rdfiii di kir c dikk koiu di c jik dipuhi du r, iu: fugi rbu mmiliki ili g rdfiii br fc di c; ili f k muju fc jik muju c; pr ii ki ulik bgi lim f f c c g ki bc limi f uuk muju c m dg fc. Q R Cooh: Ki lih mil fugi /. Pd fugi ii idk rdfiii kr / idk dp ki uk brp ili; lim f idk rdfiii jik muju ol. Kdu prr c 5

14 kkoiu idk dipuhi; i mrupk fugi k-koiu di. Hl ii brbd dg fugi g rdfiiik di lih lju ul di Bb- bgi u, uuk uuk < g brili uuk < d brili uuk. Prhik Gb... / / - Tk rdfiik di. u Gb... Fugi Trdfiiik di / d u Simri. Kurv uu fugi mugki imri rhdp gri u iik ru jik fugi idk brubh pbil ki gi dg mk kurv fugi rbu imri rhdp umbu-; b jik fugi idk brubh pbil d diprukrk, kurv fugi rbu imri rhdp gri-bgi kudr I d III. c jik fugi idk brubh pbil digi dg, kurv fugi rbu imri rhdp umbu-. 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

15 d jik fugi idk brubh jik d digi dg d, kurv fugi rbu imri rhdp iik-l [,]. Cooh: Prhik cooh pd Gb... briku ii. Kurv, imri rhdp umbu-. Jik ki gi ili dg -, ili idk brubh kr brpgk gp. Kurv,5 imri rhdp iik-l [,]. Di ii brpgk gjil higg fugi idk k brubh jik digi d digi. Kurv 9 imri rhdp umbu-, imri rhdp umbu-, imri rhdp gri-bgi kudr I d III, d jug imri rhdp gri-bgi kudr II d IV., 6 idk brubh bil digi idk brubh jik d digi dg d ,5 idk brubh jik digi d digi dg d -6 d diprukrk digi dg Gb... Cooh-cooh kurv fugi g mmiliki imri... Buk Implii Suu fugi kbk dik dlm buk kplii dim pubh-k-bb cr kplii dik dlm, pri f. Nmu rig kli ki jumpi pul buk implii di m ili idk dibrik cr kplii dlm. Briku ii dlh bbrp cooh buk impliii. 7

16 8. Wlupu idk dik cr kplii, ip ili pubh-bb k mmbrik u u lbih ili pubh-k-bb. Cooh prm mpi k-ig pd. dg mudh ki ubh dlm buk kplii higg uuk mggmbrk fugi rbu kdlm im koordi - dg mgguk bl idklh rllu uli. Cooh g k-mp gk uli, mu prm rbu dp dijdik buk prm kudr g kr-kr dlh 8 8, ± 8 Nili d dp dihiug uuk ip g mih mmbrik ili uuk. Prhik bhw kr-kr prm ii dp ki ulik bgi 8 ±. g mrupk buk pr kplii f. Kurv fugi ii rlih pd Gb Gb..5. Kurv ± 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

17 .5. Fugi Brili Tuggl d Fugi Brili Bk Fugi Brili Tuggl. Fugi g h mmiliki u ili pubh-k-bb uuk ip ili pubh-bb, dibu fugi brili uggl. Briku ii cooh fugi brili uggl..,5. Pd fugi ii ip ili h mmbrik u ili. Kurv dri fugi ii diprlihk pd Gb..6. Ki hu bhw kurv fugi ii imri rhdp umbu- mu dlm gmbr ii rum diprlihk rg Gb..6. Kurv,5.. Pd fugi ii, h mgmbil ili poiif. Olh kr iu i brili uggl dg kurv pri rlih pd Gb.7.,,,,,5,5 Gb..7. Kurv 9

18 .. Pubh k-bb h mgmbil ili gif. Olh kr iu i brili uggl dg kurv pri rlih pd Gb..8. Sugguh kurv fugi ii dlh pg dri kurv. Hl ii rlih pd Gb.. di m mgmbil ili bik poiif mupu gif.,5,5 -, -,8. log. -, -,6 Gb..8. Kurv Sblum mlih kurv fugi ii d bik ki mgig kmbli g logrim. log dlh logrim dg bi ; log brri brpkh hru dipgkk gr diprolh. Jdi log brri log ; log ; log, ;...d. Kurv fugi log rlih pd Gb..9.,8, -, -,8 Gb..9. Kurv log Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

19 5.. Fugi ii brlku uuk ili gif mupu poiif. Prhiklh bhw idk h m dg, mlik ±. Kurv fugi ii rlih pd Gb... Gb... Kurv Fugi Brili Bk. Jik uuk u ili pubh-bb rdp lbih dri u ili pubh-k-bb, fugi rbu dibu brili bk. Briku ii dlh cooh fugi brili bk.. Fugi ±. Prhik bhw d du ili uuk ip ili. Sugguh brili ± d buk h j. Kurv fugi ii rlih pd Gb... Jik h mgmbil ili poiif u gif j, fugi k mjdi brili uggl, bgim dibuk pd cooh d pd fugi brili uggl.,5,5 -, ,5,5,5 -,5 - Gb... Kurv ±

20 . Fugi. Fugi ii brili bk; d du ili uuk ip ili. Kurv fugi ii diprlihk pd Gb Gb... Kurv / ± /.6. Fugi Dg Bk Pubh Bb Fugi dg bk pubh bb idk h rgug dri u pubh bb j,, pi jug rgug dri pubh bb g li. Milk uu fugi dg du pubh bb d dik bgi f,.5 Sugguh dlm priiw fii bk fugi g mrupk fugi dg pubh-bb bk, mil prm glombg brjl. Simpg glombg brjl mrupk fugi dri poii d wku. Scr umum ki mulik fugi dg pubh-bb bk bgi w f,, z, u, v.6 uuk mk cr kplii fugi w dg pubh bb,, z,u,d v. Fugi dg pubh bb bk jug mugki brili bk, mil Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

21 ρ z.7 Fugi ii k brili uggl jik ki h miju ili poiif dri ρ d ki k fugi g brili uggl ii bgi ρ z.8.7. Sim Koordi Polr Sli im koordi udu-iku di m poii iik dik dlm kl umbu- d umbu-, ki mgl pul im koordi polr. Dlm im koordi polr ii poii iik dik olh jrk iik k iik l [,] g dibri imbol r, d udu g rbuk r r dg umbu- g dibri imbol θ. Klu dlm koordi udu-iku poii iik dik bgi P, mk dlm koordi polr dik bgi Pr,θ. Hubug r koordi uu iku d koordi polr dlh r i θ ; r co θ ; r θ / Hubug ii rlih pd Gb... rcoθ r θ Gb... Hubug koordi udu-iku d koordi polr. P riθ

22 .8. Fugi Prmrik Dlm koordi udu-iku fugi f mugki jug diulik bgi. jik d mig-mig rgug dri pubh li. Fugi g dmiki dibu fugi prmrik dg bgi prmr. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

23 Bb Fugi Liir.. Fugi Tp Fugi p brili p uuk rg ili dri mpi. Ki ulik k [.] dg k bilg-. Kurv fugi ii rlih pd Gb... brup gri luru mdr jjr umbu-, dlm rg ili dri mpi ,5 Gb... Fugi p ko: d, 5... Fugi Liir - Prm Gri Luru Prm. dlh u cooh prm gri luru g mrupk gri mdr jjr umbu-, dg kurv pri rlih pd Gb... Kurv g jug mrupk gri luru pi idk jjr umbu- dlh kurv g mmiliki kmirig ru. Kmirig gri ii dlh prbdig r prubh rhdp prubh, u ki ulik "dl " kmirig m, dibc :. "dl " 5

24 Dlm hl gri luru, rio mmbrik hil g m di iik mpu ki mghiug. Ari uu gri luru h mmpui u ili kmirig, iu g dibrik olh m pd fugi m. Gb... briku ii mmprlihk mp cooh kurv gri luru g mu mlwi iik-l [,] k pi dg kmirig g brbd-bd. Gri lbih mirig dri, 5, gri lbih mirig dri d juh lbih mirig dri, 5, d kig mirig k. Mki br ili m, gri k mki mirig. Gri g k-mp mmiliki m gif,5 d i mirig k bwh muru ,5 Gb... Emp cooh kurv gri luru m. Scr umum, prm gri luru g mllui iik-l [,] dlh m. dg m mujukk kmirig gri; mki br ili m gri k mki mirig. Jik m brili poiif, gri mirig k ik. Jik m brili gif, gri k mirig k bwh muru... Prgr Kurv d Prm Gri,5 Bgimkh prm gri luru jik i idk mllui iik-l [,] mlik mmoog umbu- mil di iik [,]? Milk gri ii mmiliki kmirig. Sip ili pd gri ii uuk uu ili, m dg ili pd gri g mllui [,], iu, dimbh. Olh kr iu ki dp mulik prm gri ii bgi. Prhik Gb... 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

25 Gb... Gri luru mllui iik [,], kmirig. Scr umum, prm gri dg kmirig m d mmoog umbu- di [,b] dlh b m. b bi poiif upu gif. Jik b poiif, mk gri rgr k rh umbu- poiif k g brri gri mmoog umbu- di iik [,]. Jik b gif, gri rgr krh umbu- gif k bwh; i mmoog umbu- di bwh iik [,]. Scr igk, b pd. mujukk prgr kurv pjg umbu-. Ki lih krg gri g mmiliki kmirig d mmoog umbu- di iik [,], mil di iik [,]. Lih Gb... Dibdigk dg gri g mllui iik [,] iu gri, ip ili pd gri ii rjdi pd pd gri ; u dg k li ili pd gri ii diprolh dg mggik ili pd gri dg. Cooh:,8 pd gri ii rjdi pd d hl ii rjdi pd pd kurv Gb... Gri luru mllui iik [,]. 7

26 Scr umum prm gri g mllui iik [,] dg kmirig m ki prolh dg mggik pd prm m dg. Prm gri ii dlh m.5 Pd prm.5, jik poiif gri m rgr k rh umbu- poiif k k; d jik gif gri iu rgr k rh umbu- gif k kiri. Scr igk pd.5 mujukk prgr kurv jjr umbu-. Pd cooh di, dg rgr kurv k rh k d mmoog umbu- di iik [,] i mmoog umbu- di iik [,-]. Suu gri g iik prpoog dg kdu umbu dikhui, pilh kmirig dikhui. Dlm cooh di, kmirig dlh m d prm gri dlh.6 Bdigklh prm ii dg prm., dg mmbrik m d b. Scr umum, prm gri g mmoog umbu-umbu koordi di [,] d [,b] dlh Cooh: m b - - b dg m.7 gri mmoog umbu di, d mmoog umbu di Prm gri: 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

27 Bgimkh prm gri luru g idk rlih prpoog dg umbu-umbu koordi? Prm gri dmiki ii dp dicri jik dikhui koordi du iik g d pd gri rbu. Lih Gb..5. Pd Gb..5. kmirig gri dg mudh ki prolh, iu m Gb..5. Gri luru mllui du iik. Prm.8 ii hru brlku uuk mu gri g mllui du iik g dikhui koordi. Jdi cr umum hru brlku m [, ].9 Dg dmiki mk prm gri g mmiliki kmirig ii dlh m. [, ] - - Prm. iilh prm gri luru dg kmirig m g dibrik olh.9, brgr rh umbu- br d brgr rh umbu- br. Cooh: Crilh prm gri g mllui du iik P5,7 d Q,. 9

28 P Q 7 Kmirig gri ii dlh m, 5 p Q 5 Kmirig gri ii mmbrik prm gri g mllui iik l, 5. Prm gri dg kmirig ii g mllui iik P5,7 dlh 7,5 5,5 6,5 7,5,75 Ki bi mlih cr umum, bhw kurv uu fugi f k rgr jjr umbu- br kl jik digi dg, d rgr jjr umbu- br kl jik digi dg f mjdi f u f. Wlupu. diprolh mllui pmbh fugi liir, mu i brlku pul uuk fugi o liir. Fugi o liir mmbrik kurv gri lgkug g k ki pljri dlm bb-bb lju. Cooh: kurv mul prgr rh umbu- u prgr rh umbu- Cooh: Ki kmbli pd cooh blum, iu prm gri g mllui iik P5,7 d Q,. Prm gri dg kmirig,5 d mllui iik l dlh, 5. Gri ii Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

29 hru ki gr mjdi b,5 gr mllui iik P d Q. Nili d b dp ki prolh jik ki mukk koordi iik g dikhui, P5,7 d Q,. Dg mmukk koordi iik ii ki dpk prm 7 b,55 d b,5 Dri ii ki k mdpk ili,6 d jug b,75 higg prm gri g mllui iik P5,7 d Q, dp diprolh, iu,75, 5 u,5,6. Gri ii mmoog umbu- di,75 d mmoog umbu- di,6... Prpoog Gri Du gri luru b d b brpoog di iik P higg koordi P mmuhi higg Cooh: P P b b P P b p b b u P P b Tiik poog du gri d 8 8. P 5,5 ; P 5,5 u 5,5 8 P Jdi iik poog dlh ] P[5,5,. Prhik Gb..6. briku ii.

30 P Koordi P mmuhi prm mupu. - - Gb..6. Prpoog du gri. Jik kdu gri mmiliki kmirig g m udh brg u ki k k mmprolh iik poog kr mrk jjr; dikk jug mrk brpoog di. Cooh: Du gri d 8 dlh jjr..5. Pmbgi Skl Pd Sumbu Koordi Pd pggmbr kurv-kurv di, pjg pr kl kdu umbu koordi idk m. Apbil pjg pr kl dibu m ki k mmiliki kmirig gri m θ. dg θ dlh udu g dibuk olh gri luru dg umbu- u dg gri mdr, pri pd Gb m θ θ 5 5 Gb..7. Pjg pr kl m di umbu- d. Sugguh formuli. brlku umum, bik uuk pmbgi kl di kdu umbu koordi m br upu idk. Nmu jik Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

31 pmbgi kl rbu m br, udu θ g rlih dlm grfik mujukk kmirig gri br; jik pmbgi idk m br udu θ g rlih pd grfik buklh udu br higg udu θ br hru dihiug dri formul. d buk dilih dri grfik..6. Domi, Kkoiu, Simri Pd fugi liir m b, pubh k llu mmiliki ili, brppu. Pubh bi brili dri mpi. Fugi ii jug koiu dlm rg rbu. Kurv fugi m imri rhdp iik l [,] kr fugi ii k brubh jik digi dg d digi dg..7. Cooh-Cooh Fugi Liir Cooh-cooh fugi liir briku ii mmbrik gmbr bhw fugi liir dg kurv g ki gmbrk brbuk gri luru, mrupk buk fugi g bi ki jumpi dlm prkik rk.. Suu bd dg m m g mdp g F k mmprolh prcp. F m ; dlh prcp Jik idk d g li g mlw F, mk dg prcp bd k mmiliki kcp bgi fugi wku bgi v v v kcp grk bd, v kcp wl, wku. Jik kcp wl dlh ol mk kcp grk bd pd wku dlh v Dlm bug kod, jik bd gg r od d kod dlh V, d jrk r od d kod dlh l mk r od d kod rdp md lirik br V E l

32 Elkro g mucul di prmuk kod k mdp prcp dri d md lirik br od E dlh prcp g dilmi lkro, mu lkro, E md lirik. Jik kcp wl lkro dlh ol, d wku mpuh dri od k kod dlh, mk kcp lkro pd wku mcpi kod dlh v k Suu pg, jik dirik kmudi dilpk k kmbli pd poii mul jik rik g dilkuk mih dlm b lii pg. G g diprluk uuk mrik pg pjg mrupk fugi liir dri. dg k dlh ko pg. F k Dlm bg logm pjg l, k mglir ru lirik br i jik r ujug-ujug logm dibri prbd gg br V. Aru g mglir mrupk fugi liir dri gg dg rli V i GV, dg G R R G dlh p g dibu koduki lirik d R dibu rii lirik.prm ii jug bi diulik V ir g dikl bgi rli hukum Ohm dlm klirik. ] Jik pmpg logm dlh A d r pjg logm, mk rii dp dik dg R ρl A ρ dibu riivi bh logm. l kod Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

33 Krp ru dlm logm dlh ki prolh j i A V RA ρ i j d dri prm di A V l σe dg E V / l dlh ku md lirik dlm logm, σ / ρ dlh kodukivi bh logm. Scr ifiiiiml ku md lirik dlh grdi poil u dv grdi dri V g ki ulik E. Mgi pgri d grdi k ki pljri di Bb Priiw difui. Scr hrmodimi, fkor pdorog uuk rjdi difui, iu pbr mri mmbu mri li, dlh d prbd mri muk di C kori. Siui ii log dg C priiw lir mu lirik di m fkor pdorog uuk rjdi lir mu dlh prbd gg. mri klur di Alog dg priiw lirik, fluki mri g brdifui dp ki ulik bgi dc J D d D dlh kofii difui, dc/d dlh vrii kori dlm kd mp di m C d C brili ko. Rli ii dibu Hukum Fick Prm g cr forml mk bhw fluki dri mri g brdifui bdig dg grdi kori; dg k li fluki mri g brdifui mrupk fugi liir dri grdi kori. Briku ii rji ol-ol uuk lih. Sol-ol ii h brk dg kurv gri luru. Nmu dg cooh-cooh di ki mdri bhw fugi liir buk h kdr pr uu 5

34 gri luru mlik uu buk fugi g bk dijumpi dlm prkik rk. Sol-Sol. Tuk prm gri-gri g mmbuk ii gi-lim g rgmbr di bwh ii Crilh koordi iik-iik poog dri gri-gri rbu pd ol omr- di.. Crilh prm gri g mllui iik l, d jjr gri ; b mllui iik l, d jjr dg gri.. Crilh prm gri g mllui iik poog d iik poog ; b iik poog d iik poog 5 ; c iik poog d iik poog Crilh prm gri g mllui iik poog 5 d jjr dg gri ; b mllui iik poog 5 d jjr dg gri. 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

35 Bb Gbug Fugi Liir Fugi-fugi liir bk diguk uuk mmbu modl dri prubh-prubh br fii. Prubh br fii mugki mrupk fugi wku, mprur, k u g li. Ari wku, mprur, k d li iu mjdi pubh bb,, dgk br fii g rgug pd mrupk pubh k bb,. Pd umum prubh br fii rjdi cr idk liir. Jik dlm b-b ru prubh rbu dp diggp liir, br fii rbu dp dimodlk dg mmfk fugifugi liir d modl ii ki bu modl liir dri br fii rbu. Fugi-fugi briku ii bi dijumpi dlm lii rgki lirik... Fugi Ak Tgg Fugi p mmbg pd ili dri mpi. Jik ki mgigik fugi brili ko g mucul pd d mmbg h pd rh poiif, ki mmrluk fugi li g dibu fugi k gg u g didfiiik brili ol uuk <, d brili u uuk d diulik bgi u. Jdi u uuk uuk <. Jik uu fugi p k diklik dg fugi k gg u, k ki prolh uu fugi li g ki bu fugi k gg dibu jug udk, iu ku. Fugi k gg. brili ol uuk <, d brili k uuk. Gb... mmprlihk kurv du fugi k gg. Fugi,5u d fugi,5u g brili ol uuk < d brili,5 d,5 uuk. 7

36 5,5 u ,5 u Gb... Fugi k gg. Fugi k gg pri. dikk muli mucul pd d k dibu mpliudo. Ki lih krg fugi k gg g bru mucul pd. Ii idk li dlh fugi k gg rgr. Fugi dmiki ii dik dg mggi pubh dg. Dg dmiki mk fugi k gg ku. mrupk fugi g muli mucul pd d dibu fugi k gg rgr dg prgr br. Jik poiif fugi ii brgr k rh poiif umbu- d jik gif brgr k rh gif umbu-. Gb... mmprlihk kurv fugi pri ii. 5,5 u Gb... Kurv fugi k gg rgr. Prhiklh bhw fugi k gg mmiliki ili g rdfiii di. Olh kr iu fugi ii koiu di, brbd dg fugi / g idk rdfiii di lh diiggug di Bb-. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

37 .. Fugi Rmp Tlh ki lih bhw fugi brup gri luru dg kmirig, mllui iik [,], mmbg dri - mpi. Fugi rmp rbuk jik prm gri rbu brili ol uuk <, g dp diprolh dg mglik dg fugi k gg u u g lh didfiiik lbih dulu brili ol uuk <. Jdi prm fugi rmp dlh u. Jik kmirig, fugi rbu mjdi fugi rmp u. Fugi rmp rgr dlh g u g.5 dg g dlh prgr. Prhiklh bhw pd.5 bgi g dlh fugi liir rgr dgk u g dlh fugi k gg u g rgr. Gb... mmprlihk kurv fugi rmp u u, fugi rmp u, d fugi rmp rgr,5 u... Pul 6 5 u u - Gb... Rmp u u, rmp u, rmp rgr,5-u-.,5-u- Pul mrupk fugi g mucul pd uu ili ru d mghilg pd >. Buk pul ii dp dik dg gbug du fugi k gg, g mmiliki mpliudo m pi 9

38 brlw mpliudo d brbd prgr. Prm umum dlh u u.6 mujukk prgr fugi k gg g prm d dlh prgr fugi k gg g k-du, dg >. Pjumlh kdu fugi k gg iilh g mmbrik buk pul, g mucul pd d mghilg pd. Sliih dibu lbr pul lbr pul.7 Gb... mmprlihk pul dg mpliudo, g mucul pd d mghilg pd, g prm dlh u u { u u } lbr pul u- u--u u- - Gb... Fugi pul u--u- Ap g brd dlm d kurug pd prm rkhir ii, iu { u u }, dlh pul brmpliudo g mucul pd d brkhir pd. Scr umum pul brmpliudo A g mucul pd d brkhir pd dlh A{ u u }; lbr pul ii dlh. Cooh: Pul g mucul pd, dg lbr pul d mpliudo, mmiliki prm { u u }. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

39 Fugi pul mmiliki ili h dlm lg ru iu br lbr pul,, d di lur lg ii il ol. Olh kr iu fugi ppu g diklik dg fugi pul, k mmiliki ili h dlm lg di m fugi pul jug mmiliki ili. Dlm prkik, fugi pul rjdi brulg cr priodik. Gb..5. mmprlihk dr pul priod Gb..5. Dr Pul. Pubh bi dlh wku. Slg wku di m pul mucul bi dibri imbol o dgk lg wku di m i mghilg dibri imbol off. Su priod T o off. Nili r-r dr pul dlh o rr pul mk.8 T dg mk dlh mpliudo pul... Prkli Rmp d Pul. Prm umum dlh { u } mu A u.9 dg m d A bruru-uru dlh kmirig kurv rmp d mpliudo pul. Prm.9 dp ki uli ma { u u } Prhik bhw u kr i dlh fugi k gg u. Gb..6. mmprlihk prkli fugi rmp u dg fugi pul,5{ u u } g h mmiliki ili r d. Prhik bhw hil kli h mmiliki

40 ili r d, dg kmirig g mrupk hil kli r mpliudo pul dg kmirig rmp. u,5{ u u } { u u } 8 6 u,5{u--u-} - 5 Gb..6. Prkli fugi rmp d pul. Prkli fugi rmp mu dg pul { u u b } mmbuk fugi gigi grgji m { u u b } g mucul pd dg kmirig m d lbr b. Gb mu 6 m{u-u-b} {u-u-b} b - 5 Gb..7. Kurv gigi grgji Spri hl pd pul, fugi gigi grgji bi rjdi cr priodik, dg priod T, pri rlih pd Gb..8. Nili r-r fugi gigi grgji dlh rr gigi - grgji mk. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

41 dg mk dlh ili puck gigi grgji. 6 T 5 Gb..8. Fugi gigi grgji rjdi cr priodik..5. Gbug Fugi Rmp Pjumlh fugi rmp k brbuk u b u c u.... Ki mbil cooh pjumlh du fugi rmp, u d u pri rlih pd Gb..9. Gbug du fugi rmp ii k mmiliki ili ko muli dri, kr muli dri iik iu jumlh kdu fugi dlh ol higg fugi gbug k brili m dg ili fugi g prm pd mcpi u uu u Gb..9. Gbug rmp d rmp rgr. Gb... mmprlihk kurv gbug du fugi rmp, u d u. Di ii, fugi kdu mmiliki kmirig

42 gif du kli lip dri kmirig poiif fugi g prm. Olh kr iu fugi gbug k muru muli dri u u uu 5 Gb... Gbug rmp d rmp rgr. Apbil fugi gbug ii ki klik dg fugi pul pul u u k ki prolh buk kurv pri rlih pd Gb u- {u-u-}{u--u-} u Gb... Kurv {uu}{u--u-} Gbug fugi rmp dp diguk uuk mk buk glombg giig pri rlih pd Gb... Gb... Glombg giig. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

43 Buk-buk kurv gbug fugi liir bk ki jumpi dlm buk glombg il di rgki lirik, rum lkroik. Rgki lkroik g mmbgkik glombg gigi grgji mil, ki jumpi dlm ocilocop..6. Domi, Kkoiu, Simri Fugi k gg u g rgr u h mmpui ili uuk. Olh kr iu mu buk fugi g diklik dg fugi k gg ii jug h mmiliki ili pd rg. Dlm rg ii pul fugi k gg koiu. Fugi k gg idk mmiliki umbu imri. H fugi g mmiliki umbu- bgi umbu imri g k p imri rhdp umbu- pbil diklik dg fugi k gg u g rgr. Sol-Sol Buk-buk kurv gbug fugi liir bk ki jumpi pd buk glombg il dlm rgki lirik.. Gmbrk d uk prm buk kurv fugi k gg briku ii : : mk 5, mucul pd. b : mk, mucul pd. c : mk 5, mucul pd.. Dri fugi-fugi di ol omr, gmbrklh kurv fugi briku ii.. c. b. 5 6 ; ;. Gmbrk d uk prm buk pul briku ii :. Ampliudo 5, lbr pul, mucul pd. b. Ampliudo, lbr pul, mucul pd. c. Ampliudo 5, lbr pul, mucul pd. 5

44 . Gmbrk buk kurv fugi priodik g brup dr pul dg mpliudo, lbr pul, priod Gmbrk buk kurv fugi priodik gigi grgji dg mpliudo d priod,5. 6. Tuk prm iklu prm dri kurv priodik g digmbrk di bwh ii. 5 priod Tuk prm iklu prm dri buk kurv priodik g digmbrk di bwh ii priod 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

45 Bb Mooom d Poliom Mooom dlh pr uggl g brbuk k, dg k dlh p d dlh bilg bul rmuk ol. Fugi poliom mrupk jumlh rb dri mooom. Briku ii bbrp cooh fugi poliom dlm buk kplii Cooh g prm,, dlh fugi poliom brpgk ig, iu pgk riggi dri pubh bb. Cooh k-du,, dlh fugi brpgk mp. Cooh d dlh fugi mooom brpgk u d brpgk ol g lh ki kl bgi fugi liir d fugi p g mmiliki kurv brbuk gri luru... Mooom Mooom Pgk Du. Mooom pgk du ki pdg bgi fugi gp, ki ulik k. Kr di-kudrk, mk mggi dg idk k mgubh fugi. Kurv k imri rhdp umbu-. Nili h k gif mkl k gif. Ki ig bhw pd fugi liir k ili k mrupk kmirig dri gri luru. Jik k poiif mk gri k ik k rh poiif umbu-, d jik gif gri k muru. Jik k mki br kmirig gri mki jm. Pd fugi mooom pgk du, kurv k brd di umbu- jik k poiif d k brd di bwh umbu- jik k gif. Jik k mki br lgkug kurv k mki jm. Gb... mmprlihk kurv fugi. uuk ig mcm ili poiif k. 7

46 Mki br ili k k mmbu lgkug kurv mki jm. Prhiklh bhw pd, ili m dg k Gb... Kurv fugi k dg k poiif. Gb.. mmprlihk buk kurv jik k brili gif. Jik kurv dg ili k poiif mujukk d ili miimum, iu pd iik [,], kurv uuk k gif mujukk d ili mkimum pd iik [,] Gb... Kurv fugi k dg k gif. Piju pd fugi poliom k ki lkuk pd k g poiif; ki k mlih bgim jik kurv mooom digr. Prgr kurv br kl jjr umbu- diprolh dg mggik pubh dg, d prgr jjr umbu- br b kl diprolh dg mggi dg b. Dg dmiki prm mooom pgk du g rgr mjdi b k. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

47 Kurv fugi pri ii diprlihk pd Gb... uuk d b, d b, r d b. Uuk ili-ili ii, dg k, prm dp ki ulik mjdi Gb... Prgr kurv mooom pgk du d rgr. Prhiklh bhw dlh prgr dri k rh poiif umbu- br kl; dlh prgr dri k rh poiif umbu- br kl. Buk lgkug kurv idk brubh. Mooom Pgk Gp. Mooom pgk gp g li dlh brpgk, 6 d ru. Smu mooom pgk gp k mmbuk kurv g mmiliki if pri pd mooom pgk du iu imri rhdp umbu-, brd di umbu- jik k poiif d brd di bwh umbu- jik k gif. Gb... mmprlihk prbd buk kurv mooom pgk gp g mmiliki kofii k m br. Ki lih pd Gb... bhw mki iggi pgk mooom mki cp ili brmbh mu hl ii h rlih muli dri. Pd ili lbih kcil dri u, kurv mki ldi jik pgk mki iggi. Dg k li lgkug mki kurg jm. Hl ii dp dimgri kr pgk bilg pch brili mki kcil jik pgk mki br. 9

48 Gb... Kurv mooom pgk gp dg kofii m. Tlh ki khui dlm ku mooom pgk du, bhw jik kofii k mki br lgkug mjdi mki jm. Hl g m rjdi jug pd kurv mooom pgk gp g lbih iggi. Gb..5. mmprlihk kurv mooom pgk gp dg kofii g g migk dg migk pgk. 6 6 Gb..5. Kurv mooom pgk gp dg kofii k m. Pd Gb..5 rlih bhw mki br k, ili jug mki cp migk. Kcp pigk dg kofii g lbih br udh muli rjdi pd ili kurg dri u. Gjl kldi pd ili g kcil p rlih. Kurv-kurv pd Gb..5 dlh kurv mooom dg kofii g mki br pd pgk g mki br. Bil kofii mki kcilpd pgk g mki br, iui g k rjdi dlh pri rlih pd Gb..6 briku ii Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

49 6 6 Gb..6. Kurv mooom pgk gp dg kofii g mki rdh pd mooom brpgk iggi. Kldi kurv pgk iggi p rjdi pd ili g kcil. Kurv pgk iggi bru k muul kurv brpgk rdh pd ili > ; prpoog dg kurv dri fugi g brpgk rdh rjdi pd ili g br. Cooh Fugi Mooom Pgk Du. Ki mbil bbrp cooh priiw fii.. Suu bd dg m m g mdp g F k mmprolh prcp higg kcp bd bgi fugi wku pbil kcp wl dlh ol dp dik bgi v Jrk g dimpuh muli dri iik wl dlh Dlm bug kod, jik kcp wl lkro dlh ol, d wku mpuh dri od k kod dlh, mk kcp lkro pd wku mcpi kod dlh v k

50 od ] kod l lih cooh fugi liir ub-bb-.7. Wku mpuh dp dihiug dri formul l., di m. Dlm ori om, di m lkro dipdg bgi glombg, fugi glombg dri lkro-bb dibwh pgruh md j r rl dlh ψ k dg k dlh vkor bilg glombg g rh dg rmb glombg. glombg Ergi kiik lkro bgi glombg, E k, dlh E k h k m k π, λ : pjg λ E k m m lcro, h uu ko. E k d k mmiliki rli mooomil pgk du Dri Bb-8, rf. [] k Mooom Pgk Gjil. Pgk gjil plig kcil dlh d dlm hl dmiki ii ki mdpk prm gri k. Pgk gjil briku dlh, 5, 7 d ru. Gb..5. mmprlihk kurv fugi mooom brpgk gjil. Kurv fugi mooom pgk gjil imri rhdp iik l. I brili poiif uuk poiif d brili gif uuk gif. Mki iggi pgk mooom mki cp prubh ili uuk >. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

51 Uuk < kurv mki ldi g brri mki jm pmbgkok gri luru g rjdi di dlm rg. Gb..5. Kurv fugi mooom pgk gjil. Apbil pigk pgk diri jug dg pigk kofii k, prpoog kurv dg gri k bi rjdi pd ili <... Poliom Pgk Du Fugi poliom pgk du brbuk b c. Briku ii ki k mlih p g rjdi pd pro pmbh mooom dmi mooom. Uuk pggmbr kurv mig-mig mooom dlm iju fugi. dimbil mu kofii mooom poiif. Dg mgmbil ili-ili, b 5, d c, kurv mig-mig mooom diprlihk pd Gb Gb..6. Kurv mig-mig mooom dri fugi kudr.

