PROFIL KESALAHAN SISWA SMP DALAM MENYELESAIKAN OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

Transkripsi

1 PROFIL KESALAHAN SISWA SMP DALAM MENYELESAIKAN OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT Lailatul Badriyah 1), Abdur Rahman As ari 2), Hery Susanto 3) Mahasiswa Pascasarjana Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang 1) Dosen Pascasarjana Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang 2)3) Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk mendiskripsikan jenis-jenis kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat. Identifikasi kesalahan merujuk pada jenis kesalahan yang dikembangkan oleh Nolthing. Deskripsi jenis-jenis kesalahan siswa dijabarkan dalam profil kesalahan siswa. Paper and pencil test yang terdiri dari 7 soal operasi hitung bilangan bulat diberikan kepada 41 siswa kelas VII SMP. Berdasarkan analisis jawaban siswa, diperoleh 59% siswa melakukan Careless (Ca) ketika menyelesaikan operasi pengurangan dua bilangan bulat negatif, 83% siswa melakukan (Co) ketika menyelesaikan operasi campuran beberapa bilangan bulat dan 39% siswa melakukan Careless dan ( Ca and Co) ketika menyelesaikan operasi pengurangan beberapa bilangan bulat negatif. Kata kunci: Operasi Hitung Bilangan Bulat, Profil Kesalahan Siswa, Jenis-jenis Kesalahan Siswa PENDAHULUAN Bilangan merupakan konsep utama dalam pembelajaran matematika. NCTM (2000:31) menegaskan pentingnya konsep bilangan dengan menyebutkan Number was pervades all areas of mathematics. Hal ini menyebabkan konsep bilangan diperkenalkan dan diajarkan kepada siswa sejak dini. Salah-satu konsep bilangan yang diajarkan adalah konsep bilangan bulat. Pada pendidikan dasar, menjumlahkan dan mengurangkan bilangan bulat merupakan salah satu standart kompetensi yang harus dikuasai siswa (Permendiknas, 2006: 355). Pada jenjang berikutnya, konsep bilangan bulat diajarkan kembali di kelas VII SMP dengan standart kompetensi, memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah (Permendiknas, 2006: 360). Berbagai penelitian menunjukkan sangat penting bagi siswa untuk menguasai konsep bilangan bulat. Nool (2012) mengungkapkan bahwa siswa yang menguasai materi bilangan bulat, memiliki kepercayaan diri dalam mempelajari matematika. Konsep bilangan bulat juga merupakan modal utama bagi siswa untuk memahami konsep-konsep pada jenjang selanjutnya seperti aritmatika (Cox, 1974; Akyüz, dkk, 2012: 279) dan aljabar (Liebenberg, 1997; Ayres, 2001). Jika siswa tidak menguasai konsep bilangan bulat, maka siswa akan mengalami kesulitan dalam pembelajaran matematika pada jenjang selanjutnya (Muslimi, dkk. 2012). Clements dan Ellerton (1995) berpendapat bahwa kemampuan dan pemahaman siswa terhadap bilangan bulat dapat diukur dan dievaluasi dengan berbagai cara, salah satunya adalah penilaian tertulis (paper and pencil test). Penilaian tertulis dilakukan dengan memberikan sejumlah soal kepada siswa, sehingga siswa dapat menyelesaikan soal tersebut dengan menuliskan jawaban soal sesuai dengan kompetensi yang siswa miliki. Guru dapat mengevaluasi dan menganalisis jawaban siswa, sehingga guru dapat menarik kesimpulan mengenai kemampuan siswa dan dapat melakukan tindak lanjut yang sesuai (Thomson & Kaur, 2011: 30). 485

