(M.4) MENGHITUNG FUNGSI RESIKO DAN KEGAGALAN PADA MODEL LINEAR

Transkripsi

1 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 (M.4) MENGHITUNG FUNGSI RESIKO DAN KEGAGALAN PADA MODEL LINEAR Mulyana Jurusan Statistika FMIPA Unpad Jl. Raya Bandung Sumedang Km Jatinangor Sumedang e_mail : mulyanakanaan@yahoo.co.id Abstrak Model linear adalah model yang sering digunakan dalam persoalan peramalan. Karena proses analisisnya cukup sederhana. Pada model linear + ε, dengan : nx vektor respon ; : nxm, m < n, matriks prediktor ;, mx, vektor parameter ; dan ε, nx vektor kekeliruan dengan asumsi E(ε ) 0 dan E(ε ε ) σ I, I, nxn matriks identitas. Jika rank penuh, maka penaksir sama dengan ( ) -. Sehingga taksiran aktual dari, sama dengan. Berdasarkan siat kelinearan, penaksir rata-rata, E( ), juga sama dengan E (). Berdasarkan kondisi ini, perlu dibangun ungsi target dan dihitung ungsi resiko dan kegalan pada saat menentukan peran dari. Teori ini dapat digunakan untuk membandingkan pendapat konsumen dan produsen terhadap produk yang dibuat produsen tersebut. Kata Kunci : ungsi target, ungsi kegagalan, ungsi resiko. Abstract Linear models is models oten use in orecasting problem. Because simple in analysisis. In models, + ε with : nx respon vektor ; : nxm, m < n, predictor matrix ; : mx parameter vektor and ε : nx error vektor o, with assumption E(ε ) 0, E(ε ε ) σ I, I identity matrix. I rank ull, then estimation is ( ) -. Then actual estimation o is. Be base on linearity, mean estimation o, E(),is same is that E (). Be base on this condition, need building target unction, and computing risk and loss unction, when determine unction o. This theory can be use or compare opinion o consumer and producer, in case product was make by that s producer. 30

2 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 Pendahuluan Dalam model linier dengan asumsi kekeliruannya berdistribusi identik independen dengan rata-rata 0 dan varians konstan sama dengan σ, menggabungkan antara penaksir aktual (nilai ramalan) dengan nilai rata-rata merupakan segi (aspect) penting dalam analisis regresi terapan. Misalkan sebuah pabrik armasi membuat obat dengan ormulasi baru dan ingin menelaah daya sembuhnya jika dibandingkan dengan ormulasi lama, yang tingkat (lama) kesembuhannya dipengaruhi oleh beberapa variabel pada pasien. Dalam hal ini biasanya yang ditelaah pihak produsen adalah rata-rata tingkat kesembuhan, sedangkan pasien nilai aktualnya, sehingga persoalannya bagaimana menggabungkan kedua telaahan itu secara statistika? Teori Perhatikan model linier + e () dengan, vektor variabel respon (variabel tidak bebas) berukuran nx, matriks variabel explanatory (variabel bebas) berukuran nxm, m < n, m >, dengan rank penuh, vektor parameter model berukuran mx e, vektor kekeliruan model berukuran nx, dengan asumsi ( e) 0 matriks identitas berukuran nxn Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, penaksir untuk adalah E, dan E ee σ I, I ( ) () yang merupakan statistik tak-bias dan bervarians minimum, sehingga penaksir aktual untuk adalah. Karena adalah E ( ) E ( ), maka berdasarkan siat kelinieran, penaksir untuk rata-rata, E ( ), sehingga dari paparan tersebut tersurat bahwa 3 memiliki peran dua penaksir, yaitu sebagai penaksir nilai aktual dan nilai rata-rata untuk. Persoalannya bagaimana menyajikan statistik jika diinginkan perannya lebih dominan sebagai penaksir nilai aktual dari pada sebagai nilai rata-rata atau sebaliknya? Berdasarkan teori Statistika- Matematis, untuk keperluan tersebut diperlukan ormulasi dari jumlah kuadrat kekeliruan model, agar bisa dibangun ungsi target beserta ungsi kegagalan (loss unction) dan ungsi resikonya (risk unction). Jumlah kuadrat kekeliruan model adalah

