Pengaruh Gangguan pada Perubahan Prioritas dan Indeks Konsistensi Matriks Perbandingan Berpasangan dalam Analytical Hierarchy Process

Transkripsi

1 Pengaruh Gangguan pada Perubahan Prioritas Indeks Konsistensi atriks Perbandingan Berpasangan dalam Analytical Hierarchy Process Hanni Garminia, oh Hafiyusholeh Pudji Astuti Fakultas atematika Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung, Bandung Diterima 30 September 00, diterima untuk dipublikasikan 8 November 00 Abstract A pairwise comparison matri (PC) is a matri arising in Analytical Hierarchy Process (AHP) The application of the AHP as a decision problem tool gives rise to pairwise comparison matrices (PC) In this work we investigate sufficient conditions on the disturbance which results in reversal of the rank order of the decision alternatives while the PC remains consistent Keywords: Pairwise comparison matri, Principal eigenvalue and eigenvector, Consistency inde, Ratio inde, Consistency ratio Abstrak atriks perbandingan berpasangan adalah matriks positif, resiprokal simetri yang muncul pada pengkajian pengambilan keputusan memanfaatkan Analytical Hierarchy Process Tulisan ini membahas sifat-sifat atriks perbandingan berpasangan terganggu Khususnya membahas syarat perlu cukup pada gangguan yang menyebabkan terjadinya perubahan dominasi dari alternatif pilihan Selain itu dibahas pula syarat cukup pada gangguan agar matriks perbandingan berpasangan masih dipang konsisten menurut kriteria Saaty Kata Kunci: atriks perbandingan berpasangan, Nilai karakteristik vektor karakteristik utama, Indeks konsistensi, Indeks rasio, Rasio konsistensi Pendahuluan Analytical Hierarchy Process (AHP) yang dikembangkan oleh Thomas Saaty (980) merupakan suatu metode pembuat keputusan yang melibatkan banyak kriteria Dasar pemikiran dari metode AHP adalah memecah-mecah permasalahan yang kompleks tidak terstruktur menjadi sejumlah bagian-bagian yang sederhana lebih terstruktur, dalam bentuk tingkatan(hirarki) Dengan demikian, penyelesaiannya dapat dilakukan secara bertahap untuk masing-masing tingkatan Komponen utama dalam AHP adalah matriks perbandingan berpasangan (pairwise comparison matri, PC) yang merupakan matriks positif, resiprokal simetri Dalam AHP, nilai karakteristik terbesar dari PC beserta vektor karakteristik positif yang terkait dimanfaatkan untuk mengidentifikasi urutan prioritas berbagai alternatif keputusan, kriteria subkriteria yang seg ditelaah serta untuk menentukan indeks konsistensi dari penyelesaian yang dikembangkan Berbagai telaahan terkait sifat metode penaksiran nilai karakteristik terbesar beserta vektor karakteristik positif terkait suatu PC telah banyak dikembangkan, diantaranya oleh Gass Rapcsak (004) etode vektor karakteristik yang dikembangkan oleh Saaty (980) menyarankan agar vektor prioritas dari alternatif yang ditelaah sebagai vektor positif yang meminimumkan jarak, terhadap suatu norm, matriks PC matriks rasio yang dibentuk oleh vektor positif Untuk hal serupa, Chu (998) mengusulkan metode kuadrat terkecil (the east-squares method, S) kemudian diperumum menjadi metode kuadrat terkecil bobot (the Weighted east-squares method, WS) Di sisi lain, Gass and Rapcsák (004) mengusulkan pemanfaatan dekomposisi nilai singular untuk menaksirkan vektor prioritas Sehubungan hal tersebut, Astuti Garnadi (009) telah memanfaatkan struktur pemetaan linier untuk mendapatkan bentuk eksplisit vektor karakteristik positif PC terganggu di suatu baris Dalam tulisan ini, hasil tersebut akan ditelaah dimanfaatkan lebih lanjut untuk melihat pengaruh gangguan pada terjadinya perubahan prioritas alternatif serta indeks konsistensi Sifat-sifat PC terganggu isalkan R menyatakan lapangan bilangan real Suatu matriks A = (a ij ) berukuran n n komponen di R disebut transitif jika berlaku a ij = a ik a kj untuk semua semua i, j, k =,,, n Suatu matriks A = (a ij ) berukuran n n komponen di R-{0} disebut resipokal simetri (symmetrically reciprocal, SR) jika a ij a ji = untuk i j a ii = untuk semua i, j =,,, n udah ditunjukkan bahwa sebarang matriks tak nol transitif adalah SR 43

