BAB 2 LANDASAN TEORI Analytial Hierarchy Process (AHP) Pengertian Analytical Hierarchy Process (AHP)

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2 1 Analytial Hierarchy Process (AHP) Pengertian Analytical Hierarchy Process (AHP) Metode AHP merupakan salah satu metode pengambilan keputusan yang menggunakan faktor-faktor logika, intuisi, pengalaman, pengetahuan, emosi dan rasa untuk dioptimasi dalam suatu proses yang sistematis Metode AHP ini dikembangkan oleh seorang ahli matematika yaitu Thomas L Saaty di University Of Pittsburgh, Amerika Serikat pada tahun 1970-an Dalam kehidupan sehari-hari seseorang sering dihadapkan pada suatu pemilihan dari berbagai alternatif Disini diperlukan penentuan prioritas terhadap pilihan-pilihan yang ada Dalam menentukan prioritas tersebut, seseorang akan menggunakan faktor-faktor logika dengan membandingkan pilihan-pilihan tersebut dibantu dengan krieria-kriteria yang berhubungan dengan pilihan Analogi tersebut telah menggambarkan bagaimana prinsip dari metode AHP Pada dasarnya AHP adalah sebuah kerangka untuk mengambil keputusan dengan efektif atas suatu persoalan dengan menyederhanakan dan mempercepat proses pengambilan keputusan dengan memecah persoalan tersebut ke dalam suatu bagian-bagian serta menata bagian-bagian tersebut dalam suatu bentuk susunan hirarki, memberi nilai numerik pada pertimbangan subjektif tentang pentingnya variabel dan mensintesis berbagai pertimbangan ini untuk menetapkan variabel yang mana yang memiliki prioritas paling tinggi dan bertindak untuk mempengaruhi hasil pada situasi tersebut Pada perkembangannya, AHP dapat menyelesaikan masalah yang kompleks atau tidak berkerangka dengan aspek atau kriteria yang cukup banyak Kompleksitas ini disebabkan oleh struktur masalah yang belum jelas, ketidakpastian persepsi pengambilan keputusan,srta ketidakpastian tersedianya atau bahkan tidak ada sama sekali data statistik yang akurat Adakalanya timbul masalah keputusan yang dirasakan dan diamati perlu diambil secepatnya, tetapi variasinya rumit sehingga datanya tidak mungkin dapat dicatat secara numerik,

2 8 hanya secara kualitatif saja yang dapat diukur, yaitu berdasarkan persepsi pengalaman dan intuisi Namun, tidak menutup kemungkinan bahwa modelmodel lainya ikut dipertimbangkan pada saat proses pengambilan keputusan dengan pendekatan AHP khususnya dalam memahami para pengambil keputusan individual (Yahya, 1995) Analytical Hierarchy Process (AHP) mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari : 1 Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan 2 Homogenity, yaitu mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan 3 Dependence, yang berarti setiap level mempunyai kaitan walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna 4 Ecpectation, yang berarti menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi dan preferensi dari pengambilan keputusan Metode-metode Dasar Analytical Hierarchy Process (AHP) Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode Analytical Hierarchy Process ada beberapa metode dasar yang harus dipahami antara lain: 1 Decomposition Decomposition adalah memecahkan atau membagi masalah yang utuh ke bentuk hirarki proses pengambilan keputusan, di mana setiap unsur atau elemen saling berhubungan Untuk mendapatkan hasil yang akurat, pemecahan dilakukan terhadap unsur unsur sampai tidak mungkin dilakukan pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari persoalan yang hendak dipecahkan Struktur hirarki keputusan tersebut dapat dikategorikan sebagai complete dan incomplete Suatu hirarki keputusan disebut complete jika semua elemen pada suatu tingkat memiliki hubungan terhadap semua elemen yang ada pada tingkat berikutnya, sedangkan hirarki keputusan incomplete kebalikan dari hirarki yang complete yakni tidak semua unsur pada masing-masing jenjang

3 9 mempunyai hubungan Pada umumnya problem nyata mempunyai karakteristik struktur yang incomplete 2 Comparative Judgement Comparative Judgement dilakukan dengan penilaian tentang kepentingan relatif dua elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkatan di atasnya Penilaian ini merupakan inti dari AHP karena akan berpengaruh terhadap urutan prioritas dari elemen elemennya Hasil dari penilaian ini lebih mudah disajikan dalam bentuk matriks pair-wise comparisons yaitu matriks perbandingan berpasangan memuat tingkat preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria 3 Synthesis of Priority Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan eigen vektor method untuk mendapatkan bobot relatif bagi unsur unsur pengambilan keputusan 4 Logical Consistency Logical Consistency dicapai dengan mengagresikan seluruh eigen vektor yang diperoleh dari berbagai tingkatan hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vektor composite tertimbang yang menghasilkan urutan pengambilan keputusan Landasan Aksiomatik Analytic Hierarchy Process (AHP) Analytic Hierarchy Process (AHP) mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari : 1 Resiprocal Comparison Matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan Misalnya, jika A adalah k kali lebih penting dari pada B maka B adalah kali lebih penting dari A