3 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 3 ( )( ) e e (3) yang jika dijabarkan akan diperoleh persamaan + e e (4) Pada Persamaan (4) tersurat, ungsi kegagalan untuk jika digunakan sebagai penaksir dibangun atas kombinasi linier yang diboboti dengan persamaan ( ) + c c, (5) c : skalar nonstokastik, 0 < c < Karena suku pertama pada Persamaan (4) merupakan jumlah kuadrat penaksir nilai aktual dan suku keduanya jumlah kuadrat residu ( ) E, sehingga ungsi target untuk dapat dibangun berdasarkan persamaan ( ) ( ) E T λ + λ (6) λ : skalar nonstokastik, 0 < λ < Dapat ditunjukan bahwa ( ) ( ) +λ λ E T dan ( ) T E yang berarti ( ) T E, sehingga T identik dengan. Fungsi kegagalan untuk T jika digunakan sebagai penaksir T sama dengan ( ) ( ) λ λ + +λ λ T T T,T (7)

4 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 Pada Persamaan (7) tersurat, dua suku pertamanya identik dengan Persamaan (5) dan suku ketiganya merupakan kovarian yang diboboti antara residu nilai aktual dengan residu rata-rata hitung. Sehingga Persamaan (7) merupakan pengembangan sederhana (simple extention) dari Persamaan (5), yang berarti Persamaan (7) merupakan ungsi kegagalan untuk digunakan sebagai penaksir ET, T ( λ (jika ) yang sebaiknya digunakan, dengan ungsi resiko sama dengan ) E +λ E + λ( λ) E yang sama dengan total dari penaksir rata-rata jumlah kuadrat kekeliruan (total predictive mean square error). Dari paparan ini disimpulkan bahwa ormulasi untuk menggabungkan antara penaksir nilai aktual dengan rata-rata hitungnya harus mengikuti Persamaan (6). Shalabh (999) mengemukakan, menggunakan ungsi resiko di bawah ungsi kegagalan dengan Persamaan (7) dapat digunakan dua bentuk penaksir untuk, yaitu penaksir kuadrat terkecil seperti pada Persamaan (), dan penaksir berdasarkan aturan Stein (Stein-rule estimator), yang persamaannya C a H S n H (8) a : a > 0, skalar karakaterisasi penaksir H, H C I H, I matriks identitas ( ) Dapat ditunjukan bukan penaksir takbias, dan akan merupakan penaksir takbias jika S H C 0, yaitu jika (model regresi sangat cocok sebagai model ramalan), sehingga dalam penggunaannya harus dikombinasi linierkan dengan penaksir kuadrat terkecil, dengan persamaan (9) 0<w<, skalar nonstokastik Jadi dalam hal ini penaksir untuk atau (0) b ( w) + w, bisa digunakan p ( ) H S 33

5 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 C C a H a H p H H S S n m H n + H () atau kombinasi liniernya P ( w) p+ wp C a H ( w) H+ w H H n H C a H H w H n H () yang ormulasinya setara dengan Persamaan (). Jika p dan P digunakan sebagai penaksir untuk ungsi target T, maka dan (3) (4) karena maka ( p) E{ ( λ) +λe H} E T E ( T P) ( λ) E+λE( ) ( ) S ( λ) E+λE{ E( )} HE E 0 C a H E ( λ) +λe H+ w H n H C a H E{ ( λ) +λe H} + Ew H n H C C a H a H w HE w n n H H C a H 0 < w < n H, E ( T p) < E( T P) Fungsi resiko jika p dan P digunakan sebagai penaksir untuk ungsi target T, masing-masing sama dengan (5) R(p) E T ( p)( T p) {( λ) ( ) } n λ m σ 34

