APLIKASI RESIDU KUADRATIK PADA SKEMA KRIPTOGRAFI RABIN THE APPLICATION OF QUADRATIC RESIDUE ON CRYPTOGRAPHIC SCHEME RABIN

Transkripsi

1 1 APLIKASI RESIDU KUADRATIK PADA SKEMA KRIPTOGRAFI RABIN THE APPLICATION OF QUADRATIC RESIDUE ON CRYPTOGRAPHIC SCHEME RABIN Arman Efendi 1, Loeky Haryanto 2, Amir Kamal Amir 2 1 SMAN 5 Tanralili, Kabupaten Maros, Propinsi Sulawesi Selatan, 2 Bagian Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Makassar Alamat Korespondensi : Arman Efendi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, HP : armanefendi@gmail.com

2 2 ABSTRAK Kriptografi dengan menggunakan skema kripto Rabin adalah salah satu dari sekian banyak pengkodean yang menggunakan residu kuadratik. Tulisan tugas akhir ini bertujuan mengetahui (1) penurunan dan sifat-sifat simbol Jacobi (a/n) apabila N = pq, di mana p dan q bilangan prima; (2) aplikasi teori residu kuadratik modulo N = pq dan simbol Jacobi pada skema kripto Rabin. Bilangan bulat N = pq dengan p dan q prima kongruen 3 modulo 4 disebut bilangan Blum. Penulisan terbagi atas dua tahap: (i) melakukan kajian pustaka dan referensi yang berkaitan dengan residu kuadratik, dan simbol Jacobi (a/n) di mana N bilangan Blum; (ii) menurunkan sifat-sifat residu kuadratik modulo bilangan Blum N dan kaitannya dengan skema kripto Rabin. Hasil yang diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah: (i) beberapa sifat-sifat residu kuadratik modulo bilangan Blum dan sifat-sifat simbol Jacobi (a/n) dengan N adalah bilangan Blum; (ii) penurunan dan verifikasi langkah-langkah algoritma enskriptsi dan deskriptsi skema Rabin berdasarkan teori residu kuadratik dan simbol Jacobi. Kata Kunci : residu kuadratik, simbol Legendre, simbol Jacobi, skema kripto Rabin ABSTRACT Cryptography using the crypto Rabin's scheme is one of the many coding using quadratic resiues.this final paper aims to (1) derive some properties of Jacobi symbol (a/n) when N = pq, where p and q are primes, (2) applications the notions of quadratic residues modulo N = pq and Jacobi symbols on Rabin s cryptographic scheme; The writing is splitted over three stages: (i) bibliographic study on references related to the notion of quadratic residues and Jacobi symbol (a/n) where N is a Blum integer; (ii) deriving the properties of quadratic residues modulo a Blum integer N and their relationships with Rabin s crypto scheme. The output of this thesis are: (i) some properties of quadratic residues modulo N = pq and of Jacobi simbol (a/n) where N is a Blum integer; (ii) some derivations and verifications of steps in the enscription/description algorithms of Rabin s crypto scheme based on quadratic residues and Jacobi symbols. Keywords: Quadratic residues, Legendre symbol, Jacobi symbol, Rabin s crypto scheme