2 Penelitian ini ditujukan untuk mengetahui, menganalisis dan mendiskripsikan jenis-jenis kesalahan siswa dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat serta merumuskannya ke dalam profil kesalahan siswa. Profil kesalahan merupakan deskripsi tertulis mengenai jenis jenis kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal operasi hitung bilangan bulat. Jenis jenis kesalahan siswa pada penelitian ini dikelompokkan berdasarkan jenis-jenis kesalahan siswa yang dikemukakan oleh Nolting (2012: ). Namun karena keterbatasan peneliti, maka jenis kesalahan dikelompokkan menjadi 3 jenis yaitu: 1. Careless atau kesalahan kecerobohan yaitu kesalahan yang disebabkan kecerobohan siswa ketika menyelesaikan soal, kesalahan kecerobohan dapat berupa: keceroboh dalam mengoperasikan algoritma, kecerobohan dalam menyederhanakan persamaan, kecerobohan menuliskan hasil atau jawaban soal dan lain-lain, 2. atau kesalahan konsep yaitu kesalahan yang dilakukan siswa ketika siswa tidak memahami sifat, konsep, definisi atau prinsip matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal, 3. dan Careless (Ca and Co) yaitu kesalahan siswa yang berkaitan dengan ketelitian dan penggunaan konsep bilangan bulat dalam menyelesaikan soal. METODE Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dengan pendekatan kualitatif, yaitu penelitian yang bertujuan untuk memahami secara menyeluruh, kejadian yang dialami oleh subjek penelitian seperti perilaku, pola pikir, motivasi, tindakan dan lain-lain dalam bentuk deskripsi kata-kata dan bahasa (Moleong, 2012: 6). Adapun bentuk penelitian ini adalah studi kasus. Sudjana (2011) menyatakan studi kasus pada dasarnya mempelajari secara mendalam sesuatu yang mempunyai kasus tertentu. Subjek dalam penelitian ini adalah 41 siswa kelas VII SMP pada semester 2 tahun ajar di Kabupaten Bangkalan. Subjek penelitian dipilih dan ditentukan dengan pertimbangan bahwa subjek sudah memperoleh pembelajaran dengan kompetensi operasi hitung bilangan bulat di semester sebelumnya, peneliti juga berkoordinasi dengan guru bidang studi matematika kelas VII tersebut. Teknik pengumpul data yang digunakan dalam penelitian ini adalah teknik tes tertulis (paper and pencil test), data diambil dari hasil tes berupa data hasil jawaban siswa. Soal yang diberikan terdiri dari 7 item soal operasi hitung bilangan bulat, yang ditujukan untuk menganalisis jenis kesalahan yang dilakukan subjek penelitian dalam menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Tipe soal tes yang digunakan dalam penelitian ini mengadaptasi tipe soal pada penelitian Hérold (2014). Item soal tes terdiri dari 3 soal operasi jumlah, 2 soal operasi kurang dan 2 soal operasi hitung campuran. Dari hasil jawaban siswa, selanjutnya dilakukan analisis terhadap langkah-langkah penyelesaian soal yang dituliskan siswa pada lembar jawaban. Analisis dilakukan untuk mengetahui apakah terdapat kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal yang diberikan, serta untuk mengetahui jenis-jenis kesalahan yang dilakukan siswa. Untuk memudahkan peneliti menganalisis dan mendeskripsikan jenis-jenis kesalahan siswa, maka, peneliti merumuskan indikator masing- masing jenis kesalahan yaitu sebagai berikut: 1. Careless (Ca) yaitu ketika siswa melakukan kesalahan dengan tidak berhati-hati, atau tidak teliti dalam menuliskan kembali komponen-komponen soal yang diberikan sebelum menyelesaikan soal tersebut. 2. (Co) yaitu ketika siswa melakukan kesalahan dalam mengoperasikan bilangan bulat, seperti: kesalahan dalam operasi penjumlahan bilangan bulat, kesalahan dalam operasi pengurangan bilangan bulat dan kesalahan dalam operasi campuran bilangan bulat. 3. and Careless (Ca and Co) yaitu ketika siswa melakukan kesalahan dengan tidak teliti menuliskan kembali soal yang diberikan kemudian melakukan kesalahan 486