6 R { m} ( P) E( T P) ( T P) ( λ) n( λ) n m wa E n H (6) Dari Persamaan (3), (4), (5) dan (6) dapat disimpulkan. jika λ 0, maka T, R( p) ( n m) σ, R n m, n H R p R P. 4 ( P) ( n m) σ + w a E σ sehingga ( ) ( ) Prosiding Universitas Padjadjaran, 3 November 00 σ { λ( m ) wa} σ 4 Hal ini berarti p superior dari P jika p digunakan sebagai penaksir nilai aktual, dan karena p, maka jika resikonya sama dengan ( n m) digunakan sebagai penaksir nilai aktual maka nilai σ, σ varians residu λ. jika 0 < λ<, dan jika wa < λ( m ) ( m ) atau a <, m> maka w n m wa E { λ( m ) wa} > 0 n H R p R P. sehingga ( ) ( ) Hal ini berarti P superior dari p jika P digunakan sebagai penaksir rata-rata, yang berarti tidak sepenuhnya dapat dijadikan penaksir aktual karena terkombinasi dengan sebagai penaksir rata-rata Dari paparan tersebut, disimpulkan jika maka resikonya ( n m) digunakan sebagai penaksir nilai aktual, σ, σ varians residu, dan nilai ini akan cukup kecil jika model regresi cocok digunakan sebagai model ramalan, dan untuk penaksir rata-rata, E( ), sebaiknya digunakan statistik C a H P w n H λ karena nilai resikonya lebih kecil dari ( n m) ( m ) σ, jika a <, m>. w Terapan 35

7 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 Untuk menggunakan teori ini diperlukan dua kelompok sampel yang identik, dengan sampel kedua merupakan sampel lanjutan dari sampel pertama, misalnya untuk kasus pabrik armasi seperti yang dikemukan pada pendahuluan, sampel pertama adalah tingkat penyembuhan obat dengan ormulasi lama, dan yang kedua dengan ormulasi baru. Jika model linier sampel pertama disajikan seperti pada Persamaan (), maka untuk sampel kedua oleh + e (7) dengan t vektor berukuran kx, matriks berukuran kxm dengan rank penuh, Sudah dikemukakan pada teori, pada sampel pertama penaksir untuk adalah atau p ( ) C a H P ( w)p w p n H m k< < n. dengan λ ( m a ), m> < w, H ( ), H C I H, I matriks identitas berukuran mxm dan ungsi targetnya T (λ) +λe λ E sehingga pada sampel kedua penaksir untuk dapat digunakan p atau P ( ) { ( )} ( w)p C a H w k H p dengan λ ( m ), m a < >, w C H, H I H, I matriks identitas berukuran kxk. dan ungsi targetnya T (λ) +λe λ E ( ) { ( )} Pada sampel pertama, jika p sebagai penaksir T (atau ) maka nilai resikonya sama dengan ( n m) σ, Dan jika P sebagai penaksir T (atau P sebagai penaksir rata-rata, resikonya lebih kecil dari ( n m) σ. sebagai nilai ramalan, σ varians residu sampel pertama. ( ) P E ) maka nilai 36