52 Jik kurv 5 dimbhk pd mk kurv k brmbh iggi di blh k iik [,] d mjdi rdh di blh kiri iik [,] pri rlih pd Gb / umbu imri 5/ 5 5/ - b umbu imri c -5 Gb..7. Pjumlh, 5, d Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

53 Kr 5 mllui iik [,] d jug mllui iik [,] mk pjumlh kdu kurv k mmbrik kurv 5.5 g jug mllui iik [,]. Sli di kurv pjumlh ii jug mmoog umbu- di 5 / kr du iik ii iu d 5 / mmuhi prm 5. Kurv ii mmiliki umbu imri g mmoog umbu- di 5 / pri rlih pd Gb..7.b. Jik kmudi p dimbhk pd buklh g mrupk prgr dri k rh poiif umbu- br kl, pri rlih pd Gb..7.c. Ki lih krg buk umum fugi pgk du. g dp ki ulik bgi b b b c b c b c b c.7 Kurv dri fugi.7 ii dp ki fhmi bgi briku: kurv dlh kurv b g rgr jjr umbu- juh kmudi rgr lgi jjr umbu- juh Prhik Gb..8. b c. 5

54 b c b } Gb..8. Prgr kurv jjr umbu- k kiri juh b/ kmudi rgr lgi jjr umbu- k bwh juh b c/. b Sumbu imri rlk pd d kurv mmoog umbu- di blh kiri d k umbu imri ii, iu di d. Dri prm.7 ki dpk -5 b c b b c b b c b b c b b c ±, b b c ±.8 g ki kl bgi kr-kr prm kudr. Kd krii rjdi pd wku kurv fugi kudr briggug dg umbu-; du kr dri prm kudr mjdi m br. Hl ii rjdi jik prgr jjr umbu- brili ol 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

55 b c b c.9 Jik b c < mk kurv idk mmoog umbu-. Kd ii mmbrik kr komplk g blum k ki bh. Tiju di mmbrik hl-hl briku:. Jik c, mk fugi mjdi b g mmoog umbu- b b di d d mmiliki umbu imri di g jug mjdi umbu imri kurv fugi kudr b c.. Nili puck fugi b c b dimbh c iu b c dlh ili puck b c u.. Fugi kudr b c mmoog umbu- di, b ± b c Fugi Poliom Pgk Du Sbgi Mooom Trgr. Mooom pgk du g rgr rgr dlh b k g dp ki ulik bgi dg k k k b A B C A k, B k, C k b. Jdi buk kurv poliom pgk du mmiliki buk g m dg mooom rgr. 7

56 .. Mooom d Poliom Pgk Tig Fugi mooom pgk ig ki ulik k. Jik k poiif, fugi ii k brili poiif uuk poiif d brili gif uuk gif. Jik k gif mk kd k mjdi blik. Kurv fugi ii diprlihk pd Gb Gb..9. Kurv fugi k. Fugi mooom g rgr jjr dg umbu- dg prgr br kl diprolh dg mggi pubh dg, d jik rgr jjr umbu- br b kl ki prolh dg mggi dg b. Fugi mooom pgk ig g rgr k mjdi dg buk kurv diprlihk pd Gb... k b. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

57 Gb... Kurv fugi pgk ig rgr. Jik mooom pgk ig dimbhk pd poliom pgk du, rbukl poliom pgk ig, dg prm umum g brbuk b c d. Kr k ik uuk poiif pd k poiif mk pmbh k fugi kudr k mbbk kurv fugi kudr ik di blh k iik-l [,] d uru di blh kiri [,]. Ki mbil uuk mggmbrk d b 9, c 8, d uuk mggmbrk kurv fugi b c d pri rlih pd Gb... 9

58 b - Gb... Mooom pgk ig d fugi kudr. Dg poiif mk kurv brili poiif uuk > d brili gif uuk <. Kurv fugi kudr lh ki kl. Jik dimbhk pd mk ili-ili di blh kiri iik [,] k brkurg dgk g di blh k iik [,] k brmbh. Kurv g ki prolh k rlih pri pd Gb..9.b. Trlih pd gmbr ii bhw pjumlh d mghilk kurv g mmoog umbu- di ig iik. Ii brri bhw prm pgk ig b c d dg ili kofii g ki mbil mmiliki ig kr, g diujukk olh prpoog fugi dg umbu- rbu. 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

59 Hl dmiki idk llu rjdi. Jik kofii kurg poiif, puru kurv di drh gif idk rllu jm. Hl ii mbbk pgurg ili didrh ii jug idk rllu bk. Ki k mmprolh kurv pri diujukk pd Gb... Di ii fugi pgk ig mmoog umbu- di ig mp k pi g rlih h du. Tiik poog g k-ig brd juh di gif. Mki kcil ili p poiif k mki juh lk iik prpoog g k-ig ii. - kurg poiif b rllu poiif - Gb... Pgruh ili kurv fugi pgk ig. Jik kofii rllu poiif, puru di drh gif g jm. Pgurg di drh ii rjdi g br. Kurv g ki 5

60 prolh k rlih pri pd Gb...b. Di ii kurv idk mmoog umbu- di drh gif. H d u iik poog di umbu- poiif. Jik k rjdi fugi kudr g udh ki bh di ub-bb blum. Ki lih krg kd di m brili gif. Nili gif k mmbu kurv brili poiif di drh gif d brili gif di drh poiif. Hl ii mbbk ili k brmbh di drh gif d k brkurg di drh poiif. Jik idk rllu gif, kurv g ki prolh k brbuk pri rlih pd Gb b - Gb... Fugi pgk ig dg gif. Kurv brpoog dg umbu- di ig ig mp. Ak pi prpoog g k-ig brd juh di drh poiif. Mki gif 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

61 mki juh lk iik prpoog rbu. Jik rllu gif kurv brpoog dg umbu- di u mp, pri rlih pd Gb...b. CATATAN: Sugguh prpoog kurv fugi pgk ig dg umbu- idk m-m diuk olh ili kofii pd mooom prm. Buk d poii kurv fugi kudr, jug k muk lk iik poog... Domi, Kkoiu, Simri Pubh pd mu fugi poliom dp mgmbil ili dri mpi. Nili pubh k mgikui ili. Fugi poliom koiu dlm rg rbu. Dmiki pul hl jik ki mmpui fugi g mrupk hilkli r poliom dg poliom,. Ki lh mlih bhw kurv mooom pgk du k imri rhdp umbu- kr pggi dg idk mgubh fugi ii. Hl ii jug k brlku uuk mu kurv mooom g brpgk gp. K ii mimbulk iilh imri gp uuk fugi-fugi g imri rhdp umbu-; mil fugi coiu g k ki pljri di bb li. Ki jug lh mlih bhw kurv mooom pgk ig k imri rhdp iik l [,]. Pggi dg d pggi dg idk k mgubh fugi ii. Hl ii brlku pul uuk mu kurv mooom brpgk gjil. Iilh imri gjil dibrik pd fugi g imri rhdp iik l [,], pri fugi iu g k ki pljri di Bb-6. Pjumlh r mooom brpgk gp dg mooom brpgk gjil idk mghilk kurv g mmiliki umbu imri. Hl ii dibbk kr kidh uuk rjdi imri bgi mooom brpgk gp idk m dg kidh g diprluk uuk rjdi imri pd kurv mooom brpgk gjil. Kd khuu rjdi pd mooom brpgk u g jug mrupk mooom brpgk gjil. Kurv dri fugi ii jug imri rhdp iik l [,]. Nmu fugi ii dlh fugi liir dg kurv g brbuk gri luru, brbd dg kurv fugi mooom pgk ig. Kliir ii mbbk pjumlh 5

62 dg kurv mooom pgk du mghilk prgr kurv fugi pgk du; kurv g rgr ii mmiliki umbu imri g jjr dg umbu-. Sol-Sol. Tuklh koordi iik puck d prpoog dg umbu- kurv fugi-fugi briku ii. ; 5 7 ; ; 8. Dri ol omr-, uklh koordi iik prpoog r kurv-kurv fugi briku ii d ; d ; d. Tuklh koordi iik puck d prpoog dg umbu- kurv fugi-fugi briku ii. 5 ; ;. Dri ol omr-, lidikilh koordi iik prpoog kurv-kurv fugi briku. d ; d ; d 5. Tuklh koordi iik puck d prpoog dg umbu- kurv fugi-fugi briku ii. 5 7 ; ; 8 6. Dri ol omr-5, lidikilh koordi iik prpoog kurv-kurv fugi briku. d ; d ; d 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

63 Bb 5 Bgu Gomri 5.. Prm Kurv Prm uu kurv cr umum dp ki ulik bgi F, 5. Prm ii muk mp kduduk iik-iik g mmuhi prm rbu. Jdi ip iik pd kurv k mmuhi prm d ip iik g mmuhi prm hru pul rlk pd kurv. Briku ii dlh krkriik umum uu kurv. Bbrp di r lh ki pljri di bb prm. Simri. Kurv uu fugi mugki imri rhdp gri u iik ru jik fugi idk brubh pbil ki gi dg mk kurv fugi rbu imri rhdp umbu-; b jik fugi idk brubh pbil d diprukrk, kurv fui rbu imri rhdp gri-bgi kudr I d III. c jik fugi idk brubh pbil digi dg, kurv fui rbu imri rhdp umbu-. d jik fugi idk brubh jik d digi dg d, kurv fugi rbu imri rhdp iik-l [,]. Nili Pubh. Dlm mlih buk-buk gomri h ili- dri d g ki prhik. Apbil dlm uu prm rdp pgk gp uu pubh mk k rlib uu ili g brl dri kr pgk du pgk gp dri pubh rbu. Dlm kd dmiki ki ggp bhw bilg gif idk mmiliki kr, kr ki blum mmbh bilg komplk. Hl ii lh dikmukk di bb prm dlm ub-bb pmb pmbh. Cooh:. Jik ki cri ili ki dpk ± 55

64 Apbil ili mulk lbih br dri, mk ili bilg di bwh d kr k gif. Dlm hl dmiki ii ki mmbi h pd rg. Kr kurv ii imri rhdp gri, mk i mmiliki ili jug rb pd rg. Tiik Poog Dg Sumbu Koordi. Koordi iik poog dg umbu- dp diprolh dg mmbri ili, dgk koordi iik poog dg umbu- diprolh dg mmbri ili. Cooh:. Tiik poog dg umbu- dlh P[,] d Q[,]. Tiik poog dg umbu- dlh R[,] d S[,]. Cooh:. Dg mmbri ili ki idk k mdpk olui uuk. Dmiki pul mmbri idk k mmbri olui uuk. Kurv prm ii idk mmoog umbu- mupu umbu-. Aimpo. Suu iik P[,] pd kurv g brgrk pjg kurv mjuhi iik-l mugki k mki dk dg uu gri ru, mu idk k muh. Gri rbu mrupk impo dri kurv. Cooh:. Prm ii mmbrik ± Ap g brd di dlm d kr, idk bolh gif. Hl ii brri jik hru poiif mk i idk bolh lbih kcil dri u gr poiif; jik gif mk k p poiif. Jdi hrulh < u >. Tidk d bgi kurv g brd r d. Gri vrikl d dlh impo dri kurv. Lih Gb Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

65 - Sol-Sol: - Gb.5.. Gri impo diujukk olh gri ph-ph. Prm kurv ii jug bi diulik bgi / / Jik ± mk, d ±. Gri mdr d jug mrupk impo dri kurv. Tuk umbu imri, iik-iik poog dg umbu koordi, d gri impo kurv-kurv dri fugi briku: ; ; ; ;. 5.. Jrk Ar Du Tiik Jik koordi du iik dikhui, mil P[ p, p d Q[ q, q ], mk jrk r kdu dlh PQ p q p q 5. Formul ii g brmf jik ki hdk mcri mp kduduk iik g brjrk ru dri uu iik li. Ki k mlih pd ul buk-buk gomri briku ii. 57

66 Sol-Sol:. Dikhui du iik P-, d Q,-. Dg mgguk prm prm 5. uk mp kduduk iik-iik g brjrk m rhdp P d Q.. Dikhui du iik P-, d Q,. Dg mgguk prm prm 5. uk mp kduduk R g dmiki rup higg RP RQ. 5.. Prbol Ki lh mlih buk kurv k 5. g imri rhdp umbu-. Buk kurv ii dibu prbol. Dlm prm ii, d uu ili k dmiki rup higg jrk r u iik P g rlk pd kurv dg iik Q g rlk di umbu- m dg jrk r iik P d uu gri ru, pri diprlihk pd Gb.5.. Tiik Q dibu iik foku prbol, d gri ru p dibu gri dirkrik d iik puck prbol brd di gh r iik foku d dirkrik. k Q[,p] P[,] [,] R[,p] Gb.5.. Tiik foku d gri dirkrik. Hubug r k d p dp dicri bgi briku. PQ PR p p p p PR p 58 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

67 Kr PQ PR, mk p p p p p p p g brri p p u k p u p k Dg dmiki prm prbol dp ki ulik dg dirkik p d iik foku Q[,p]. 5. p Cooh: Prm prbol,5 dp ki ulik Sol-Sol:,5 d prbol ii mmiliki dirkrik p, 5 d iik foku di Q[,,5]. Tuk iik foku d dirkrik prbol-prbol briku: 8 ; 8 ; 5.. Ligkr ; Ligkr mrupk mp kduduk iik-iik g brjrk m rhdp u iik ru. Tiik ru iu dibu iik pu ligkr. Jik iik ru iu dlh iik-l [,] mk jrk uu iik X[,] k iik-l dlh XO 59

68 Jik jrk ii ru, r mil, mk r Olh kr iu prm ligkr dg iik pu [,] dlh r 5.5 dg r dlh jri-jri ligkr. Jik iik pu ligkr idk brimpi dg iik l, ki dp mlih bgi ligkr rgr. Ligkr dg iik pu di P[,b] mmpui prm b 5.6 r Gb.5.. mmprlihk buk ligkr dg jri-jri g dibu ligkr-u, brpu di [,] dg prm.,5 - [,],5 Gb.5.. Ligkr Pd Gb.5. ii pul diprlihk ligkr dg r, brpu di [,5,,5] g brri ligkr rgr jjr umbu- br,5 kl d jjr umbu- br,5 kl, dg prm,5 -,5, 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

69 Sol-Sol: Tuk prm d cri iik-iik poog dg umbu-umbu koordi ligkr briku 5.5. Elip Tiik pu di P,, jri-jri. Tiik pu di Q-,, jri-jri 5. Tiik pu R, jri-jri. Tiik pu S, jri-jri. Elip dlh mp kduduk iik g jumlh jrk rhdp du iik ru dlh ko. Kdu iik ru rbu mrupk X[,] du iik foku dri lip. Prhik Gb.5.. Milk dikhui poii du iik P[,] d Q,]. Jrk r iik mbrg X[,] dg kdu iik rbu mig-mig dlh XP c d P[-c, ] Q[c, ] Gb.5.. Elip XQ c Jik jumlh r kdu dlh ko, milk, mk c c Jik uku kdu ru kiri dipidhk k ru k d kdu ru di kudrk, k ki prolh c c c g dp didrhk mjdi c c 6

70 Jik kdu ru di kudrk ki dpk c c c c g dp didrhk mjdi c Ki prhik pbu pd uku k-du ru kiri prm rkhir ii, dg mlih pd Gb.5.. Pd giig XPQ, jumlh du ii llu lbih br dri ii g kig, XP XQ > PQ u > c, higg pbu uku k- di ru kiri llu poiif d mmiliki kr ; milk prm lip c b. Dg dmiki ki mdpk b 5.7 Tiik-iik poog dg umbu- dlh [±,] d iik-iik poog dg umbu- dlh [,±b]. Jdi uu lip diligkupi olh u gi pjg b; dlh umbu pjg lip d b dlh umbu pdk. Prhik bhw jik b g brri c, ki mdpk prm ligkr. Apbil iik foku lip idk rlk pd umbu-, ki bi mlih bgi lip rgr. Prm lip rgr dlh p q b 5.8 dg p dlh prgr jjr umbu- d q dlh prgr jjr umbu-. Gb.5.5. dlh lip dg prm,5,5,5 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

71 - Sol-Sol: - Gb.5.5. Elip rgr. Tuk iik-ik foku d gmbrk k lip briku: 5.6. Hiprbol 9 6 ; 9 ; ; 6 9 Hiprbol mrupk mp kduduk iik-iik g liih jrk r du iik ru dlh ko. Puru prm hiprbol dp dilkuk pri hl dg puru prm lip di. Prhik Gb.5.6. Milk dikhui poii du iik P[c,] d Qc,]. Jrk r iik mbrg X[,] dg kdu iik rbu migmig dlh XP c d XQ c 6

72 X, P[-c,] Q[c,] Gb.5.6. Poii iik X rhdp P[-c,] d Q[c,]. Jik liih r XP d XQ hru p, mil, mk c c Suku kdu ru kiri dipidhk k ru k d kdu ru di kudrk, kmudi dilkuk pdrh c / c Jik kdu ru dikudrk k diprolh c Ki lih lgi Gb.5.6. Dlm giig PXQ, liih XPXQ llu lbih kcil dri PQ c. Jdi < c higg pbu pd uku kdu ru kiri llu poiif, milk c b. Dg dmiki ki dpk prm b Iilh prm hiprbol, dg buk kurv pri pd Gb Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

73 X, -c - c Gb.5.7. Kurv hiprbol Dg mmbri ili, ki dpk iik poog hiprbol dg umbu- iu [±,]. Dg mmbrik ili, ki idk mmprolh olui uuk. Kurv idk mmoog umbu-; idk d bgi kurv g rlk r d. Sol-Sol: Gmbrk k hiprbol briku: 9 6 ; 9 6 ; 6 9 ; Kurv Brdrj Du Prbol, ligkr, lip, d hiprbol dlh buk-buk khuu kurv brdrj du, u kurv pgk du. Buk umum prm brdrj du dlh A B C D E F 5. Prm prbol dlh buk khuu dri 5. dg B C D F ; A ; E p 65

74 higg diprolh prm 5.. p Ligkr u dlh buk khuu dri 5. dg B D E ; A ; C ; F Bhk prm gri lurupu mrupk kd khuu dri 5., di m A B C ; D ; E ; F b g mmbrik prm gri luru b. Nmu dlm ku rkhir ii prm brdrj du 5. brubh u mjdi prm brdrj u. Buk A d C dlh buk-buk brdrj du g lh rig ki mui pd prm kurv g lh ki bh. Nmu buk B, g jug mrupk buk brdrj du, blum prh ki mui. Dlm ub-bb briku ii hl rbu k ki lih Prpur Sumbu Koordi Dlm bgu gomri g udh ki lih, muli dri prbol mpi hiprbol, idk upu mgdug buk B. Hl Ii ugguh mrupk kokui dri pmilih koordi. Dlm bgu hiprbol mil, ki lh mmilih iik-iik foku P[c,] d Q[c,] higg hiprbol imri rhdp umbu- d mmoog umbu- di ±. Skrg k ki cob mmilih iik foku di P[,] d Q[,] pri pd Gb.5.8. X P[-,-] Q[,] Gb.5.8. Tiik foku di P[-.-] d Q[,] Sliih jrk XP d XQ g p ki milk 66 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

75 Jik uku kdu ru kiri dipidhk k ru k kmudi kdu ru dikudrk d dilkuk pdrh, k ki prolh Jik ru k d kiri dikudrk lgi ki dpk 5. Mmpukrk dg idk mgubh prm ii. Kurv prm ii imri rhdp gri, iu gri bgi kudr II d III pri rlih pd Gb Gb.5.9. Kurv. Klu ki bdigk kurv Gb.5.9 ii dg kurv hiprbol blum pd Gb.5.7. rlih bhw kurv pd Gb.5.9. mmiliki umbu imri g rpur 5 o brlw dg rh prpur jrum jm, dibdigk dg umbu imri Gb.5.7 iu umbu-. Apkh mmg dmiki? Ki k lih cr umum mgi prpur umbu ii. Prhik Gb.5.. P[,] P[, ] O β α Q Q Gb.5.. Prpur umbu. 67

76 Sumbu - dipur br α mjdi umbu -. Tiik P dp dik dg du koordi P[,] dg rfri umbu -, u P[, ] dg rfri umbu -. Dri Gb.5.. ki dpk Smr iu OQ OP co α β PQ OP i α β ' OQ' OP coβ ' PQ' OPi β Dg km C: lih fugi rigoomri di Bb-6 co α β coαcoβ i αi β i α β i αcoβ coαi β Dg 5. d 5., mk 5. mjdi 'coα 'i α 'i α 'coα Prm 5.5 iilh prm roi umbu Ki cob plikik 5.5 pd 5. g mmiliki kurv pd Gb.5., di m roi umbu rjdi pd udu 5 o higg co α i α /. Olh kr iu ki prolh ' ' ' ' d Nili d ii ki mukk k 5. d ki mdpk ' ' ' ' ' ' Buk prm ii m dg buk prm 5.9; pd 5.9 umbu imri dlh umbu-, dgk di ii umbu imri dlh umbu- iu umbu- g dipur 5 o. Dg pmbh mgi prpur umbu ii, mjdi lgkplh prgr kurv g ki bh. Prgr kurv jjr umbu- d umbu- g lh ki bh blum dp pul ki pdg bgi prgr u rli umbu koordi. Dg dmiki ki mgl rli d roi umbu koordi, di m umbu-umbu imri dri uu kurv idk brimpi dg umbu koordi, d iik imri idk brimpi dg iik l [,]. 68 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

77 Bb 6 Fugi Trigoomri Trigo dlh poligo g plig drh. I brii ig g dibu giig; i uik. Suu giig ABC dg ii-ii, b, d c dlh u-u giig g mmiliki ii-ii ii; idk d giig li g mmiliki ii-ii, b, d c, g brbd buk d ukur dri giig ABC. Buk d ukur g pi ii mjmi d rli g pi r ii-ii d udu. Dg kpi ii i mjdi wh rformi dri brbgi gjl fii g ki kl; buk giig g diguk uuk kprlu ii dlh giig iku-iku. Sgiig iku-iku dg ii-mirig c d ii iku-iku b d c, d udu α dlh r ii b d c, mmpui rli pi c i α d b c co α Siu d coiu dlh fugi-fugi rigoomri. Sudu α mjdi pubh bb d mjdi pubh k bb g ili rgug dri α, dg c mrupk p; ki dp mulik fugi Ai α Jik α brvrii rhdp wku, ω, mk Ai ω Iilh fugi iu g rig ki jumpi, g diguk uuk mk brbgi br fii g brubh rhdp wku cr iuoidl. Sbgi cooh: gr grpu l, glombg ur gog g dibuh, glombg gg lur rmii gi lirik, glombg gg md lirik pmcr rdio, d bgi. ω dlm cooh di dibu frkui udu, dlh wku g bi dik dlm u dik, d udu α dp dik dlm u drj upu rdi; jdi ω mmiliki u drj/dik u rdi/dik. A α c b c co α B C ci α 69

78 6.. Pubh Bb Bru Drj Briku ii dlh fugi-fugi rigoomri dg udu θ bgi pubh-bb. i θ 5 6 co θ i θ θ co θ co θ co θ i θ c θ co θ cc θ i θ 6. Uuk mjlk fugi rigoomri, ki gmbrk ligkru, iu ligkr brjri-jri u. Buk ligkr ii diprlihk pd Gb.6.. Ki mgguk rfri rh poiif brlw dg rh jrum jm; ri udu θ mki br jik jrijri r brpur brlw dg rh prpur jrum jm. O θ - [,] -θ Q r P - P Gb.6.. Ligkr brjri-jri. 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

79 Fugi iu. Dg mmbu jri-jri r OP, mk PQ i θ PQ 6. r PQ pd wku θ o, d mmbr jik θ mmbr mpi mcpi mkimum PQ pd wku θ 9 o. Kmudi PQ muru lgi d mcpi PQ pd wku θ 8 o. Sudh iu PQ mjdi gif rh k bwh d mcpi miimum PQ pd wku θ 7 o, kmudi migk lgi mcpi PQ pd wku θ 6 o. Slh iu kd k brulg, d u iklu briku rjdi pd wku θ 7 o. Kjdi brulg lgi d dmiki ru. Kjdi u iklu ki bu u priod. Scr igk ki mmprolh i o i 7 ; o ; i 9 o ; i 6 o i8 o ; Fugi Coiu. Kr lh dipk r, mk OQ co θ OQ r 6. OQ pd wku θ, d mgcil jik θ mmbr mpi mcpi miimum OQ pd wku θ π/. Kmudi OQ migk lgi pi gif d mcpi OQ pd wku θ π. Sudh iu OQ mgcil d p gif d mcpi miimum OQ pd wku θ,5π, kmudi migk lgi mcpi OQ pd wku θ π. Slh iu kd k brulg, d u iklu briku rjdi pd wku θ π. Kjdi brulg lgi d dmiki ru. Scr igk co o co 7 ; o ; co9 o ; co 6 o co8 o ; Pd Gb.6., jik iθ PQ d coθ OQ, dgk dlil Pigor mmbrik PQ OQ OP, mk Dri Gb.6.. dp ki prolh jug i θ co θ 6.. 7

80 P Q PQ i θ i θ r r OQ co θ coθ r 6..b 6..c Pd giig iku-iku OPQ mupu OP Q ii gk llu lbih kcil dri ii mirig. Olh kr iulh iθ mupu coθ k brili r d. Fugi Tg. PQ θ 6..d OQ P Q PQ θ θ 6.. OQ OQ Nili θ k mjdi jik θ o, d k muju jik θ muju 9 o kr pd wku iu PQ jug d θ k muju pd wku θ muju 9 o. Jdi θ brili r mpi. Nili θ bil θ 5 o kr pd wku iu PQ OQ; θ jik θ 5 o. Lih pul kurv pd Gb.6.5. Fugi Cog. OQ co θ 6..f PQ OQ OQ co θ co θ 6..g P Q PQ Nili coθ k muju jik θ muju o kr PQ k muju wlu OQ muju ; coθ jik θ 9 o kr OQ. Sblik coθ k muju jik θ muju kr P Q k muju ; coθ jik θ 9 o kr P Q muju. Lih pul kurv Gb Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

81 Fugi Sc d Coc r cθ 6..h coθ OQ r ccθ 6..i i θ PQ Nili cθ muju jik θ muju 9 o kr OQ muju d cθ pd wku θ o kr pd wku iu OQ r u coθ. Smr iu ccθ k muju jik θ muju kr iθ muju. Lih pul Gb.6.7. Rli-Rli. Rli-rli g li dp ki uruk dg mguk Gb.6.., iu coα iα coβ β iα iα iβ α coα iβ β - [,] coα coβ - Gb.6.. Rli-rli i α β i αcoβ coαi β co α β coαcoβ i αi β 6.5 Kr i β iβ d co β coβ mk ki prolh pul i α β i αcoβ coαi β co α β coαcoβ i αi β 6.6 7

82 6.. Kurv Fugi Trigoomri Dlm Koordi - r θ Bilg- dg diml g idk rb, π, diguk uuk mk br udu dg u rdi. Jumlh rdi dlm udu θ didfiiik dg prm θ, rθ 6.7 r Jik θ 6 o mk mjdi puh u klilig ligkr, u πr. Jdi jumlh rdi dlm udu 6 o dlh π. Dg dmiki mk ukur udu θ 8 o dlh π rd. θ 9 o dlh,5π rd. θ dlh /8 rd. d. o π Fugi Siu. Dg mgguk u rdi, fugi rigoomri k ki gmbrk pd im koordi -, g ki khui bhw umbu- dlh umbu bilg-, rmuk π. Buk kurv fugi iu i 6.8 rlih pd Gb.6.. g dibu uuk ili dri π mpi π. Fugi ii mcpi ili mkimum pd π/ u θ 9 o, mcpi ili ol pd π u θ 8 o, mcpi miimum rh gif pd,5π u θ 7 o, kmbli ol pd π u θ 6 o ; iilh u priod. π,5,5 π -,5 π π - -,5 Gb.6.. Kurv fugi iu dlm du priod. 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

83 Fugi Coiu. Kurv fugi coiu co 6.9 rlih pd Gb.6.. Fugi ii mcpi ili mkimum pd u θ o, mcpi ili ol pd π/ u θ 9 o, mcpi miimum rh gif pd π u θ 8 o, kmbli ol pd,5π u θ 7 o, d k ili mkimum lgi lh u priod, π. π,5,5 -,5 Gb.6.. Kurv fugi coiu. Fugi iu mupu fugi coiu dlh fugi priodik dg priod m br π, dg ili mkimum d miimum g m iu d. Prbd r kdu rlih, iu i i dgk co co 6. Fugi iu imri rhdp iik-l [,], d dibu mmiliki imri gjil. Fugi coiu imri rhdp umbu- d dibu mmiliki imri gp. Dg mmprbdigk Gb.6.. d Gb.6. ki lih bhw fugi iu dp dipdg bgi fugi coiu g rgr jjr umbu- br π/. Olh kr iu fugi iu dp ki k dlm coiu i co π / 6. Fugi Tg. Slju ki lih fugi - priod π π -,5 i 6. co 75