3 3 PENDAHULUAN Tingkat kesulitan membobol sistem keamanan RSA yang salah satu kunci publiknya adalah bilangan N = pq, dengan p dan q prima berukuran sangat besar tetapi tidak diketahui publik (walaupun nilai N diketahui publik), dipercaya sama sulitnya dengan mencari kedua faktor p dan q dari N. Sayangnya, tak ada satu orang pun yang bisa membuktikan bahwa sistem RSA provably secure, yaitu tidak ada bukti bahwa satu-satunya cara untuk membobol sistem keamanan RSA adalah dengan mencari kedua faktor p dan q. Walaupun demikian, dalam praktek belum pernah terbukti adanya sebuah metoda membobol RSA tanpa menggunakan pengetahuan kedua faktor prima p dan q (Scheilder dkk, 1994). Dalam komunikasi data secara digital, semua data pada umumnya di konversi menjadi bilangan, sebagian besar dalam basis 2 (bilangan biner). Hal ini menyebabkan konsep teori bilangan termasuk yang di bahas secara aljabar (algebraic number theory) sangat berpotensi sebagai mathematical tool yang sangat ampuh di dalam pemodelan dan perancangan sistem yang di buat untuk meningkatkan keamanan data. Komunikasi data di ruang publik (melalui internet misalnya) memerlukan sistem keamanan yang memadai. Bidang ilmu yang membahas sistem keamanan komunikasi digital di ruang publik disebut kriptografi. Saat ini, sistem keamanan publik yang paling populer secara komersial adalah sistem kriptografi RSA, nama yang diadopsi dari ketiga penemunya: R.L. Rivest, A. Shamir, and L. Adleman (Menez dkk,1996). Pada intinya, RSA hanya menggunakan proses encoding dan decoding yang sangat efisien (karena secara matematis hanya memerlukan Teorema Euler untuk proses deskriptsi-nya) sehingga RSA adalah skema kriptografi yang paling diminati saat ini. Dari lain pihak, residu kuadratis lebih umum, teori bilangan Gauss, sering digunakan sebagai alat di dalam beberapa skema kriptografi untuk menutup kelemahan dari skema kriptografi RSA (yang tidak provably secure) ( Despotovic,2000). Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan dan sifat-sifat simbol Jacobi (a/n) apabila N = pq, di mana p dan q bilangan prima dan menerapkan teori residu kuadratik modulo bilangan Blum N = pq pada skema kripto Rabin;

4 4 BAHAN DAN METODE Lokasi dan Rancangan Penelitian Penelitian ini bertempat di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin. Rancangan penelitian ini berbentuk penelitian kualitatif dengan melakukan studi kepustakaan, dengan mengumpulkan dan mengkaji materi-materi yang berkaitan dengan residu kuadratik. Analisis Penelitian matematika pada umumnya adalah penelitian secara deduktif, tanpa menggunakan data. Penelitian dilakukan dengan melalui tahapan perumusan beberapa definisi secara deduktif, diawali dari residu kuadratik, simbol Legendre, simbol Jacobi dan seterusnya dan dari setiap konsep yang didefinisikan, diturunkan beberapa sifatsifat dari konsep tersebut. Langkah selanjutnya adalah merumuskan skema kripto Rabin: enskriptsi dan deskriptsi skema kripto tersebut, termasuk analisis dan pembuktian bahwa skema kripto tersebut bisa diimplementasikan dan diverifikasi kebenarannya. Dalam penelitian tugas akhir, dihasilkan juga program Maple dan Maplet untuk simulasi skema kripto Rabin, tetapi untuk mempersingkat penulisan, tidak disajikan di sini.

5 5 HASIL Hasil yang dibahas di sini terfokus pada salah satu subgroup (disebut grup residu kuadratis) dari grup bilangan-bilangan bulat Z N = {x Z 1 x < N ; FPB(x, N) = 1}. Banyak unsur dari Z N dinyatakan melalui simbol (N). Teorema 1 (Teorema Euler): Untuk setiap a Z N berlaku a (N) 1 (mod N). Bukti teorema ini ditiadakan karena bisa dijumpai di semua buku teks pengenalan aljabar abtrak. Pada khususnya, jika N = p prima, maka berlaku (Teorema Fermat) a p1 1 (mod p). Definisi 1 (Residu kuadratik) : Unsur a Z N disebut unsur residu kuadratik modulo N jika kongruensi x 2 a (mod N) memiliki sebuah solusi x Z N. Jika kongruesni ini tidak memiliki solusi maka a disebut unsur nonresidu kuadratik modulo N Contoh 1: Untuk Z 7 dengan anggota himpunan {1,2,3,4,5,6}. Unsur yang termasuk residu kuadratik adalah {1,2,4}. Untuk Z 15 dengan anggota himpunan {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}. Unsur yang termasuk residu kuadratik adalah {1,2,4,5,6,9,10}. Teorema 2 : Jika p > 2 adalah bilangan prima maka terdapat sebanyak (p 1)/2 unsur-unsur residu kuadratik dan sebanyak (p 1)/2 unsur nonresidu kuadratik di dalam Z p. Bukti. Pemetaan α: Z p Z p dengan α(x) = x 2 adalah homomorfisma dengan sifat, setiap dua unsur (x dan x) di dalam Z p dipetakan ke tepat 1 unsur (x 2 ) juga di dalam Z p. Jadi daerah sekawan Z p terbagi dua: di luar daerah hasil (range) dan di dalam daerah hasil. Jelas semua unsur di dalam daerah hasil adalah unsur residu kuadratik yang membentuk subgrup yang banyaknya ½ dari Z p = p 1. Contoh 2: Untuk Z 11 dengan anggota himpunan {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Unsur yang termasuk residu kuadratik adalah {1,3,4,5,9} sedangkan {2,6,7,8,10} bukan residu kuadratik sehingga unsur residu kuadratik yang membentuk subgrup banyaknya ½ dari Z 11 = 11 1 yaitu ½.(11-1) = 5