2 44 JURNA ATEATIKA DAN SAINS, DESEBER 00, VO 5 NOOR 3 Segkan kondisi sebaliknya tidak selalu terpenuhi atriks SR akan menjadi matriks transitif jika hanya jika matriks tersebut memiliki rank satu, seperti yang diketengahkan oleh Farkas (007) Gass Rapcsak (004) atriks SR yang positif disebut matriks perbandingan berpasangan (pairwise comparison matri, PC) Dalam AHP, matriks PC digunakan untuk merepresentasikan perbandingan prioritas pasangan alternatif kriteria, subkriteria, pun keputusan yang seg dibahas Khusunya komponen ke-ij dari suatu matriks PC, sebut A = (a ij ), menyatakan rasio relatif dominasi alternatif ke-i atas alternatif ke-j terhadap suatu kriteria tertentu Berdasarkan Teorema Perron, dalam Horn Johnson (985), matriks positif selalu memiliki nilai karakteristik terbesar bernilai positif yang merupakan nilai karakteristik sederhana, serta terdapat vektor karakteristik positif yang terkait nilai karakteristik tersebut Saaty (980) memanfaatkan nilai karakteristik terbesar tersebut untuk mengukur kekonsistenan matriks PC Unit vektor, terhadap norm-, vektor karakteristik yang positif sebagai vektor bobot prioritas dari semua alternatif yang direpresentasikan Penjelasan hal di atas untuk masalah yang ideal adalah sebagai berikut Untuk permasalahan yang ideal n alternatif keputusan, akan diperoleh PC berukuran n n yang transitif rank satu biasanya disebut PC khusus atriks tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk A c = uv T = n n n O n n n untuk suatu u = ( ), v = ( n ), n,,, n bilangan real positif Untuk kasus ini, vektor karakteristik yang merupakan vektor bobot vektor prioritas adalah vektor c - u sebut c = n- = 0 - u Komponen ke- dari vektor c - u, c menyatakan bobot dari alternative keputusan ke- jumlah bobot semua alternatif keputusan adalah satu PC khusus memiliki nilai karakteristik maksimal n Sebagai representasi masalah ideal hal tersebut dikatakan memiliki indeks konsistensi nol Pada kenyataannya, masalah pengambilan keputusan mengandung pangan pertimbangan yang subjektif sehingga menghasilkan PC yang tidak transitif, biasanya disebut PC terganggu isalkan A = (a ij ) menyatakan PC suatu masalah pengambilan keputusan n alternatif Artinya A merupakan matriks SR yang positif Berdasarkan Teorema Perron, matriks tersebut memiliki nilai karakteristik maksimal yang bernilai positif, bersifat sederhana, terkait suatu vektor karakteristik yang positif isalkan λ merupakan nilai karakteristik maksimal dari A u menyatakan unit vektor karakteristik bernilai positif (terhadap norm-) yang terkait nilai karakteristik λ Diperoleh bahwa λ n λ = n jika hanya jika A adalah PC transitif Untuk AHP, Satty mengusulkan bahwa komponen ke- dari vektor u merepresentasikan bobot alternatif keputusan ke- dari vektor u merepresentasikan prioritas alternatif keputusan ke- Indeks konsistensi dari matriks PC tersebut didefinisikan sebagai: λ n CI = n Rasio konsistensi didefinisikan sebagai CI CR = menyatakan indeks rasio yang merupakan nilai rata-rata indeks konsistensi yang telah diperoleh secara random seperti yang ditunjukkan pada Tabel ebih lanjut, pengambilan keputusan dipang masih konsisten jika rasio konsistensi tidak lebih dari 0% Tabel Indeks Rasio () N Penjelasan tentang rumusan bobot alternatif maupun rasio