4 10 2 Homogenity Mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan apel dengan bola kasti dalam hal rasa, akan tetapi lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat 3 Dependence Setiap level mempunyai kaitan (complete hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna (incomplete hierarchy) 4 Expectation Menonjolkon penilaian yang bersifat ekspektasi dan preferensi dari pengambilan keputusan Penilaian dapat merupakan data kuantitatif maupun yang bersifat kualitatif Prinsip Pokok Analytic Hierarchy Process (AHP) Pengambilan keputusan dalam metode Analytic Hierarchy Process didasarkan pada tiga prinsip pokok, yaitu: 1 Penyusunan Hirarki Penyusunan hirarki merupakan langkah pendefinisian masalah agar lebih jelas Hirarki keputusan disusun berdasarkan pandangan pihak-pihak yang memiliki pengetahuan di bidang bersangkutan Keputusan yang diambil dijadikan tujuan dan dijabarkan menjadi elemen yang lebih detail hingga mencapai suatu tahapan yang terukur Hirarki permasalahan akan mempermudah pengambilan keputusan untuk menganalisa dan menarik kesimpulan 2 Penentuan Prioritas Prioritas elemen-elemen kriteria dapat dipandang sebagai bobot atau kontribusi elemen-elemen tersebut terhadap tujuan AHP melakukan analisa prioritas elemen dengan metode perbandingan berpasangan antardua elemen sehingga seluruh elemen yang ada tercakup Prioritas ini

5 11 ditentukan berdasarkan pandangan para ahli dan pihak yang berkepentingan terhadap pengambilan keputusan baik secara langsung maupun tidak langsung 3 Kosnsistensi Logis Konsistensi jawaban responden dalam menentukan prioritas elemen merupakan prinsip pokok yang akan menentukan validitas data dan hasil pengambilan keputusan Secara umum responden harus memiliki konsistensi dalam melakukan perbandingan elemen Jika A > B dan B > C maka A > C Langkah-langkah dalam Metode Analytic Hierarchy Process (AHP) Secara umum pengambilan keputusan dengan metode AHP didasarkan pada langkah-langkah berikut: 1 Mendefinisikan masalah dan menentukan solusi yang diinginkan Jika AHP dipakai untuk menentukan alternatif atau menyusun prioritas alternatif maka dilakukan pengembangan alternatif 2 Membuat struktur hirarki yang diawali dengan tujuan umum, dilanjutkan dengan kriteria kriteria dan alternaif alternatif pilihan yang ingin di rangking 3 Membentuk matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan kontribusi relatif atau pengaruh setiap elemen terhadap masing masing tujuan atau kriteria yang setingkat di atasnya Perbandingan dilakukan berdasarkan pilihan atau judgement dari pembuat keputusan dengan menilai tingkat kepentingan suatu elemen dibandingkan elemen lainnya 4 Menghitung eigen vektor dari setiap matriks perbandingan berpasangan Nilai eigen vektor merupakan bobot setiap elemen Langkah ini untuk mensintesis pilihan dalam penentuan prioritas elemen elemen pada tingkat hirarki terendah sampai pencapaian tujuan

6 12 5 Mengulangi langkah 3, 4, dan 5 untuk seluruh tingkat hirarki 6 Menguji konsistensi hirarki Jika tidak memenuhi dengan CR < 0,100, maka penilaian harus diulang kembali Penghitungan Bobot Elemen dalam Metode Analytic Hierarchy Process (AHP) Menentukan susunan prioritas elemen adalah dengan menyusun perbandingan berpasangan yaitu membandingkan dalam bentuk berpasangan seluruh elemen untuk setiap sub hirarki Perbandingan tersebut ditransformasikan dalam bentuk matriks Nilai numerik yang dikenakan untuk seluruh perbandingan diperoleh dari skala perbandingan 1 sampai 9 yang telah ditetapkan oleh Saaty, seperti pada tabel berikut: Tabel 2 1 Skala Saaty Tingkat Kepentinga n 1 Definisi Equal importance (sama penting) Keterangan Kedua elemen mempunyai pengaruh yang sama 3 Weak importance o one Pengalaman dan penilaian sangat memihak satu over another (sedikit elemen dibandingkan dengan pasangannya lebih penting) 5 Essential or strong importance (lebih penting) Satu elemen sangat disukai dan secara praktis dominasinya sangat nyata, dibandingkan dengan elemen pasangannya 7 Demonstrated importance (sangat penting) Satu elemen terbukti sangat disukai dan secara praktis dominasinya sangat, dibandingkan dengan elemen pasangannya 9 Extreme importance Satu elemen mutlak lebih disukai dibandingkan