3 dalam operasi hitung bilangan bulat. Setelah proses pengumpulan data, proses reduksi data atau memilah milah data dilakukan untuk menghindari penumpukan data atau informasi yang sama dari siswa. Reduksi data dilakukan dengan cara menghitung jumlah siswa yang menjawab benar dan menjawab salah pada tiap butir soal. Data yang dipakai hanya jawaban siswa yang salah. Kemudian jawaban siswa yang salah disortir dan diseleksi kembali dengan menganalisis cara siswa menjawab. Cara atau model jawaban siswa yang memiliki kesamaan hanya akan diwakilkan satu saja dari jawaban tersebut. Data hasil reduksi disajikan dengan mendeskripsikan profil kesalahan yang dilakukan siswa. HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis dilakukan pada lembar jawaban siswa yang berisi langkah kerja siswa dalam menyelesaikan paper and pencil test. Fokus utama pada proses analisis adalah mengidentifikasi kesalahan dan jenis-jenis kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan setiap item tes yang diberikan. Dari hasil analisis lembar jawaban siswa, diketahui jumlah dan persentase jumlah siswa yang melakukan kesalahan serta jenis-jenis kesalahannya. Persentase jumlah siswa yang melakukan kesalahan terhadap masing-masing item soal di paparkan sebagai berikut: Tabel 1. Persentase Siswa No Soal Benar N = 41 Salah N = 41 Tidak Menjawab N = 41 Benar Persentase Klasikal Salah Tidak Menjawab 1 (-19) % 71% 0% 2 (-15) (-8) % 76% 2% % 2% 0% 4 (-3) + (-10) + (-9) % 80% 0% 5 (-11) (-7) (-21) % 85% 0% 6 (-9) + 8 (-3) % 80% 0% (-7) 6 + (-8) % 83% 2% Tabel 1 menunjukkan bahwa masih banyak siswa yang melakukan kesalahan dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat. Persentase kesalahan siswa berkisar antara 5% - 85%. Jumlah siswa yang melakukan kesalahan terbanyak adalah pada pengerjaan soal 5 yaitu sebanyak 35 siswa, ini menunjukkan bahwa item soal 5 yang berupa operasi pengurangan bilangan bulat negatif memiliki beban kognitif yang berat bagi siswa. Beban kognitif muncul akibat penggunaan dua fungsi yang berbeda dari lambang - pada soal tersebut, yaitu sebagai lambang bilangan negatif dan sebagai lambang operasi pengurangan (Liebenberg, 1997 dan Gallardo, 2003). Herscovics dan Linchevski (1995), Ayres (2001) dan Gallardo (2003) mengungkapkan bahwa operasi pengurangan yang melibatkan bilangan bulat negatif memberikan kesulitan tersendiri bagi siswa dalam menyelesaikan masalah matematis seperti pada materi aritmatika dan aljabar. Banyaknya siswa yang melakukan kesalahan dalam mengoperasikan bilangan bulat terutama pada operasi hitung bilangan bulat yang melibatkan bilangan bulat negatif, mengindikasikan bahwa sebagian besar siswa belum memahami dan menguasai konsep operasi hitung bilangan bulat negatif (Liebenberg, 1997). Maka perlu diperhatikan dalam mempelajari konsep bilangan bulat, siswa harus memahami perbedaan antara lambang bilangan dan lambang operasi bilangan (Gallardo, 1995), karena keduanya memiliki fungsi dan sifat yang berbeda. Berdasarkan hasil analisis kesalahan siswa, diperoleh 3 jenis kesalahan yaitu: Careless (Ca), (Co) dan kombinasi dari kedua jenis kesalahan Careless dan (Ca and Co). Persentase jumlah siswa pada masing-masing jenis kesalahan 487

4 dijabarkan dalam tabel 2. Tabel 2. Persentase Jenis Kesalahan Siswa Jumlah siswa yang melakukan kesalahan Persentase siswa yang melakukan kesalahan Soal Careless (Ca) (Co) Careless and error ( Ca and Co) Careless (Ca) (Co) Careless and error ( Ca and Co) 1 (-19) % 2% 15% 2 (-15) (-8) % 7% 10% % 0% 0% 4 (-3) + (-10) + (-9) % 12% 32% 5 (-11) (-7) (-21) % 24% 39% 6 (-9) + 8 (-3) % 10% 34% (-7) 6 + (-8) % 83% 0% Pada tabel 2, terlihat bahwa 59% siswa melakukan Careless (Ca) ketika menyelesaikan operasi hitung pada item soal 2 yang berupa soal operasi pengurangan