konsistensi telah diketengahkan oleh Saaty (980) Tulisan ini akan menganalisis pengaruh gangguan pada matriks PC khusus yang menyebabkan perubahan dominasi alternatif keputusan serta pengaruh gangguan yang masih menjaga rasio konsistensi PC tidak melebihi 0% Gangguan yang menyebabkan perubahan dominasi alternatif berarti gangguan yang menyebabkan terjadinya perubahan keputusan yang diambil PC yang ditelaah dibatasi pada PC yang terganggu secara sederhana PC yang terganggu di baris pertama dapat direpresentasikan dalam bentuk A = δ δ n δ n δ n δ n O n δ n n n i, δ i bilangan real positif terdapat i < j n sehingga δ i δ j PC terganggu pada baris lainnya dapat ditransformasikan dalam bentuk A menggunakan matriks permutasi tertentu PC

3 Garminia dkk, Pengaruh Gangguan pada Perubahan Prioritas Indeks Konsistensi atriks 45 terganggu sederhana dapat direpresntasikan dalam bentuk A δ i =, i Terkait PC terganggu A, Farkas (007) serta Astuti Garnadi (009) telah memperoleh fakta-fakta berikut: Ruang R n dapat didekomposisi sebagai jumlah langsung dari dua buah subruang A-invarian sehingga R n = Im(A) Ker(A) Sukubanyak karakteristik PC terganggu A n 3 adalah p( λ ) = λ ( λ ( λ n) + b( n ) ac) a = n = ( δ ), b = n = ( δ ) n ( ), c = ( ) δ δ = Dengan demikian nilai karakteristik terbesar dari PC terganggu A adalah akar real dari suku banyak p( λ ) = λ ( λ n) + b( n ) ac) 3 isalkan r adalah akar real dari suku banyak p (λ)yang merupakan nilai karakteristik terbesar dari PC A Diperoleh vektor karakteristik positif terkait nilai karakteristik r tersebut adalah: w = ( r( r n) c) r+ c e + u + (+ r n) r+ c 0 e = 0, u = =, v 0 n n v 0 ) δ ( δ ( ) δ n () Fakta-fakta di atas akan dimanfaatkan untuk memperoleh hasil yang akan dibahas pada pasal selanjutnya 3 Perubahan Prioritas Seperti yang telah disampaikan pada sesi sebelumnya, pembahasan pada telaahan ini dibatasi untuk PC terganggu sederhana Pada sesi ini, PC terganggu sederhana dituliskan dalam bentuk: A δ = O n n n n n δ n g () i, δ bilangan real positif Dalam hal ini PC A g dapat dipang berasal dari PC khusus A c yang terganggu oleh δ Pada sesi ini akan ditelaah pengaruh δ terhadap perubahan bobot alternatif PC yang menyebabkan perubahan prioritas dari alternatif yang ditelaah Farkas (007) juga membahas perubahan prioritas Walaupun demikian, pada pembahasan pada sesi ini, akan ditunjukkan kondisi yang eksplisit pada δ yang menyebabkan terjadinya perubahan prioritas Sehubungan gangguan δ yang terkait alternatif ke- ke-, perubahan prioritas yang akan diperhatikan adalah alternatif ke- ke- Dengan tidak membatasi jumlah bobot untuk semua alternatif adalah, untuk PC khusus A c, diperoleh bobot untuk alternatif ke- ke- masing-masing adalah Di sisi lain untuk PC terganggu sederhana A g, diperoleh vektor karakteristik untuk nilai karakteristik terbesar r adalah vektor w dalam persamaan () Dengan demikian, bobot untuk alternatif ke- ke- adalah komponen ke- ke- dari vektor w, yaitu r( ) w = + r + c w = r ( n ) + δ r + c Dengan demikian gangguan δ menyebabkan terjadinya perubahan prioritas alternatif jika w < w untuk hubungan bobot PC Khususnya > sebaliknya Dengan demikian diperoleh teorema berikut Theorem 3 isalkan A g adalah PC terganggu seperti pada persamaan () Pembalikan dominasi alternatif ke- ke- terjadi ketika komponen ke- komponen ke- dari PC terganggu jika hanya jika ketaksamaan berikut terpenuhi: < δ < r( + ) n untuk < > δ > r ( + ) n untuk > Bukti isalkan w = ( w w w3 wn ) adalah vektor karakteristik utama dari A u = ( u u u3 un) adalah vektor karakteristik utama dari A g Dapat dipilih w = ; w = ; r( ) u = + r + c ;