84 Kr co pd π/ d π/, mk brili k higg pd π/ d π/. -,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.5. Kurv Fugi Cog. Fugi ii dlh kblik dri fugi g. co co 6. i Kr i pd, mk co brili k higg pd. Lih Gb ,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.6. Kurv co 76 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

85 Fugi Sc. Fugi ii dlh kblik fugi coiu. c 6.. co Kurv fugi ii rlih pd Gb Prhik bhw c brili pd kr pd ili iu co jug brili. Fugi Coc. Fugi ii dlh kblik fugi iu. cc 6..b i Kurv fugi ii rlih pd Gb.6.7.b. cc brili pd kr pd ili ii i brili. -,5π -π -,5π,5π π,5π - - c - -,5π -π -,5π,5π π,5π - - b cc - Gb.6.7. Kurv c d cc 77

86 Sol-Sol: Sk kurv fugi-fugi briku: i ; i ; co ; co π / ; / 6.. Fugi Trigoomri Ivri Siu Ivri. Jik fugi iu ki ulik i, mk fugi iu ivri diulik bgi rci u i 6.5 Prhik bhw i buk brri /i, mlik ivri iu g bi ki bc bgi: dlh udu g iu m dg. Kr fugi iu dlh priodik dri mpi mk fugi i idklh brili uggl. Kurv fugi ii rlih pd Gb I k rlih brili uggl jik ki mmbi ili ; ki h miju fugi iu ivri pd π π. Dg pmb ii mk ki h rlib dg ili-ili um dri i. Jdi ili um i rlk pd π π i. Kurv fugi i g dibi ii rlih pd Gb.6.8.b. Prhiklh bhw pd, i kr pd i. Pd, i π/ kr i iπ/. Cooh: i,5π ; i,5π i π,5 ; 6 i π, Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

87 π π -,5π,5π π π - -,5,5 -,5π -,5π b Gb.6.8. Kurv i Jik ki bdigk Gb.6.8. fugi iu ivri dg Gb.6.. fugi iu rlih bhw jik umbu- pd Gb.6.8. ki gmbrk horizol dgk umbu- ki gmbrk vrikl, mk ki k mmprolh buk kurv fugi iu pd Gb.6.. pd rg π π, iu rg di m ki mmbi ili pd fugi iu ivri, u rg ili um fugi iu ivri. Coiu Ivri. Fugi coiu ivri ki prolh mllui hubug π co i 6.6 Hubug ii brl dri rli giig iku-iku. Jik udu lcip giig iku-iku dlh α d β, mk β π/ α d i α coβ. Olh kr iu jik i α mk co β higg co β π / α π / i 79

88 Kr dg pmb π π pd fugi iu ivri mmbrik π π i mk ili-ili um dri co k rlk pd co π. Gb.6.9.b. mmprlihk kurv fugi coiu ivri pd ili um. Prhik bhw jik umbu- digmbr vrikl dg umbu- digmbr horizol, ki dpk fugi coiu pri pd Gb.6.. dlm rg π. π π -,75π,5π π,5π - -,5,5 b Gb.6.9. Kurv co Tg Ivri. Fugi g ivri dlh 6.7 π dg ili um π < < Uuk fugi ii, ili ±π / idk ki mukk pd pmb uuk kr ili g k mjdi k higg pd ili rbu. Gb.6... mmprlihk kurv lgkp dgk Gb.6..b. dibi pd ili,5π < <. 5π. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

89 ,5π π,5π ,5π -π,5π,5π ,5π -,5π b Gb.6.. Kurv Jik ki mmprukrk poii umbu- d umbu- pd Gb.6..b ii, ki k mmprolh kurv pd Gb.6.5. iu kurv fugi g, dlm rg π π < < Iilh b ili-ili um fugi g ivri. Cog ivri. Fugi ii diprolh mllui hubug π co 6.8 dg ili um < co < π d π idk muk dlm pmb kr pd ili rbu mjdi k higg. Hubug 6.8 diprolh dri giig iku-iku. Jik udu lcip giig iku-iku dlh α d β, mk β π / α d α coβ. Olh kr iu jik α mk co β higg co β π -,5π / α π / Kurv fugi cog ivri rlih pd Gb.6.. 8

90 π,5π Gb.6.. Kurv co Prukr poii umbu- d umbu- Gb.6.. ii k mmbrik buk kurv fugi cog pd Gb.6.6. Fugi Sc Ivri. Slju ki mmprolh fugi c ivri c co 6.9 dg ili um π c π.,75π,5π,5π Gb.6.. Kurv c Fugi Coc Ivri. cc i 6. dg ili um π π cc 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

91 Prukr poii umbu- d umbu- pd gmbr kurv kdu fugi rkhir ii jug k mmbrik buk kurv fugi o-kovri.,5π,5π ,5π -,5π Gb.6.. Kurv cc Hubug Fugi-Fugi Ivri. Hubug r fugi ivri dg fugi-fugi o-ivri dp ki cri dg mgguk gmbr giig iku-iku.. Dri fugi i, iu udu g iu- dlh dp ki gmbrk giig iku-iku dg ii mirig m dg pri rlih di mpig ii. Dri gmbr ii li fugi i d i, ki dp prolh co,, d.. Dri fugi coiu ivri co dp ki gmbrk giig iku-iku pri di mpig ii. 8

92 Sli co dri gmbr ii ki dpk i,, d.. Dri fugi, ki gmbrk giig pri di mpig ii. Sli, ki prolh i, co, d. Dri fugi c ki gmbrk giig pri di mpig ii. Dri gmbr ii ki prolh, i, d. Sol-Sol: Dri fugi co uk i d co Dri fugi cc uk d co 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

93 Bb 7 Gbug Fugi Siu 7.. Fugi Siu D Coiu Bk priiw rjdi cr ikli iuoidl, pri mil glombg ch, glombg rdio pmbw, glombg gg lirik im g, db. Priiw-priiw iu mrupk fugi wku, higg ki k mlih dg mgguk wku bgi pubh bb, dg imbol, u dik. Dlm priiw iuoidl, jumlh iklu g rjdi ip dik dibu frkui iklu, dg imbol f, dg u Hrz Hz iklu pr dik. Jdi jik fugi iu mmiliki priod T mk f 7. T Sbgim dikmukk di bb blum, ki mgguk jumlh rdi uuk mk udu. Kr u iklu prubh udu brui dg prubh br π rdi, mk f iklu pr dik brui dg πf rdi pr dik. Jdi di mpig frkui iklu f ki mmiliki frkui udu dg imbol ω, dg u rdi pr dik. Rli r frkui iklu f dg frkui udu ω, d jug dg priod T, dlh π ω πf 7. T Suu fugi coiu g mmiliki mpliudo ili puck A diulik bgi π Acoω Aco 7. T C: Sblum ki ljuk pmbh ki, d diki c g prlu dicrmi. Di bb blum ii ki mk fugi iu i u fugi coiu co dg bgi pubh bb dg u rdi. Pd 7. ki mk fugi coiu co ω dg bgi pubh bb dg u dik. Fkor ω-lh g mmbu u dik mjdi rdi; ω dibu frkui uu, u rd/dik. 85

94 Gb.7.. mmprlihk kurv fugi coiu. Jik fugi coiu ii ki gr k rh poiif br ¼ priod ki k mdpk fugi iu. Gb.7.. π π Aco ω Ai ω Ai 7. T A T -A Gb.7.. Fugi coiu π Acoω Aco T A T -A Gb.7.. Fugi iu π π Ai ω Ai Aco ω T Prgr fugi coiu br T diprlihk pd Gb.7.. Prm kurv coiu rgr ii dlh Acoω π T Aco T T πt 86 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

95 A T T -A Gb.7.. Fugi coiu rgr Ki prhik bhw puck prm fugi coiu mujukk prgr. Pd Gb.7.. prgr dlh ol. Pd Gb.7.. prgr dlh T. Pd Gb.7.. prgr dlh π/ g kmudi mjdi kurv fugi iu. Jdi k g mudh mulik prm uu fugi iuoidl mbrg, iu dg mulik dlm buk coiu, dg mmukk prgr g rjdi iu g diujukk olh poii puck g prm. Uuk lju, priiw-priiw g brubh cr iuoidl ki k dg mgguk fugi coiu, g diggp bgi buk orml Prhiklh bhw T dlh prgr wku dlm dik, higg fugi iuoidl dg prgr T ki ulik Gb.7. g dp pul ki ulik Aco ω Aco T ω ω Pd puli rkhir ii, ωt mmpui u rdi, m dg u ω. Slju πt ϕ ωt 7.5 T dibu udu f dri fugi coiu d mujukk poii puck prm dri fugi coiu. Fugi coiu dg udu f ϕ ki ulik ω ϕ T co

96 Jik ϕ π/ mk ki mmpui fugi iu. Jdi uuk mgubh fugi iu k dlm form orml mgguk fugi coiu ki mmbhk prgr br π/ pd fugi coiu. 7.. Kombii Fugi Siu. Dlm iju lju, jik dibu fugi iu, g dimkudk dlh fugi iu g dik dlm buk orml, iu coiu. Fugi iu dlh fugi priodik. Fugi-fugi priodik li g buk iu, dp dik bgi jumlh dri fugi-fugi iu. Au dg k li uu fugi priodik dp diurik mjdi jumlh dri bbrp kompo iu, g mmiliki mpliudo, udu f, d frkui g brli u m li. Dlm pguri iu, fugi k rdiri dri kompo-kompo g brup kompo rh ili r-r dri fugi, kompo iu dg frkui dr f, d hrmoi g mmiliki frkui hrmoi f. Sblik dp jug dikk bhw jumlh dri bbrp fugi iu g mmiliki mpliudo, frkui, r udu f g brli, k mmbuk fugi priodik, wlupu buk brbuk iu. Gb.7.. mmprlihk bbrp buk fugi priodik; buk fugi-fugi priodik ii rgug mcm kompo iu g muu. Frkui hrmoi dlh ili frkui g mrupk klip bul dri frkui dr f. Frkui f ki bu bgi frkui dr kr frkui iilh g muk priod T /f. Frkui hrmoi dimuli dri hrmoi kdu f o, hrmoi kig f, d ru, g cr umum ki kk hrmoi k- mmpui frkui f. 7.. Spkrum D Lbr Pi. Spkrum. Jik ki mghdpi uu fugi priodik, ki bi mmprk bgim kompo-kompo iuoidl. Bgim pbr mpliudo d udu f ip kompo, u dg igk bgim pkrum fugi rbu. Ki jug mmprk bgim br frkui dri kompokompo rbu. 88 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

97 co f - co f co πf coπ f co π f coπ f π / Gb.7.. Bbrp fugi priodik. Briku ii ki k mlih uu cooh fugi g dik dg prm πf 5i π f 7,5 co f co π Fugi ii mrupk jumlh dri u kompo ko d ig kompo iu. Kompo ko rig dibu kompo brfrkui ol kr A coπf A jik f. Kompo iu g prm dlh kompo iu dr kr kompo iilh g mmpui frkui plig rdh pi idk ol. Suku kig d kmp dlh hrmoi k- d k-; hrmoi k- idk d. Fugi ii dik dg cmpur fugi iu d coiu. Uuk mlih bgim pkrum fugi ii, ki hru mulik ip uku dg buk g m iu buk orml dr. Tlh dikk 89

98 di dp bhw buk orml pr fugi iuoidl dlh mgguk fugi coiu, iu Aco πf ϕ. Dg mgguk km i πf coπf π / d co πf coπf π prm fugi di dp ki uli coπf 5 coπ f π / 7,5coπ f π Dlm pr rkhir ii mu uku lh ki ulik dlm buk dr, d ki dp mlih mpliudo d udu f dri ip kompo pri dlm bl briku. Frkui f f f Ampliudo 5 7,5 Sudu f π/ π Fugi g ki mbil bgi cioh mugki mrupk pr uu il dlm rgki lirik mil. Tbl ii mujukk p g dibu bgi pkrum dri il g diwkili. Suu pkrum il mujukk bgim kompoii bik mpliudo mupu udu f dri mu kompo coiu bgi fugi dri frkui. Sil g ki bh ii brii mp mcm frkui, iu :, f, f, d f. Ampliudo dri ip frkui cr bruru-uru dlh,, 5, d 7,5 u vol mil, jik i dlh il gg. Sudu f dri kompo iu g brfrkui f, f d f bruru uru dlh, π/, d π rdi. Dri bl rbu di ki dp mggmbrk du grfik iu grfik mpliudo d grfik udu f, mig-mig bgi fugi frkui. Grfik g prm ki bu pkrum mpliudo Gb.7.5. d grfik g kdu ki bu pkrum udu f Gb.7.5.b. 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

99 Ampliudo Sudu F 5 Frkui [ f ] Gb Spkrum Ampliudo π π/ 5 π/ π Frkui [ f ] Gb.7.5.b. Spkrum udu f. Pguri fugi priodik mjdi pjumlh hrmoi iu, dp dilkuk uuk mu buk fugi priodik dg r ru. Fugi prgi mil, g jug priodik, dp diurik mjdi jumlh hrmoi iu. Emp uku prm dri prm hil uri fugi prgi ii dlh bgi briku : A Acoπf π / coπ f π/ A A coπ5 f π/ coπ7 f π/ Dri prm ii, rlih bhw mu hrmoi mmpui udu f m br iu π/; mpliudo muru dg migk frkui dg fkor /; idk d kompo ko d idk d hrmoi gp. Tbl mpliudo d udu f dlh pri briku. 9

100 Frkui: f f f f 5f.. f Ampliudo: A A/ A/5.. A/ Sudu F: - -π/ - -π/ - -π/.. -π/ Gb.7.6. briku ii mmprlihk bgim fugi prgi dibgu dri hrmoi-hrmoi. b c d Gb.7.. Uri fugi prgi.. iu dr. b. hrmoi- d iu dr hrmoi-. c. hrmoi-5 d iu dr hrmoi- hrmoi-5. d. hrmoi-7 d iu dr hrmoi- hrmoi-5 hrmoi-7. hil pjumlh g dilkuk mpi pd hrmoi k-. Lbr Pi. Dri cooh fugi prgi di, rlih bhw dg mmbhk hrmoi-hrmoi pd iu dr ki k mki mdki buk prgi. Pmbh ii dp ki lkuk ru mpi k uu hrmoi iggi g mmbrik buk fugi g ki ggp cukup mmuk ri cukup dk dg buk g ki igik. Pd pkrum mpliudo, ki jug dp mlih bhw mki iggi frkui hrmoi k mki rdh mpliudo. Hl ii idk h brlku uuk fugi prgi j mlik brlku cr umum. Olh kr iu cr umum ki dp mpk uu b frkui riggi dri uu fugi priodik, dg mgggp 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

101 mpliudo hrmoi-hrmoi g frkui di frkui riggi ii dp dibik. B frkui riggi rbu dp ki pk, mil frkui hrmoi g mpliudo iggl % dri mpliudo iu dr. Jik b frkui riggi ki pk, b frkui rdh jug prlu ki pk. B frkui rdh dlh frkui iu dr jik buk fugi g ki iju idk mgdug kompo ko. Jik mgdug kompo ko mk frkui rdh dlh ol. Sliih dri frkui riggi d rdh dibu lbr pi bd widh. 9

102 Sol-Sol: Fugi Siu, Gbug Siu, Spkrum. Tuk prm buk kurv fugi iu briku ii dlm form coiu Aco :. Ampliudo, puck prm rjdi pd, frkui iklu iklu/kl. b. Ampliudo, puck prm rjdi pd,, frkui iklu iklu/kl. c. Ampliudo, prgr udu f o, frkui udu rd/kl. d. Ampliudo, prgr udu f o, frkui udu rd/kl.. Crilh pkrum mpliudo d udu f dri fugi gbug iu briku ii: 5i π co π,i π8 Dg mgmbil b mpliudo hrmoi riggi 5%, uk lbr pi fugi ii.. Crilh pkrum mpliudo d udu f dri fugi gbug iu briku ii, d uk jug lbr pi fugi ii dg mgmbil b mpliudo hrmoi riggi 5%. o coπ 6 - iπ coπ8. Crilh pkrum mpliudo d udu f dri fugi gbug iu briku ii, d uk jug lbr pi fugi ii dg mgmbil b mpliudo hrmoi riggi 5%. co co co5. co5, co 5 5. Crilh pkrum mpliudo d udu f dri fugi gbug iu briku ii, d uk jug lbr pi fugi ii dg mgmbil b mpliudo hrmoi riggi 5%. co π5 co π co π5,co π 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

103 Bb 8 Fugi Logrim Nurl, Ekpoil, Hiprbolik 8.. Fugi Logrihm Nurl. Dfiii. Logrim url dlh logrim dg mgguk bi bilg. Bilg ii, pri hl bilg π, dlh bilg dg diml k rb. Smpi dg gk di blkg kom, ili dlh,78888 Bilg mrupk lh u bilg- g g pig dlm mmik: l 8. l l 8. Ki lih krg fugi logrim url. Fugi logrim url dri diulik bgi l 8. Fugi ii didfiiik mllui igrl mgi igri k ki pljri pd Bb-, iu l d 8. Di ii ki k mlih dfiii rbu cr grfi di m igrl dg b ru pri 8. brri lu bidg r fugi / d umbu- g dibi olh d. Prhik Gb.8.. Nili fugi l dlh lu bidg g dibi olh kurv / d umbu-, dlm rg r d. 6 5 / l Gb.8.. Dfiii l diujukk cr grfi. 97

104 Kurv fugi l dlm koordi - dlh pri pd Gb.8.. Nili l rjdi pd ili. Gb.8.. Kurv l. Sif-Sif. Sif-if logrim url mirip dg logrim bi. Jik d dlh poiif d dlh bilg riol, mk: l l l l l l l l l ;,5,5 -,5 - -,5 - l l brili gif uuk < l 8.5 Sol-Sol Dg mmbgi lu bidg di bwh kurv / pd Gb.8. dlm gm-gm lbr, d mdki lu gm bgi lu rpium, hiuglh. l,5. l ;. l,5 98 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

105 8.. Fugi Ekpoil Ailogrim d Fugi Ekpoil. Ailogrim dlh ivri dri logrim; ki mlih bgi uu fugi l 8.6 Mgig if logrim bgim dibuk di, kpri ii kivl dg g dibu fugi kpoil. 8.7 Fugi kpoil g pig d rig ki jumpi dlh fugi kpoil dg kpo gif; fugi ii diggp muli mucul pd wlupu fkor u, iu fugi k gg u, idk diulik. b ; 8.8 Ekpo gif ii mujukk bhw mki br b mk ili fugi mki kcil. uuk uu ili b ru, mki br fugi ii k mki muru. Mki br b k mki cp puru rbu. Dg mgmbil ili, ki k mlih buk kurv fugi kpoil 8.8 uuk bbrp ili b, dlm rg pri rlih pd Gb.8.. Pd Gb.8.. ii rlih bhw mki br ili b, mki cp fugi muru.,8,6,,,5,5,5,5 Gb.8.. Prbdig kurv d. 99

106 Puru kurv fugi kpoil ii udh mcpi kir 6% dri ili wl iu ili pd, pd /b. Pd 5b kurv udh g muru mdki umbu-, ili fugi udh di bwh % dri ili wl. Olh kr iu fugi kpoil bi diggp udh brili ol pd 5/b. Prm umum fugi kpoil dg mpliudo A dlh A u 8.9 Fkor u dlh fugi k gg u uuk mk bhw ki h miju kd pd. Fugi ii muru mki cp jik mki br. Didfiiiklh higg 8.9 diulik τ 8. / τ A u 8. τ dibu ko wku; mki kcil τ, mki cp fugi kpoil muru. Gbug Fugi Ekpoil. Gbug fugi kpoil g bk dijumpi dlm rk dlh kpoil gd iu pjumlh du fugi kpoil. Kdu fugi mmpui mpliudo m pi brlw d; ko wku dri kdu jug brbd. Prm fugi gbug ii dlh / τ / τ u A 8. Buk kurv dri fugi ii rlih pd Gb.8.. Fugi ii dp diguk uuk mmodlk urj. Glombg urj urg mrupk ji pul g wl ik dg cp mpi uu ili mkimum ru kmudi muru dg gk lbih lmb. Surj gg g dibgkik uuk kprlu lbororium brbuk mulu mu kjdi lmih g rig dimodlk dg urj idklh mulu, mil ru rp pir. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

107 5 A A / τ A / τ A / τ / τ /τ 5 Gb.8.. Kurv gbug du fugi kpoil. Sol-Sol. Gmbrk d uk prm kurv fugi kpoil g mucul pd d ko τ, briku ii :. mpliudo 5, τ. b. b mpliudo, τ. c. c mpliudo 5, τ.. Dri fugi pd ol, gmbrklh buk kurv fugi briku.. c. d b. f b c b c. Gmbrklh buk kurv fugi briku.. b.,5 { }, { 5 } u u

108 8.. Fugi Hiprbolik Dfiii. Kombii ru dri fugi kpoil mmbuk fugi hiprbolik, pri coiu hiprbolik coh d iu hiprbolik ih v v v coh v ; ih v 8. Prm 8. ii mrupk dfiii dri coiu hiprbolik d iu hiprbolik. Dfiii ii mgigk ki pd fugi rigoomri bi coiu d iu. Pd fugi rigoomri bi, jik coθ d iθ mk fugi iu d coiu ii mmuhi prm ligkr u brjri-jri, iu i θ co θ. Pd fugi hiprbolik, jik coh v d ih v, mk fugifugi ii mmuhi prm hiprbol u : Hl ii dp ki uji dg mubiuik coh v uuk d ih v uuk d ki k mdpk bhw prm hiprbol u k rpuhi. Ki cob: coh v ih v v v v v v Buk kurv fugi hiprbolik u rlih pd Gb dg coh v v v ; ih v v v v v P[,] Gb.8.5. Kurv fugi hiprbolik u. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

109 Jik ki mukk coh v v v ; ih v v mk iik P[,] k brd di bgi poiif kurv rbu. Kr v llu brili poiif d v / v jug llu poiif uuk mu ili dri v, mk iik P[,] llu brd di bgi poiif blh k umbu- kurv hiprbolik. Mirip dg fugi rigoomri, fugi hiprbolik g li didfiiik bgi v v v v ih v coh v h v ; coh v 8. coh v v v v v v ih coh ih v ch v ; cch v 8.5 v v v v v v Idi. Bbrp idi fugi hiprbolik ki lih di bwh ii.. coh v ih v. Idi ii lh ki bukik di. Idi ii mirip dg idi fugi rigoomri bi.. h v ch v. Idi ii diprolh dg mmbgi idi prm dg coh v.. coh v cch v. Idi ii diprolh dg mmbgi idi prm dg ih v.. 5. coh v ih v u. Ii mrupk kokui dfiii. u coh v ih v. Ii jug mrupk kokui dfiii.

110 Kurv-Kurv Fugi Hiprbolik. Gb.8.6 briku ii mmprlihk kurv fugi-fugi hiprbolik. ih coh - - c b ch coh ih Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

111 coh h coh - - d - cch ih cch - - Gb.8.6. Kurv-kurv fugi hiprbolik. 5

112 Sol-Sol. Turuk rli ih u v d coh u v.. Dikhui ih v /. Hiug coh v, coh v, d cch v.. Dikhui ih v /. Hiug coh v, hv, d ch v. 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

113 Bb 9 Koordi Polr 9.. Rli Koordi Polr d Koordi Sudu-iku Pd pr poii u iik P[ P, P ] pd im koordi uduiku rdp hubug r i θ ; r coθ 9. P P dg r dlh jrk r iik P dg iik-l [,] d θ dlh udu g dibuk olh rh r dg umbu-, pri rlih pd Gb. 7.. P r P[r,θ] θ [,] P Gb.9.. Poii iik P pd im koordi polr. Dlm koordi polr, r d θ iilh g diguk uuk mk poii iik P. Poii iik P pri pd Gb. 7.. diulik bgi P[r,θ]. 7.. Prm Kurv Dlm Koordi Polr Di Bb-5 ki lh mlih prm ligkr brjri-jri c brpu di O[,b] dlm koordi udu-iku, iu b c Ki dp mk ligkr ii dlm koordi polr dg mggi d muru rli 9., iu g dp diulik bgi θ r i θ b 9.. r co c 7

114 r co θ r coθ r r coθ bi θ r r i r coθ bi θ b c b dg buk kurv pri Gb.9.. θ rbi θ b c c 9..b Jik ligkr ii brjri-jri c d brpu di O[,] mk prm 9..b mjdi r r coθ 9..c Pd fkor prm, jik ki mgmbil r, ki mmui iik pu. Fkor k-du dlh r coθ 9..d mrupk prm ligkr dg buk kurv pri pd Gb.9..b. b [,] θ r P[r,θ] [,] Gb.9.. Ligkr Briku ii ig cooh buk kurv dlm koordi bol. Cooh: r coθ. Buk kurv fugi ii rlih pd Gb.9. g dibu krdioid crdioid kr buk g pri hi. θ r b P[r,θ] 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

115 P[r,θ] r θ Gb.9. Kurv krdioid, r coθ Prhik bhw pd θ, r ; pd θ π/, r ; pd θ π, r ; pd θ,5π, r. Cooh: r 6coθ. Buk kurv fugi ii rlih pd Gb Gb.9. Kurv r 6coθ Prhik bhw pd θ, r ; pd θ π/, r ; pd θ π, r ; pd θ,5π, r. Cooh: r θ. Uuk θ > buk kurv fugi ii rlih pd Gb r θ P[r,θ] 9

116 ,5,5 r θ P[r,θ] - θ π -,5 θ π θ π θ π - Gb.9.5 Kurv r θ Pd prm kurv ii jik θ mk ; uu hl g idk br. Ii brri bhw idk d iik pd kurv g brui dg θ. Ak pi jik θ mdki ol mk r mdki ; gri mrupk impo dri kurv ii. Prhiklh bhw prpoog kurv dg umbu- idk brri θ d rjdi pd θ π, π, π, π, d. 7.. Prm Gri Luru Slh u cr uuk mk prm kurv dlm koordi polr dlh mgguk rli 9. jik prm dlm koordi udu-iku dikhui. Hl ii lh ki lkuk mil pd prm ligkr 9.. mjdi 9..b u 9..c. Briku ii ki k muruk prm kurv dlm koordi polr lgug dri buk / prr kurv. Gb.9.6 mmprlihk kurv du gri luru l jjr umbu- d l jjr umbu-. l O r θ P[r,θ] b O l r θ P[r,θ] Gb.9.6 Gri luru mllui iik-l [,]. Gri l brjrk dri iik-l; ip iik P g brd pd gri ii hru mmuhi Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

117 Iilh prm gri l. r co θ 9. Gri l brjrk b dri iik-l; ip iik P g brd pd gri ii hru mmuhi Iilh prm gri l. r i θ b 9. Ki lih krg gri l g brjrk dri iik l dg kmirig poiif pri rlih pd Gb.9.7. Kr gri mmiliki kmirig ru mk udu r gri gk-luru k l, iu β jug ru. Ki mfk β uuk mcri prm gri l. Jik iik P hru rlk pd l mk Iilh prm gri l. r co β θ 9.5 P[r,θ] A α l β r θ O Gb.9.7. Gri luru l brjrk dri [,], mmiliki kmirig poiif. Jik ki bdigk prm ii dg prm 9. rlih bhw prm 9.5 ii dlh buk umum dri 9., g k ki prolh jik ki mlkuk prpur umbu. Jik prpur ki lkuk dmiki rup higg mmprolh kmirig gri poiif, mk k ki prolh prm gri pri 9.5. Apbil prpur umbu ki lkuk higg gri g ki hdpi, l, mmiliki kmirig gif, pri pd Gb.9.8., mk prm gri dlh r co θ β 9.6

118 P[r,θ] r θ β l O Gb.9.8. Gri luru l brjrk dri [,], kmirig gif. 7.. Prbol, Elip, Hiprbol Kig bgu gomri ii lh ki lih pd Bb-5 dlm koordi udu-iku. Ki k mlih krg dlm koordi polr. Ekrii. Pgri hri-hri dri iilh krik dlh mimpg dri g umum. Dlm mmik, krii dlh rio r jrk uu iik P rhdp iik ru dg jrk r iik P rhdp gri ru. Tiik ru iu dibu iik foku d gri ru iu dibu dirkrik; kdu iilh ii lh ki kl pd wku pmbh mgi prbol di Bb-5. Sugguh, dg pgri krii ii ki dp mmbh kligu prbol, lip, d hiprbol. Prhik Gb.9.8. Jik dlh krii, mk PF 9.7 PD D A dirkrik r θ F Gb.9.8. Tiik foku d gri dirkrik. Jik ki mgmbil iik foku F bgi iik l, mk k PF r B P[r,θ] Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

119 d dg 9.7 mjdi r PD ; dgk PD AB AF FB k r coθ higg r k r coθ k r coθ Dri ii ki dpk r k coθ 9.8 Nili muk prm bgu gomri g ki k prolh. Prbol. Jik, g brri PF PD, mk k r 9.9 coθ Iilh prm prbol. Prhik bhw jik θ mdki ol, mk r mdki k higg. Jik θ π/ mk r k. Jik θ π iik P k mcpi puck kurv d r k/, g brri bhw puck prbol brd di gh-gh r gri dirkrik d iik foku. Hl ii lh ki lih di Bb-5. Elip. Jik <, mil, 5, PF PD/, mk k r 9. coθ Iilh prm lip. Prhik bhw kr coθ mk pbu pd prm 9. idk k prh ol. Olh kr iu r llu mmpui ili uuk mu ili θ. Jik θ mk r k, iik P mcpi jrk rjuh dri F. d jik θ π/ mk r k/. Jik θ π mk r k/, iik P mcpi jrk rdk dg F. Hiprbol. Jik >, mil, brri PF PD, mk k r 9. coθ Iilh prm hiprbol.