6 6 Definisi 2 (Simbol Legendre) : Jika c Z didefinisikan symbol c 0, jika c kelipatan p p = 1, jika c adalah kuadratik residu modulo p 1, jika c adalah nonkuadratik residu modulo p Simbol c p di sebut simbol Legendre dari c modulo p. dan p > 2 adalah prima, maka Jelas untuk setiap c yang kongruen dengan suatu unsur x Z p berlaku c p = ±1. Teorema berikut adalah teorema standard dalam teori bilangan yang pembuktiannya bisa dijumpai di semua buku pengenalan teori bilangan. Teorema 3 : Jika p > 2 adalah prima, maka c c() mod p p Definisi 3 (Simbol Jacobi) : Misalkan b adalah bilangan bulat ganjil positif dan a adalah bilangan bulat. Jika b = p p p adalah faktorisasi prima dari dimana p tidak harus berbeda, maka didefinisikan Simbol disebut simbol Jacobi. a b = a p a p a p. Definisi 4 (Bilangan Blum) : Bilangan bulat positif N dengan N = pq dengan p dan q adalah bilangan prima yang masing-masing kongruen dengan 3 modulo 4 disebut bilangan Blum. Apabila x adalah solusi dari kongruensi x 2 c mod N, (1) maka x sering disebut akar dari c modulo N. Tentu saja negatif dari akar c juga akar dari c modulo N sehingga akar ini biasa ditulis sebagai x ± c mod N. (2) Jika N = pq dengan p dan q prima, maka dari Chinese Remainder Theorem bisa disimpulkan bahwa kongruensi (2) ekuivalen dengan kongruensi x ± c mod p, x ± c mod q. (3)

7 7 Dengan kata lain, sebuah kongruensi (1) ekuivalen dengan dua kongruensi x 2 c mod p, x 2 c mod q. (4) Tetapi mencari ± c mod N (atau mencari ± c mod p dan ± c mod q) tidak selalu mudah, kecuali pada kasus N adalah bilangan Blum, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 4 : Jika N pq dan c x 2 mod N maka (1). x = ±c (p+1)/4 mod N memenuhi kongruensi pertama di dalam ekspresi (4); (2). x = ±c (q+1)/4 mod N memenuhi kongruensi kedua di dalam ekspresi (4). Bukti. Cukup dibuktikan pernyataan (1) karena bukti pernyataan (2) serupa. Jika x = ±c (p+1)/4 mod N maka x 2 c (p+1)/2 mod p dan x 2 c (p+1)/2 mod p c (p1)/2 + 1 mod p c (p1)/2 c mod p (c c (p1)/2 mod p). Karena diketahui c x 2 mod N, maka c adalah residu kuadratis sehingga jika hasil terakhir dilanjutkan, diperoleh x 2 (c c (p1)/2 mod p) (c mod p)(1 mod p) c mod p. Untuk selanjutnya, nilai-nilai ke-4 akar yang diperoleh dari Teorema 6 masingmasing diberi nama sebagai berikut: m p = c (p+1)/4 mod N dan negatifnya: m p = N m p. m q = c (q+1)/4 mod N dan negatifnya: m q = N m q. Karena ke-4 nilai m p, m p, m q dan m q adalah solusi dari ekspresi (4) yang ekuivalen dengan ekspresi (3) dan karena ekspresi (3) bisa ditulis ulang dan diuraikan sebagai 4 kongruensi i. x m p mod p, x m q mod q; ii. x m p mod p, x m q mod q; iii. x m p mod p, x m q mod q; iv. x m p mod p, x m q mod q; maka karena ekspresi (3) ekuivalen dengan ekpresi (1) dan juga dengan ekspresi (2), ke-4 solusi dari kongruensi i, ii, iii dan iv adalah solusi dari (1) dan (2). Untuk selanjutnya, solusi dari i, ii, iii dan iv masing-masing disebut Akar-1, Akar-2, Akar-3 dan Akar-4. (5)