4 46 JURNA ATEATIKA DAN SAINS, DESEBER 00, VO 5 NOOR 3 r ( n ) u = + δ r + c Jika <, akibatnya w < w Untuk kasus δ < diperoleh u < u, artinya tidak terjadi perubahan prioritas Untuk kasus δ >, diperoleh r ( ) r ( n ) + < + r + c δ r + c Akibatnya, δ < r( + ) n Jika >, akibatnya w > w Untuk kasus δ > diperoleh u > u, artinya tidak terjadi perubahan prioritas Untuk kasus δ <, cara yang serupa diperoleh r ( n ) r( ) + < + δ r + c r + c Akibatnya, δ > r( + ) n 4 Rasio Konsistensi Pada sesi ini akan diketengahkan syarat bagi δ agar matriks A g konsisten, yaitu nilai rasio konsistensinya tidak lebih dari 0, Rasio konsistensi terkait nilai karakteristik terbesar dari PC atriks A g tidak lain merupakan hal khusus dari A Karena itu PC terganggu sederhana A g, nilai karakteristik terbesarnya adalah akar real dari suku banyak p ( λ ) = λ ( λ n) ( n ) Q Q = δ + δ Grafik suku banyak p (t) seperti ditunjukkan pada Gambar, menunjukkan bahwa suku banyak p (t) hanya memiliki satu akar real Dengan memanfaatkan turunan dari p (t) diperoleh r > n untuk δ Selanjutnya, batas atas dari nilai karakteristik terbesar r dapat diperoleh dari titik perpotongan garis singgung grafik di titik (n, p (n)) sumbu- Jadi nilai karakteristik terbesar PC memenuhi ketaksamaan ( n ) Q n < r < n + n sehingga diperoleh ( n ) Q 0 < CI < n ( n ) Gambar Grafik y = ( n) ( n ) Q ( n ) Q CR < n ( n ) Untuk menjamin agar keputusan yang ditetapkan bersifat konsisten, rasio konsistensi harus kurang dari sama 0% Dengan demikian jika dibatasi Q < 0, n, gangguan δ masih menyebabkan rasio konsistensi dibatasi oleh 0, Dengan demikian diperoleh teorema berikut Theorem 4 PC terganggu sederhana A g pada persamaan () merupakan PC konsisten (rasio inkonsistensinya tidak lebih dari 0,) jika δ memenuhi ketaksamaan + 0n n ( n ) δ + 0n + n ( n ) δ Bukti isalkan r adalah nilai karakteristik terbesar dari A g Perhatikan bahwa CI = n n 0 < CI < ( δ ) n ( n ) δ Karena CI CR = diperoleh ( δ ) CI n ( ) δ < δ n ( n ) δ n

5 Garminia dkk, Pengaruh Gangguan pada Perubahan Prioritas Indeks Konsistensi atriks 47 Agar A g bersifat konsisten, rasio konsistensi harus kurang dari sama 0%, hal ini akan dicapai jika δ memenuhi ketaksamaan δ + = ( δ ) 0n δ δ Akibatnya δ ( + 0n ) δ + 0 Dengan demikian jika δ memenuhi ketaksamaan + 0n n ( n ) δ + 0n + n ( n ) δ maka PC A g konsisten Catatan: Tampak bahwa selang gangguan δ yang masih menghasilkan PC konsisten bergantung pada ukuran matriks, yaitu n, tidak dipengaruhi oleh komponen PC khusus yang terganggu Dari teorema di atas, diperoleh batas bawah batas atas δ untuk beberapa ukuran matrik yang disajikan dalam Tabel berikut Tabel Selang gangguan yang masih diijinkan 5 Penutup Dalam uraian di atas telah diperoleh syarat perlu cukup pada gangguan yang menghasilkan PC terganggu sederhana sehingga menghasilkan perubahan dominasi pada vektor prioritas Telah ditunjukkan pula bahwa selang gangguan yang tetap menjaga kekonsistenan PC hanya tergantung pada ukuran matriksnya Ucapan Terima Kasih Penelitian ini diai oleh Kementrian Pendidikan Nasional Republik Indonesia melalui Hibah Fundamental DIKTI Tahun 009 Daftar Pustaka Astuti, P and A D Garnadi, 009, On Eigenvalues and Eigenvectors of Perturbed, ITB Journal of Science, 4A:, Chu, T, 998, On the Optimal Consistent Approimation to Pairwise Comparison atrices, inear Algebra and Its Applications, 7, Farkas, A, 007, The Analysis of the Principal Eigenvector of Pairwise Comparison atrices, Acta Polytechnica Hungarica, 4() Gass, S I and T Rapcsák, 004, Singular Value Decomposition in AHP, European Journal of Operational Research, 54, Horn, R A and C R Johnson, 985, atri Analysis, Cambridge University Press, Cambridge Saaty, T, 980, The Analytical Hierarchy Process, cgraw-hill, New York