8 Analog untuk sampel kedua, jika p sebagai penaksir Prosiding Universitas Padjadjaran, 3 November 00 T (atau sebagai nilai ramalan, ) maka nilai resikonya sama dengan ( k m) σ, σ varians residu model sampel kedua. Dan jika P sebagai penaksir T (atau nilai resikonya lebih kecil dari ( k m) σ P sebagai penaksir rata-rata, E ( ) P ) maka. Sehingga jika hasil penaksiran pada sampel pertama dan kedua digabungkan, maka penaksir nilai aktual respon sama dengan ( λ)p +λp, dan penaksir rata-ratanya sama dengan Kepustakaan ( λ)p + λp. Searle, S. R., 97, Linear Models, John Wiley & Sons, New ork. Draer, N. & Smith, H., 98, Applied Regression Analysis, second edition, John Wiley & Sons, New ork. Shalabh, 999, Improving The Prediction in Linear Regression Models, Journal o Statistical Research, Vol. 3 No. pp 33 39, Bangladesh. Graybill, F. A., 96, An Introduction to Linear Statistical Models, McGraw-Hill Book Co. Inc., New ork Berger, J. O., 985, Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, second edition, Springer-Verlag, New ork. Ohtani, K., 998, The Excact Risk o Weighted Average Estimator o OLS and Stein-rule Estimator in Regression under Balanced Loss, Statistics & Decisions, Vol. 6, pp Hogg, R. V. & Craig, A. T., 978, Introduction to Mathematical Statistics, ourth edition, Macmillan Pub. Co. Inc., New ork. 37

9 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 (M.5) PEMBENTUKAN FAST ALGORITHM FUZZ C-MEANS CLUSTER DENGAN INDEKS VALIDITAS IE DAN BENI (B) DAN PROPORSI EIGEN VALUE DARI MATRIKS SIMILIARIT Anindya Apriliyanti Pravitasari dejau_008@yahoo.com ABSTRAK Dalam analisis pengelompokkan (cluster), banyak kelompok menjadi suatu masalah yang berarti. Beberapa peneliti memilih banyak kelompok sesuai dengan kebutuhan dalam penelitiannya. Beberapa penelitian dalam analisis cluster lebih menitikberatkan pada struktur dan metode pengelompokkan yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Metode terakhir yang sedang diminati adalah Fuzzy C-means Cluster. Fuzzy C-means Cluster melakukan pengelompokkan dengan prinsip meminimumkan ungsi objekti pengelompokkannya dimana salah satu parameternya adalah ungsi keanggotaan dalam uzzy (sebagai pembobot) yang disebut juga dengan uzzier (Klawonn dan Höppner, 00). Makalah ini selain mengkaji metode pengelompokkan dengan Fuzzy C-means Cluster juga akan memilih banyak kelompok ideal dengan menggunakan indeks B (ie dan Beni). Untuk jumlah objek yang besar, indeks B akan dihitung sebanyak objek yang dikelompokkan, maka hal ini tidaklah eekti. Untuk itu dicoba untuk membatasi banyak kelompok dengan menggunakan proporsi eigen value dari matriks kemiripan (similarity). Dengan membatasi banyak kelompok, perhitungan untuk mendapatkan kelompok ideal akan semakin cepat. Hal ini akan sangat berguna untuk eisiensi algoritma perhitungan indeks B. Kata kunci : analisis pengelompokkan, cluster, uzzy c-means, indeks B, proporsi, eigen value, matriks kemiripan, similarity.. Pendahuluan Analisis Cluster adalah salah satu analisis data eksploratori yang bertujuan untuk menentukan kelompok atau grup dari sekelompok data. Awal mulanya metode ini dikembangkan Sta Pengajar Jurusan Statistika, FMIPA, Universitas Padjadjaran Bandung 38