7 13 2, 4, 6, 8 Resiprokal (mutlak lebih penting) Intermediate values between the two adjacent judgments Kebalikan dengan pasangannya, pada tingkat keyakinan tertinggi Nilai di antara dua pilihan yang berdekatan Jika elemen i memiliki salah satu angka di atas ketika dibandingkan elemen j, maka j memiliki kebalikannya ketika dibanding elemen i Perbandingan berpasangan dimulai dari hirarki yang paling tinggi, dengan suatu criteria digunakan sebagai dasar pembuatan perbandingan Selanjutnya perhatikan elemen yang akan dibandingkan Tabel 2 2 Matriks Perbandingan Berpasangan A 1 A 2 An A 1 a 11 a 12 a 2n A 2 a 21 a 22 a 2n A n a n1 a n2 a nn Matriks A (n x n) adalah matriks resiprokal Diasumsikan terdapat n elemen yaitu w 1, w 2,, w n yang akan dinilai secara perbandingan Nilai perbandingan secara berpasangan antara (w i, w j ) dapat dipresentasikan seperti matriks tersebut ( ) (2 1) Bila vektor pembobotan elemen-elemen operasi dinyatakan sebagai vektor dengan ( ) maka intensitas kepentingan elemen opersi A1

8 14 terhadap A 2 yaitu W 1 /W 2 yang sama dengan a 12 sehingga matriks perbandingan dapat dinyatakan sebagai berikut : Tabel 2 3 Matriks Perbandingan Berpasangan dan Nilai Intensitas A 1 A 2 A n A 1 W 1 /W 2 W 1 /W 2 W 2 /W 1 A 2 W 2 /W 1 W 2 /W 2 W 2 /W 1 A n W n /W 1 W n /W 2 W n /W n Nilai-nilai w i,/w j dengan diperoleh dari yang responden yang dipilih yaitu orang-orang yang berkompeten dalam permasalahan yang dianalisa Bila matriks ini dikalikan dengan vektor kolom, ( ) maka diperoleh hubungan: (2 2) Persamaan tersebut menyatakan bahwa adalah eigen vektor dari matriks A dengan eigen value n persamaan tersebut akan terlihat pada matriks berikut : ( ) ( ) (2 3) ( ) Variabel n pada persamaan di atas dapat digantikan secara umum dengan sebuah vektor λ (2 4) Di mana λ = ( )

9 15 Setiap λ yang memenuhi persamaan (2 4) disebut sebagai eigen value, sedangkan vektor yang memenuhi persamaan (2 4) dinamakan eigen vektor Karena matriks A adalah suatu matriks resiprokal dengan untuk semua I, maka (2 5) Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten maka semua eigen value bernilai nol kecuali satu yang bernilai sama dengan n bila matriks A adalah matriks yang tak konsisten, variasi kecil atas a ij akan membuat nilai eigen value terbesar, λ max tetap dekat dengan n, dan eigen value lainnya mendekati nol Nilai λ max dapat diperoleh melalui persamaan berikut: (2 6) atau [A λ max I] = 0 (2 7) Dengan I adalah matriks identitas Nilai a ij akan menyimpang dari rasio w i /w j dan dengan demikian persamaan (2 2) tidak terpenuhi Deviasi max dari n merupakan suatu parameter Consistency Index (CI) sebagai berikut: (2 8) Nilai tidak akan berarti jika mnunjukkan suatu matriks yang konsisten Pengujian Konsistensi Hirarki Pengujian konsistensi hirarki dilakukan dengan mengaikan semua nilai consistency indeks (CI) dengan bobot suatu criteria yang menjadi acuan pada suatu matriks perbandingan brpasangan lalu menjumlahkannya Jumlah tersebut

10 16 akan dibandingkan dengan nilai yang didapat dengan cara sama tetapi untu suatu matriks random Hasil akhirnya berupa suatu parameter yang dinamakan Consistency Ratio (CR), dengan rumus: (2 9) Di mana: CI = Consistency Indeks RI = Random Indeks Prosedur penghitungan data dilakukan dengan cara: 1 Perbandingan antarkriteria yang dilakukan untuk seluruh hirarki akan menghasilkan beberapa matriks perbandingan berpasangan Setiap matris akan mempunyai beberapa hal sebagai berikut: a Satu kriteria yang menjadi acuan perbandingan antarkriteria pada tingkat hirarki di bawahnya b Nilai bobot untuk criteria acuan tersebut, relatif terhadap kriteria yang berada di tingkat yang lebih tinggi c Nilai Consistency Indeks (CI) untuk matriks perbandingan berpasangan d Nilai Random Indeks (RI) untuk matriks perbandingan berpasangan tersebut 2 Untuk setiap matriks perbandingan, kalikan nilai CI dengan bobot kriteria acuan Jumlahkan semua hasil perkalian tersebut, maka didapatkan Consistency Indeks Untuk setiap matriks perbandingan, kalikan nilai RI dengan bobot acuan Jumlahkan semua hasil perkalian tersebut, maka didapatkan Random Indeks (RI) 3 Nilai CR didapatkan dengan pembagian nilai CI dengan nilai RI Sama halnya dengan konsistensi matriks perbandingan berpasangan, sutu hirarki disebut konsisten bila nilai CRH tidak lebih dari 01 (10%)