8 8 PEMBAHASAN SKEMA KRIPTO RABIN Pada penelitian ini terlihat bahwa residu kuadratik yang diselesaikan dengan metode Rabin menghasilkan empat buah nilai akar, namun untuk menentukan nilai yang tepat digunakan cara Elia Michele dengan menambahkan parameter lain yaitu nilai b 0 dan b 1. Jika c Z dan p > 2 adalah prima, maka didefinisikan symbol c 0, jika c kelipatan p p = 1, jika c adalah kuadratik residu modulo p 1, jika c adalah nonkuadratik residu modulo p Simbol c p di sebut simbol Legendre dari c modulo p.(hassan dkk,2011). Bentuk c() mod p adalah hubungan antara simbol legendre dengan residu kuadratik dalam bentuk bilangan modulo. (Sorin,2012). Penggunaan simbol jacobi merupakan perluasan dari simbol legendre yang berbentuk : a b = a p a p a p Di mana adalah simbol legendre dengan 1 i m (Giovani dkk,2007) Penggunaan bilangan bulat positif N dengan N = pq dengan p dan q adalah bilangan prima yang masing-masing kongruen dengan 3 modulo 4 disebut bilangan Blum. (Hard,1997). (Residu kuadratik) : Unsur a Z N disebut unsur residu kuadratik modulo N jika kongruensi x 2 a (mod N) memiliki sebuah solusi x Z N. Jika kongruesni ini tidak memiliki solusi maka a disebut unsur nonresidu kuadratik modulo N (Mollin,2008). Jika N pq dan c x 2 mod N maka (1). x = ±c (p+1)/4 mod N memenuhi kongruensi pertama yaitu x 2 c mod p.; (2). x = ±c (q+1)/4 mod N memenuhi kongruensi kedua x 2 c mod q.. (Tsung dkk,2010). Dengan hasil akhir adalah empat buah akar seperti berikut ini : m p = c (p+1)/4 mod N dan negatifnya: m p = N m p. m q = c (q+1)/4 mod N dan negatifnya: m q = N m q. (Rabin,1979).