10 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 dengan menemukan struktur pengelompokkan diantara objek yang akan dikelompokkan. Paradigma data clustering mulai banyak diminati berbagai kalangan dan ditulis dalam berbagai paper dan jurnal (Shihab, 000). Analisis cluster sempat disebut sebagai primary tool or socalled knowledge discovery (Fayyad et al, 996) karena tingkat temuan struktur dan metode yang berkembang begitu pesat seiring dengan perkembangan paradigma lain diluar statistik, seperti enomena data mining, intelligent data analysis (Liu, 000), sampai image processing yang saat ini banyak diteliti. Faktanya, karena menggunakan data yang besar dan algoritma yang secara iterati menentukan pengelompokkan, maka analisis cluster memiliki kepekaan akan kebutuhan yang tinggi dalam komputasi. Perkembangan analisis cluster dimulai dari metode hierarchical yang secara garis besar membentuk sebuah tree diagram yang biasa disebut dengan dendogram yang mendeskripsikan pengelompokan berdasarkan jarak, graph-theoritic melihat objek sebagai node pada network terboboti, mixture models mengasumsikan suatu objek dihasilkan dari skala data yang berbedabeda, partitional lebih dikenal dengan metode non-hierarchy termasuk didalamnya adalah metode K-means cluster. Perkembangan terakhir dari analisis cluster mempertimbangkan tingkat keanggotaan yang mencakup himpunan uzzy sebagai dasar pembobotan bagi pengelompokan yang disebut dengan uzzy clustering (Bezdek, 98). Metode ini merupakan pengembangan dari metode partitional dengan pembobotan uzzy yang memungkinkan pengelompokkan dimana kelompok data tidak terdistribusi secara jelas. Sejalan dengan perkembangan metode dalam analisis cluster, penentuan jumlah kelompok tetap dilakukan secara subjekti. Metode hierarchi (single linkage, complete linkage dan average linkage) membuat cut o dari dendogram kemudian menentukan jumlah kelompok yang ideal. Metode non-hierarci atau partitional menentukan terlebih dahulu jumlah cluster yang akan dibentuk, termasuk juga pembentukan kelompok dalam Fuzzy C-means Cluster. Penentuan jumlah kelompok biasanya disesuaikan dengan tujuan penelitian. Suatu masalah kemudian timbul, bagaimana jumlah kelompok ideal yang meminimumkan ungsi objekti sebagai dasar pengelompokkan. Jika dilakukan pemilihan jumlah kelompok dari satu kesatuan kelompok besar sampai sebanyak objek yang akan dikelompokkan, maka penyelesaiannya akan trivial. Karena bagaimanapun juga ungsi objekti akan optimal saat jumlah kelompok yang terbentuk sama dengan jumlah objek yang dikelompokkan. Hal ini dikarenakan tingkat kemiripan (similiarity) yang tinggi terhadap objek itu sendiri. Oleh karena itu dicoba untuk membatasi jumlah pengelompokkan berdasarkan proporsi eigen value dari matrik korelasi objek yang akan dikelompokkan. Prinsipnya hampir sama dengan principal komponen dan analisis aktor yang menggunakan proporsi eigen value sebagai ukuran kontribusi yang dapat diberikan ketika mereduksi dimensi variable. Pembatasan jumlah pengelompokkan ini kemudian dikontrol dengan Indeks B (ie dan Beni), dimana kelompok hasil pemilihan dari proporsi eigen value yang memaksimumkan Indeks B adalah ukuran kelompok yang terbaik. 39

11 Universitas Padjadjaran, 3 November 00. Fuzzy C-Means Cluster Secara umum teknik dari uzzy cluster adalah meminimumkan ungsi objekti dimana parameter utamanya adalah ungsi keanggotaan dalam uzzy (membership unction) yang disebut juga dengan uzzier (awonn dan Höppner, 00). Klawonn secara khusus mendalami uzzy clustering sebagai metode yang baik untuk digunakan dalam pengelompokkan data spasial dan image analysis (Laboratorium o Data analysis and Pattern Recognition). Oleh karena itu sebagian besar reerensi dari tulisan ini didapatkan dari jurnal penelitian Klawonn bersama peneliti lainnya. Fuzzy C-means cluster pertama kali dikemukakan oleh Dunn (973) dan kemudian dikembangkan oleh Bezdek (98) yang banyak digunakan dalam pattern recognition. Metode ini merupakan pengembangan dari metode non hierarki K-means Cluster, karena pada awalnya ditentukan dulu jumlah kelompok atau cluster yang akan dibentuk. Kemudian dilakukan iterasi sampai mendapatkan keanggotaan kelompok tersebut. Metode ini adalah metode yang paling digemari karena merupakan metode yang paling robust (( Klawonn dan Höppner, 00) dan (Klawonn, 000)) dan memberikan hasil yang smooth (halus) dengan toleransi relati (Shihab, 000). Prinsip utama pengelompokkan dengan uzzy c-means cluster adalah meminimumkan ungsi objekti J FCM c N m P, U,, c, m ( uik ) d ik( x k, p i) () i k ( ) dengan constraint atau ungsi batasan c i u, untuk k {,K,N}. () ik Keterangan: P dan U adalah variabel yang kondisi optimalnya diharapkan, untuk matriks U kondisi optimalnya berarti konvergensi keanggotaan kelompok dalam FCM., c, m adalah parameter input dari J FCM, dimana: c adalah jumlah cluster yang memenuhi (jumlah cluster yang diinginkan, c< N ) m adalah tingkat ke-uzzy-an dari hasil pengelompokkan. Parameter ini disebut dengan uzzier, nilai dari m yang sering dipakai dan dianggap yang paling halus adalah m (Klawonn dan Höppner, 00) u ik adalah tingkat keanggotaan yang merupakan elemen dari matriks U. N jumlah observasi. d adalah jarak observasi yang dapat dirumuskan sebagai berikut: ik d ik T ( x p ) x p ( x p ) A( x p ) k, (3) i k i A k i k i 40