120 Jik θ mdki π/ mk r muju k higg. Jik θ π / mk r k. Jik θ π, iik P d di puck kurv, d r k/ PF. 7.. Lmik d Ovl Cii Di lu Ag di hdp l Drdll, rdp buh pulu g pig dlm miologi Yui iu pulu Lmo u Limo. Pulu vulkik ii brbuk k brur dg du luk g mjorok dlm k dr di pi ur d pi l. Giovi Domico Cii dikl jug dg m J Domiiqu Cii 65 7 dlh room Ili. Cii mmuk mp di r mbil u puluh li pl Suru. I pul g mmuk clh cici Suru, r cici rlur dg cici k-du g plig rg; clh iu kmudi dibu Cii diviio. Bgu-gomri g dibu lmik d ovl Cii mrupk iui khuu dri kurv g mrupk mp kduduk iik-iik g hil kli jrk rhdp du iik ru brili ko. Milk du iik ru rbu dlh F [,π] d F [,]. Lih Gb.9.9. θ π/ P[r,θ] r θ π F [,π] θ F [,] θ Dri Gb.9.9. ki dpk Gb.9.9. Muruk prm kurv dg prr PF PF ko PF r i θ r coθ r r coθ PF r i θ r coθ r r coθ Milk hil kli PF PF b, mk ki prolh rli Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

121 b r r coθ r r coθ r r r r coθ r co θ 9. Ki mfk idi rigoomri co θ co θ i θ co θ uuk mulik 9. bgi b r r co θ 9. Jik b ki bu br-rli dg iu b k mk prm 9. ii dp ki ulik Uuk r >, prm ii mjdi r r co θ k r co θ ± co θ k 9. Lmik. Buk kurv g dibu lmik ii diprolh pd kodii khuu 9. iu k, g brri b u PF PF. Pd kodii ii prm 9. mjdi r r co θ Fkor prm r k mmbrik buh iik. Fkor g k-du mmbrik prm r co θ Dg mgmbil, kurv dri prm ii rlih pd Gb.9.. 5

122 θ π/,6 θ π, θ -,5 - -,5 -,,5,5 -,6 Gb.9.. Kurv prm 9., k. Buk lmik mih k diprolh pd k >, mil k,. Pd kd ii, dg p mgmbil, buk kurv g k diprolh rlih pri pd Gb.9.. θ π θ π/,5,5 - θ - - -,5 -,5 Gb.9.. Kurv prm 9., k, &. Ovl Cii. Kodii khuu g k-ig dlh k <, milk k,8. Dg p mgmbil, buk kurv g diprolh dlh pri pd Gb.9., g dibu ovl Cii. Kurv ii rblh mjdi du bgi, mgigk ki pd Cii diviio di pl Suru. 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

123 θ π/,5,5 θ π θ - - -,5 - -,5 Gb.9.. Kurv prm 9., k,8 & Lu Bidg Dlm Koordi Polr Ki k mghiug lu bidg g dibi olh uu kurv d du gri mig-mig mmpui udu kmirig α d β. Lih Gb.9. θ β θ Gb.9.. Mcri lu bidg r kurv d du gri. Ar α d β ki bgi dlm gm. β α θ Lu ip gm bi didki dg lu kor ligkr. Ar θ d θ θ d uu ili θ k dmiki rup higg lu kor ligkr dlh A k r k θ / Lu r θ α d θ β mjdi θ θ α 7

124 r k θ / f θk θ A αβ / Jik muju, θ muju ol, ki dp mulik lu bidg mjdi u A αβ θ β lim α r [ f θ ] k A θ / dθ αβ lim θ β r dθ α [ f θ ] θ / Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

125 Bb Turu Fugi Poliom.. Pgri Dr Ki lh mlih bhw pbil koordi du iik g rlk pd uu gri luru dikhui, mil [, ] d [, ], mk kmirig gri rbu dik olh prm m. Uuk gri luru, m brili ko dimpu iik [, ] d [, ] brd. Bgimkh jik g ki hdpi buk gri luru mlik gri lgkug? Prhik Gb... f P P f P P b Gb... Tg kmirig gri. Pd Gb... / mrupk kmirig gri luru P P d buk kmirig gri lgkug f. Jik ki prkcil, pri rlih pd GB...b., / mjdi / g mrupk kmirig gri luru P P. Jik ru ki prkcil mk ki dpk 9

126 kmirig gri luru g g dk dg iik P, d jik mdki ol mk ki mdpk kmirig gri iggug kurv di iik P. Jdi jik ki mmpui prm gri f d mlih pd uu iik ru [,], mk pd kodii dim mdki ol, prm. dp ki ulik f f lim lim f. f mrupk fugi dri kr uuk ip poii iik g ki iju f mmiliki ili brbd; f dibu fugi uru dri f, d ki hu bhw dlm hl gri luru, f brili ko d mrupk kmirig gri luru rbu. Jdi formuli. idk h brlku uuk gri luru. Jik mdki ol, mk i dp diplikik jug uuk gri lgkug, dg pgri bhw kmirig m dlh kmirig gri luru g miggug kurv lgkug di iik [,]. Prhik Gb...,, Gb... Gri iggug pd gri lgkug. Jik fugi gri lgkug dlh f mk f pd iik [, ] dlh kmirig gri iggug di iik [, ], d f di iik, dlh kmirig gri iggug di [, ]. Bgim mcri f k ki pljri lbih lju. Jik pd uu iik di m lim pri g dik olh. br d, fugi f mmiliki uru di iik rbu d dikk bgi dp didifrii di iik rbu d ili Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

127 lim mrupk ili uru di iik rbu kivl dg kmirig gri iggug di iik rbu. Prm. bi diuli d d lim d d. f f lim f d ki bc uru rhdp dri fugi, u uru fugi d rhdp. Puru ii dp dilkuk jik mmg mrupk fugi. Jik idk, ulh puru iu idk dp dilkuk. Mil mrupk fugi, f ; mk puru h bi dilkuk rhdp, idk rhdp... Fugi Mooom Ki lih uri-uri briku ii. d df f d d. f k, brili ko. Di ii. f f f lim f lim

128 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik Gb... Fugi mooom d uru. Kurv f mmbuk gri luru jjr umbu-; i brili ko uuk mu.. f f lim lim lim Turu fugi ii mmbuk kurv gri luru dg kmirig.. f 6 lim lim lim f Turu fugi ii mmbuk kurv prbol f f

129 5. Scr umum, uru mooom dlh m. f m.5 Jik pd. brili mk kurv fugi f k brbuk gri luru d uru k brup ili ko, f k Jik >, mk uru fugi k mrupk fugi, f. Dg dmiki mk fugi uru ii dp diuruk lgi d ki mdpk fugi uru briku f g mugki mih jug mrupk fugi d mih dp diuruk lgi uuk mmprolh fugi uru briku lgi d dmiki ru. Cooh: f d f ki bu uru prm, d d f d uru kdu, d f d uru k-ig, d. f 6 ; 6 ; 6 Dri. d.5 ki dp mcri iik-poog r kurv uu fugi dg kurv fugi uru. Fugi mooom f m mmiliki uru m. Koordi iik poog P r kurv mooom f dg uru prm diprolh dg

130 m m P d P mp Koordi iik poog kurv mooom dg kurv-kurv uru lju dp pul dicri. Gb... mmprlihk kurv mooom d uruuru,,, Fugi Poliom Gb... Mooom d fugi uru-. Poliom mrupk jumlh rb dri mooom. Ki lih coohcooh briku.. f { } { } f lim Kurv fugi ii d uru rlih pd Gb..5. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

131 - Gb..5. f d uru. Suku g brili ko pd f, brppu br, poiif mupu gif, idk mmbrik koribui dlm fugi uru.. f f f f - -,5 -,5,5 5 f f - -5 f - -5 Gb..6. f d uru.. f 5 { 5} { 5} lim 8. f 5 5 { 5 5} { 5 5} lim

132 5 Scr Umum: Turu uu poliom, g mrupk jumlh bbrp mooom, dlh jumlh uru mig-mig mooom dg r ip mooom g mmbuk poliom iu mmg mmiliki uru... Nili Puck Ki lh mlih bhw uru fugi di uu ili mrupk kmirig gri iggug rhdp kurv fugi di iik [,]. Jik iik [ p, p ] dlh iik puck uu kurv, mk gri iggug di iik [ p, p ] rbu k brup gri mdr g kmirig ol. Dg k li poii iik puck uu kurv dlh poii iik di m uru prm fugi brili ol. Poliom Ord Du. Ki mbil cooh fugi poliom ord du fugi kudr: Turu prm fugi ii dlh 5 5 Jik ki bri mk ki dpk ili p dri iik puck iu p 5/,75 Jik ili p ii ki mukk k fugi l, mk k ki dpk ili puck p. p p 5p -,75 5,75 5,5 Scr umum, p dri fugi kudr dg mmbu b c dp dibrolh b.6 higg diprolh b p.7 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

133 Nili puck, p dri fugi kudr dg mmukk p b c dp diprolh b b c p p bp c c.8 Mkimum d Miimum. Bgimkh cr umum muk pkh uu ili puck mrupk ili miimum u mkimum? Ki mfk krkr uru kdu di kir ili puck. Lih Gb..7. P Q Gb..7. Gri iggug di kir iik puck. Turu prm di uu iik pd kurv dlh gri iggug pd kurv di iik rbu. Di kir iik mkimum, muli dri kiri k k, kmirig gri iggug ru muru mpi mjdi ol di iik puck kmudi mjdi gif. Ii brri uru prm di kir iik mkimum ru muru d brri pul uru kdu di iik mkimum brili gif. Sblik, di kir iik miimum, muli dri kiri k k, kmirig gri iggug ru migk mpi mjdi ol di iik puck kmudi mjdi poiif. Ii brri uru prm di kir iik miimum ru muru d brri pul uru kdu di iik miimum brili poiif. Jdi pbil uru kdu di iik puck brili gif, iik puck rbu dlh iik mkimum. Apbil uru kdu di iik puck brili poiif, iik puck rbu dlh iik miimum. 7

134 Dlm ku fugi kudr b c, uru prm dlh b d uru kdu dlh. Jdi pd fugi kudr, pbil brili poiif mk i mmiliki ili miimum; jik gif i mmiliki ili mkimum. Cooh: Ki lih kmbli cooh fugi kudr g dibh di. 5 Nili puck fugi ii dlh p 5, 5 d ii mrupk ili miimum, kr uru kdu dlh poiif. Lih pul Gb..5.c. Cooh: Ki ubh cooh di mjdi: 5 Turu prm fugi mjdi 5, g jik mmbri,75 p Nili puck dlh p,75^ 5,75,5 Turu kdu dlh brili gif. Ii brri bhw ili puck rbu dlh ili mkimum. Cooh: Du buh bilg poiif brjumlh. Ki dimi muk kdu bilg rbu dmiki rup higg prkli mcpi ili mkimum, mr jumlh p. Jik lh u bilg ki bu mk bilg g li dlh. Prkli r kdu mjdi Turu prm g dimk dg ol k mmbrik ili g mmbrik puck. mmbrik d ili puck dlh 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

135 puck Turu kdu dlh ; i brili gif. Jdi puck g ki prolh dlh ili mkimum; kdu bilg g dicri dlh d. Kurv dri fugi dlm cooh ii rlih pd Gb Gb..8. Kurv Kurv rbu mmoog umbu- di d Dlm cooh di ki mmprolh h u ili mkimum; mu ili g li k mmbrik ili dibwh ili mkimum puck g ki prolh. Nili mkimum dmiki ii ki bu ili mkimum bolu. Jik di puck g ki prolh dlh ili miimum, mk i k mjdi miimum bolu, pri pd cooh briku. Cooh: Du buh bilg poiif brliih. Ki dimi muk kdu bilg rbu dmiki rup higg prkli mcpi ili miimum, mr liih p. Jik lh u bilg ki bu poiif mk bilg g li dlh. Prkli r kdu mjdi 9

136 Turu prm g dimk dg ol k mmbrik ili g mmbrik puck. higg d ili puck dlh puck Turu kdu dlh ; i brili poiif. Jdi puck g ki prolh dlh ili miimum; kdu bilg g dicri dlh d. Kurv fugi dlm cooh ii rlih pd Gb Gb..9. Kurv Poliom Ord Tig. Fugi pgk ig dibrik cr umum olh b c d. Turu dri.9 dlh b c. Dg mmbu ki k mdpk p. Ad du poii ili puck, iu p b p c Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

137 p, p b ± b ± b b 6 c c. Dg mmukk p d p k p fugi. ki prolh ili puck p d p. Nmu bil p p brri du iik puck brimpi u ki bu iik blok. Cooh: Ki k mcri di m lk iik puck dri kurv fugi d pkh ili puck mrupk ili miimum u mkimum. Jik uru prm fugi ii ki mk dg ol, k ki prolh ili di m puck-puck kurv rjdi mmbrik d Mmukk ili g diprolh k prm l mmbrik ili, iu ili puck. mmbrik mmbrik puck puck Jdi poii iik puck dlh di P[,] d Q[,]. Apkh ili puck puck miimum u mkimum ki lih dri uru kdu dri fugi 6 Uuk 6 Uuk 6 Jdi ili puck di P[,] dlh uu ili mkimum, dgk ili puck di Q[,] dlh miimum. Kurv dri fugi dlm cooh ii rlih pd Gb...

138 5 5 P[,] Q[,] R - -,5 - -,5-5,5,5,5 - - Gb... Kurv d gri iggug di R..5. Gri Siggug -5 Prm gri iggug pd iik R g rlk di kurv uu fugi f cr umum dlh m dg kmirig m dlh uru prm fugi di iik R. Cooh: Lih fugi g kurv dibrik pd Gb... Turu prm dlh Tiik R dg bi R, mmiliki ordi R 8 7 ; jdi koordi R dlh R,7. Kmirig gri iggug di iik R dlh m 6. Prm gri iggug K. Gri ii hru mllui R,7 dg k li koordi R hru mmuhi prm gri iggug. Jik koordi R ki mukk k prm gri iggug k ki dpk ili K. K 7 K K 7 7. Prm gri iggug di ik R dlh 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

139 .6. Cooh Hubug Difril Briku ii dlh bbrp cooh rli difril. rf. [] Bb- Aru Lirik. Aru lirik dlh jumlh mu lirik g mglir pr dik, mllui uu lu pmpg ru. I mrupk lju lir mu. Klu ru dibri imbol i d mu dibri imbol q mk dq i d Su ru dlh mpr A, u mu dlh coulomb C. Jdi A C/dik. Tgg Lirik. Tgg lirik didfiiik bgi lju prubh rgi pr u mu. Klu gg dibri imbol v d rgi dibri imbol w, mk dw v dq Su d dlh w W. Su rgi dlh joul J. Jdi W J/dik. D Lirik. D lirik didfiiik bgi lju prubh rgi. Jik d dibri imbol p mk dw p d Dri dfiii gg d ru ki dpk dw dw dq p vi d dq d Krkriik Idukor. Krkriik uu piri lirik dik dg rli r ru g mlwi piri dg gg g d di rmil piri rbu. Jik L dlh iduki idukor, v L d i L mig-mig dlh gg d ru-, mk rli r ru d gg idukor dlh di v L L L d Krkriik Kpior. Uuk kpior, jik C dlh kpii kpior, v C d i C dlh gg d ru kpior, mk ic dv C d c

140 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik Sol-Sol. Crilh uru fugi-fugi briku uuk kmudi muk ili puck 8 ; 7; 5. Crilh uru fugi-fugi briku uuk kmudi muk ili puck ; 7 ; 5

141 Bb Turu Prkli Fugi, Pgk Dri Fugi, Fugi Riol, Fugi Implii.. Fugi Yg Mrupk Prkli Du Fugi Milk ki mmiliki du fugi, v d w, d ki hdk mcri uru rhdp dri fugi vw. Milk ili brubh br, mk fugi w brubh br w, fugi v brubh br v, d fugi brubh br. Prubh ii rjdi dmiki rup higg lh prubh br hubug vw p brlku, iu v v w w. vw v w w v w v Dri ii ki dpk wv v w w v w v vw w v v w v w Jik mdki ol mk dmiki pul v d w, higg jug mdki ol. Prm. k mmbrik. v w d d vw dw dv v w. d d d d Iilh formuli uru fugi g mrupk hilkli dri du fugi. Cooh: Ki uji kbr formuli ii dg mlih uu fugi mooom 5 6 g ki hu uru dlh. Ki pdg krg fugi bgi prkli du fugi 5

142 vw dg v d w. Muru. uru dri mjdi d d Tr ui dg p g dihrpk. Bgimkh d uvw jik u, v, w kig dlh fugi. Ki d plikik. cr brhp pri briku. d uvw d uv w dw d uv uv w d d d d dw dv du uv w u v d d d dw dv du uv uw vw d d d. Cooh: Ki uji formul ii dg mgmbil fugi pguji blum, iu 5 6 g ki hu uru dlh. Ki pdg krg fugi bgi prkli ig fugi uvw dg u,.9 uru dri dlh d d uvw d d 6 v, d w. Muru Tr ui dg g ki hrpk. 6.. Fugi Yg Mrupk Pgk Dri Suu Fugi Yg dimkud di ii dlh bgim uru d jik v dg d v dlh fugi, d dlh bilg bul. Ki mbil cooh fugi 6 v v v v dg v mrupk fugi. Jik ki plikik formuli. k ki dpk 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

143 d v d v v 5 5 6v dv dv dv v v v v v d d d dv dv dv dv dv v v v v v v d d d d d dv v d 5 dv d 5 dv v d Cooh ii mmprlihk bhw g cr umum dp ki uli 6 6 dv dv dv 5 6v d dv d dv d 5 dv dv dv v v v d d d dv d dv v.5 d Cooh: Ki mbil cooh g mrupk gbug r prkli d pgk du fugi. Ki gbugk rli uru uuk prkli du fugi d pgk uu fugi. d d 6 6 d d 6 d d 7

144 .. Fugi Riol Fugi riol mrupk rio dri du fugi v.6 w Tiju fugi dmiki ii h rb pd kd w. Ki cob mmdg fugi ii bgi prkli dri du fugi: vw.7 Klu ki plikik. pd.7 ki prolh u d d v d vw dw v w d d w d d dv dv v dv dv vw w d d w d w d dv dw w v w d d d d v w dv dw w v d d w 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik dv d.8 Iilh formuli uru fugi riol. Fugi v d w bi mrupk poliom dg v mmpui ord lbih rdh dri w. Pgk riggi pubh dri v lbih kcil dri pgk riggi pubh dri w. Cooh:.. 6 d d 6 9 9

145 d d. ; dg gr pbu idk ol d d.. Fugi Implii Sbgi fugi implii dp diubh k dlm buk plii mu bgi g li idk. Uuk fugi g dp diubh dlm buk kplii, uru fugi dp dicri dg cr pri g udh ki pljri di. Uuk mcri uru fugi g k dp diubh k dlm buk kplii prlu cr khuu, g dibu difrii implii. Dlm cr ii ki mgggp bhw fugi dp didifrii rhdp. Ki k mgmbil bbrp cooh. Cooh:. 8. Fugi implii ii mrupk buh prm. Jik ki mlkuk opri mmi di ru kiri, mk opri g m hru dilkuk pul di ru k gr km p rjg. Ki lkuk difrii cri uru di kdu ru, d ki k prolh d d d d d d d d Uuk iik-iik di m ki prolh uru d d Uuk uu iik ru, mil [,], mk 9

146 d,8. d Iilh kmirig gri iggug di iik [,] pd kurv fugi buk implii g dg ki hdpi... Fugi implii ii jug mrupk buh prm. Ki lkuk difrii pd kdu ru, d ki k mmprolh d d d d d d d d d d d d Di mu iik di m ki dp mmprolh uru d d.5. Fugi Brpgk Tidk Bul Pd wku ki mcri uru fugi g mrupk pgk dri uu fugi li, v, ki rk bhw dlh bilg bul. Ki k mlih krg bgim jik mrupk buh rio p dg p d q dlh bilg bul d q, r v dlh q fugi g bi diuruk. Fugi.9 dp ki ulik p / q v.9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik q p v. g mrupk buk implii fugi. Jik ki lkuk difrii rhdp di kdu ru. ki prolh q d p q pv d dv d

147 Jik, ki dpk p / q p d d v pv dv. d d q q d Ak pi dri.9 ki lih bhw higg. mjdi p / q d d v d d p / q q p p / v v q q pv p qv p q p q v v p p / q p / q dv d p p p / q dv d dv d. Formuli. ii mirip dg.5, h prlu prr bhw v uuk p/q <..6. Kidh Ri Apbil ki mmpui prm f d f. mk rli r d dp dik dlm. Prm dmiki dibu prm prmrik, d dibu prmr. Jik ki limii dri kdu prm di, ki dpk prm g brbuk F. Bgimkh d F dri. br-rli dg d d d g d f? d d Pr ii rjwb olh kidh ri briku ii.

148 Jik F dp diuruk rhdp d f dp diuruk rhdp, mk F f g dp diuruk rhdp mjdi d d d d d d.5 Rli ii udh ki kl..7. Difril d d d Pd pmbh fugi liir ki ulik kmirig gri, m, bgi m ki lih ku jik mdki ol mu idk m dg ol. Limi ii ki guk uuk mk uru fugi rhdp pd formuli d d lim f Skrg ki k mlih d d d g didfiiik dmiki rup higg rio d/d, jik d, m dg uru fugi rhdp. Hl ii mudh dilkuk jik dlh pubh bb d mrupk fugi dri : Ki mbil dfiii bgi briku F.6. d, ki bu bgi difril, mrupk bilg brppu ili, d mrupk pubh bb g li li ;. d, ki bu bgi difril, dlh fugi dri d d g dik dg d F' d.7 Ki lh rbi mulik uru fugi rhdp bgi Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

149 d f. d Prhiklh bhw ii buklh rio dri d rhdp d mlik uru fugi rhdp. Ak pi jik ki brikukuh mmdg rli ii bgi uu rio dri d rhdp d mk ki jug k mmprolh rli.7, mu ugguh.7 didfiiik d buk brl dri rli ii. Pgri rhdp d lbih jl jik dilih cr gomri pri rlih pd Gb... Di iik P pd kurv, jik ili brubh br d u, mk di pjg gri iggug di iik P ili k brubh br d. Difril d diggp brili poiif jik i mgrh k k d gif jik mgrh k kiri. Difril d diggp brili poiif jik i mgrh k d gif jik mgrh k bwh. d d P d P d θ θ P d d d d P θ θ Gb... Pjl gomri g difril. d θ ; d θ d d d. dlh lju prubh rhdp prubh. d. d dlh br prubh ili pjg gri iggug di iik P pd kurv, jik ili brubh br d kl.

150 Dg pgri difril pri di, ki kumpulk formul uru fugi d formul difril fugi dlm Tbl-.. Dlm bl ii v dlh fugi. Tbl-. Turu Fugi Difril dc. ; c ko. dc ; c ko d. dcv dv c. dcv cdv d d d v w dv dw.. d v w dv dw d d d. dvw dw dv v w. d vw vdw wdv d d d v d w 5. d dv w d v w dw d 5. d v w wdv vdw w dv 6. d dv v 6. dv v dv d 7. dc c 7. d c c d d Ad du cr uuk mcri difril uu fugi.. Mcri uru lbih dulu kolom kiri Tbl-., kmudi diklik dg d.. Mgguk lgug formul difril kolom k Tbl-. Ki mbil uu cooh: cri d dri fugi 5 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

151 Turu dlh : 6 5 higg d 6 5 d Ki dp pul mcri lgug dg mgguk formul dlm bl di : d d d d5 d 6 d 6d 5d 6 5 d 5

152 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 6 Sol-Sol : Crilh uru fugi-fugi briku. ; ; ; ; ; ; ;

153 Bb Turu Fugi Trigoomri, Trigoomri Ivri, Logrimik, Ekpoil.. Turu Fugi Trigoomri Jik i mk d d i i i d d i co co i i Uuk ili g kcil, muju ol, i d co. Olh kr iu Jik co mk d i co. d d d co co co co co i i co d d Jik muju ol, mk i d co. Olh kr iu d co i. d Turu fugi rigoomri g li idk rllu uli uuk dicri. d d i co i i c d d co co co d co d co i d d i d c d d cc d d d d d co co cc i i i i c co co co co co cc co i i i 7

154 Sol-Sol: Crilh uru fugi-fugi briku. ; 5i ; co co 6 ; i co c ; cc co Cooh-Cooh Dlm Prkik Rk. Briku ii ki k mlih uru fugi rigoomri dlm rgki lirik. rf. [] Bb-.. Tgg pd uu kpior mrupk fugi iu v C i vol. Ki k mlih buk ru g mglir pd kpior g mmiliki kpii C -6 frd ii. Hubug r gg kpior v C d ru kpior i C dlh dv i C C C d Aru g mllui kpior dlh dv 6 d i C C C d d i,6 co mpr D dlh prkli gg d ru. Jdi d g dirp kpior dlh pc vcic i,6co co i 6i 8 w Buk kurv gg d ru rlih pd gmbr di bwh ii. v C i C p C - - i C v C p C Pd wku gg muli ik pd, ru juru udh muli muru dri ili mkimum. Dg k li kurv ru mcpi ili puck- lbih dulu dri kurv gg; dikk [dik] 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

155 bhw ru kpior mdhului gg kpior. Prbd kmucul ii dibu prbd f g uuk kpior br dlh 9 o ; jdi ru mdhului gg dg bd f br 9 o. Kurv d brvrii cr iuoidl dg frkui du kli lip dri frkui gg mupu ru. Vrii ii imri rhdp umbu wku. Kpior mrp d lm gh priod d mmbrik d lm gh priod briku. Scr kluruh idk k d prp d o; d ii dibu d rkif.. Aru pd uu iducor L,5 hr mrupk fugi iu rhdp wku bgi i L,co mpr. Brpkh gg r ujug-ujug idukor d d g dirp? Hubug r gg idukor v L d ru idukor i L dlh dil vl L d dil d vl L,5, co,5, i i d d D g dirp iducor dlg gg kli ru. pl vlil i.co i co i 8 W Kurv gg, ru, d d dlh bgi briku. v L i L p L v L i L p L [dik] - Kurv gg mcpi ili puck prm- lbih wl dri kurv ru. Jdi gg mdhului ru u lbih rig dikk bhw ru kiggl dri gg hl ii mrupk kblik dri kpior. Prbd f di ii jug 9 o, ri ru kiggl dri gg dg udu f 9 o. D brvrii cr iu d imri rhdp umbu wku, g brri k rjdi rfr rgi o; ii dlh d rkif. 9

156 .. Turu Fugi Trigoomri Ivri i i d co d d d d d co co co d i d d d i ; d d co d d co d co ; d d d co d d i d i ; d d d 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

157 5 c i c d d co co d co d i 6 cc co cc d d i i d i d co Sol-Sol. Jik α i.5 crilh co α, α, c α, d cc α.. Jik α co.5 crilh i α, α, c α, d cc α.. Hiuglh i i.. Hiuglh. 5. Hiuglh c c... Fugi Trigoomri Dri Suu Fugi Jik v f, mk di v di v d dv dcov dcov d dv dv d dv d cov dv d i v dv d 5

158 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 5 d dv v d dv v v d d d v d c co i co co i d dv v v v d d d v d cc i co co d dv v v d dv v v v d d d v d c co i co c d dv v v v d d d v d co cc i cc Jik w f, mk d dw w d w d i d dw w d w d co d dw w d w d d dw w d w d co d dw w w d w d c d dw w w d w d cc Sol-Sol : Crilh uru fugi-fugi briku. c ; co ;,5 i

159 .. Turu Fugi Logrimik Wlupu ki blum mmbicrk g igrl, ki lh mghui bhw fugi f l didfiiik mllui uu igri lih bh g fugi logrimik ub-bb 8. f l d > l dlh lu bidg g dibi olh kurv / d umbu-, di lg r d pd Gb / l l l Ki lih pul / / Gb... Dfiii l d uru l cr grfi. l l d. Ap g brd dlm d kurug. dlh lu bidg g dibi olh kurv / d umbu-, r d. Lu bidg ii lbih kcil dri lu prgi pjg /. Nmu jik mki kcil, lu bidg rbu k mki mdki /; d jik mdki ol lu rbu m dg /. Pd kd b ii. k brili /. Jdi d l. d 5

160 Jik v dlh v f, ki mcri uru dri lv dg mmfk kidh ri. Ki mbil cooh: v d l v d l v dv d 6 d dv d d Sol-Sol: Crilh uru fugi-fugi briku. l ; l ; lco ; ll.5. Turu Fugi Ekpoil Fugi kpoil brbuk.5 Prm.5 brri l l, d jik ki lkuk puru cr implii di kdu ii k ki dpk d l d d d u d d.6 Jdi uru dri dlh iu diri. Iilh fugi kpoil g idk brubh rhdp opri puru g brri bhw puru dp dilkuk bbrp kli p mgubh buk fugi. Turuuru dri dlh d. Formul g lbih umum dlh jik kpo mrupk uu fugi, v v. Ki mbil cooh: d d v v d d dv v dv.7 d dv d d d d Sol-Sol: Crilh uru fugi-fugi briku. i / ; ; ; ; 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

161 Bb Igrl Dlm bb blum, ki mmpljri lh u bgi um klkulu, iu klkulu difril. Briku ii ki k mmbh bgi um kdu, iu klkulu igrl. Dlm pgri hri-hri, k igrl mgdug ri kluruh. Iilh mgigri bi brri mujukk kluruh u mmbrik ol ; dlm mmik brri mmuk fugi g uru dikhui. Milk dri uu fugi f g dikhui ki dimi uuk mcri uu fugi dmiki rup higg dlm rg ili ru, mil < < b, dipuhi prm d f. d Prm pri. ii, g mk uru fugi bgi fugi dlm bbrp hl i mugki jug mrupk fugi d dibu prm difril. Sbgi cooh: d d d 6 d 5 6 d d Pmbh g k ki lkuk h mgi buk prm difril pri cooh g prm... Igrl Tk Tu Suu fugi F dikk bgi olui dri prm difril. jik dlm rg < < b i dp diuruk d dp mmuhi df f. d Prhik bhw jik F mmuhi. mk F K dg K dlh uu ili p mbrg, jug k mmuhi. bb 55

162 d [ F K ] d df dk d d Jdi cr umum dp ki ulik df d. f d F K. g ki bc: igrl f d dlh F dimbh K. Prm. dp pul ki uli dlm buk difril, iu df f d g jik igri dilkuk pd ru kiri d k k mmbrik df f d.5 Jik ki bdigk.5 d., ki dp mimpulk bhw df F K. 6 Jdi igrl dri difril uu fugi dlh fugi iu diri dimbh uu ili p. Igrl mcm ii dibu igrl k u; mih d ili p K g hru dicri. Ki mbil du cooh uuk igri igri k u ii. Cri olui prm difril d 5 d Ki ulik prm rbu dlm buk difril d 5 d Muru rli. d.5 di Bb-9, Olh kr iu 5 d 5 d d d K 56 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

163 . Crilh olui prm d d Ki ulik dlm buk difril d d d ki klompokk pubh dlm prm ii higg ru kiri mgdug h pubh k bb d ru k h mgdug pubh bb. Pro ii ki lkuk dg mmbgi kdu ru dg. / d Ru kiri mmbrik difril d d mmbrik difril d d d, higg d / d Jik kdu ru diigri, diprolh / / d ru k / K K u / K K K Du cooh lh ki lih. Dlm pro igri pri di r d khru uuk mmiliki kmmpu mdug jwb. Bbrp hl rbu di bwh ii dp mmprig up pdug rbu.. Igrl dri uu difril d dlh dimbh ko mbrg K. d K. Suu ko g brd di dlm d igrl dp diklurk d d 57

164 . Jik bilg, mk igrl dri d diprolh dg mmbh pgk dg mjdi d mmbgi dg. d K, jik Pggu Igrl Tk Tu. Dlm igrl k u, rdp uu ili K g mrupk bilg mbrg. Ii brri bhw igrl k u mmbrik hil g idk uggl mlik bk hil g rgug dri brp ili g dimiliki olh K. Dlm pmf igrl k u, ili K diprolh dg mrpk p g dibu bgi r wl u kodii wl. Ki k mcob mmhmi mllui pgm kurv. Jik ki gmbrk kurv ki k mdpk kurv brili uggl pri Gb... Ak pi jik ki mlkuk igri d idk h u kurv g dp mmuhi r k pi bk kurv pri pd Gb...b; ki k mdpk u kurv jik K dp diuk. i K i b Gb... Igrl k u mmbrik bk olui. Sbgi cooh ki k muk poii bd g brgrk dg kcp bgi fugi wku g dikhui. Kcp buh bd brgrk dik bgi v, dg v dlh kcp, dlh prcp g dlm ol ii brili, wku. Klu poii 5 K K K 58 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