9 9 Penggunaan RSA juga dibahas oleh Renate Scheilder dan Williams Hugh C. dengan judul A Public-Key Cryptosystem Utilizing Cyclotomic Fields pada tahun 1994 secara umum dengan kunci publik r,s,c 1,...,c -1 dengan kunci rahasia d tanpa membahas secara khusus untuk bilangan Blum dan residu kuadratik (Scheidler dkk,1994). Depostovic Zoran membahas RSA dengan judul A Public-Key Cryptosystem Using Cyclotomic Fields pada tahun 2000 dengan membahas secara umum, namun untuk residu kuadratik digunakan tiga publik key yaitu N,e,S dengan private key adalah d. (Zoran,2000). Tapi di tulisan ini penentuan publik key hanya satu yaitu N saja dengan private key adalah p,q,b 0,b 1 dengan p dan q memenuhi blum integer sehingga lebih mudah dalam pembuatan aplikasinya namun sulit untuk di pecahkan kodenya karena pengkodeannya mirip dengan RSA. (Michele dkk,2011). Penelitian ini menghasilkan rumusan penyelesaian tentang penentuan akarakar dari residu kuadratik dengan cara menggunakan metode rabin dan dua buah syarat lainnya yaitu b 0 = m mod 2 dan b 1 = 1 m 1 2 N (Michele dkk,2011). Penentuan akar residu kuadratik ini diperoleh sebagai berikut : (1).Mencari m p Z * N, m q Z * N, N m p Z * N, N m N Z * N sedemikian sehingga c m 2 p = m 2 p = (p m 2 p ) mod N dan c m 2 q = m 2 q = (q m 2 q ) mod N. Dalam program Maple, m p, N mp, m q dan N m q diberi nama Akar1, Akar2, Akar3 dan Akar4. (2).Mencari Sol 1, Sol 2, Sol 3, Sol 4 Z * N dengan menggunakan CRT sedemikian sehingga Sol 1 adalah solusi dari sistem kongruensi x = m p mod p, x = m q mod q. Sol 2 adalah solusi dari sistem kongruensi x = m p mod p, x = q m q mod q. Sol 3 adalah solusi dari sistem kongruensi x = p m p mod p, x = m q mod q. Sol 4 adalah solusi dari sistem kongruensi x = p m p mod p, x = q m q mod q. (3).Menentukan nilai m di antara ke-4 nilai akar dari c: Sol 1, Sol 2, Sol 3, Sol 4. Hasil di atas menunjukkan bahwa setiap bilangan di dalam Z N memiliki 4 akar. Pada khususnya, unsur satuan 1 juga memiliki 4 akar, katakana 1, 1, a dan a, di mana a 1 memenuhi a 2 1. Dengan kata lain, pemetaan f: Z N Z N dengan f(x) = x 2 mod N adalah homomorfisma grup dengan kernel f 1 (1) = {1, a, a, 1} yang diperoleh dengan memilih pesan sandi c = 1. Jika

10 10 H = f 1 (1), setiap akar dari c 1 berada di dalam koset mh = {m, am, am, m} = f 1 (c). Banyaknya koset adalah Z ( N) N / H = 4 = ( p 1)( q 1) 4 dan koset-koset ini membentuk grup faktor Z N /H yang isomorfik dengan satusatunya subgrup Z N yang berorder (p 1)(q 1)/4. Hasil ini dan hasil pembahasan sebelumnya membuktikan teorema berikut. Teorema 5 : Di antara ke-4 solusi Sol1, Sol2, Sol3 dan Sol4 (solusi dari kongruensi i, ii, iii dan iv dalam ekspresi (5)), hanya tepat satu di antaranya yang merupakan unsur residu kuadratis modulo p dan sekaligus residu kuadratis modulo q. Pada skema Rabin dengan pesan asli m, himpunan solusi {Sol(1), Sol(2), Sol(3), Sol(4)} sama dengan koset mh = {m, am, am, m}. Masalahnya adalah bagaimana menentukan salah satu dari Sol(1) atau Sol(2) atau Sol(3) atau Sol(4) adalah sama dengan m. (Michele dkk,2011). Teorema 6 : Jika p dan q adalah dua bilangan prima yang berbeda dan N = pq maka ke-4 akar Sol(1), Sol(2), Sol(3) dan Sol(4) terpartisi atas dua subhimpunan X 1 dan X 2 di mana X 1 = {Sol(1), Sol(4)} sedemikian hingga Sol(1) mod 2 Sol(4) mod 2 dan X 2 = {Sol(2), Sol(3)} sedemikian hingga Sol(2) mod 2 Sol(3) mod 2. (Michele dkk,2011). Bukti: Mudah dibuktikan bahwa Sol(1) dan Sol(4) selalu berbeda paritas, demikian pula Sol(2) dan Sol(3). Jadi berdasarkan pembahasan koset H di atas, terbentuk dua kasus yang tidak bisa terjadi secara bersamaan: Kasus 1: {Sol(1), Sol(4)} = {m, m} dan {Sol(2), Sol(3)} = {am, am}. Kasus 2: {Sol(1), Sol(4)} = {am, am} dan {Sol(2), Sol(3)} = {m, m}. Teorema 7 : Jika m p mod 2 = m q mod 2 maka (Sol(1) mod p) mod 2 = (Sol(4) mod q) mod 2, sedangkan (Sol(2) mod p) mod 2 (Sol(3) mod q) mod 2. (Michele dkk,2011). Dari kedua Teorema 6 di atas, nilai bit dari solusi ini akan mengidentifikasi Sol(1) terpisah dari Sol(4) dan Sol(2) terpisah dari Sol(3). Akhirnya dengan menggunakan Teorema 7, bisa disimpulkan bahwa penentuan akar yang benar adalah sebagai berikut : (1).Jika b0 = Sol[1] mod 2 dan b1 = 1 maka z =Sol[1]; b1 = 1 & (m p, m q ) (m p, m q ). (2).Jika b0 = Sol[2] mod 2 dan b1 = 1 maka z =Sol[4]; sebab b0 = Sol[4] mod 2 dan b1 = 1 & (m p, m p ) (m p, m q ). (3). Jika b0 = Sol[3] mod