12 Jika A adalah matriks identitas maka d ik adalah jarak Euclid. Prosiding Universitas Padjadjaran, 3 November 00 Algoritma pengelompokan Fuzzy C-means cluster diberikan sebagai berikut:. Menentukan c banyak cluster atau kelompok yang ingin dibuat.. Menentukan tingkat ke-uzzy-an hasil pengelompokan (m). 3. Menghitung uzzy cluster center (P) dengan persamaan () N u k p * i N k 4. Update anggota matriks U dengan persamaan * uik /( m) c d ik j d jk m ik u x m ik k (4) (5) 5. Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks U, jika U (k+) - U (k) < ε maka sudah konvergen dan iterasi dihentikan. Jika tidak maka kembali ke langkah Penentuan Banyak Kelompok Penentuan banyak kelompok dalam Fuzzy C-Means Cluster didasarkan pada dua hal. ang pertama adalah dengan membatasi banyak kelompok yang terbentuk melalui proporsi eigen value matriks korelasi dari objek yang akan dikelompokkan. ang kedua adalah melakukan kontrol dengan indeks B. Tujuannya adalah untuk mengetahui apakah benar banyak kelompok terbaik bisa didapatkan diantara banyak cluster yang dibatasi oleh proporsi eigen value matriks korelasi. Berikut ini adalah ulasan mengenai proporsi eigen value matriks korelasi dan Indeks B. 3. Proporsi Eigen Value Matriks Korelasi Analisis Eigen adalah salah satu teknik yang memberikan ringkasan struktur data yang direpresentasikan oleh matriks korelasi ataupun kovarians (Johnson dan Wichern, 00). Proporsi dari eigen value menggambarkan seberapa besar struktur data yang dapat diwakili atau direpresentasikan oleh matriks korelasi atau kovarians tersebut. Dalam analisis komponen utama dan analisis aktor, proporsi dari eigen value memberikan interpretasi mengenai seberapa besar data dapat terwakili dalam dimensi yang telah direduksi. 4