165 wl bd dlh pd wku, uklh poii bd pd. Ki ig pgri-pgri dlm mkik bhw kcp d dlh lju prubh jrk, v ; dgk prcp dlh lju d dv prubh kcp,. Kr kcp bgi fugi d dikhui, d ki k mcri poii jrk, mk ki guk rli d v g mmbrik d vd d higg igri mmbrik d K,5 K Ki rpk krg kodii wl, iu pd. K g mmbrik K Dg dmiki mk bgi fugi mjdi,5 higg pd poii bd dlh 7 Lu Sbgi Suu Igrl. Ki k mcri lu bidg g dibi olh uu kurv f, umbu-, gri vrikl p, d q. Sbgi cooh prm ki mbil fugi p pri rlih pd Gb... f A p A p p q Gb... Mcri lu bidg di bwh. 59

166 Jik lu dri p mpi dlh A p, d ki bi mcri fugi prmbh lu A p iu prmbh lu jik brmbh mjdi, mk ki dp mgguk fugi prmbh rbu muli dri p mpi q uuk mmprolh A pq iu lu dri p mpi q. Prmbh lu g dimkud ulh A p A p u f Jik diprkcil muju ol mk ki dpk limi lim Dri.8 ki prolh A A p da d p f.7.8 dap d K.9 p Kodii wl kodii b dlh A p uuk p. Jik kodii ii ki rpk pd.9 ki k mmprolh ili K iu higg p K u K p. A p p. Ki mdpk lu A p g dihiug muli dri p mrupk fugi. Jik prhiug diruk mpi q ki prolh A pq q p q p. Iilh hil g ki prolh, g udh ki kl dlm plimri g mk bhw lu gi mp dlh pjg kli lbr g dlm ku ki ii pjg dlh q p d lbr dlh. Bgimkh jik kurv g ki hdpi buk kurv dri fugi p? Ki lih ku fugi mbrg dg r bhw i koiu dlm rg p q pri digmbrk pd Gb... 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

167 f f f A p A p Gb... Fugi mbrg koiu dlm b Dlm ku ii, A p bi mmiliki du ili rgug dri pkh dlm mghiug ki mmilih A p f u A p f. Nmu ki k mmpui ili f f f. A p dg dlh uu ili g rlk r d. Jik ki bu mdki ol ki k mmpui f f f. A p Dg dmiki ki k mdpk limi lim Dri ii ki prolh A A p da d p f.5 dap f d F K.6 p Dg mmukk kodii wl A p uuk p d kmudi mmukk ili q ki k mmprolh A p q pq F q F p F ] q p.7 6

168 .. Igrl Tu Igrl u mrupk igrl g b-b igri jl. Kop dr igrl u dlh lu bidg g dipdg bgi uu limi. Ki k mghiug lu bidg g dibi olh uu kurv f, umbu-, gri p, d q, iu lu bgi g dirir pd Gb... Sbulh lu bidg ii A pq. Bidg ii ki bgi dlm gm d ki k mghiug lu ip gm d kmudi mjumlhk uuk mmprolh A pq. Jik pjumlh lu gm ki lkuk dg mghiug lu gm pri rgmbr pd Gb...b, ki k mmprolh lu g lbih kcil dri dri lu g ki hrpk; bulh jumlh lu gm ii A pqb jumlh lu gm bwh. Jik pjumlh lu gm ki lkuk dg mghiug lu gm pri rgmbr pd Gb...c, ki k mmprolh lu g lbih br dri dri lu g ki hrpk; bulh jumlh lu gm ii A pq jumlh lu gm. Kdu mcm prhiug rbu di k mgkibk rjdi rror. Ar A pqb d A pq d liih pri rlih pd Gb...d. Jik k dlh uu ili di r kdu b gm kk, iu r k d k, mk brlku f f f.8 k k Jik pridkm.8 diklik dg k g g cukup kcil d brili poiif, mk f k k k f k k f k k.9 Jik lu gm di ru kiri, gh, d k dri.9 ki jumlhk dri mpi iu bk jumlh gm g ki bu, ki k mmprolh f k k f k k f k k. k k k Ru plig kiri dlh jumlh lu gm bwh, A pqb ; ru plig k dlh jumlh lu gm, A pq ; ru g di gh dlh jumlh lu gm prgh, ki mk A. Jllh bhw 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

169 A pqb A Apq. f p k k f b p k k f c p k k f d p k k Gb... Mghiug lu bidg di bwh kurv. Nili A dp dipki bgi pdk pd lu bidg g ki cri. Error g rjdi g rgug dri jumlh gm,. Jik 6

170 ki prbr muju k higg d mu k muju ol, mk lu bidg g ki cri dlh A pq lim Apqb lim A lim Apq. k k k Jdi pbil ki mghiug limi, ki k mmprolh ili limi g m, pkh ki mgguk pjumlh gm bwh, u, u prgh. Limi g m ii dibu igrl ru, diulik A f d. q pq p Igrl ru. ii rki dg igrl k u. A pq q f d F ] F q F p. p q p Jdi uuk mmprolh limi brm dri pjumlh gm bwh, pjumlh gm, mupu pjumlh gm prgh dri fugi f dlm rg p q, ki cukup mlkuk:. igri uuk mmprolh F f d ; b. mukk b q uuk mdp Fq; c. mukk b bwh p uuk mdp Fp; d. kurgk prolh b bwh dri b, Fq Fp. Wlupu dlm pmbh di ki mgmbil cooh fugi g brili poiif dlm rg p q, mu pmbh iu brlku pul uuk fugi g dlm rg p q mp brili gif. Ki h prlu mdfiiik kmbli p g dibu dg A p dlm pmbh blum. Pdfiii g bru ii k brlku umum, iu A p dlh lu bidg g dibi olh f d umbu- dri p mpi, g mrupk jumlh lu bgi g brd di umbu- dikurgi dg lu bgi g di bwh umbu-. 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

171 Agr lbih jl ki mgmbil cooh pd Gb.. Ki k mghiug lu r d umbu- dri mpi. Buk kurv diprlihk pd Gb Gb..5. Kurv - Di ii rlih bhw dri mpi kurv brd di umbu- d r mpi kurv d di bwh umbu-. Uuk bgi g di umbu- ki mmpui lu A d 6 Uuk kurv g di bwh umbu- ki dpk A b d 6,5 5,75,5 5,75 Lu g ki cri dlh lu bgi g brd di umbu- dikurgi dg lu bgi g di bwh umbu- A pq A Ab,75,755 67,5 Cooh ii mujukk bhw dg pgri g bru mgi A p, formuli q A f d F q F p p p brlku uuk kurv g mmiliki bgi bik di mupu di bwh umbu-. 65

172 Dg dmiki mk uuk buk kurv pri pd Gb..6. ki dpk A pq A A A A g ki prolh dri A f d F q F p pq q p f p A A A A q Gb..6. Kurv mmoog umbu- di bbrp iik. Lu Bidg Di Ar Du Kurv. Ki k mghiug lu bidg di r kurv f d f pd b r p d q. Kurv g ki hdpi udh brg u hru koiu dlm rg p q. Ki pk bhw kurv f brd di f mkipu mugki mrk mmiliki bgi-bgi g brd di bwh umbu-. Prhik Gb..7. p q Gb..7. Mghiug lu bidg r du kurv. Rg p q ki bgi dlm gm, g lh u diprlihk pd Gb..7. dg b kiri d b k, dim q p /. 66 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

173 Lu gm dp didki dg { f f }.5 A gm g jik ki jumlhk luruh gm k ki prolh q { f f } A gm p.5 Dg mmbu muju k higg higg muju ol ki mpi pd uu limi { f f } A pq lim Agm d Ki lih bbrp cooh. q p.6. Jik d brpkh lu bidg r d dri p mpi q. A pq { } d 6] 8 Hil ii dg mudh dijkik mgguk plimri. Lu g dicri dlh lu prgi pjg dg lbr 6 d pjg 5.. Jik d brpkh lu bidg g dibi olh d. Trlbih dulu ki cri b-b igri iu ili pd prpoog r d. p, q Prhik bhw dlh fugi pgk du dg iik puck miimum g brd pd poii [,]. Olh kr iu bgi kurv g mmbi bidg g k ki cri lu, brd di di bwh. 67

174 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik d A pq Jik ki rblik dlm mmdg poii rhdp ki k mlkuk klh: * - d A pq. Jik d brpkh lu bidg g dibi olh d. Trlbih dulu ki prhik krkr fugi-fugi ii. Fugi dlh fugi kudr dg iik puck mkimum g mmoog umbu- di. Fugi dlh gri luru mllui iik l [,] dg kmirig gif, g brri i muru pd rh poiif. Dg dmiki mk bgi kurv g mmbi bidg g k ki cri lu brd di. B igri dlh ili pd prpoog kdu kurv. 8 ; 8 u q p,5 8 d A pq Prp Igrl Tu. Pmbh di rfoku pd pghiug lu bidg di bwh uu kurv. Dlm prkik ki idk llu mghiug lu mlik mghiug brbgi br fii, g brubh rhdp wku mil. Prubh br fii ii dp pul diviulii dg mmbu bi dg u wku d

175 ordi dg u br fii g dimkud. Dg dmiki olh-olh ki mghiug lu bidg di bwh kurv. Briku ii du cooh dlm klirik.. Sbuh piri mrp d W pd gg ko V. Brpkh rgi g dirp olh piri ii lm 8 jm? D dlh lju prubh rgi. Jik d dibri imbol p d rgi dibri imbol w, mk dw p g mmbrik w d pd Prhik bhw pubh bb di ii dlh wku,. Klu b bwh dri wku ki bu, mk b dlh 8, dg u jm. Dg dmiki mk rgi g dirp lm 8 jm dlh 8 8 w pd d 8 8 W.hour [Wh],8 kilo W hour [kwh]. Aru g mllui uu piri brubh rhdp wku bgi i,5 mpr. Brpkh jumlh mu g dipidhk mllui piri ii r mpi 5 dik? Aru i dlh lju prubh rfr mu, q. dq i higg q d id Jumlh mu g dipidhk dlm 5 dik dlh 5 5 5,5,5 q id,5,65 coulomb d Pdk Numrik. Dlm pmbh mgi igrl u, ki fhmi bhw lgkh-lgkh dlm mghiug uu igrl dlh:. Mmbgi rg f k dlm gm; gr pro prhiug mjdi drh bu gm g m lbr,.. Igrl dlm rg p q dri f dihiug bgi 69

176 q f d lim f k k p k dg f k dlh ili f dlm irvl k g br k m dg ili rdh d riggi dlm gm k jik muju ol. Dlm pliki prki, ki u bi mpk uu ili dmiki rup higg jik ki mgmbil f k m dg ili rdh upu riggi dlm k, hil prhiug k lbih rdh upu lbih iggi dri ili g dihrpk. Nmu rror g rjdi mih brd dlm b-b olri g dp ki rim. Dg cr ii ki mdki cr umrik prhiug uu igrl, d ki dp mghiug dg bu kompur. Sbgi iluri ki k mghiug kmbli lu bidg g dibi olh kurv dg umbu- r d. Lu ii lh dihiug d mghilk A pq 67, 5. Kli ii prhiug A pq d k ki lkuk dg pdk umrik dg bu kompur. Kr g k ki hiug dlh lu r kurv d umbu-, mk bgi kurv g brd di bwh umbu- hru dihiug bgi poiif. Jik ki mgmbil ili,5 mk rg k rbgi dlm gm. Prhiug mghilk A pq k k 67, , k Error g rjdi dlh kir,5%. Jik ki mgmbil,5 mk rg k rbgi dlm gm. Prhiug mghilk A pq k k 67, ,5 k Error g rjdi dlh kir,%. 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

177 Jik ki mih mu mrim hil prhiug dg rror,%, mk hil pdk umrik br 67, cukup mmdi. Prhiug umrik di dilkuk dg mghiug lu ip gm bgi hilkli ili miimum upu ili mkimum mig-mig gm dg. Su lrif li uuk mghiug lu gm dlh dg mlih bgi buh rpium. Lu ip gm mjdi A f mi f / gm k kmk.7 Prhiug pdk umrik ii ki lkuk dg bu kompur. Ki bi mmfk progrm pliki g d, upu mgguk prd h jik fugi g ki hdpi cukup drh. Sol-Sol:. Crilh iik-iik prpoog fugi-fugi briku dg umbu- kmudi cri lu bidg g dibi olh kurv fugi dg umbu-. ;. Crilh lu bidg g dibi olh kurv d gri briku. Lu r kurv d gri Lu r kurv d gri. Crilh lu bidg g dibi olh du kurv briku. d.. Volum Sbgi Suu Igrl 5 d 5 Di ub-bb blum ki mghiug lu bidg bgi uu igrl. Briku ii ki k mlih pggu igrl uuk mghiug volum. Blok. Ki mbil cooh buh blok pri rgmbr pd Gb..8. Blok ii dibi olh du bidg dr prll di p d q. Blok ii diiri ipi-ipi dg bl iri higg volum blok, V, mrupk jumlh dri volum mu iri. 7

178 Gb..8. Blok Jik A dlh lu iri di blh kiri d A dlh lu iri di blh k mk volum iri V dlh Volum blok V dlh A V A V A q p dg A dlh lu r-r iri r A d A. Apbil cukup ipi d ki mgmbil A bgi pggi A mk ki mmprolh pdk dri ili V, iu V A q Jik muju ol d A koiu r p d q mk q p A q V lim A d.8 o p Roi Bidg Sgiig Pd Sumbu-. Su krucu dp dibgk bgi giig g brpur kir lh u ii. Sgiig ii k mpu u volum krucu pri rlih pd Gb..9. Sgiig OPQ, dg OQ brimpi dg umbu-, brpur mgliligi umbu-. p 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

179 P O Q Gb..9. Roi Sgiig OPQ mgliligi umbu- Formul.8 dp ki rpk diii. Dlm hl ii A dlh lu ligkr dg jri-jri r; dgk r mmiliki prm gri OP. V h h [ r ] d h A d π πm d.9 dg m dlh kmirig gri OP d h dlh jrk O-Q. Formul.9 k mmbrik volum krucu πm h πpq/oq h h Vkrucu πr. dg OQ h d r dlh ili PQ pd h. Bgimkh jik OQ idk brimpi dg umbu-? Ki k mmiliki krucu g rpoog di bgi puck. Volum krucu rporog dmiki ii diprolh dg muik prm gri OP. Jik mul prm gri ii brbuk m brubh mjdi m b dg b dlh prpoog gri OP dg umbu-. Roi Bidg Smbrg. Jik f koiu pd b, roi bidg r kurv fugi ii dg umbu- r b klilig umbu- k mmbgu uu volum bd g dp dihiug mgguk rli.. f b Gb... Roi bidg mgliligi umbu- 7

180 Dlm mghiug igrl.8 pui hru dilkuk pd A d b-b igri. A π r π f π higg V f b d. Gbug Fugi Liir. Jik f pd. mrupk gbug fugi liir, ki k mdpk iui pri pd Gb... b Gb... Fugi f mrupk gbug fugi liir. Fugi f koiu bgi dmi bgi. Pd Gb... rdp ig rg dim fugi liir koiu. Ki dp mghiug volum ol bgi jumlh volum dri ig bgi. Fugi f Mmoog Sumbu-. Formul.9 mujukk bhw dlm mghiug volum, f dikudrk. Olh kr iu jik d bgi fugi g brili gif, dlm pghiug volum bgi ii k mjdi poiif... Pjg Kurv Pd Bidg Dr Jik kurv f ki bgi dlm gm mig-mig lbr, mk l dlm gm rbu dlh l PQ Slh u gm diprlihk pd Gb... Ad u iik P g rlk pd kurv di gm ii g rlk r P d Q di m uru fugi P, g mrupk gri iggug di P, jjr dg PQ. Mgguk pgri P ii, l dp dik bgi l [ P ] P 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

181 f b Gb... Slh u gm pd kurv f. Sip gm mmiliki P mig-mig iu k, d l mig-mig iu l k. Jik dibu muju, pjg kurv dri k b dlh lb lim lk lim k k k k P l Q lim k u b d lb d. d Prlu ki ig bhw pjg uu kurv idk rgug dri poii umbu koordi. Olh kr iu. dp diuli jug bgi b d lb d d dg d b dlh b-b pubh bb..5. Nili R-R Suu Fugi Uuk fugi f g koiu dlm rg p q ili r-r fugi ii didfiiik bgi q rr f d q p. p Puli rr uuk mk ili r-r fugi Dfiii. dp ki ulik 75

182 q rr q p f d. Ru k. dlh lu bidg r kurv fugi f dg umbu- muli dri p mpi q. Ru kiri. dp difirk bgi lu gi mp dg pjg q p d lbr rr. Nmu ki prlu hi-hi bb dlm mghiug ru k. bgi lu bidg r kurv fugi f dg umbu bgi kurv g brd di bwh umbu- mmbri koribui poiif pd lu bidg g dihiug; dgk dlm mghiug ili rr. koibui rbu dlh gif. Sbgi cooh, ki mbil fugi p. Lu bidg r dg umbu- dri mpi dlh poiif, A 67,5 lh prh ki hiug. Smr iu jik ki pq mghiug ili r-r fugi ii dri mpi hil dlh rr kr bgi kurv g brd di d di bwh umbu- k lig midk. 76 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

183 Bb Igrl Tk Tu Fugi-Fugi Dlm bb blum ki lh mgl mcm-mcm prhiug igrl. Slh u cr mudh uuk mghiug igrl dlh dg pdk umrik, wlupu cr ii mmbrik hil g mgdug rror. Nmu rror dlm pdk umrik bi dik mpi pd b-b olri. Dlm bb ii ki k mlih prhiug igrl k u cr lii dri mcm-mcm fugi... Igrl Fugi Tp: d d K kr d d Cooh: d K.. Igrl Fugi Mooom: d Kr d d dg r, mk d K Cooh: d d K m.. Igrl Fugi Poliom d Poliom mrupk jumlh rb dri mooom. Igrl uu poliom m dg jumlh igrl mooom g muu. m m Kr d d d mk m m d K, m Sol-Sol : Crilh igrl k u briku ii. 5d ; d; d ; d; dg r, m 5 d ; 6 d 77

184 .. Igrl Fugi Pgk Dri Fugi: v d v Jik v dlh poliom, mk v dv dv K kr v d v dv dg r. Formuli ii diguk uuk mcri v d. Cooh: Hiuglh d dv Milk v dv d d v v 8 6 d dv K K 6 6 K 6 Ki cob uuk mkik hil ii dg hil g k diprolh jik poliom ki kudrk lbih dulu. d d K Hil prhiug m dg hil blum, K K / 6. Cooh: Hiuglh Milk v d dv d dv d / dv / v d v dv / v / Sol-Sol : Crilh igrl k u briku ii. d ; d ; 5d ; d ; d 78 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

185 .5. Igrl Fugi Brpgk -: v dv Kr dv dv d l v, mk v K v l. Igri ii v mmchk mlh prr pd igri v d. Cooh: Crilh igrl d Milk v dv d dv d dv d l v K l K v Sol-Sol: Crilh igrl k u briku ii. d d d d d d ; ; ; ; ;.6. Igrl Fugi Ekpoil: v dv Kr d v v dv mk v v dv K Sol-Sol: / d ; d ; d ; d.7. Igrl Tp Brpgk Fugi : v dv Kr v v v v d l dv mk dv K l 79

186 Cooh: Crilh d Milk v.8. Igrl Fugi Trigoomri dv dv d d v d dv K l Kr d i v covdv mk co v d i v K Kr d cov i vd mk i v d cov K Rli difril d igrl fugi rigoomri g li rmu dlm Tbl-.. Cooh: Crilh igrl k u i d dv dv Milk v d d i v cov i d dv Sol-Sol : Crilh igrl k u briku ii. co d ; co d ; cod i. i co d ; i d ; co d i co d. i co i d ; d. co 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

187 .9. Igrl Fugi Hiprbolik Kr dih v coh v mk coh vdv ih v K Kr dcoh v ih vdv mk ih vdv coh v K Rli difril d igrl fugi hiprbolik g li rmu dlm Tbl-.. Cooh: Crilh coh d Milk dv dv v d d ih coh d coh v dv ih K Sol-Sol: Crilh igrl briku v K ih ih d ; h d ; coh d ; d ; h d coh.. Igrl Mghilk Fugi Trigoomri Ivri Igrl fugi-fugi g brbuk dv v dv, v dv d ru muli omr mpi, v v mghilk fugi-fugi rigoomri ivri. Cooh: Crilh d, 8

188 dv Jik ki mmbu pmil v mk 8 u d dv d. Klu pmil ii ki mukk dlm prol 8 igrl g dibrik, ki k mdpk buk / dv v 8 g idk dp dipro lbih lju; prol igrl idk dp r-rformi mjdi igrl dlm pubh v. Nmu buk d ii dp ki rformi mjdi buk g rmu dlm Tbl-., iu omr. Ki milk v dv dv g k mmbrik u d. Prol igrl ki d mjdi d dv dv v v g mghilk i v K i K Sol-Sol: Crilh igrl k u briku ii. d d d d d ; ; ; ; 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

189 .9. Rli Difril d Igrl Briku ii dfr formul uuk dfril br pg igrl. Bbrp di r prlu uuk diig, mil formul mpi 9 d 6, 7 g rig ki mui. Tbl-.. dv. dv d. dv v K d. d kv kdv. kdv k dv. d v w dv dw. dv dw dv dw. dv v dv v. v dv C ; 5. dv dv d l v 5. v K v l v 6. d v v dv 6. v v dv K v v 7. d l dv v v 7. dv K l 8. d i v covdv 8. co vdv i v K 9. dcov i vdv 9. i vdv cov K. d v c vdv. c vdv v K 8

190 . dcov cc vdv. cc vdv cov K. dc v c v vdv. dccv ccv co vdv. c vdv c v K. cc co vdv ccv K. d ih v coh v. coh vdv ih v K 5. dcoh v ih vdv 5. ih vdv coh v K 6. dh v ch vdv 6. c h vdv h v K 7. dcoh v cch vdv 7. cch vdv cohv K 8. d chv chv h vdv 9. d cchv cchvcoh vdv 8. c hv h vdv chv K 9. cch v coh vdv cohv K dv. di v. dv i v K v v dv. dco v. dv co v K v v. d dv v v dv. v K v 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

191 . d co dv v v dv. co v K v. dv dv d c v. c v K, v > v v v v dv dv 5. d cc v 5. cc v v v 6. v v dv dih v 6. dv ih v K v v dv 7. d coh v 7. dv coh v K v v dv 8. dh v 8. dv h v K ; jik v < v v dv dv 9. dcoh v 9. v coh v K; jik v > v dv dv. dch v. ch v K; v v v v dv. dcch v v v C Tg Ii Tbl-.. dv. cch v K; v v Dg mgguk rli-rli dlm Tbl-. ki dp mlkuk pro igri fugi-fugi mckup: Fugi mooom d poliom: vdv K, v > Fugi poliom brpgk: Fugi poil: v dv ; v dv ; v dv dv v 85

192 Fugi rigoomri: co vdv c vdv ; cc co vdv. pi idk: vdv ; i vdv ; co vdv ; c vdv ; cc vdv ; ; c vdv ; cc vdv. Fugi hiprbolik: coh vdv ; vdv cc h vdv ; c hv h vdv ; cch v coh vdv. pi idk: h vdv ; coh vdv ih ; c h vdv ; ; c hvdv ; cc hvdv. Igri fugi ljbr g mghilk fugi rigoomri ivri d fugi hiprbolik ivri, pri dv v dv ; v dv ; ; v v dv v ; dv v dv ; v dv ; v v dv ; v v pi idk mgigri fugi ivri pri i vdv ; d ; ih vdv. ; h vdv Tbl-. idk mmu rli igri fugi-fugi ljbr g dv brbuk ; ± v dv; v dv; db v 86 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

193 Bb 5 Prm Difril Ord- 5.. Pgri Prm difril dlh uu prm di m rdp u u lbih uru fugi. Prm dufril diklifikik bgi:. Muru ji u ip: d prm difril bi d prm difril pril. Ji g kdu idk ki pljri di buku ii, kr ki h miju fugi dg u pubh bb.. Muru ord: ord prm difril dlh ord riggi d uru fugi g d dlm prm. dlh ord d ig; d d d dlh ord du; d dlh ord u.. Muru drj: drj uu prm difril dlh pgk riggi dri uru fugi ord riggi. 5 d d Sbgi cooh: dlh prm d d difril bi, ord ig, drj du. Dlm buku ii ki h k mmbh prm difril bi, ord u d ord du, drj u. 5.. Solui Suu fugi f dikk mrupk olui uu prm difril jik prm rbu p rpuhi dg digik d uru dlm prm rbu olh f d uru. Ki mbil u cooh: k dlh olui dri prm d kr uru d k dlh k, d jik ii ki d d mukk dlm prm k ki prolh k k.; prm rpuhi. 87

194 Pd cooh di ki lih bhw prm difril ord u mmpui olui g mlibk u p mbrg iu k. Pd umum uu prm ord k mmiliki olui g mgdug p mbrg. Pd prm difril ord du g k ki bh di bb briku, ki k mmuk olui dg du p mbrg. Nili dri p ii diuk olh kodii wl. 5.. Prm Difril Ord Su Dg Pubh Yg Dp Dipihk Solui uu prm difril bi diprolh pbil pubh-pubh dp dipihk; pd pmih pubh ii ki mgumpulk mu dg d d mu dg d. Jik hl ii bi dilkuk mk prm rbu dp ki ulik dlm buk f d g d 5. Apbil ki lkuk igri ki k mdpk olui umum dg u p mbrg K, iu Ki mbil du cooh. f d g d K 5.. d d. Prm ii dp ki ulik d d higg ki dpk prm dg pubh rpih higg d d d K u K d d K d. d. Pmih pubh k mmbrik buk d d d d K d 88 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

195 higg l K u l K 5.. Prm Difril Homog Ord Su Suu prm dibu homog jik i dp diulik dlm buk d F d 5. Prm dmiki ii dp dipchk dg mmbu pubh bb bru Dg pubh bru ii mk Prm. mjdi v d v d d v dv d dv v Fv 5. d g kmudi dp dicri olui mllui pmih pubh. d dv v F v 5.5 Solui prm li diprolh dg mggik v dg / lh prm rkhir ii dipchk. Ki mbil cooh: d d Prm ii dp ki uli d d u d d higg d / F / d / 89

196 g mrupk buk prm homog. Pubh bru v / mmbrik v d d mmbu prm mjdi dv v v u d v Dri ii ki dpk dv d v / v d d v dv d dv v v v d v v d vdv u v Ki hru mcri olui prm ii uuk mdpk v bgi fugi. Ki prlu pglm uuk ii. Ki hu bhw dl. Ki cob hiug d d l d l d 6 d d d Kmbli k prm ki. Dri prcob prhiug di ki dpk olui dri dlh d vdv v l l v K l K u l l v K l K Dlm d olui ii dlh higg v K / K u K 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

197 5.5. Prm Difril Liir Ord Su Dlm prm difril liir, mu uku brdrj u u ol. Dlm muk drj ii ki hru mmprhiugk pgk dri pubh d uru; mil d/d dlh brdrj du kr d d/d mig-mig brpgk u d hru ki jumlhk uuk muk drj dri d/d. Prm difril ord u g jug liir dp ki ulik dlm buk d P Q 5.6 d dg P d Q mrupk fugi u p. Prm difril buk iilh lju k ki bh d ki k mmbi pd iui dim P dlh uu p. Hl ii ki lkuk kr ki k lgug mlih pmf prki dg cooh g rjdi pd lii rgki lirik. Dlm lii rgki lirik, pubh fii pri gg d ru mrupk fugi wku. Olh kr iu prm difril g k ki iju ki ulik cr umum bgi d b f 5.7 d Prm difril liir ord u pri ii bi ki mui pd priiw ri u priiw prlih dlm rgki lirik. Cr g k ki guk uuk mcri olui dlh cr pdug. Pubh dlh klur rgki u bi dibu ggp rgki g dp brup gg upu ru dgk ili d b diuk olh ili-ili lm g mmbuk rgki. Fugi f dlh muk pd rgki g dp brup gg upu ru d dibu fugi pmk u fugi pggrk. Prm difril pri 5.7 mmpui olui ol g mrupk jumlh dri olui khuu d olui homog. Solui khuu dlh fugi g dp mmuhi prm 5.7 dgk olui homog dlh fugi g dp mmuhi prm homog d b 5.8 d 9

198 Hl ii dp difhmi kr jik f mmuhi 5.7 d fugi f mmuhi 5.8, mk f f k mmuhi 5.7 bb f f d d b b f f d d df df df bf bf bf d d d Jdi f f dlh olui dri 5.7, d ki bu olui ol g rdiri dri olui khuu f dri 5.7 d olui homog f dri 5.8. Priiw Tri. Sbgim lh dibuk, prm difril pri.7 dijumpi dlm priiw ri, iu lg prlih dri uu kd mp k kd mp g li.. Prlih ki ggp muli rjdi pd d priiw ri g ki iju rjdi dlm kuru wku lh muli rjdi prubh iu dlm kuru wku >. S lh muli prubh ki bri d d blum rjdi prubh ki bri d. Solui Homog. Prm 5.8 mk bhw dimbh dg uu kofii ko kli d/d, m dg ol uuk mu ili. Hl ii h mugki rjdi jik d d/d brbuk m. Fugi g uru mmpui buk m dg fugi iu diri dlh fugi kpoil. Jdi ki dp mdug bhw olui dri 5.8 mmpui buk kpoil K. Jik olui dug ii ki mukk k 5.8, ki prolh b K bk u K 5.9 Pubh idk mugki brili ol uuk luruh d K jug idk bolh brili ol kr hl iu k mmbu brili ol uuk luruh. Su-u cr gr prm 5.9 rpuhi dlh b 5. Prm 5. ii dibu prm krkriik im ord prm. Prm ii h mmpui u kr iu b/. Jdi olui homog g ki cri dlh b / K K 5. Nili K mih hru ki uk mllui prp uu prr ru g ki bu kodii wl iu kodii pd 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