11 11 2 dan b1 = 1 maka z =Sol[4]; sebab b0 = Sol[4] mod 2 dan b1 = 1 & (m p, m q ) (m p, m q ). (5).Jika b0 = Sol[4] mod 2 dan b1 = 1 maka z =Sol[1]; sebab b0 = Sol[1] mod 2 dan b1 = 1 & (m p, m q ) (m p, m q ). (6). Jika b0 = Sol[1] mod 2 dan b1 = 0 maka z =Sol[3]; sebab b0 = Sol[3] mod 2 dan b1 = 0 & (m p, m q ) (m p, m q ). (7). Jika b0 = Sol[2] mod 2 dan b1 = 0 maka z =Sol[2]; sebab b0 = Sol[2] mod 2 dan b1 = 0 & (m p, m q ) (m p, m q ). (8). Jika b0 = Sol[3] mod 2 dan b1 = 0 maka z =Sol[3]; sebab b0 = Sol[3] mod 2 dan b1 = 0 & (m p, m q ) (m p, m q ). (9). Jika b0 = Sol[4] mod 2 dan b1 = 0 maka z =Sol[2]; sebab b0 = Sol[2] mod 2 dan b1 = 0 & (m p, m q ) (m p, m q ). (Michele dkk,2011).

12 12 KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh maka residu kuadratik yang diselesaikan dengan metode Rabin menghasilkan empat buah nilai akar, namun untuk menentukan nilai yang tepat digunakan cara Elia Michele dengan menambahkan parameter lain yaitu nilai b 0 dan b 1.

13 13 DAFTAR PUSTAKA Giovani Dicresenzo, Vishal Saraswat (2007). INDOCRYPT'07 Proceedings of the cryptology 8th international conference on Progress in cryptology. Pages Hassan Aly, Arne Winterhof (2011). Boolean functions derived from Fermat quotients, Journal Cryptography and Communications Volume 3 Issue 3, September 2011 : Hard Joe, (1997), Blum Integer, Trinity College. Michele Elia, Piva Matteo, Schipani Davide (2011). The Rabin Cryptosystem revisited, Politecnico di Torino Italy, Universita di Trento Italy, university of Zurich Switzerland, Universita Degly Studi Journal of Cryptography 2011(1):1-12. Menez J.Alfred, Van Oorschot., Scott A van Stone.(1996), Handbook of Applied Cryptography, Massachusetts Institute of Technology, Mollin Richards A., (2008), Fundamental Number Theory With Applications, Second Edition, Chapman & Hall/CRC. Rabin O. Michael (1997), Digitalized Signatures and public Key Functions as Intractable as Factorization, MIT/LCS/TR-212 Report, Massachusetts Institute of Technology Laboratory For Computer Science, Sori Iftene (2012). Departemen of Computer Science, A1. I.Cusa University Iasi, Rumania. Scheidler R. and Hugh C.Williams (1995). A Public-Key Cryptosystem Utilizing Cyclotomic Fields, Kluwer Academic Publishers, Boston. Kluwer academic Publisher, Boston. Journal Designs, Codes and Cryptography Volume 6 Issues2, 95(2): Tsung-Ching-Lin, Hung-Peng-Lee, Hsin-Chiu-Chang,Shao-I-Chu,Trieu-Kien-Truong (2010), High speed decoding of the binary (47,24,11) quadratic residue code. Journal Information Sciences: an International Journal Volume 180 Issue 20: 2010: Zoran Despotovic (2000). A Public-Key Cryptosystem Using Cyclotomic Fields, EPFL DSC Graduate School project report.