11 Eigen Value dan Eigen Vector Untuk melengkapi pembahasan tentang eigen value dan eigen vector maka akan diberikan definisi-definisi mengenai matriks dan vektor Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, di mana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan barisbaris Sekumpulan himpunan objek (bilangan riil atau kompleks, variablevariabel) yang disusun secara persegi panjang (yang terdiri dari baris dan kolom) yang biasanya dibatasi dengan kurung siku atau biasa Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n kolom maka matriks tersebut berukuran (ordo) m x n Matriks dikatakan bujur sangkar (square matrix) jika m = n Dan skalar skalarnya berada di baris ke-i dan kolom ke-j yang disebut (ij) matriks entri Perkalian Matriks Untuk melakukan perkalian matriks dapat dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama (2 10) Contoh: [ ] [ ] [ ] [ ] Transpose Matriks

12 18 Transpose suatu matriks ialah suatu matriks baru yang mana elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru ini, dengan kata lain baris ke-i dari matriks A menjadi kolom ke-i dari matriks baru Transpose suatu matriks diperoleh dengan menukarkan unsur baris menjadi unsur kolom Transpose matriks A dinyatakan dengan atau [ ] [ ] Determinan Matriks Determinan matriks ( ) berukuran adalah suatu saklar yang menentukan matriks, dengan disebut orde dari determinan Determinan matriks dinyatakan dengan ( ) atau A Secara umum determinan dapat dicari dengan: 1 Ekspansi kofaktor dengan kaidah Cramer a Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, minor entri dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tinggal setelah baris ke- dan kolom ke- Bilangan ( ) dinyatakan oleh dinamakan kofaktor entri b Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks dinamakan matriks kofaktor A Transposisi matriks ini dinamakan adjoin dari A dinyatakan dengan adj(a) 2 Menentukan determinan dengan aturan laplace (ekspansi) kofaktor yang ditentukan dengan cara berikut: a Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j Det(A) = a 1j K 1j + a 2j K 2j + + a nj K nj b Ekspansi kofaktor sepanjang kolok ke-i, dengan a ij adalah elemen unsur matriks dan K 1j adalah kofaktor

13 Vektor dari n Dimensi Suatu vektor dengan dimensi merupakan suatu susunan elemen-elemen yang teratur berupa angka-angka sebanyak buah yang disusun baik menurut baris, dari kiri ke kanan (disebut vektor baris dengan ordo ) maupun menurut kolom, dari atas ke bawah (disebut vektor kolom dengan ordo ) Himpunan semua vektor dengan komponen dengan entri riil dinotasikan dengan Untuk vektor dirumuskan sebagai berikut: [ ] (2 11) Eigen Value dan Eigen Vector Definisi: jika adalah matriks maka vektor tak nol di dalam dinamakan eigen vektor dari kelipatan saklar, yakni: (2 12) Saklar dinamakan eigen value dari dan dikatakan eigen vector yang bersesuaian dengan Untuk mencapai eigen value dari matriks yang berukuran, maka dapat ditulis pada persamaan berikut: (2 13) Atau secara ekivalen ( ) (2 14) Agar lamda menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini Akan tetapi, persamaan di atas akan mempunyai pemecahan nol jika dan hanya jika: ( ) (2 15)

14 20 Ini dinamakan persamaan karakteristik, saklar yang memenuhi persamaan ini adalah eigen value dari Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen terhadap elemen adalah, maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan yakni Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor ( ) Nilai menyatakan bobot kriteria terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut Jika mewakili derajat kepentingan terhadap faktor dan menyatakan kepentingan dari faktor terhadap, maka agar keputusan menjadi konsisten, kepentingan terhadap faktor, harus sama dengan atau jika untuk semua maka matriks tersebut konsisten Untuk suatu matrik konsisten dengan vektor ω, maka elemen dapat ditulis menjadi: (2 15) Jadi matriks konsisten adalah: (2 16) Seperti yang diuraikan di atas, maka untuk pair-ise comparison matriks diuraikan seperti berikut ini: (2 17) Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa: (2 18) Dengan demikian untuk pair-ise comparison matriks yang konsisten menjadi: (2 19) Persamaan di atas ekivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini: (2 20)