dua bilangan bulat sejenis ( dua bilangan negatif). Nolting (2012) menjelaskan bahwa, semua siswa berpeluang melakukan Careless (Ca) dan kesalahan Jenis ini dapat dengan mudah kita temukan ketika mengulas hasil pekerjaan siswa dalam menyelesaikan suatu soal. Bentuk Careless (Ca) yang dilakukan siswa adalah: (1) ceroboh menuliskan kembali soal sebelum menyelesaikan soal tersebut, seperti mengganti lambang operasi hitung dari + (lambang operasi penjumlahan) menjadi - (lambang operasi pengurangan) atau sebaliknya, mengganti lambang bilangan dari bilangan positif menjadi bilangan negatif atau sebaliknya dan mengganti bilangan yang terdapat pada soal. (2) ceroboh menuliskan lambang bilangan pada jawaban. Gambar 1. Item Soal 2 oleh Siswa A Careless (Ca) yang dilakukan siswa, dapat kita amati dari runtutan jawaban yang diberikan oleh siswa tersebut. Gambar 1 menunjukkan bagaimana siswa A melakukan Careless (Ca) dengan salah menuliskan kembali bilangan yang terdapat dalam soal, bilangan yang seharusnya dia operasikan adalah bilangan (-15) namun dia menuliskan kembali bilangan tersebut menjadi 15 sehingga jawaban yang dia berikan tidak tepat untuk menyelesaikan soal tersebut. Ini menunjukkan kecerobohan siswa dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat. Liebenberg (1997) menyatakan bahwa siswa yang kurang memahami operasi hitung bilangan bulat seringkali mengabaikan lambang - pada bilangan negatif sehingga siswa menuliskannya sebagai bilangan positif kemudian mengoperasikannya, akibatnya siswa memberikan jawaban yang tidak tepat untuk soal yang diberikan. Young dan Booth (2015:41) menyebutkan Children s magnitude knowledge, or representations of negative numbers, are less well understood. Hérold (2014) dan Willis (2010:54) menambahakan, rendahnya pemahaman dan pengetahuan siswa terhadap prosedur, sifat dan konsep bilangan bulat dapat menyebabkan siswa mengalami kesulitan serta melakukan kesalahan dalam menyelesaikan suatu soal. Kesalahan yang dilakukan siswa ketika siswa tidak memahami sifat, konsep, definisi atau prinsip matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal disebut (Nolting, 2012:117). Analisis terhadap kesalahan 488

5 siswa menunjukkan bahwa 83% siswa melakukan (Co) ketika menyelesaikan soal operasi hitung campuran bilangan bulat (item soal 7). Ini menunjukkan bahwa banyak siswa yang tidak memahami dan menguasai konsep bilangan bulat. Terdapat 5 bentuk (Co) yang dilakukan siswa yaitu: (1) kesalahan dalam menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat ( a + b atau (-a) + (-b)), (2) kesalahan dalam menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat berbeda jenis ((-a) + b), (3) kesalahan dalam menyelesaikan operasi pengurangan bilangan bulat sejenis (a b, untuk a < b atau (-a) (-b)), (4) kesalahan dalam menyelesaikan operasi pengurangan bilangan bulat berbeda jenis ((-a) - b) atau (a (-b)), dan (5) kesalahan dalam menyelesaikan operasi hitung campuran bilangan bulat. Gambar 2. Item Soal 7 oleh Siswa B Pada jawaban item soal 7, siswa B melakukan (Co) dengan memberikan hasil operasi yang tidak tepat. Pada operasi tambah 10 dan (-7), siswa B memberikan jawban 17, hal ini menunjukkan siswa B tidak memahami aturan tambah antar bilangan positif dan bilangan negatif. Kemudian siswa B kembali melakukan (Co) dengan menuliskan (-21) sebagai hasil pengurangan 6 dari (-17), hal ini menunjukkan bahwa siswa B juga tidak memahami aturan pengurangan bilangan positif dari bilangan negatif, selanjutnya ketidakpahaman siswa B terhadap aturan penjumlahan antara bilangan negatif dan bilangan positif di tunjukkan dengan