199 lh muli prubh kd. Ad kmugki bhw lh mmpui ili ru pd higg ili K hrulh dmiki rup higg ili pd rbu dp dipuhi. Ak pi kodii wl ii idk dp ki rpk pd olui homog kr olui ii bru mrupk bgi dri olui. Kodii wl hru ki rpk pd olui ol d buk h uuk olui homog j. Olh kr iu ki hru mcri olui khuu lbih dulu gr olui ol dp ki prolh uuk kmudi mrpk kodii wl. Solui khuu. Solui khuu dri 5.7 rgug dri buk fugi pmk f. Spri hl dg olui homog, ki dp mlkuk pdug pd olui khuu. Buk olui khuu hrulh dmiki rup higg jik dimukk k prm 5.7 mk ru kiri d ru k prm iu k brii buk fugi g m. Jik olui khuu ki bu p, mk p d uru hru mmpui buk m gr hl rbu rpuhi. Uuk brbgi buk f, olui khuu dug p dlh bgi briku. Jik f, mk p Jik f A ko, mk p ko K Jik Jik α f A kpoil, mk α p kpoil K f Ai ω, u f Acoω, mk p Kc coω K i ω Prhik : Kc coω K i ω dlh buk umum fugi iu mupu coiu. Solui ol. Jik olui khuu ki bu p, mk olui ol dlh p p K 5. Pd olui lgkp iilh ki dp mrpk kodii wl g k mmbrik ili K. Kodii Awl. Kodii wl dlh kodii pd wl rjdi prubh iu pd. Dlm muruk prm difril pd priiw ri ki hru mmilih pubh g dibu pubh 9

200 u. Pubh u hru mrupk fugi koiu. Nili pubh ii, udh d blum rjdi prubh hru brili m. Jik kodii wl ii ki bu mk 5. Jik kodii wl ii ki mukk pd dug olui lgkp. k ki prolh ili K. p p K K 5. p dlh ili olui khuu pd. Nili d p dlh ru iu ili pd. Jik ki bu p A 5.5 mk olui ol mjdi p A Solui Pd Brbgi Fugi Pmk Tp Fugi Pmk, f. Jik f mk olui g k ki prolh hlh olui homog j. Wlupu dmiki, dlm mcri olui ki k mgggp bhw fugi pmk p d, k pi brili ol. Hl ii ki lkuk kr kodii wl hru dirpk pd olui ol, dgk olui ol hru rdiri dri olui homog d olui khuu wlupu mugki brili ol. Kodii wl idk dp dirpk h pd olui homog j u olui khuu j. Cooh: Dri uu lii rgki diprolh prm dv v d uuk >. Kodii wl dlh v V. Prm krkriik : Dug olui homog : Dug olui khuu : Dug olui ol v A v p kr idk d : v v p A A fugi pmk 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

201 Kodii wl : v v V. Prp kodii wl pd dug mmbrik : A A Solui ol mjdi : v V olui ol Cooh: Pd kodii wl v mghilk prm dv v d V, lii ri Prm krkriik : Dug Dug olui khuu : Dug olui homog : olui ol: Kodii wl : v V v A v p v vp A Prp kodii wl mmbrik : A Solui ol mjdi: v V Fugi Pmk Brbuk Ak Tgg. Ki lh mmpljri bhw fugi k gg dlh fugi g brili uuk < d brili ko uuk >. Jdi jik ki h miju kd uuk > j, mk fugi pmk k gg dp ki ulik bgi f A p. Cooh: Suu lii rgki mmbrik prm dv v d dg kodii wl v V. Prm krkriik : / Dug olui homog : v A 95

202 Kr f ko, ki dp mdug bhw olui khuu k brili ko jug kr uru k ol higg kdu ru prm rbu dp brii uu ili ko. Dug olui khuu : Mukk v p dug vp K ii k prm : Dug olui ol : v A V Kodii wl : v v. K vp Prp kodii wl mmbrik : A A Solui ol mjdi : v V Cooh: Pd kodii wl v V, lii ri mghilk prm dv 5 v d Prm krkriik : 5 5 Dug Dug Dug Kodii olui homog : olui khuu : olui lgkp: wl : 5 v A v p K 5K v p 5 5 v v p A A v V. Prp kodii A A 9 5 Tggp ol: v 9 V. wl mmbrik : Fugi Pmk Brbuk Siu. Briku ii ki k mcri olui jik fugi pmk brbuk iu. Kr olui homog idk rgug dri buk fugi pmk, mk pcri olui homog dri prm ii m pri p g ki lih pd cooh-cooh blum. Jdi dlm hl ii prhi ki lbih ki ujuk pd pcri olui khuu. Dg pgri bhw ki h mmdg kjdi pd >, buk umum dri fugi iu g mucul pd ki ulik Aco ω θ 96 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

203 Mllui rli { coω coθ i ω θ} Aco ω θ A i buk umum fugi iu dp ki ulik bgi Ac coω A i ω dg Ac Acoθ d A Ai θ Dg buk umum pri di ki rhidr dri prhiug udu f θ, kr udu f ii rckup dlm kofii A c d A. Kofii A c d A idk llu d. Jik udu f θ mk A d jik θ 9 o mk A c. Jik ki mmrluk ili udu f θ dri fugi iu g dik dg pr umum, ki dp A mgguk rli θ. Ac Turu fugi iu k brbuk iu jug. Olh kr iu, pjumlh iω d uru k brbuk fugi iu jug. A co ω A i ω ; c d Ac ωi ω Aω coω d d Ac ω d co ω A ω ; i ω Cooh: Pd kodii wl v V uu lii ri dv mghilk prm 5 v co d Prm krkriik : 5 5 Dug olui homog : 5 v A Fugi pmk brbuk iu. Solui khuu ki dug k brbuk iu jug. 97

204 Dug olui khuu : vp Ac co A i Subiui olui khuu ii k prm mmbrik : Ac i A co 5Ac co 5A i co Ac 5A d A 5Ac A Ac Ac 5Ac Ac d A 8 Solui khuu : vp co 8i 5 Dug olui ol : v co 8i A Kodii wl v. Prp kodii wl : A A 5 Jdi: v co 8i V Cooh: Apbil kodii wl dlh v V, bgimkh olui pd cooh blum ii? Solui ol lh diprolh; h kodii wl g brubh. 5 Solui ol : v co 8i A Kodii wl v A A 6 5 Jdi : v co 8i 6 V Rigk. Solui ol rdiri dri olui khuu d olui homog. Solui homog mrupk bgi ri dg ko wku g diuk olh p-p dlm prm, g dlm hl rgki lirik diuk olh ili-ili lm rgki. Solui khuu mrupk olui g rgug dri buk fugi pmk, g dlm hl rgki lirik diuk olh muk dri lur; olui khuu mrupk bgi mp u kodii fil. 98 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

205 / τ p A Solui khuu : diuk olh fugi pmk. mrupk kompo mp; p d uuk. Solui homog : idk diuk olh fugi pmk. mrupk kompo ri; hilg pd ; udh dp diggp hilg pd 5τ. ko wku τ /b pd. Sol-Sol:. Crilh olui prm difril briku. dv. v, v ; d dv b. 5v, v 5 d. Crilh olui prm difril briku. di. 8i, i ; d di b. i, i,5 d 99

206 . Crilh olui prm difril briku. dv. v u, v ; d dv b. v u, v 5 d. Crilh olui prm difril briku. di. i u, i ; d di b. i u, i, d 5. Crilh olui prm difril briku. dv. 5v co5 u, v ; d dv b. v co5 u, v 5 d Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

207 Bb 6 Prm Difril Ord- 6.. Prm Difril Liir Ord Du Scr umum prm difril liir ord du brbuk d d b c f 6. d d Pd prm difril ord u ki lh mlih bhw olui ol rdiri dri du kompo iu olui homog d olui khuu. Hl g m jug rjdi pd prm difril ord du g dg mudh dp diujukk cr mmi pri hl pd prm ord prm. Prbd dri kdu mcm prm ii rlk pd kodii wl. Pd prm ord du rdp du kodii wl d kdu kodii wl ii hru dirpk pd dug olui ol. Du kodii wl rbu dlh d d ' 6. d Solui homog. Solui homog diprolh dri prm rgki dg mmbrik ili ol pd ru k dri prm.5, higg prm mjdi d d b c 6. d d Agr prm ii dp dipuhi, d uru hru mmpui buk m higg dp didug brbuk fugi kpoil K dg ili K d g mih hru diuk. Klu olui dug ii dimukk k 6. k diprolh : K b bk ck u K c 6. Fugi idk bolh ol uuk mu ili. Kodii K jug idk diprkk kr hl iu k brri uuk luruh. Suu jl gr prm ii dipuhi dlh b c 6.

208 Prm ii dlh prm krkriik prm difril ord du. Scr umum, prm krkriik g brbuk prm kwdr iu mmpui du kr iu:, b ± b c 6.5 Akr-kr prm ii mmpui ig kmugki ili, iu: du kr riil brbd, du kr m, u du kr komplk kojug. Kokui dri mig-mig kmugki ili kr ii rhdp buk olui k ki lih lbih lju. Uuk mr ii ki mlih cr umum bhw prm krkriik mmpui du kr. Dg d du kr rbu mk ki mmpui du olui homog, iu: K d K 6.6 Jik mrupk olui d jug mrupk olui, mk jumlh kdu jug mrupk olui. Jdi olui homog g ki cri k brbuk Ko K olui ol. K K 6.7 d K ki cri mllui prp kodii wl pd Solui Khuu. Sului khuu ki cri dri prm 6.. Solui khuu ii diuk olh buk fugi pmk, f. Cr mdug buk olui khuu m dg p g ki pljri pd prm ord u. Ki umpmk olui khuu khuu p. Solui Tol. Dg olui khuu p mk olui ol mjdi p p K K 6.8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

209 6.. Tig Kmugki Buk Solui Sbgim dibuk, kr-kr prm krkriik g brbuk umum b c dp mmpui ig kmugki ili kr, iu:. Du kr riil brbd,, jik {b c } > ; b. Du kr m,, jik {b c } c. Du kr komplk kojug, α ± jβ, jik {b c } <. Tig kmugki ili kr rbu k mmbrik ig kmugki buk olui g k ki lih briku ii, dg cooh olui pd prm difril p fugi pmk. Du Akr N Brbd. Klu kodii wl d d/d ki rpk pd olui ol 6.8, ki k mmprolh du prm iu p K K ' K K p d 6.9 g k muk ili K d K. Jik ki bu B mk ki prolh p A p d 6. d dri ii ki mmprolh K K A d K K B A B K d higg olui ol mjdi A B K A A B p 6. B Briku ii ki lih uu cooh. Spri hl pd prm ord prm, pd prm ord du ii ki jug mgrik olui

210 prm bgi olui ol. Hl ii didri olh pgri g kodii wl, g h dp dirpk pd olui ol. Prm g h mmpui olui homog ki fhmi bgi prm dg olui khuu g brili ol. Cooh: Dri lii ri uu rgki lirik diprolh prm d v dv 6 8,5 v d d dg kodii wl v 5 V d dv/d 6 Prm krkriik : 8,5 kr - kr Dug olui ol: Kodii wl : :, 5 ±,5 5, 8 du kr riil brbd. 5 8 v K K olui homog ol. v v 5 V 5 K K K 5 K dv b. K K K 5 K d K 6 K 5 K Solui ol: v 6 V h rdiri dri olui homog. Du Akr N Sm Br. Kdu kr g m br rbu dp ki ulik bgi d δ ; dg δ 6. Dg dmiki mk olui ol dp ki uli bgi p p K K K K δ 6. Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

211 5 Klu kodii wl prm ki rpk, ki k mmprolh A K K K K p p Jik kodii wl kdu d/d ki rpk, ki prolh B K K K K K p p δ δ Dri kdu prm ii ki dpk δ δ δ A B A K A B K B K A 6. Solui ol mjdi p p p A B A A B A B A A B A B A δ δ δ δ δ δ δ δ δ 6.5. Kr lim lim δ δ δ δ δ δ δ mk olui ol dp ki uli [ ] p A B A 6.5.b Solui ol pri dik olh 6.5.b mrupk buk khuu g diprolh jik prm krkriik mmpui du kr m br. A d B mmpui ili ru g dipk olh kodii wl. Dg dmiki ki dp mulik 6.5.b bgi

212 [ K K ] p b 6.5.c dg ili K g diuk olh kodii wl, d ili K b diuk olh kodii wl d. Dlm rgki lirik, ili rgug dri lm-lm g mmbuk rgki d idk d ki dg kodii wl. Dg k li, jik ki mghui bhw prm krkriik rgki mmpui kr-kr g m br kr kmbr mk buk ggp rgki k pri g diujukk olh 6.5.c. Cooh: Pd kodii wl v 5 V d dv/d, lii ri rgki lirik mmbrik prm Di ii olui ol k d v dv 6 v d d 6 Prm krkriik : 6 6 :, ± rdp du kr m br; olh kr iu kr - kr v v p Jdi : v brbuk : K K K K, kr v. Apliki kodii wl prm b v 5 K. dv Apliki kodii wl kdu d dv mmbrik Kb K Kb d dv Kb K d 5 V b pd olui ol ii mmbrik Kb K p 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

213 7 Akr-Akr Komplk Kojug. Ki blum mmbh bilg komplk di buku ii. Ki bru mmdg fugi-fugi g mmiliki ili bilg. Nmu gr pmbh mjdi lgkp, briku ii dibrik olui. Du kr komplk kojug dp diulik bgi β α β α j j d Solui ol dri iui ii dlh j j p j j p K K K K α β β β α β α 6.6 Aplikik kodii wl g prm,, A K K K K p p Apliki kodii wl g kdu, d dv, j j j j p K K K j K j d d d d α β β α β β α β β Ki k mmprolh B K K K K j K K K j K j d d p p α β α β β β α α β j A B K K B K K K K j A K K / / β α β α j A B A K j A B A K Solui ol mjdi

214 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 8 p j j j j p j j p A B A j A B A j A B A j A B A α α β β β β α β β β β α β β α β α β α i co / / 6.7 A d B mmpui ili ru g dipk olh kodii wl dgk α d β mmiliki ili ru dlm rgki lirik diuk olh ili lm rgki. Dg dmiki olui ol dp ki ulik bgi b p K K α β β i co 6.8 dg K d K b g mih hru diuk mllui prp kodii wl. Ii dlh buk olui ol khuu uuk prm difril g mmiliki prm krkriik dg du kr komplk kojug. Prm 6.8 mujukk bhw bil prm krkriik mmbrik du kr komplk kojug, mk olui prm difril ord du k rdiri dri olui khuu p dimbh fugi iu g rdm.

215 9 Sol-Sol:. Crilh olui prm difril briku. 5, ; 5 c., ; b. 5, ; 7. d dv v v d dv d v d d dv v v d dv d v d d dv v v d dv d v d. Crilh olui prm difril briku. 5, ; 5 8 c. 5, ; 5 b. 5 5, ;. d dv v u v d dv d v d d dv v u v d dv d v d d dv v u v d dv d v d. Crilh olui prm difril briku.,, ] [co 8 6. d dv v u v d dv d v d,, ] [co 9 6 b. d dv v u v d dv d v d,, ] [co c. d dv v u v d dv d v d

216 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

217 Bb 7 Mrik 7.. Kop Dr Mrik Mrik dlh uu rur bilg-bilg dlm bri d kolom g mmbuk uu uu prgi pjg g ki prlkuk bgi uu ku. Dlm puli mrik dibi olh uu kurug iku upu dg kurug bi pri cooh briku ; ; ; [ ] 7. Dlm cooh mrik 7. ii, bk bri mrik g prm m dg bk kolom, dlm hl ii, d dibu mrik bujur gkr. Yg kdu rdiri dri du bri d u kolom, dibu mrik kolom u vkor kolom. Yg kig rdiri dri u bri ig kolom, dibu mrik bri u vkor bri. Yg kmp dlh mrik prgi pjg dg du bri d ig kolom. Scr umum uu mrik rdiri dri m bri d kolom, higg uu mrik k rdiri dri m lm-lm. Elm-lm mrik ii dp brup bilg riil mupu komplk, k pi dlm cooh-cooh lju ki h k mlih mrik dg lm g brup bilg, d dibu mrik. Scr umum ip lm mrik dibri oi ui dg poii dlm mrik. Jik b b m dlh omr bri d k k dlh omr kolom, mk b d k diguk bgi ubcrip-gd lm mrik. Noi g ki guk uuk mmbri m mrik dlh huruf br ck bl, dgk huruf kcil ck bl diguk bgi oi uuk vkor bri upu kolom, pri cooh briku. A ; B ; Scr umum, mrik A dp ki ulik ; b [ ] 7.

218 L L A [ bk ] 7. L L L L m m L m Poii lm-lm m dibu digol um mrik. Bk bri d kolom mrupk ukur mrik. Dlm cooh 7., bruru-uru ki mmpui mrik dg ukur,,, d. Mrik dg m dibu mrik bujur gkr, d ki kk mrik ii brordo. Mrik A pd cooh 7. dlh mrik bujur gkr brordo. Ak mrik u ub-mrik dlh mrik g diprolh dg mghilgk bgi bri d/u bgi kolom dri uu mrik. Sbgi cooh, mrik B mmpui du k mrik, iu [ ], [ ] ig k mrik, iu ;,, ; m k mrik iu [], [], [], [], [], []; m k mrik iu [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ] ; ig k mrik iu,,. Dg mgguk pgri k mrik ii, ki dp mmdg mrik bgi ruu dri k-k mrik g brup vkor-vkor. Sbgi cooh, mrik A dp ki pdg bgi mrik A Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

219 dg k-k mrik brup vkor bri [ ] [ ], [ ],. Dg cr pdg ii mrik A mirip buk dg vkor kolom. Mrik A jug dp ki pdg bgi mrik A [ ] dg k-k mrik,, g brup vkor-vkor kolom. Dg cr ii mrik A rlih pri vkor bri. 7.. Pgri-Pgri d Opri-Opri Mrik Km Mrik Du mrik A d B m jik d h jik brukur m d lm-lm pd poii g m jug m. Ki mulik km ii A B. Jik A mk hrulh B. Pjumlh Pjumlh du mrik h didfiiik uuk mrik g brukur m bk bri d bk kolom dri kdu mrik rbu m. Jumlh dri du mrik A d B g migmig brukur m dlh buh mrik C brukur m g lm-lm mrupk jumlh dri lm-lm mrik A d B g poii m. Jik A d B 7, mk C A B 5 Pjumlh mrik mmpui if-if bgi briku Mrik Nol.. A B B A b. A B C A B C 7. Mrik ol,, g brukur m dlh mrik g brukur m dg mu lm brili ol.

220 Mrik Ngif Ngif dri mrik brukur m dlh mrik brukur m g diprolh dg mglik luruh lm dg fkor. Opri pjumlh g mlibk mrik ol d mrik gif dlh Prkli Mrik dg Bilg Sklr c. A A d. A A A A 7.5 Hil kli uu bilg klr dg mrik brukur m dlh mrik brukur m g luruh lm brili kli. Ki mulik prkli mrik A dg bilg klr bgi A A Prkli mrik dg bilg klr ii mmpui if-if bgi briku.. A B A B b. b A A ba c. [ ba] ba 7.6 Prkli Mrik dg Mrik Prkli r du mrik A d B iu CAB dlm uru prkli pri ii h rdfiiik jik bk kolom mrik A m dg bk bri mrik B. Jdi jik mrik A brukur m d B brukur p q mk prkli AB h dp dilkuk jik p. Hil kli mrik AB k brup mrik g brukur m q g ili lm pd bri k b kolom k k mrupk hil kli irl hil kli do vkor bri k b dri mrik A d vkor kolom k k dri mrik B mrik A dipdg bgi rdiri dri k-k mrik g brup vkor bri d mrik B rdiri dri k mrik g brup vkor kolom. Jdi Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

221 jik A [ b ] d B [ b k ] mk C AB [ cbk ] [ b bk ] Mglik mrik A k mrik B dri blh kiri pri di ki bu mggdwlk mrik A k mrik B. Ak ki lih bhw mggdwlk A k B idk llu m dg mggdwlk B k A; AB BA. Prkli irl vkor. Ki mbil cooh vkor bri [ ] d vkor kolom b. Bk kolom dlh, m dg bk bri b, mk prkli irl c b dp ki lkuk, iu c b [ ] [ ] [ 7]. Jik uru ki blik, bk kolom b dlh m dg bk bri, mk. ki dp mlkuk prkli d b 8 6 [ ] Jdi, pmblik uru prkli di prkli ii dp dilkuk k mmbrik hil g brbd. Prkli mrik idk komuif. Prkli mrik dg vkor. Milk A d b. Bk kolom A m dg bk bri b, mk prkli Ab dp dilkuk. Mrik A ki pdg bgi A, iu mrik dg k mrik brup vkor bri. Prkli C Ab dlh [ ] d [ ] C Ab b b 7 b 8 Jik uru prkli diblik D ba, prkli k dp dilkuk kr b rdiri dri u kolom dgk A rdiri dri du bri. 9 5

222 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 6 Prkli du mrik bujur gkr. Milk A d 5 B. Bk kolom A m dg bk bri B; olh kr iu ki dp mlkuk prkli AB C. Mrik A ki pdg bgi A, iu mrik dg k mrik brup vkor bri [ ] d [ ]. Mrik B ki pdg bgi [ ] b b B, iu mrik dg du k mrik brup vkor kolom 5 b d b. Prkli AB C dlh [ ] b b b b b b AB C Prkli du mrik prgi pjg. Milk A d B. Bk kolom A dlh, m dg bk bri B. Ki dp mlkuk prkli AB C Pr mrik dg k mrik pd prhiug di dlh bgi A, [ ] b b B, higg [ ] b b b b b b AB C.

223 Dlm opri prkli mrik, mrik g prm ki uu dri k mrik g brup vkro bri dgk mrik g kdu ki uu dri k mrik g brup vkor kolom. Jdi prkli mrik dlh prkli dri bri k kolom. Prkli mrik mmpui if bgi briku.. Aoiif d diribuif rhdp pjumlh A B AB A B BC ABC A A B C AC BC 7.7 A B CA CB C b. Tidk komuif. Jik prkli AB mupu BA rdfiiik, mk pd umum AB BA c. Hukum pmbl idk llu brlku. Jik AB idk llu brkib A u B. Mrik-Mrik Khuu Mlih pd ili-ili lm dri mrik, rdp bbrp buk mrik khuu. Mrik Sgiig. Mrik giig d du mcm iu mrik giig bwh d mrik giig. Mrik giig bwh dlh mrik g lm-lm di digol um brili ol. Mrik giig dlh mrik g lmlm di bwh digol um brili ol. Prhik cooh briku. Mrik giig bwh : T Mrik giig : T 7

224 Mrik Digol. Mrik digol dlh mrik g lmlm di mupu di bwh digol um brili ol. Cooh : D Mrik Su. Mrik u, dibu jug mrik idi, dlh mrik digol g lm digol brili. Mrik ii dilmbgk dg I. I Suu mrik jik diklik dg mrik u k kmbli pd mrik l. AI IA A 7.8 Pur Mrik Pur mrik u rpoii dri mrik A brukur m dlh uu mrik A T g brukur m dg kolom-kolom mrik A bgi bri-bri g brri pul bhw bri-bri mrik A mjdi kolom-kolom mrik A T. L L A bk mk L L L L m m L m Jik [ ] Prhik cooh-cooh briku ii. L m T L m A [ pq ] 7.9 L L L L L m 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

225 9 Pur vkor bri d vkor kolom. Pur vkor bri k mjdi vkor kolom. Sblik pur vkor kolom k mjdi vkor bri. [ ] T ; [ ] 5 5 T b b Pur jumlh du vkor bri. Pur jumlh du vkor bri m dg jumlh pur mig-mig vkor. Jik [ ] [ ] d b mk [ ] 5 7 b T T T 5 7 b b. Scr umum : T T T b b 7. Pur hil kli vkor bri d vkor kolom. Pur hil kli vkor bri dg vkor kolom u vkor kolom dg vkor bri, m dg hil kli pur mig-mig dg uru diblik. Jik [ ] d b mk [ ] b [ ] [ ] T T T b b Jik [ ] d b mk b [ ] T T T b b

226 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik Scr umum : T T T b b 7. Pur mrik prgi pjg. Jik A mk T A Jik mrik A dik bgi uu dri vkor bri m A L mk pur dlh [ ] T T T m A L. Di ii rlih jl bgim bri-bri di A mjdi kolom-kolom di A T. Sblik, jik mrik A dik dg vkor kolom [ ] m A L mk pur k brbuk mrik dg k-k mrik brup vkor bri. Pur jumlh mrik. Pur jumlh du mrik m dg jumlh pur mig-mig mrik. Hl ii lh ki lih pd pur jumlh vkor bri. T T T B A B A 7. Jik [ ] m A L d [ ] b m b B L mk [ ] m b m b B A L. Dg dmiki T T T T T T T T T T T T T B A b b b b b b B A m m m m m m L L L L Pur hil kli mrik. Pur hilkli du mrik m dg hil kli pur mig-mig dg uru g diblik. Hl ii lh ki lih pd pur hil kli vkor bri d vkor kolom. T T T A B AB 7.

227 Jik m A L d [ ] b b B L mk m m b b b b AB L L L L L. Dg dmiki mk [ ] T T T A B b b b b b b AB m m m L L L L L L L Mrik imri. Brki dg pur mrik, ki mgl kimri pd mrik. Mrik imri dlh mrik g pur m dg mrik diri. Jdi mrik A dikk imri pbil A A T. Jik B B T dikk bhw mrik B dlh imri mirig. Kr dlm pur mrik lm-lm digol um idk brubh ili, mk mrik imri mirig dp rjdi jik lm-lm digol um brili ol. 7.. Sim Prm Liir Suu im prm liir u himpu prm liir imul dlh u prm dri jumlh uur g k dikhui. Buk umum im prm liir ii dlh m m m b b b L L L Sim 7. ii mgdug m prm dg uur g k dikhui iu.. Bilg.. m dibu kofii dri im iu, g bi mrupk bilg-bilg g dikhui. Bilg-bilg b.b m jug mrupk bilg-bilg g dikhui, bi brili idk ol mupu brili ol; jik luruh b brili ol mk im prm rbu dibu im prm homog.

228 Dri im prm liir dihrpk d olui iu u ili dri, g mmuhi im prm rbu. Jik im ii homog, i mgdug olui rivil olui k pig iu,.,. Pr-pr g imbul g olui dri im prm ii dlh bgi briku.. Br dkh olui dri im ii? b. Bgimkh cr ki uuk mmprolh olui? c. Klu im ii mmpui lbih dri u olui, bgimkh himpu olui rbu? d. Dlm kd bgimkh im ii p mmpui u olui? Mmprhik im prm 7. ki dp mlkuk opriopri g ki bu opri bri bgi briku.. Ru kiri d ru k dri ip prm dp diklik dg fkor buk ol g m p mmpgruhi himpu im prm rbu. b. Ru kiri dri ip prm dp dijumlhk k ru kiri prm g li l ru k jug dijumlhk. Opri ii idk mggggu kluruh im prm rbu. c. Mmprukrk mp uru prm idklh mggggu himpu im prm. Sim prm 7. dp ki ulik dlm buk mrik dg mmfk pgri prkli mrik. Buk iu dlh L m L m L L L L b b L L L m bm 7.5 u cr igk dg A b 7.6 L b L b A ; ; b 7.7 L L L L L L m m L m bm Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

229 Dri 7.7 ki dp mmbgu uu mrik bru g ki bu mrik gdg, iu dg mggdgk mrik A dg b mjdi L b ~ L b A 7.8 L L L L L m m L m bm Mrik gdg ii mk im prm liir 7. cr lgkp. Opri-opri bri pd im prm 7. ki rjmhk k dlm mrik gdg 7.8 mjdi bgi briku.. Sip lm dri bri g m 7.8 dp diklik dg fkor buk ol g m. b. Su bri dri 7.8 bolh dijumlhk k bri g li. c. Tmp bri uru bri dp diprukrk. Sip opri bri k mghilk mrik gdg bru. Mrik gdg bru ii ki bu bgi r bri dg mrik gdg g lm. Opri bri dp ki lkuk lgi pd mrik gdg bru d mghilk mrik gdg g lbih bru lgi d g rkhir iipu r bri dg mrik gdg g lm. Dg igk ki kk bhw opri bri mghilk mrik gdg g r bri dg mrik gdg l. Hl ii brri bhw mrik gdg bru mk im prm liir g m dg mrik gdg l. Elimii Gu Elimii Gu mrupk lgkh-lgkh imi uuk mmchk im prm liir. Kr mrik gdg mrupk pr lgkp dri uu im prm liir, mk limii Gu cukup dilkuk pd mrik gdg ii. Bgim lgkh-lgkh ii dilkk, k ki lih mllui cooh briku ii. Milk ki mmpui im prm liir pri briku.

230 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik D C B A D C B A C B A B A 7.9 Sim prm ii dp ki ulik dlm buk mrik bgi D C B A dg mrik gdg Lgkh : Lgkh prm pd limii Gu pd mrik gdg dlh mmprhk bri k- dibu mgmbil bri k- bgi pivo d mghilgk uku prm bribri briku. Lgkh ii dilkk dg mmbhk bri k- k bri k-, mgurgk bri k- dri bri k- d mmbhk bri k- k bri k-. Hil opri ii dlh bri bri bri pivo Lgkh : Lgkh kdu dlh mgmbil bri k- dri mrik gdg g bru j ki prolh d mghilgk uku kdu bri-bri briku. Ii ki lkuk dg mglik bri k- dg / kmudi mmbhk k bri k-, d mgurgk bri k- dri bri k-. Hil opri ii dlh

231 5 bri / bri pivo 6/ / Lgkh : Lgkh kig dlh mgmbil bri k- bgi pivo d mghilgk uku k- dri bri k-. Ii dp ki lkuk dg mglik bri k- dg kmudi mmbhk kpd bri k-. Hil dlh: bri pivo Mrik gdg rkhir ii mk prm liir: D D C C B B A g dg ubiui mudur k mmbrik: ; ; ; A B C D. Sim-im ru, kurg ru, d ru brlbih Sim prm liir g dimbil bgi cooh uuk mlkuk limii Gu di ki bu im ru; iu im g mmbrik p u olui. Sim ru rjdi jik bk uur g k dikhui m dg bk prm d prm-prm ii idk lig brgug. Jik bk prm lbih kcil dri bk uur g k dikhui, mk im iu mjdi kurg ru. Sim g kurg ru

232 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 6 mmbrik idk h u olui k pi bk olui. Jik bk prm lbih br dri bk uur g k dikhui, im mjdi ru brlbih. Sim g kurg ru llu mmpui olui d bk dgk im ru d ru brlbih bi mmbrik olui bi jug idk mmbrik olui. Briku ii k ki lih cooh im g mmbrik bk olui d g idk mmbrik olui Sim prm g mmbrik bk olui. Ki lih prm briku. 8 8 C B C B A B A 7. Mrik gdg dri im ii dlh 8 8 Elimii Gu dri mrik gdg ii ki lkuk pri pd cooh di, g k mghilk Mrik gdg ii mk im prm : 8 8 C B B A 7. Dri prm k- ki mdpk / 8 c b g kmudi mmbrik / 8 8 c. Kr c p mbrg mk ki mdpk bk olui. Ki h k mmprolh ili d b jik ki muk ili c lbih dulu. Sim g idk mmbrik olui. Ki mbil cooh im prm briku.