13 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 Pada kasus pengelompokkan dalam analisis cluster, matriks yang digunakan adalah matriks kemiripan dari objek yang akan dikelompokkan. Prinsipnya adalah semakin nilai kemiripan antara objek satu dengan yang lain mendekati, maka nilai pengamatan antar objek tersebut memiliki banyak kesamaan (berarti memungkinkan untuk menjadi satu kelompok). Proporsi eigen value untuk ilustrasi ini berarti memberikan inormasi besarnya tingkat kesamaan antar objek. Proporsi eigen value 00 persen diberikan oleh semua eigen yang terbentuk yang banyaknya sama dengan banyak objek yang dikelompokkan. 3. Indeks B (ie dan Beni) Sesuai dengan namanya Indeks B ditemukan oleh ie dan Beni yang pertama kali dikemukakan pada tahun 99. Validitas dalam FCM ditentukan oleh banyak kelompok optimum melalui perhitungan Indeks validitas. Formula dari Indeks B diberikan pada (6). Formula ini mirip dengan Separation Index dengan nilai m yang dapat berubah-ubah, oleh karena itu indeks ini dapat digunakan untuk metode hard partition seperti K-means cluster maupun FCM. Kriterianya banyak kelompok optimum diberikan oleh nilai B yang minimum. B ( c) c N m ( uik ) dik( xk, pi) i k (6) N min i, j p, p i j Dengan c menyatakan banyak cluster, uik adalah tingkat keanggotaan, d ik adalah jarak observasi dengan pusat cluster, pi adalah pusat cluster, N merupakan banyak objek yang akan dikelompokkan, min i, j i, j p p menyatakan jarak minimum antara pusat cluster p i dan p j. Kriteria banyak cluster optimum diberikan oleh indeks B yang minimum. 4. Analisis eisiensi algoritma dengan menggunakan notasi Big-O Eisiensi di dalam algoritma sangat dipertimbangkan karena suatu masalah dapat diselesaikan dengan berbagai macam cara yang dalam hal ini disebut sebagai algoritma (langkah penyelesaian masalah). Algoritma yang bagus adalah algoritma yang eisien dimana algoritma tersebut dikatakan bagus karena dinilai dari aspek kebutuhan waktu dan ruang membutuhkan jumlah yang sedikit. Notasi Big-O adalah notasi matematika yang digunakan untuk menggambarkan suatu ungsi asimptotik. Notasi Big-O sering digunakan untuk menjelaskan berapa besar ukuran dari suatu data mempengaruhi penggunaan sebuah algoritma dari sumber komputasi. Notasi Big-O 4

14 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 juga biasa disebut sebagai notasi Landau (Landau notation), Bachman-Landau notation, dan notasi asimptotik (Asimptotik notation). Notasi Big-O mempunyai aplikasi pada dua buah bidang. Pada bidang matematika, notasi tersebut biasanya digunakan untuk menjelaskan tahap sisa dari deret tak terhingga, khususnya pada deret asimptotik. Pada bidang ilmu komputer, notasi ini sangat berguna dalam analisis dari kompleksitas algoritma. 5. Pembentukan Fast Algorithm, Simulasi dan Perhitungan Big-O Algoritma baru yang terbentuk adalah sebuah kelengkapan algoritma dengan menambahkan batasan perulangan program yang tadinya sebanyak objek (N) berkurang menjadi sebanyak M (banyaknya nilai eigen yang secara cepat membentuk proporsi 00%). Perbandingan Algoritma lama dan baru terdapat pada Tabel. Tabel. Perbandingan ALgoritma lama dan baru Old Algorithm Fast Algorithm Tahap Persiapan Pembentukan Matriks O (Nk ) kemiripan Perhitungan Eigen Value O (N ) Penentuan banyaknya nilai eigen yang menghasilkan proporsi 00% Tahap Clustering Lakukan dari sampai M O (N ) Tahap Clustering Lakukan dari sampai N Pembentukan O(( N ) h) Pembentukan Kelompok O(( M ) h) Kelompok Perhitugan Indeks B O ( N) Perhitugan Indeks B O ( M ) Pencarian B minimum O ( N) Pencarian B minimum O ( M ) Dengan: N: banyak objek; k: banyak variable; M: banyak nilai eigen yang jumlahan proporsinya 00%; h: banyak iterasi dalam pembentukan kelompok. Simulasi dilakukan untuk melihat apakah benar bahwa nilai B minimum dapat diperoleh dengan pembatasan perulangan program menggunakan banyaknya nilai eigen dari 43