kesalahan yang dia lakukan dengan menuliskan 29 sebagai hasil dari (-21) + 8. Careless dan dapat dilakukan siswa ketika menyelesaikan suatu soal, hal ini terlihat pada tabel 2 bahwa persentase jumlah siswa yang melakukan kesalahan kombinasi kedua kesalahan tersebut atau Careless dan ( Ca and Co) sebesar 39%, yaitu ketika siswa menyelesaikan item soal 5 berupa soal operasi pengurangan bilangan bulat sejenis. Gambar 3. Soal 5 oleh Siswa C Gambar 3 menunjukkan kesalahan Careless dan ( Ca and Co) yang dilakukan siswa C. Careless (Ce) atau kecerobohan siswa lakukan dengan menuliskan kembali bilangan yang terdapat pada soal pada tahapan jawaban yang dia berikan, bilangan (- 21) dia tuliskan kembali menjadi (-11) hal ini mempengaruhi hasil atau jawaban yang dia berikan selanjutnya. Kesalahan (Co) dilakukan siswa dengan menuliskan 18 sebagai hasil operasi kurang antara (-11) dan (-7). Banyaknya siswa yang melakukan kesalahan jenis ini menunjukkan bahwa masih banyak siswa yang ceroboh dan juga belum memahami konsep bilangan bulat negatif yang dapat digunakan untuk menentukan jawaban yang sesuai dengan soal yang diberikan. KESIMPULAN DAN SARAN Terdapat tiga jenis kesalahan siswa dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat yaitu Careless (Ca), (Co) dan kombinasi dari kedua jenis kesalahan Careless dan (Ca and Co). Persentase tertinggi dari jumlah siswa yang melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal operasi hitung bilangan bulat adalah sebesar 83% ( 34 siswa ). Jenis kesalahan yang dilakukan adalah (Co) yaitu kesalahan 489

6 yang dilakukan siswa ketika siswa tidak memahami aturan dan prinsip operasi hitung bilangan bulat yang dapat digunakan dalam menyelesaikan soal. Kesalahan konsep dilakukan siswa ketika menyelesaikan operasi yang melibatkan operasi kurang dan tambah bilangan bulat positif maupun negatif. Ini menunjukkan bahwa masih banyak siswa yang belum menguasai dan memahami konsep bilangan bulat. Persentase jumlah siswa yang melakukan Careless (Ca) adalah sebesar 59% (24 siswa). Kesalahan keceobohan merupakan kesalahan yang dilakukan siswa ketika siswa tidak hati-hati atau tidak teliti dalam menuliskan kembali komponen-komponen soal sebelum mereka menyelesaikan soal tersebut. Ini menyebabkan siswa tidak dapat memberikan jawaban yang tepat untuk masalah yang diberikan. Careless (Ca) dilakukan siswa ketika menyelesaikan soal operasi pengurangan dua bilangan bulat sejenis ( dua bilangan negatif). Sebanyak 39% (16 siswa) melakukan kesalahan jenis ke-3 yaitu Careless dan (Ca and Co). Kesalahan kombinasi antara kecerobohan dan kesalahan konsep dilakukan siswa ketika siswa menyelesaikan soal operasi pengurangan bilangan bulat sejenis. Konsep bilangan bulat merupakan landasan yang harus dimiliki siswa sebelum mempelajari materi matematika di jenjang selanjutnya, sehingga menjadi modal utama bagi siswa untuk menyelesaikan masalah matematis yang siswa hadapi di sekolah maupun di lingkungannya. Penting bagi guru untuk membantu siswa dalam memahami dan menguasai konsep, sifat dan prosedur yang terkait dengan bilangan bulat agar mereka tidak melakukan kesalahan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan penggunaan operasi hitung bilangan bulat dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Selayaknya guru mulai mengambil langkah dengan cara menciptakan inovasi pembelajaran matematika pada materi pokok bilangan bulat untuk meningkatkan pemahaman siswa terhadap konsep bilangan bulat. Guru juga harus mampu mempersiapkan, menyediakan dan menciptakan aktivitas serta pengalaman belajar yang dapat meningkatkan pemahaman konsep bilangan