233 7 8 C B C B A B A 7. Mrik gdg d limii Gu mmbrik Sim prm dri mrik gdg rkhir ii dlh 8 8 C B B A 7.6 Ki lih di ii bhw prp limii Gu pd khir mghilk uu kordiki g dp ki lih pd bri rkhir Hl Ii mujukk bhw im prm g dg ki iju idk mmbrik olui. Buk mrik pd lgkh rkhir limii Gu, pri mrik pd 7., 7. d 7.5 dibu buk lo. Dri 7.5 mil, buk lo mrik kofii d mrik gdg dlh d 8 8 Scr umum buk lo mrik gdg dlh

234 c L L L L krr L L L c M kr M b b br b r b m 7.7 d im g lh rduki pd lgkh khir limii Gu k brbuk c LLLL LLLL k rr L k r M b b b r r br M b dg,, k, d r. Prhik 7.8 ii. rr m 7.8. Jik r d b r, K, bm m dg ol u idk d, mk im prm ii k mmbrik p u olui. b. Jik r < d b r, K, bm m dg ol u idk d, mk im prm ii k mmbrik bk olui. c. Jik r upu r < d b r, K, bm idk m dg ol u mmpui ili, mk im prm ii idk mmbrik olui. Jdi uu im prm k mmbrik olui jik b r, K, b m m dg ol u idk d. Pd uu im prm g mmbrik olui, kuggl olui rjdi jik r ; jik r < k mmbrik bk olui. Nili r g dimiliki olh mrik gdg pd 7.7 diuk olh bk vkor bri g bb liir dlm mrik gdg. Pgri g kbb liir vkor-vkor ki bh briku ii. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

235 Bb liir d k-bb liir vkor-vkor Milk,, L m dlh vkor-vkor bri dri uu mrik A [ bk ]. Ki iju uu prm vkor c c L c m m 7.9 Jik prm vkor ii rpuhi h jik mu kofii c c m brili ol, mk vkor-vkor bri rbu dlh bb liir. Jik prm vkor rbu dp dipuhi dg kofii g idk mu brili ol ri idk-idk d u kofii g idk brili ol mk vkor-vkor iu idk bb liir. Jik u himpu vkor rdiri dri vkor-vkor g bb liir, mk k upu dri vkor-vkor iu dp dik dlm kombii liir dri vkor g li. Hl ii dp dimgri kr dlm prm 7.9 mu kofii brili ol. Jik vkorvkor idk bb liir mk ili kofii pd prm 7.9 u idk-idk bgi idk brili ol mk u vkor dp dik bgi kombii liir dri vkor g li; mil vkor dp dik bgi c c L m m 7. c c kr kofii-kofii ii idk luruh brili ol Ki mbil cooh du vkor bri [ ] d [ 6 ] Vkor d dlh bb liir kr [ ] [ 6 ] c c c c h k rjdi jik c c Ambil vkor kig [ 6 ]. Vkor d idk bb liir kr ki dp mk bgi [ ] [ 6 ]. Vkor, d jug idk bb liir kr ki dp mk bgi [ ] [ 6 ] [ 6 ] Ak pi jik ki h mlih d j, mrk dlh bb liir. 9

236 . Vkor, d idk bb liir kr ki dp mk bgi Ki lih vkor li iu [ ] [ ].5 [ 6 ] [ ].5 Rk mrik. Dg pgri g vkor g bb liir, didfiiik rk mrik. Bk vkor bri g bb liir dlm uu mrik A [ bk ] dibu rk mrik A diigk rk A. Rk mrik B dlh ol. Bgimkh muk rk uu mrik? Ki mghui bhw opri bri mghilk mrik g r bri dg mrik l. Hl ii brri pul bhw rk mrik bru m dg rk mrik l. Dg prk li opri bri idk mgubh rk mrik. Jdi rk uu mrik dp diprolh mllui opri bri, iu m dg rk mrik g dihilk pd lgkh rkhir limii Gu. Buk lo mrik g diprolh pd lgkh rkhir limii Gu, mgdug vkor-vkor bri g bb liir kr vkor g k bb liir lh rlimii. Ki mbil cooh mrik pd 7., 7. d 7.5. Buk lo mrik kofii d mrik gdg dri 7., iu dri im prm g mmbrik olui uggl, dlh 6 6 d Dlm ku ii rk mrik kofii m dg rk mrik gdg, iu. Sli dri pd iu rk mrik m dg bk uur g k dikhui iu Buk lo mrik kofii d mrik gdg dri 7., iu dri im prm g mmbrik bk olui, dlh Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

237 d Dlm ku ii rk mrik kofii m dg rk mrik gdg, iu. Ak pi rk mrik ii lbih kcil dri bk uur g k dikhui. Buk lo mrik kofii d mrik gdg dri 7.5, iu dri im prm g idk mmbrik olui, dlh d Dlm ku ii rk mrik kofii idk m dg rk mrik gdg. Rk mrik kofii dlh dgk rk mrik gdg dlh. Kidk m rk dri kdu mrik ii mujukk idk d olui. Ap g ki mi dlm cooh-cooh di r brlku umum. Ki mlih bhw gr uu im prm mmbrik olui mk rk mrik kofii hru m dg rk mrik gdg; b gr im prm mmbrik olui uggl mk rk mrik kofii hru m dg bk uur g k dikhui; c jik rk mrik kofii lbih kcil dri bk uur g k dikhui mk k diprolh bk olui. Sim Prm Homog Sim prm dibu homog pbil ili b di ru k dri im pri 7. brili ol. Jik idk dmiki mk im iu dibu k homog. Sim prm homog brbuk

238 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik m m m L L L 7. Buk mrik gdg im ii dlh ~ m m m L L L L L L L L A 7. Elimii Gu pd im dmiki ii k mghilk ~ m L L L L L L L A 7. Jik rk mrik gdg rkhir ii m dg bk uur g k dikhui, r, im prm khir k brbuk m M L L 7. Dri 7. rlih bhw d ubiui mudur khir mmbrik mu brili ol. Ii mrupk olui rivil d olui rivil ii dikibk olh k bhw r. Solui k rivil h k diprolh jik r <. Ki k mlih bbrp cooh. Sim prm homog g h mmbrik olui rivil 5 D C B A D C B A C B A B A 7.5 Mrik gdg im ii d hil limii Gu- dlh

239 5 limii Gu 6 6 Rk mrik kofii dlh ; bk uur g k dikhui jug. Sim prm liir mjdi 6 6 D D C C B B A g khir mmbrik A B C D 7.6 Iilh olui rivil g dihilk jik rjdi kd r. Sim prm g mmbrik olui k rivil 6 5 D C B A D C B A C B A B A 7.7 Mrik gdg d hil limii dlh 6 5 limii Gu 6 d im prm mjdi 6 D C C B B A 7.8

240 Jik ki mgmbil ili mk k diprolh 6 C ; B ; A. Solui ii mmbuk vkor olui / / g jik digdwlk dg mrik kofii 6/ k mghilk vkor ol b. D / / A / Jik ki mpk ili D g li, mil k diprolh vkor olui g li, iu, g jik 8 digdwlk dg mrik kofii jug mghilk vkor ol.. Vkor olui ii mrupk prkli olui blum dg bilg klr dlm hl ii, g ugguh bi brili mbrg. Scr umum vkor olui brbuk c c 7. dg c dlh klr mbrg. Vkor olui g li lgi dp ki prolh dg mjumlhk vkor-vkor olui, mil d. / / 7. 6/ 8 Jl bhw jug mrupk olui kr jik digdwlk k mmbrik hil vkor ol. Jdi cr umum vkor olui D Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

241 5 dp jug diprolh dg mjumlhk vkor olui g ki k bgi c j 7. Cooh di mmprlihk bhw olui dri im prm homog mmbuk vkor-vkor g luruh dp diprolh mllui prkli lh u vkor olui dg klr 7. d pjumlh vkor-vkor olui 7.. Ki kk bhw olui dri im prm homog mmbuk uu rug vkor. Dlm im prm homog g dg ki iju ii, rug vkor g rbuk dlh br-dimi u. Prhik bhw ip vkor olui mrupk hilkli klr dg vkor wlupu diprolh dri pjumlh vkor bgim rlih pd 7.. Jik ki prhik lbih lju rug vkor g rbuk olh vkor olui k brdimi r, iu liih r bk uur g k dikhui dg rk mrik kofii. Dlm ku g dg ki iju ii, bk uur g k dikhui dlh dgk rk mrik kofii dlh. Ki k mlih ku g li. Sim prm dg vkor olui brdimi. Ki lih im briku D C B A D C B A D C B A B A 7. Mrik gdg d hil limii Gu dlh limii Gu 5 Rk mrik ii dlh dgk bk uur k dikhui. Sim prm mjdi

242 A B B 5 C D 7. Jik ki mmbri ili C d D, ki k mdpk 5 / ; 5/. B A 5/ Vkor 5/ dlh lh u vkor olui; jik ki gdwlk mrik ko fii dg vkor ii mk k diprolh vkor b A 5 5/ 5/ 5/ 5/ 5 5 Jik A, mk prkli dg klr k k mmbrik A k, A k, d Ak Ak A k k Ac. Dg k li, jik dlh vkor olui, mk k, k, k k dlh jug vkor-vkor olui d bgim ki hu vkor-vkor ii ki prolh dg mmbri ili d. C D Jik d k ki prolh / d / C D / g mmbuk vkor olui /. Dg klr l mbrg ki k mmprolh vkor-vkor olui g li pri l l, l l., Scr kluruh mk vkor-vkor olui ki dlh k l 7.5 B A 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

243 Iilh vkor-vkor olui g mmbuk rug vkor brdimi. Dri du cooh rkhir ii rbuki orm g mgk bhw olui im prm liir homog dg uur k dikhui d rk mrik kofii r k mmbuk rug vkor brdimi r. Kblik mrik d mod limii Gu-Jord Pgri g kblik mrik ivri mrik r ki dg pmch im prm liir. Nmu dmiki pgri ii khuu diujuk uuk mrik bujur gkr. Kblik mrik A ivri mrik A didfiiik bgi mrik g jik digdwlk k mrik A k mghilk mrik idi. Kblik mrik A diulik bgi A higg dfiii ii mmbrik rli A I AA A 7.5 Jik A brukur mk A jug brukur d dmiki pul mrik idi. Tidk mu mrik bujur gkr mmiliki kblik; jik A mmiliki kblik mk A dibu mrik k igulr d jik k mmiliki kblik dibu mrik igulr. Jik A dlh mrik k igulr mk h d u kblik A; dg k li kblik mrik dlh uik u brif uggl. Hl ii mudh dimgri bb jik A mmpui du kblik, mil P d Q, mk AP I PA d jug AQ I QA, d hl ii h mugki rjdi jik P Q. P IP AQ P QAP Q AP QI Q 7.6 Brbkl pgri kblik mrik, ki k miju prm mrik dri uu im prm liir k homog, iu A b 7.7 Jik ki mggdwlk kblik mrik A k ru kiri d k 7.7, k ki prolh A A A b I A b 7.8 7

244 Prm 7.8 mujukk bhw ki dp mmprolh vkor olui dri im prm liir jik kblik mrik kofii A d, u jik mrik A k igulr. Jdi prol ki krg dlh bgim mghui pkh mrik A igulr u k igulr d bgim mcri kblik mrik A jik i k igulr. Dri pmbh blum ki mghui bhw jik mrik kofii A pd 7.7 dlh mrik bujur gkr, mk olui uggl k ki prolh jik rk A m dg. Hl ii brri bhw vkor pd 7.8 dp ki prolh jik rk A m dg. Dg prk li mrik A g brukur k igulr jik rk A m dg d k igulr jik rk A lbih kcil dri. Mcri kblik mrik A dp ki lkuk dg cr limii Gu-Jord. Mod ii didri olh prm 7.7. Jik X dlh kblik mrik A mk AX I ~ d ki lkuk limii Gu pd A ~ higg mrik gdg ii U H dg U brbuk mrik giig. Uuk mcri X ki buk mrik gdg A [ A I] brubh mjdi [ ] Elimii Gu-Jord lju bropri pd [ U H] dg mglimii uur-uur giig pd U higg U brbuk mrik idi I. Lgkh khir ii k mghilk [ I X]. Prhik cooh briku. Ki k mcri kblik dri mrik A Ki buk mrik gdg [ A I] [ A I] 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

245 9 Ki lkuk limii Gu pd mrik gdg ii bri bri pivo bri pivo 8 Kmudi ki lkuk limii Gu-Jord /8 /8 /8 / bri.5 bri / 5/8 7 /8 bri / 5/8 7 /8 6/8 /8 Hil rkhir ii mmbrik kblik mrik A, iu : / 5/8 7 /8 6/8 /8 A Hil ii dp ki lii blik dg mggdwlk dg mrik A / /8 /8 /8 /8 5/8 7 /8 /8 /8 /8 /8 8/8 /8 / 5/8 7 /8 6/8 /8 A A

246 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik Dg dmiki uuk uu im prm liir k homog g prm mrik 8 vkor olui dlh / 5/8 7 /8 6 /8 /8 8 Kblik mrik digol. Kblik mrik digol dp dg mudh ki prolh. / / L L 7.9 Kblik dri kblik mrik. Kblik dri kblik mrik dlh mrik iu diri. A A 7.5 Kblik dri prkli mrik. Kblik dri prkli du mrik dlh prkli dri kblik mig-mig mrik dg uru diblik. A B AB 7.5 Hl ii dp dibukik bgi briku AB AB I AB AB I B AB B A B B AB A IB AB AB A B A AB AB A I A

247 Bb 8 Bilg d Pubh Komplk Jik ki mggmbrk kurv fugi dg dlh pubh bb g mrupk bilg-bilg pri g ki mui dlm bb-bb blum, mk pggmbr kurv h dp ki lkuk uuk ili >..5.5 Mk dibu pgri bilg khl dg opror j higg jik dri bilg ki prolh bilg khl j, dri bilg ki dpk bilg khl j d ru. Dlm pggmbr grfi, bilg digmbrk di umbu mdr g lju dibu umbu- rl-i dibri d R, dgk bilg khl u bilg imjir digmbrk pd umbu g gk luru pd umbu- g dibri d Im. Bidg g dibi olh kdu umbu ii ki bu bidg komplk. 8.. Dfiii Bilg Komplk Suu bilg komplk didfiiik bgi σ jω 8. dg σ d ω kdu dlh bilg σ R d ω R.

248 Rpri bilg komplk pri di dibu rpri udu iku ; σ dlh bgi riil dri d diuli R σ, ω dlh bgi imjir dri diulik Im ω. 8.. Rpri Grfi Suu bilg komplk dp ki pdg bgi pg bruru dri du bilg riil. σ jω σ,ω 8. Dg dmiki ki dp mggmbrk bilg komplk di bidg komplk pri pd Gb.8... Bidg dg umbu koordi R umbu riil d Im umbu imjir ii dibu bidg komplk u bidg. Suu kumpul bilg komplk k rlk di bidg komplk ii. Pg bruru σ,ω dp pul dioiik dg buh vkor pri rlih pd Gb.8..b.; dg k li vkor rbu mrprik bilg komplk. Dg rpri vkor ii ki dp mk bilg komplk bgi σ jω Aco θ j i θ 8. dg A dlh pjg vkor d θ dlh udu g dibuk olh rh vkor dg umbu. Buk pr bilg komplk pri 8. ii dibu buk udu iku. Sli buk uu iku ki mgl jug pr dlm buk polr. Im jω σ,ω jω ρ A θ σ R σ R Pg bruru bilg σ,ω b. Rpri bilg pd bidg komplk komplk cr vkor Gb.8... Rpri grfi bilg komplk. Buk polr diuruk dri buk udu iku mllui rli gomri drh. Jik pjg vkor pd Gb.8..b. dlh A, d θ dlh udu g dibuk olh vkor rbu dg umbu R mk Im

249 σ ω θ ω σ θ ω θ σ d i d co A A A 8. Mllui prm u idi Eulr, iu θ θ θ i co j j 8.5 rpri polr dri bilg komplk mjdi θ j A 8.7 Nili bolu mgiud dlh A, diuli ω σ A. Sudu θ dibu udu f, diuli / σ ω θ. Pr dlm buk udu iku dp diubh k dlm buk polr; blik pr dlm buk polr dp pul diubh k dlm buk udu iku. 8.. Opri-Opri Aljbr Pjumlh d Pgurg. Pjumlh bilg komplk dlh bgi briku: ω ω σ σ ω σ ω σ j j j ω ω σ σ ω σ ω σ j j j Prkli. Prkli du bilg komplk dlh bgi briku. ω σ ω σ ω ω σ σ ω σ ω σ j j j Pmbgi. Pmbgi u bilg komplk olh bilg komplk g li dlh bgi briku. ω σ ω σ σ ω ω ω σ σ ω σ ω σ ω σ ω σ j j j j j

250 CONTOH: Jik j d j mk j j 5 j7 j j j j j 6 j8 9 6 j7 j j j 6 j 8 9 j 8 5 j 5 CONTOH: Milk uu bilg komplk j,5. Nili bilg komplk ii dlh d udu f,5 rd. Buk udu iku dlh: co,5 j i,5,88 j,8 8,8 j,8 CONTOH: Milk uu bilg komplk j. Nili bolu dlh ρ 5 Sudu f dlh θ,9 rd. Rpri polr dlh: 5 j,9 CONTOH: Milk uu bilg komplk. Rpri polr dlh : jπ jπ Pmhm : idk brili uggl. Ki hru brhi-hi muk udu f. Di ii ki hru mmilih π rd. CONTOH: Rpri polr dri bilg komplk mmprmudh opri prkli d pmbgi. ρ jθ ρ jθ ρ ρ j θ θ Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

251 jθ ρ ρ j θθ jθ ρ ρ Kojug Komplk. Kojug dri uu bilg komplk diprolh dg mggi j dg j. Im σ jω R * σ jω Gb.7.. Kojug bilg komplk. Prhik Gb.8.. Jik σ jω mk kojug dlh σ jω. Rli-rli r uu bilg komplk dg kojug dlh bgi briku. * u * ; [ ] [ ] 8.. Fugi Komplk Fugi komplk X mrupk uu fugi g mmk uu pubh bb komplk k dlm u pubh k bb komplk. Pubh bb komplk dlh pubh bb g brup bilg komplk; d pubh k bb komplk dlh pubh k bb g jug brup bilg komplk. 5

252 Zro. Ki lih fugi komplk X Uuk bbrp ili ki dp ili X pd bl d gmbr briku: X j X j j X j j X j X X X - - Sip ili mmbrik X. Ad u ili g khuu iu g mmbrik ili X j ; ii ki bu zro g ri mmbu fugi komplk mjdi brili ol. Suu fugi komplk X dikk mmpui zro di z jik Pol. Ki lih krg fugi lim X z X Ki dp mmbu bl d gmbr pri pd pmbh mgi zro, k pi idk ki lkuk. Ki lbih rrik pd pubh g khuu, iu g mmbu fugi komplk mjdi brili k higg; ii ki bu pol. pd fugi komplk g dimbil cooh ii zro d di j 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

253 Suu fugi komplk X dikk mmpui pol di p jik lim p X b CONTOH: Tiju uu fugi komplk X, b Fugi ii mmpui pol di d zro di b 8.5. Fugi Riol Komplk Fugi riol komplk dlh fugi komplk g mrupk rio du poliomil komplk dg kofii-kofii. b X m m m bm L b L B A Ki dfiiik bhw ord dri fugi ii dlh. Poliomil B dibu umror ki mgguk iilh pmbilg, dgk A dibu domior ki mgguk iilh pbu. Dlm puli fugi riol bi dimbil dg mglurk dri uku-uku pbu. Fugi riol X dikk propr ki mgguk iilh pu jik m ; dikk o propr kurg pu jik m >. Fugi riol dg m > rig jug dibu fugi o-kul. Jik X dlh fugi riol dg kofii, ki dp mk B d A dlm fkor-fkor g liir. K z z L zm X p p L p 8. Jik kofii X mk kr-kr komplk dri B d A k brup pg kojug. Buk pr fugi riol pri 8. ii mmprlihk dg jl pol d zro-. Pd umum ki mghdpi fugi g propr, higg jumlh zro lbih kcil dri jumlh pol. Dlm kd dmiki rig ki mgggp bhw fugi dmiki mmpui m zro di k higg. 7

254 CONTOH : Milk ki mmpui fugi riol X Fugi ii dp diuli bgi X. X mrupk buk rduki dri X. Numror d domior dri fugi X mmpui fkor g m iu d fkor g m ii dp dilimiir. Numror d domior dri fugi rduki X mmpui pul fkor m, iu. Jdi fkor g m r poliom B d A pd X dlh ; rio du poliom g dmiki ii dibu coprim. Dlm mgi fugi riol ki bkrj pd buk g udh rduki; ki bkrj pd umror d domior g coprim Digrm Pol-Zro Fugi riol dp dirprik cr grfi, iu dg h mggmbrk pol d zro g dimiliki. Pol dibri d dgk zro dibri d o. Hil ki bu digrm pol-zro. CONTOH: Tiju fugi 5 X. j j Im R Zro d di ; Pol d di, j, j. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

255 8.7. Apliki Bilg Komplk uuk Mk Fugi Siu Ki lh mlih di ub-bb 8.. bhw mllui prm u idi Eulr, rpri polr dri bilg komplk dlh A jθ Aco θ jai θ 8. Dri rli 8. ii ki dp mk bhw A co θ dlh bgi jθ dri bilg komplk A g ki ulik jθ A co θ R A 8. Jik rli 8. ii ki pk bgi rli uuk mk fugi iu g dlm hl ii dik bgi coiu mk puli R di ru k 8. idk prlu diulik lgi higg jθ Aco θ A 8. Rli 8. iilh pr br iuoidl mgguk bilg komplk: A di ru kiri dlh mpliudo br iuoidl, d A di ru k dlh pjg vkor pr bilg komplk cr vkor. Kr dlm pr bilg komplk cr vkor θ dlh udu r rh vkor dg umbu, mk ki dp mk bilg komplk dg mk pjg vkor d udu higg 8. mjdi θ A j A θ 8.5 Aco θ A θ 8.6 Dlm br-br brbuk iuoidl dg mliudo A, mil gg iuoidl, θ mrupk fugi wku g dp ki uli θ ω ψ ; ω dlh frkui udu dlm rdi/dik, d ψ dlh udu f iu prgr udu g udh rjdi pd. Dri 8.6 ki dp mk A co ω ψ A ω ψ A ψ 8.7 Iilh pr br iuoidl dlm for. Dlm mk br iuoidl k dlm buk for, ki mgmbil buk pri ru plig k 8.7 p mbu lgi, kr h mpliudo d udu f jlh g mmbdk u br iuoidl 9

256 dg br iuoidl g li, d prbd iu ki mi pd. Hubug r coiu d iu uu udu dlh i ω co ω π /. Olh kr iu buk for dri A i ω ψ dlh A ψ π / 8.8 Dlm lii rgki lirik, puli dlm buk for dilkuk pri cooh briku: v V co ω α i I co ω β mjdi mjdi V V α I I β Opri prkli for mjdi lbih mudh dilkuk jα jα V V α V ; V V α V j α α V V VV VV α α V V α, I I β I I β V I VI α β Pjumlh d pgurg k lbih mudh jik for-for dik dlm buk udu iku V V V α V coα ji α V α V coα ji α V V V coα V coα j V i α V i α Slju lih Alii Rgki Lirik Jilid- pd bb For d Impdi. 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

257 Bb 9 Trformi Lplc Trformi Lplc, didfiiik bgi uu igrl F f d 9. dg mrupk pubh komplk, σ jω. B bwh igri ii dlh ol g brri bhw dlm ki h miju br dg ili lbih br dri ol. Uuk iu ki mgguk fugi k gg u u uuk mk f. 9.. Trformi Lplc Mllui rformi Lplc ki mk uu fugi g mul dik bgi fugi wku,, mjdi uu fugi di m dlh pubh komplk. Trformi Lplc dri uu fugi f g didfiiik bgi F f d ki ulik dg oi : L [ f ] F f d 9. Fugi Tp. Ki lih lbih dulu fugi p f Au higg σ jω A L [ Au ] Au d A d σ jω B, dg σ >, mmbrik ili, dgk b bwh mmbrik ili A/. Jdi A L [ Au ] 9. Fugi Ekpoil. Trformi Lplc fugi kpoil brmpliudo A, iu f A u dlh L [ A u ] A u d A A 5

258 Dg >, b mmbrik ili dgk b bwh mmbrik A/. Jdi A L [ A u ] 9. Fugi Siu. Trformi Lplc fugi iu f A co ω u dlh : L [ Aco ω u ] Aco ω u d Aco ω d Dg mmfk hubug Eulr coω j ω ru k prm di mjdi jω / jω jω A jω A jω d A d A ω L Aco ω u A 9.5 ω Jdi [ ] Dg cr g m, diprolh ω L [ Ai ω u ] A 9.6 ω 9.. Tbl Trformi Lplc Mcri rformi Lplc dri bbrp di mrupk cooh bgim uu rformi dri fugi k dlm fugi dilkuk. Ki lih bhw ili p A, llu mucul bgi fkor pgli dlm pr fugi di kw. Trformi dri bbrp fugi g li rmu dlm Tbl-9.. dg mgmbil ili p A. d 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

259 Tbl-9.. Pg Trformi Lplc Pr Fugi di Kw : f Pr Fugi di Kw : L[f]F impul : δ k gg : kpoil : coiu : iu : u [ ]u [co ω] u [i ω] u coiu rdm : [ co ω] u iu rdm : [ i ω] u coiu rgr : [co ω θ] u iu rgr : rmp : rmp rdm : [i ω θ] u [ ] u [ ] u ω ω ω ω ω ω co i θ ω ω θ ω ω i θ co θ CONTOH: Crilh rformi Lplc dri buk glombg briku:. f 5co u b. f c. f 5i u u 5

260 Solui : Dg mgguk Tbl-. ki prolh : 5 5. f 5co u F 5 5 b. f 5i u F c. f u F 9.. Sif-Sif Trformi Lplc Sif Uik. Sif ii dp dik bgi briku. Jik f mmpui rformi Lplc F mk rformi blik dri F dlh f. Buki dri pr ii idk ki bh di ii. Sif ii mmudhk ki uuk mcri F dri uu fugi f d blik mcri fugi f dri uu fugi F dg mgguk bl rformi Lplc. Mcri fugi f dri uu fugi F dibu mcri rformi blik dri F, dg oi L [F] f. Hl rkhir ii k ki bh lbih lju lh mmbh if-if rformi Lplc. Sif Liir. Kr rformi Lplc dlh buh igrl, mk i brif liir. Trformi Lplc dri jumlh bbrp fugi dlh jumlh dri rformi mig-mig fugi. Jik f A f A f mk rformi Lplc- dlh F [ A f A f ] d A f d A f d 9.7 A F A F dg F d F dlh rformi Lplc dri f d f. 5 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

261 55 CONTOH:. Crilh rformi Lplc dri : u v b. Jik rformi Lplc fugi kpoil A u dlh /, crilh rformi dri v Acoω u. Solui :. u v V co b. ω ω ω ω ω ω ω ω ω A A j j A V u u A u A u A v j j j j Igri. Trformi Lplc dri igri uu fugi dp ki lih bgi briku. Milk d f f. Mk d f d f d d f F Suku prm ru k prm di k brili ol uuk kr pd, d jug k brili ol uuk kr igrl g di dlm d kurug k brili ol irvl ol. Tiggllh uku kdu ru k; jdi F d f d f F 9.8 CONTOH: Crilh rformi Lplc dri fugi rmp ru. Solui : Ki mghui bhw fugi rmp dlh igrl dri fugi k gg.