15 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 matriks similarity yang proporsinya 00%, dan apakah algoritma baru yang terbentuk cukup eisien. Beberapa jenis data simulasi dibangkitkan dan dicari banyak pengelompokan optimum menggunakan algoritma lama dan baru. Hasilnya ditampilkan pada Tabel. Tabel. Simulasi Data Data Kriteria Old Algorithm Fast Algorithm Banyak Objek (N) 3 3 Banyak Variabel (k) 5 5 Simulasi Banyak nilai eigen (M) - 6 B minimum 5 5 Banyak iterasi (h) Big-O O(4400) O(800) Banyak Objek (N) Banyak Variabel (k) 0 0 Simulasi Banyak nilai eigen (M) - 7 B minimum 7 7 Banyak iterasi (h) Big-O O(9800) O(00) Simulasi 3 Simulasi 4 Banyak Objek (N) 7 7 Banyak Variabel (k) 4 4 Banyak nilai eigen (M) - B minimum 9 9 Banyak iterasi (h) Big-O O(38400) O(400) Banyak Objek (N) Banyak Variabel (k) 5 5 Banyak nilai eigen (M) - 3 B minimum 8 8 Banyak iterasi (h) Big-O O(44500) O(8500) Pada Tabel terlihat bahwa nilai B minimum yang menggambarkan banyak kelompok ideal yang terbentuk selalu berada pada range M. Hal ini membuktikan bahwa pembatasan perulangan pada algoritma FCM dapat dilakukan dengan mencari banyaknya nilai eigen yang membentuk proporsi 00%. Selain itu dengan melakukan pembatasan perulangan, maka algoritma yang tercapai akan lebih eisien, hal ini terlihat dengan nilai Big-O pada ast algorithm yang jauh lebih kecil dari pada old algorithm. 6. Kesimpulan 44

16 Universitas Padjadjaran, 3 November 00 Penentuan jumlah cluster yang ideal dapat dilakukan dengan perhitungan indeks B. Namun untuk jumlah data yang besar, maka perhitungan indeks B akan dilakukan sampai jumlah pengelompokkan maksimum, yaitu sebanyak jumlah objek itu sendiri. Hal ini kurang eisien, maka direkomendasikan untuk menentukan banyaknya cluster yang mungkin terbentuk dengan memperhatikan proporsi kumulati eigen value matriks similarity dari objek dalam pengelompokkan. Reerensi : Bezdek, James., 98. Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorith, Plenum Press, New ork. Calinski and Harabasz, (974), A Dendrite Method or Cluster Analysis. Communication in Statistics 3, -7. Dunn, J.C., (973), A Fuzzy Relative o the ISODATA Process and Its Use in Detecting Compact well-separated Cluster, Journal o Cybernetic 3, Fayyad, U, M., Piatetsky-Saphiro, G., Smith., (996). Advance and Knowledge discovery and data mining, Part.33, Johnson, Wichern, (00), Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey. Klawonn, Frank., (000), Fuzzy Clustering: Insight and a New Approach, Science Journal, Klawonn dand Höppner, (00), What is Fuzzy about Fuzzy Clustering? Understanding and Improving the Concept o the Fuzzier. Science Journal, Klawonn dan Keller, (997), Fuzzy Clustering and Fuzzy Rules, Science Journal, Klawonn dan Klementida, (997), Matematical Analysis o Fuzzy Clasiiers, Science Journal, Klawonn dan Kruse, (995), Clustering Method in Fuzzy Control, Science Journal, Sharma, S, (996), Applied Multivariate Techniques, John Wiley and Sons, Inc, New ork. Shihab, A.I., (000) Fuzzy Clustering Algorithm and Their Application to Medical Image Analysis. Dissertation, University o London, London. Pickert, Klawonn, dan Wingender., (997), Fuzzy Cluster Analysis or Identiication o Gene Regulation Region. Science Journal, Zadeh, Loti. A., (965), Fuzzy Sets. Inormation Control, vol 8,