bulat. Analisis dan refleksi terhadap kesalahan siswa dalam menyelesaikan suatu masalah juga dapat dilakukan, agar guru dapat mengetahui kesalahan yang kerap kali dilakukan siswa serta dapat menentukan tindak lanjut yang sesuai, sehingga guru dapat memotivasi dan mendukung siswa untuk memperbaiki atau menghindari kesalahan dalam menyelesaikan soal. Jenis-jenis kesalahan yang ditemukan dalam penelitian ini juga harus dikaji lebih lanjut agar dapat ditentukan tindak lanjut yang tepat bagi masing-masing jenis kesalahan. DAFTAR RUJUKAN Akyüz, D., Stephan, M., & Dixon, J. K The Role of the Teacher in Supporting Imagery in Understanding Integers. Education and Science, 37(163): Ayres, P., L Systematic Mathematical Errors and Cognitive Load. Contemporary Educational Psychology, 26: Clements & Ellerton Assessing the Effectiveness of Pencil-and-Paper Tests for School Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 27(1): Cox, L. S Analysis, Classification, and Frequency of Systematic Error Computational Patterns in the Addition,Subtraction, Multiplication, and Division Vertical Algorithms for Grades 2-6 and Special Education Classes. Working Paper, Bureau of Child Research, University of Kansas, (Submitted For publication). Gallardo, A Negative Numbers in the Teaching of Arithmetic. Repercussions in Elementary Algebra. A Paper Presented at the SeventeenthAnnual Meeting for the Psychology of Mathematics Education (North American Chapter). Oktober Gallardo, A "It is possible to die before being born". Negative integers subtraction: A case study. In N. A. Pateman, B. J. Dougherty, & J. T. Zilliox (Eds.), Proceedings of the 490

7 Joint Meeting of PME 27 and PME-NA 25 (2: ). Honolulu, HI. Hérold, J A Cognitive Analysis of Students' Activity: An Example in Mathematics. Australian Journal of Teacher Education, 39(1): Herscovics, N., & Linchevski, L A cognitive gap between arithmetic and algebra. (Online) diakses Liebenberg, R The usefulness of an intensive diagnostic test. In P. Kelsall & M. de Villiers (Eds.), Proceedings of the Third National Congress of the Association for Mathematics Education of South Africa: 2: Durban: Natal University. Moleong, L. J Metodologi Penelitian Kuaitatif:Edisi Revisi. Bandung: PT Remaja Rosdakarya. Muslimin., Putri, R.I., & Somakin Desain Pembelajaran Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Permainan Tradisional Congklak Berbasis Pendidikan Matematika Realistik Indonesia di Kelas IV Sekolah Dasar. Jurnal Kreano, 3(2): NCTM Principle and Standart for School Mathematics. USA: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. Nolting, P., D Math Study Skills Workbook, Fourth Edition. Canada: Nelson Education, Ltd. Nool, N. L Effectiveness of an Improvised Abacus in Teaching Addition of Integers. International Conference on Education and Management Innovation (IPEDR). vol.30. Singapore: IACSIT Press. Permendiknas Standar Kompetensi Lulusan untuk Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta: Kemendikbud. Sudjana, N Penilaian Hasil Proses Belajar Mengajar. Bandung: PT Remaja Rosdakarya. Thomson, D. R. & Kaur, B Using a Multi-Dimensional Approach to Understanding to Assess Students Mathematical Knowledge. Dalam Kaur, B & Yoong, W. K. (Eds.). Assessment in The Mathematics Classroom: Yearbook Association Of Mathematics Educators (hlm ). Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Willis, J Learning to Love Math : Teaching Strategies that Change Student Attitudes and Get Results. USA: ASCD. Young, L. K. & Booth, J. L Student Magnitude Knowledge of Negative Numbers. Journal of Numerical Cognition, 1(1):