262 r u R u d u d Hil ii udh rcum dlm Tbl... d Difrii. Trformi Lplc dri uu difrii dp ki lih bgi briku. Milk df f mk d [ f ] df F d f d d Suku prm ru k brili ol uuk kr uuk, d brili f uuk. Dg dmiki dp ki ulik df f d f F f d L 9.9 CONTOH: Crilh rformi Lplc dri fugi coω dg mmdg fugi ii bgi uru dri iω. Solui : d i ω f co ω ω d ω F i ω ω Puru di dp ki kmbgk lbih lju higg ki mdpk rformi dri fugi-fugi g mrupk fugi uru g lbih iggi. ω 56 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

263 d f jik f d F F f f d f jik f d F F f f f 9. Trli di Kw. Sif rformi Lplc brk dg rli di kw ii dp dik bgi briku Jik rformi Lplc dri f dlh F, mk rformi Lplc dri fu uuk > dlh F. Hl ii dp ki lih bgi briku. Muru dfiii, rformi Lplc dri fu dlh f u d Kr u brili ol uuk < d brili u uuk >, buk igrl ii dp ki ubh b bwh r idk lgi mulik fkor u, mjdi f u d f Ki gi pubh igri dri mjdi τ dg uu hubug τ. Dg pggi ii mk d mjdi dτ d τ kik d τ kik. Prm di mjdi τ f u d f d τ τ τ f τ dτ F CONTOH: Crilh rformi Lplc dri buk glombg il pri g rgmbr di mpig ii. Solui : Modl buk glombg ii dp ki ulik bgi A f Au Au. d f 9. 57

264 Trformi Lplc- dlh : F A A A Trli di Kw. Sif mgi rli di kw dp dik bgi briku. Jik rformi Lplc dri f dlh F, mk rformi Lplc dri α f dlh F α. Buki dri pr ii dp lgug diprolh dri dfiii rformi Lplc, iu α f d f α d F α 9. Sif ii dp diguk uuk muk rformi fugi rdm jik dikhui buk rformi fugi k rdm. CONTOH: Crilh rformi Lplc dri fugi-fugi rmp rdm d iu rdm briku ii : α α. v u ; b. v coω u Solui :.Kr uuk v u F, α mk jik v u V α b. Kr uuk v coω u V, ω α α mk jik v coω u V α ω P-kl clig. Sif ii dp dik bgi : Jik rformi Lplc dri f dlh F, mk uuk > rformi dri f dlh F. 58 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

265 Buki dri if ii dp lgug diprolh dri dfiii. Dg mggi pubh mjdi τ mk rformi Lplc dri f dlh: f d f τ τ dτ F 9. Jdi, jik kl wku diprbr > mk kl frkui mgcil d blik pbil kl wku diprkcil < mk kl frkui mjdi br. Nili Awl d Nili Akhir. Sif rformi Lplc brk dg ili wl d ili khir dp dik bgi briku. Nili wl : lim f lim F Nili khir : lim f lim F Jdi ili f pd di kw wku ili wl m dg ili F pd k higg di kw. Sdgk ili f pd ili khir m dg ili F pd iik l di kw. Sif ii dp diuruk dri if difrii. CONTOH: Trformi Lplc dri uu il dlh Solui : Nili wl dlh : V 5 Crilh ili wl d ili khir dri v. lim v lim V lim 5 Nili khir dlh : lim v lim V lim 5 59

266 Tbl 9.. mmu if-if rformi Lplc g dibh di kculi if g rkhir iu kovolui. Kovolui k dibh di bgi khir dri pmbh mgi rformi blik. Tbl 9.. Sif-if Trformi Lplc Pr f Pr F L[f] liir : A f A f A F A F igri : f d F difrii : d f d df F f d F f f d f d liir : A f A f rli di : [ f ] u F f f f A F A F F rli di : f F pkl : f F ili wl : lim f lim F ili khir : lim f lim F kovolui : f f d F F 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

267 9.. Trformi Blik Briku ii ki k mmbh mgi rformi blik, iu mcri f dri uu F g dikhui. Jik F g igi dicri rformi blik d dlm bl rformi Lplc g ki pui, pkrj ki cukup mudh. Ak pi pd umum F brup rio poliomil g buk idk drh d idk llu d pg pri dlm bl. Uuk mgi hl iu, F ki urik mjdi uu pjumlh dri buk-buk g d dlm bl, higg ki k mmprolh f bgi jumlh dri bukbuk fugi drh. Dg prk li ki mmbu F mjdi rformi dri uu glombg kompoi d kliir dri rformi Lplc k mmbrik rformi blik dri F g brup jumlh dri buk-buk glombg drh. Pol d Zro. Tg pol d zro lh ki pljri di bb blum. Pd umum, rformi Lplc brbuk rio poliom m m b b b b F m m L 9. L g mig-mig poliom dp dik dlm buk fkor mjdi z z L z F K m p p L p dg K b m / d dibu fkor kl. 9.5 Akr-kr dri pmbilg dri pr F di mmbrik zro dgk kr-kr dri pbu mmbrik pol. Pol d zro dibu frkui krii kr pd ili-ili iu F mjdi ol u k-higg. CONTOH: Gmbrk digrm pol-zro dri. F A b. F b c. F 6

268 Solui :. Fugi ii mmpui pol di p zro ru. b. Fugi ii mmpui zro di. Pol dp dicri dri b pol di ± jb c. Fugi ii idk mmpui zro ru dgk pol rlk di iik l, j. jω jω jb jω jb σ σ σ Buk Umum F. Buk umum F dlh pri 9.5 iu z z L z F K m p p L p Jik fugi ii mmiliki pol g mu brbd, jdi p i p j uuk i j, mk dikk bhw F mmpui pol drh. Jik d pol g brup bilg komplk ki kk bhw fugi ii mmpui pol komplk. Jik d pol-pol g brili m ki kk bhw fugi ii mmpui pol gd. Fugi Dg Pol Sdrh. Apbil fugi riol F h mmpui pol drh, mk i dp diurik mjdi brbuk k k k F L 9.6 p p p Jdi F mrupk kombii liir dri bbrp fugi drh; ko k g brki dg ip fugi pmbgu F iu ki bu ridu. Ki ig bhw rformi blik dri mig-mig fugi drh iu brbuk k α. Dg dmiki mk rformi blik dri F mjdi 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

269 6 p p p k k k f L 9.7 Prol ki krg dlh bgim muk ridu. Uuk mcri k, ki klik kdu ru 9.6 dg p higg fkor p hilg dri ru kiri dgk ru k mjdi k dimbh uku-uku li g mu mgdug fkor p. Kmudi ki ubiuik p higg mu uku di ru k brili ol kculi k d dg dmiki diprolh ili k. Uuk mcri k, ki klik kdu ru 9.6 dg p kmudi ki ubiuik p ; dmiki ru mpi mu ili k diprolh, d rformi blik dp dicri. CONTOH: Crilh f dri fugi rformi briku. 6 c. ; b. ;. F F F Solui :. k k F ubiui k k k k F f F k k F ubiui d

270 b. k k F F d ubiui k k F d ubiui k k F f c. 6 k k k F Dg cr pri di d b ki prolh 6 k k 6 F ; k 6 f ; Fugi Dg Pol Komplk. Fugi F mrupk rio poliomil dg kofii. Jik F mmpui pol komplk g brbuk p α jβ, mk i jug hru mmpui pol li g brbuk p* α jβ; bb jik idk mk kofii poliomil rbu idk k. Jdi pol komplk dri F hrulh brpg kojug. Olh kr iu uri F hru mgdug du uku g brbuk k k * F L L 9.8 α jβ α jβ Ridu k d k* pd pol kojug jug mrupk ridu kojug bb F dlh fugi riol dg kofii riol. Ridu ii dp ki cri dg cr g m pri mcri ridu pd uri fugi dg pol drh. Ki cukup mcri lh u ridu dri pol komplk kr ridu g li mrupk kojug. 6 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

271 65 Trformi blik dri du uku dg pol komplk k brup coiu rdm. Tformi blik dri du uku pd 9.8 dlh co * β θ α βθ βθ α βθ α βθ α β α θ β α θ β α β α j j j j j j j j j j k k k k k k k k k f Jdi f dri 9.8 k brbuk : L L β θ α co k f CONTOH: Crilh rformi blik dri 8 8 F Solui : Fugi ii mmpui pol drh di, d pol komplk g dp diuk dri fkor pbu g brbuk kwdr, iu 6 j ± ± Uri dri F, pu ridu, r rformi blik dlh bgi briku k j k j k k F / / π π j j j j k j j j k

272 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 66 [ ] / co / / / / π π π π π u u u f j j j j j j Fugi Dg Pol Gd. Pd kodii ru, fugi F dp mmpui pol gd. Pguri F g dmiki ii dilkuk dg mmch fkor g mgdug pol gd dg uju uuk mdpk buk fugi dg pol drh g dp diurik pri bi. Uuk jl ki mbil uu fugi g mgdug pol gd du pol m pri briku ii. p p z K F 9.9 Dg mglurk lh u fkor g mgdug pol gd ki dpk p p z K p F 9. Bgi g didlm d kurug dri 9. mgdug pol drh higg ki dp mgurik pri bi. p k p k p p z K F 9. Ridu pd 9. dp diuk, mil k A d k B, d fkor g ki klurk ki mukk kmbli higg 9. mjdi p B p p A p B p A p F d uku prm ru k diurik lbih lju mjdi p B p k p k F 9.

273 67 Trformi blik dri 9. dlh p p p B k k f CONTOH: Tuk rformi blik dri fugi: F Solui : k k k k F k k F f F k k Kovolui. Trformi Lplc mk cr imbl blik bhw mk jik F F F f f f mk jik f f f F F F Kliir dri rformi Lplc ii idk mckup prkli. Jdi mk jik f f f F F F Mcri fugi f dri uu fugi F g mrupk hil kli du fugi g brli, mlibk if rformi Lplc g ki bu kovolui. Sif ii dp dik bgi briku.

274 jik L F F F [ F ] f f τ f τ dτ mk f τ f τ dτ 9. Ki kk bhw rformi blik dri prkli du F diprolh dg mlkuk kovolui dri kdu buk glombg g brgku. Kdu buk igrl pd 9. dibu igrl kovolui. Pdglh du fugi wku f d f. Trformi Lplc mig-mig dlh f τ τ F dτ d F f d. Jik kdu ru dri prm prm ki klik dg F k ki prolh τ F F f τ F dτ Sif rli di kw wku mk bhw τ F dlh rformi Lplc dri [ f τ ] uτ higg prm rbu dp diuli F F f τ f τ u τ ddτ Kr uuk τ > ili uτ, mk igri g brd di dlm kurug pd prm di cukup dilkuk dri mpi j, higg τ τ τ F F f f d d f τ f τ ddτ Dg mmprukrk uru igri, ki prolh 68 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

275 69 τ τ τ τ τ τ d f f d d f f F F L CONTOH: Crilh f dri F briku. c. b.. F b F F Solui :. Fugi ii ki pdg bgi prkli dri du fugi. d d d d f f f f f F F F F F dg b. Fugi ii jug mrupk prkli dri du fugi. b f f b F F F F F d d dg b b b d d d f f f b b b b b b b b

276 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 7 c. Fugi kig ii jug dp dipdg bgi prkli du fugi. d d dg d d d d f f f f f F F F F F

277 Bb Dr d Trformi Fourir Pd ku ru dijumpi kd dim pmch prol idk dp dilkuk dg mgguk rformi Lplc k pi dp dilkuk mllui rformi Fourir. Topik-opik g k ki bh briku ii mlipui: dr Fourir, rformi Fourir, if-if rformi Fourir... Dr Fourir Kofii Fourir. Suu fugi priodik dp diurik mjdi kompo-kompo iu. Pguri ii idk li dlh pr fugi priodik kdlm dr Fourir. Jik f dlh fugi priodik g mmuhi prr Dirichl, mk f dp dik bgi dr Fourir : g dp ki ulik bgi [ co ω b i ω ] f. f ω θ b co. Kofii Fourir,, d b diuk dg hubug briku. b T T T T / T / T / T / T / T / f d f co ω f i ω d d ; ; > >. Hubug. dp diprolh dri.. Milk ki mcri : ki klik. dg cokω o kmudi ki igrik r T o / mpi T o / d ki k mmprolh 7

278 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 7 ω ω ω ω ω ω / / o / / o / / o / / o o o o o o o o o co i co co co co T T T T T T T T d k b d k d k d k f Dg mgguk km igoomri i i i co co co co co α β α β β α α β α β β α mk prm di mjdi ω ω ω ω ω ω / / o / / o / / o / / o o o o o o o o o i i co co co co T T T T T T T T dd k k b d k k d k d k f Kr igrl uuk u priod dri fugi iu dlh ol, mk mu igrl di ru k prm ii brili ol kculi u iu k d k T T ω jik rjdi g co / / o o olh kr iu ω / / o o o co T T d f T Pd fugi-fugi g rig ki mui, bk dir kofiikofii Fourir- brili ol. Kd ii diuk olh kimri fugi f. Ki k mlih dlm uri briku ii... Kimri Fugi Simri Gp. Suu fugi dikk mmpui imri gp jik f f. Slh u cooh fugi g mmiliki imri gp dlh fugi coiu, coω coω. Uuk fugi mcm ii, dri ki dpk

279 7 [ ] [ ] ω ω ω ω i co d i co b f b f Klu kdu fugi ii hru m, mk hrulh b, d f mjdi [ ] ω o co f. CONTOH: Tuk dr Fourir dri buk glombg dr pul briku ii. Solui : Buk glombg ii mmiliki imri gp, mpliudo A, priod T o, lbr pul T. π π π π ω ω ω o o / / o o o / / o o o / o / / o o i i i co ; ; T T A T T A T A d A T b T AT T A Ad T T T T T T T/ T T Uuk,, 6,. gp, ; h mmpui ili uuk,, 5,. gjil. co co i o, / o o, o o A T AT T T A T AT f gjil gjil ω π ω π π Pmhm : T/ T/ v A T T o

280 Pd fugi g mmiliki imri gp, b. Olh kr iu udu f hrmoi θ b / g brri θ o. Simri Gjil. Suu fugi dikk mmpui imri gjil jik f f. Cooh fugi g mmiliki imri gjil dlh fugi iu, iω iω. Uuk fugi mcm ii, dri ki dpk f Klu fugi ii hru m dg [ co ω b i ω ] f mk hrulh [ co ω b i ω ] [ b i ω ] d f.5 CONTOH: Crilh dr Fourir dri buk glombg prgi di mpig ii. Solui: Buk glombg ii mmiliki imri gjil, mpliudo A, priod T o T. o ; ; v A A T / T b i o i o A ω d A ω d T T / A / T T co ωo co ωo Tω / o T A co π co π π Uuk gjil coπ dgk uuk gp coπ. Dg dmiki mk T 7 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

281 A b π A b π A π uuk gjil uuk gp A v ω π i o, gjil Pmhm: Pd buk glombg dg mri gjil,. Olh kr iu udu f hrmoi θ b / u θ 9 o. Simri Sgh Glombg. Suu fugi dikk mmpui imri gh glombg jik f ft o /. Fugi dg if ii idk brubh buk d ili jik diivri kmudi digr gh priod. Fugi iuω mil, jik ki ki ivrik kmudi ki gr br π k kmbli mjdi iuω. Dmiki pul hl dg fugi-fugi coiu, glombg prgi, d glombg giig. f To / [ co ω π b i ω π ] [ co ω b i ω ] Klu fugi ii hru m dg f [ co ω b i ω ] mk hrulh o d hru gjil. Hl ii brri bhw fugi ii h mmpui hrmoi gjil j. Briku ii dibrik formul uuk muk kofii Fourir pd bbrp buk glombg priodik. Buk-buk glombg g rcum diii dlh buk glombg g prm mmi mudh diprolh, higg pcri kofii Fourir mgguk hubug. dp dilkuk. 75

282 Prh Sgh Glombg: v T A / π A / π gp; b A / ; b gjil Sil ii idk imri rhdp umbu wku; olh kr iu. Prhiug,, b lbih mudh dilkuk dg mgguk rli.. Prh Glombg Puh Sil Siu: v A T A / π A / π gp; b uuk mu gjil Sil ii mmiliki imri gp higg i idk mgdug kompo iu; b uuk mu. I idk imri rhdp umbu wku olh kr iu, dg ili du kli lip dri prh gh glombg. Dmiki pul hl uuk gp brili du kli lip dri prh gh glombg. Sil Prgi: v T A b mu ; A π gjil; b gp Sil prgi g rgm-br ii mmiliki imri gjil. I idk mgdug kompo coiu; uuk mu. I imri rhdp umbu wku, jdi. 76 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

283 Dr Pul: T A v T AT / T A πt i π T b uuk mu Sil g rgmbr ii mmiliki imri gp; b uuk mu. I idk imri rhdp umbu wku, olh kr iu. Sil Sgiig: v A T 8A π b gjil; gp uuk mu Sil giig g rgmbr ii mmpui imri gp; b uuk mu. I imri rhdp umbu wku;. Sil Gigi Grgji: v A T A/ uuk mu b A π uuk mu Sil ii idk imri rhdp umbu wku; A /. I mmiliki imri gjil; uuk mu... Dr Fourir Buk Ekpoil Dr Fourir dlm buk pri. rig dibu bgi buk iu-coiu. Buk ii dp ki ubh kdlm coiu pri.. Skrg buk. k ki ubh k dlm buk kpoil dg mgguk hubug 77

284 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 78 co α α α j j. Dg mgguk rli ii mk. k mjdi θ ω θ ω θ ω θ ω θ ω co j j j j b b b b f.6 Suku kig.6 dlh pjumlh dri mpi. Jik pjumlh ii ki ubh muli dri mpi, dg pui mjdi, b mjdi b, d θ mjdi θ, mk muru. prubh ii brkib i i co co / / / / / / / / T T T T T T T T b b b d f T d f T b d f T d f T θ θ θ ω ω ω ω.7 Dg.7 ii mk.6 mjdi θ ω θ ω j j b b f.8 Suku prm dri.8 mrupk pjumlh g ki muli dri uuk mmukk bgi lh u uku pjumlh ii. Dg cr ii mk.8 dp diuli mjdi

285 79 ω ω θ j j j c b f.9 Iilh buk kpoil dr Fourir, dg c dlh kofii Fourir g mugki brup br komplk. j jb b c θ. jik ; jik dg d > θ < θ θ b b c b c. Jik d b pd. ki mukk k. k ki dpk ω / / T T j d f T jb c. d dg. ii mk.9 mjdi ω ω ω j T T j j d f T c f / / o. Prm. mujukk bhw c dlh mpliudo dri hrmoi k- d udu f hrmoi k- ii dlh c. Prm. upu. dp ki pdg bgi pgubh il priodik f mjdi uu pkrum g rdiri dri pkrum mpliudo d pkrum udu f pri lh ki kl di Bb-. Prm.9 upu. mmbrik f pbil kompoii hrmoi c dikhui. Prm. mjdi cikl bkl rformi Fourir, dgk prm. dlh rformi blik.

286 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik 8 CONTOH: Crilh kofii Fourir c dri fugi pd cooh-.. Solui : / i o o o / / o o / / o o / / o o o o o T T A j T A j T A d A T c T j T j T T j T T j ω ω ω ω ω ω ω ω.. Trformi Fourir Spkrum Koiu. Dr Fourir, g kofii dibrik olh. h brlku uuk il priodik. Sil-il priodik pri il kpoil d il k gg idk dp dirprik dg dr Fourir. Uuk mgi il-il dmiki ii ki mmrluk rformi Fourir d kop pkrum koiu. Sil priodik dipdg bgi il priodik dg priod k-higg. Jik diig bhw ω π/t, mk. mjdi ω ω ω ω ω π j T T j j T T j d f d f T f / / / /. Ki lih krg p g rjdi jik priod T diprbr. Kr ω π/t mk jik T mki br, ω k mki kcil. Bd frkui r du hrmoi g bruru, iu T π ω ω ω ω jug k mki kcil g brri uuk uu lg frkui ru jumlh hrmoi mki bk. Olh kr iu jik priod il T diprbr muju mk pkrum il mjdi pkrum koiu, ω mjdi dω prmbh frkui ifiiiiml, d ω mjdi

287 pubh koiu ω. Pjumlh pd. mjdi igrl. Jdi dg mmbu T mk. mjdi jω jω jω f f d dω F ω dω.5 π π dg Fω mrupk buh fugi frkui g bru, dmiki rup higg F jω ω f d.6 d Fω iilh rformi Fourir dri f, g diuli dg oi F [ f ] F ω Pro rformi blik dp ki lkuk mllui prm.5. F f ω CONTOH: Crilh rformi Fourir dri buk glombg pul di mpig ii. Solui : T/ T/ Buk glombg ii dlh priodik g h mmpui ili r T/ d T/, dgk uuk g li ili ol. Olh kr iu igri g dimi olh.6 cukup dilkuk r T/ d T/ j. T / T / / / A A jωt jωt jω jω F ω A d T / jω ω/ j T / i ωt / AT ωt / Ki bdigk rformi Fourir.6 F ω jω f d dg kofii Fourir A v 8

288 jb T / jω c f d.7 T T / Kofii Fourir c mrupk pkrum il priodik dg priod T g rdiri dri pkrum mpliudo c d pkrum udu f c, d kdu mrupk pkrum gri idk koiu, mmiliki ili pd frkui-frkui ru g dikri. Smr iu rformi Fourir Fω diprolh dg mgmbgk priod il mjdi k-higg gu mckup il priodik g ki ggp bgi il priodik g priod k-higg. Fkor /T pd c diklurk uuk mmprolh Fω g mrupk pkrum koiu, bik pkrum mpliudo Fjω mupu pkrum udu f Fω. CONTOH: Gmbrk pkrum mpliudo dri il pd cooh blum. Solui : Spkrum mpliudo il priodik ii mrupk pkrum koiu Fjω. F ω Pmhm: i ωt / AT ωt / -5 6π T π T π T Fω π π 6π ω T T T Sil ii mmpui imri gp. Sudu f hrmoi dlh ol higg pkrum udu f idk digmbrk. Prhik pul bhw Fω mmpui pkrum di du ii, ω poiif mupu gif; ili ol rjdi jik iωt/ iu pd ω ±kπ/t k,,, ; ili mkimum rjdi pd ω, iu pd wku ili iωt//ωt/. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

289 CONTOH: Crilh rformi Fourir dri f [A α ] u d gmbrk pkrum mpliudo d f. Solui : α jω α jω F ω A u d A d α jω A A uuk α > α jω α jω Fω 5 A/α F ω α A ω θ ω F jω θω 9 ω α 9 o ω 9 o Pmhm: Uuk α <, idk d rformi Fourir- kr igri mjdi idk kovrg... Trformi Blik Pd rformi Fourir rformi blik rig dilkuk dg mgplikik rli forml iu prm.5. Hl ii dp dimgri kr pliki formul rbu rlif mudh dilkuk CONTOH: Crilh f dri F ω πδ ω 8

290 Solui: f Pmhm : π jω πδ ω dω α δ ω dω α π jω πδ ω dω Fugi πδω dlh fugi di kw frkui g h mmpui ili di ω br π. Olh kr iu jω jug h mmpui ili di ω br j. Kr fugi h mmpui ili di ω mk igrl dri mpi cukup dilkuk dri mpi, iu diki di bwh d di ω. Cooh ii mujukk bhw rformi Fourir dri il rh brmpliudo dlh πδω. CONTOH: Crilh f dri Solui : f F jω πδ ω α jω πδ ω α dω π jα α jα δ ω α dω α Pmhm : α jω πδ ω α dω π α Fugi πδωα dlh fugi di kw frkui g h mmpui ili di ωα br π. Olh kr iu jω jug h mmpui ili di ωα br jα. Kr fugi h mmpui ili di ωα mk igrl dri mpi cukup dilkuk dri α mpi α, iu diki di bwh d di ωα. 8 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

291 CONTOH: Crilh f dri Solui : πa F ω α α [ u ω α u ω ] πa jω f [ u ω α u ω α ] dω π α α jω πa jω A [ ] dω π α α j α jα jα jα jα A A i α A α j α j α Pmhm: Dlm ol ii Fω mmpui ili pd lg α<ω<α olh kr iu jω jug mmpui ili pd lg frkui ii jug; dg dmiki igri cukup dilkuk r α d α. Hil rformi blik f dik dlm buk i/ g brili jik d brili jik. Jdi f mcpi ili mkimum pd d muju ol jik muju bik k rh poiif mupu gif. Kurv Fω d f digmbrk di bwh ii. f Fω A β β ω 85

292 .5. Dri Trformi Lplc k Trformi Fourir Uuk bbrp il, rdp hubug drh r rformi Fourir d rformi Lplc. Sbgim ki khui, rformi Lplc didfiiik mllui 9. bgi F f d.8 dg σ jω dlh pubh frkui komplk. B bwh igri dlh ol, ri fugi f hrulh kul. Jik f mmuhi prr Dirichl mk igri rbu di k p kovrg jik σ, d formuli rformi Lplc ii mjdi jω F f d.9 Smr iu uuk il kul igri rformi Fourir cukup dilkuk dri ol, higg rformi Fourir uuk il kul mjdi jω F ω f d Buk. m br dg.9, higg ki dp impulk bhw. uuk il f kul d dp di - igri F ω F σ brlku. Prr dp di-igri pd hubug. dp dipuhi jik f mmpui duri g rb u cp muru muju ol higg igri f dri k kovrg. Ii brri bhw pol-pol dri F hru brd di blh kiri umbu imjir. Jik prr-prr rbu di dipuhi, pcri rformi blik dri Fω dp pul dilkuk dg mod rformi blik Lplc. CONTOH: Dg mgguk mod rformi Lplc crilh rformi Fourir dri fugi-fugi briku ggp α, β >. 86 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

293 Solui:. f A b. f c f δ A α u α [ i β] u α. f A u fugi kul d dp di - igri A F pol p α di kiri umbu img α F ω jω α b. f δ fugi kul d dp di - igri F F ω α [ i β] c. f A u fugi kul, dp A F pol p α ± jβ α β A F ω jω α β α β ω jαω di - igri di kiri umbu im CONTOH: Crilh f dri F ω jω jω Solui : Jik ki gi jω dg ki dpk F Pol dri fugi ii dlh p d p, kdu di blh kiri umbu imjir. 87

294 k k F k ; F Trformi blik dri Fω dlh : k f [ ] u.6. Sif-Sif Trformi Fourir Kliir. Spri hl rformi Lplc, if um rformi Fourir dlh kliir. Jik mk : : F [ f ] F ω d F[ f ] F [ Af Bf ] AF ω BF ω F CONTOH: Crilh rformi Fourir dri v coβ. Solui: ω. Fugi ii dlh o-kul; olh kr iu mod rformi Lplc idk dp di rpk. Fugi coiu ii ki ulik dlm buk kpoil. jβ jβ jβ jβ [ coβ ] F F[ ] F[ ] F Dri cooh.8. ki khui bhw F πδ ω β j ω F Jdi [ coβ] πδ ω β πδ ω β 88 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

295 Difrii. Sif ii dik bgi briku Prm.5 mk df F jωf ω. d jω f ω ω π F d df d ω π F d d j ω ω π j F df F jωf ω d jω ω dω π dω Igri. Sif ii dik bgi briku. d d jω F ω dω F ω F f d πf δ ω. jω Suku kdu ru k. mrupk kompo rh jik kir d. Fkor F rki dg f; jik ω digi dg ol k ki dpk F f d CONTOH: Crilh rformi Fourir dri f Au. Solui: Mod rformi Lplc idk dp dirpk uuk fugi k gg. Dri cooh.b ki dpk bhw F [ δ ]. Kr fugi k gg dlh igrl dri fugi impul, ki dp mrpk hbug. rbu di. F j ω [ u ] F δ d πδ ω 89

296 Pmblik. Pmblik uu fugi f dlh mggi dg. Jik ki mmblikk uu fugi, mk uru kjdi dlm fugi g bru brlw dg uru kjdi pd fugi mul. Trformi Fourir dri fugi g diblikk m dg kblik dri rformi Fourir fugi mul. Scr forml hl ii dp diulik bgi Jik Muru.6 F [ f ] F [ f ] F ω mk F[ f ] F ω F.5 f [ f ] F[ f τ ] jω d ; f τ f τ Milk jωτ jωτ dτ τ dτ F ω Sif pmblik ii dp ki mfk uuk mcri rformi Fourir dri fugi igum d fugi kpoil du ii. CONTOH: Crilh rformi Fourir dri fugi igum d kpoil du ii briku ii. u Solui : v u igum : g u u α u v F mk jω Cooh.. mmbrik [ u ] πδ ω α u kpoil du ii : α α u α u F [ g ] F[ u u ] jω 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

297 α F u mk Cooh.. mmbrik [ ] α jω α [ ] [ ] α α F F u u α jω α j ω α α Kompo N d Imjir dri Fω. Pd umum rformi Fourir dri f, Fω, brup fugi komplk g dp ki ulik bgi dg F ω A f jω d A ω jb ω F ω f coω d j j θ ω ω f iω d ω f co ω d ; B ω f i ω d.6 B ω F ω A ω B ω ; θ ω.7 A ω Jik f fugi, mk dri.6 d.7 dp ki impulk bhw. Kompo riil dri Fω mrupk fugi gp, kr Aω Aω.. Kompo imjir Fω mrupk fugi gjil, kr Bω Bω.. Fω mrupk fugi gp, kr Fω Fω.. Sudu f θω mrupk fugi gjil, kr θω θω. 5. Kimpul d mgkibk : kblik Fω dlh kojug-, Fω Aω jbω F * ω. 6. Kimpul 5 mgkibk : Fω Fω Fω F * ω Fω. 7. Jik f fugi gp, mk Bω, g brri Fω riil. 9

298 8. Jik f fugi gjil, mk Aω, g brri Fω imjir. Kimri. Sif ii dik cr umum bgi briku. Jik [ f ] F ω mk F[ F ] π f ω F.8 Sif ii dp diuruk dri formuli rformi blik. jω jω π f F ω dω π f F ω dω jω Jik d ω diprukrk mk : π f ω F dω Prgr Wku. Sif ii dik bgi briku. Jik jωt [ f ] F ω mk F[ f T ] F ω F.9 Sif ii mudh diuruk dri dfiii. Prgr Frkui. Sif ii dik bgi briku. [ ] jβ F ω f mk F [ F ω β ] f Jik F. Sif ii jug mudh diuruk dri dfiii. Pkl. Sif ii dik bgi briku. ω Jik F [ f ] F ω mk F[ f ] F. Tbl: Tbl-. briku ii mmu pg rformi Fourir dgk if-if rformi Fourir rmu dlm Tbl-.. 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

299 Tbl-.. Pg rformi Fourir. Sil f Fω Impul δ Sil rh ko π δω Fugi k gg u πδ ω jω Sigum g Epoil kul α u Ekpoil du ii α Ekpoil komplk jω α j α ω α ω j β π δ ω β Koiu coβ π [ δ ω β δ ω β ] Siu iβ j π [ δ ω β δ ω β ] Tbl-.. Sif-if rformi Fourir. Sif Kw Wku Kw Frkui Sil f Fω Kliir A f B f AF ω BF ω Difrii Igri df jωfω d F ω f d π F δ ω jω Kblik f Fω Simri F π f ω Prgr wku f T jωt Fω Prgr frkui j β f Fω β Pkl f ω F 9

300 Sol-Sol Dr Fourir Buk Siu-Coiu... Tuk dr Fourir dri fugi g digmbrk briku ii. b. Crilh kofii komplk dr v m 5V. 5V v m V b. v m 5V c. v 5V d. v m m V. 5V 9 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

301 Trformi Fourir. Crilh rformi Fourir dri buk-buk glombg briku: A T. v [ u u T ] b. π T T v Aco u u T A c. π T T v co u u T d. v u. v g 6u f. v [ u g ] δ g. v u u. Tuk rformi blik dri fugi-fugi briku:. F ω π α πa β α ω b. F ω [ u ω β u ω β ] c. d.. F ω F ω F ω jω jω 5 jω jω jω 5 ω jω jω 5 f. F ω jω jω jω 5 95

302 g. j5ω F ω jω 5 jω 5 h. i. j. F ω F ω F ω j5ω jω 5 jω 5 5 jω jω 5 jω 5 5δ ω ω jω 5 k. l. ω F ω π δ ω π δ ω j F ω jω ω m. F ω π δ ω jω jω jω. F ω π δ ω ω o. F ω π δ ω π δ ω π δ ω 96 Sudro Sudirhm, Pilih Topik Mmik

303 Dfr Puk. Gorg B Thom, Clculu Ad Alic Gomr, ddio Wl, Erwi Krzig, Advcd Egirig Mhmic, Joh Wil & So, Ic, D.W. Jord, P. Smih, Mhmicl Tchiqu, Oford U Pr, rd diio,. Sudro Sudirhm: Alii Rgki Lirik, Prbi ITB,. 5. Sudro Sudirhm, Mgl Sif Mril, Drpublic, Bdug,. 6. Sudro Sudirhm: Alii Rgki Lirik Jilid-, Drpublic, Bdug,. 7. Sudro Sudirhm: Alii Rgki Lirik Jilid-, Drpublic, Bdug,. 8. Sudro Sudirhm: Alii Rgki Lirik Jilid-, Drpublic, Bdug,. Biod Puli 97

304 Biod Puli Nm: Sudro Sudirhm Lhir: 6 Juli 9, di Blor. Iri: Nig Uri Ak: Arg Aridrm, Ari Ajidrm. Pdidik & Pkrj: 97 : Tkik Elkro, Iiu Tkologi Bdug. 98 : DEA, l ENSEIHT, INPT, Prci. 985 : Dokor, l ENSEIHT, INPT, Prci. 978 : Do Tkik Elkro, ITB. Triig & Pglm li: 97 : TERC, UNSW, Aurli; : Brc Idoi PT, Jkr; 979 : Elcricié d Frc, Prci; 98 : Cour d E, Grobl, Prci; 99 : Toko Iiu of Tcholog, Toko, Jpg; 5 : Ai Iiu of Tcholog, Bgkok, Thild; 5 9 : Tg Ahli, Dw Komiri PT PLN Prro; 6 : Komiri PT EU ITB. 98 Biod Puli