BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Kriptografi Kriptografi pada awalnya dijabarkan sebagai ilmu yang mempelajari bagaimana menyembunyikan pesan. Namun pada pengertian modern kriptografi adalah ilmu yang bersandarkan pada teknik matematika untuk berurusan dengan keamanan informasi seperti kerahasiaan, keutuhan data dan otentikasi entitas. Jadi pengertian kriptografi modern adalah tidak saja berurusan hanya dengan penyembunyian pesan namun lebih pada sekumpulan teknik yang menyediakan keamanan informasi. Kriptografi klasik umumnya merupakan teknik penyandian dengan kunci simetrik dan menyembunyikan pesan yang memiliki arti ke sebuah pesan yang nampaknya tidak memiliki arti dengan metode pergantian huruf (substitusi) atau transpose (pertukaran tempat)..1.1 Sistem Kriptografi Sistem kriptografi terdiri dari 5 bagian, yaitu : 1. Plaintext: pesan atau data dalam bentuk aslinya yang dapat terbaca. Plaintext adalah masukan bagi algoritma enkripsi. Untuk selanjutnya digunakan istilah teks asli sebagai padanan kata plaintext.. Secret Key: secret key yang juga merupakan masukan bagi algoritma enkripsi merupakan nilai yang bebas terhadap teks asli dan menentukan hasil keluaran algoritma enkipsi. Untuk selanjutnya digunakan istilah kunci rahasia sebagai padanan kata secret key. 3. Ciphertext: ciphertext adalah keluaran algoritma enkripsi. Ciphertext dapat dianggap sebagai pesan dalam bentuk tersembunyi. Algoritma enkripsi yang baik akan menghasilkan ciphertext yang terlihat acak. Untuk selanjutnya digunakan istilah teks sandi sebagai padanan kata ciphertext.

2 4. Algoritma Enkripsi: algoritma enkripsi memiliki masukan teks asli dan kunci rahasia. Algoritma enkripsi melakukan transformasi terhadap teks asli sehingga menghasilkan teks sandi. 5. Algoritma Dekripsi: algoritma dekripsi memiliki masukan yaitu teks sandi dan kunci rahasia. Algoritma dekripsi memulihkan kembali teks sandi menjadi teks asli bila kunci rahasia yang dipakai algoritma dekripsi sama dengan kunci rahasia yang dipakai algoritma enkripsi (Sadikin, 01). Eve Alice M Algoritma Enkripsi C Saluran Publik Algoritma Dekripsi M Bob K K Saluran Aman Sumber Kunci Gambar.1 Sistem Kriptografi Konvensional Sumber Gambar: (Sadikin, 01) Pada Gambar.1 kunci rahasia dibangkitkan oleh pembangkit kunci dan dikirim melalui saluran aman ke pihak penyandi (encryptor) maupun penerima sandi (decryptor). Teks sandi dikirim melalui saluran umum sehingga ada pihak ketiga yang dapat membaca teks sandi itu (Sadikin, 01).. Sistem Kriptografi RSA Pada tahun 1977, Rivest, Shamir, dan Adleman merumuskan algoritma praktis yang mengimplementasikan sistem kriptografi kunci publik yang disebut dengan sistem kriptografi RSA. Meskipun pada tahun 1977 badan sandi Inggris memublikasikan bahwa Clifford Cock telah merumuskan sistem kriptografi RSA 3 tahun lebih dahulu daripada Rivest, Shamir dan Adleman. Algoritma enkripsi dan dekripsi sistem kriptografi RSA bersandar pada asumsi fungsi satu arah (one-way function) yang dibangun oleh fungsi eksponensial modular

3 dengan n = p q, p dan q adalah bilangan prima dan Φ (n) = (p 1) (q 1). Gambar. mengilustrasikan sistem kriptografi kunci publik RSA (Sadikin, 01). Kunci publik (e,n) Pilih p dan q n = p.q (e,d) ß Φ(n) Bob Alice Kunci Privat (d) P C = P e mod n C P = C d mod n P Teks asli Enkripsi Dekripsi Teks sandi Teks asli Gambar. Sistem kriptografi dengan kunci publik RSA. Sumber Gambar: (Sadikin, 01) Pada Gambar. digambarkan skema sistem kriptografi RSA biasa tanpa tambahan modifikasi apapun dimana terdapat kunci public (n,e) dan kunci private d. Nilai n dapat diakses oleh publik, sehingga rentan terhadap serangan faktorisasi. Pada saat ini RSA yang dianggap aman adalah RSA dengan ukuran 104 sampai dengan 048 bit (Sadikin, 01). Sistem kriptografi RSA dapat dimodifikasi, beberapa varian yang ada diantaranya: RSA-CRT, Multiprime-RSA, Takagi-RSA (Galbraith, 01). Modifikasi ini muncul untuk meningkatkan waktu komputasi dan tingkat keamanan algoritma RSA dari berbagai serangan. Sistem Kriptografi RSA biasanya dimanfaatkan sebagai pengaman pesan pendek misalnya sebagai otentikasi atau digital signature (Sadikin, 01)...1 Algoritma RSA Proses atau cara kerja dari algoritma RSA dapat dilihat sebagai berikut: 1. Menentukan dua bilangan prima p q secara acak dan terpisah untuk tiap-tiap p dan q.. Melakukan perhitungan n = p q (n merupakan hasil perkalian dari p dikalikan dengan q). 3. Melakukan perhitungan nilai totient Φ (n) = (p - 1) (q - 1).

4 4. Menentukan nilai e dengan syarat bahwa bilangan tersebut merupakan bilangan bulat (integer) 1 < e < Φ (n) dan nilai GCD (Φ (n), e) = 1 dimana e ialah kunci publik. 5. Menghitung kunci dekripsi yang dilakukan dengan perhitungan kunci enkripsi dengan rumus d e -1 (mod Φ (n)) dimana d ialah kunci privat. 6. Setelah mendapatkan kunci-kunci tersebut maka dapat dilakukan proses enkripsi maupun proses dekripsi. 7. Rumus untuk melakukan proses enkripsi adalah C = P e mod n. 8. Rumus untuk melakukan proses dekripsi adalah P = C d mod n (Simarmata, 01). Contoh: Diketahui bilangan prima p = 17 dan q = 31. Selanjutnya dihitung parameter kunci publik (e, n) sebagai berikut: n = p q = = 57 Φ (n)= (p 1) (q 1) = 16 x 30 = 480 Misalnya e dipilih 77, nilai 77 memenuhi syarat karena GCD (480, 77) = 1. Jadi kunci publik (K publik ) = (77, 57). Sedangkan parameter d = 77-1 mod 480 = 93. Jadi kunci privat (K privat ) =93..3 Algoritma Miller-Rabin Algoritma Miller-Rabin merupakan algoritma probabilistik yang menguji keprimaan sebuah bilangan yang diberikan berdasarkan pada Fermat s LittleTheorem. Algoritma Miller-Rabin menghitung deret berikut secara berulang : aa mm aa mm aa mm aa kk 1mm aa kkmm (mmmmmm nn). Pada perhitungan aa ii mm dilakukan pengujian Fermat dan pengujian kepemilikan akar kuadrat untuk i = 0, 1,,, k. Jika pengujian akar kuadrat ialah positif, n dideklarasikan sebagai bilangan komposit. Jika pengujian Fermat ialah positif, maka n mungkin bilangan prima (Sadikin, 01). Berikut Algoritma Miller-Rabin: 1. Input sebuah bilangan yang akan diuji keprimaannya yaitu n.. Jika n < atau n habis dibagi, maka n bukan prima (STOP). 3. Temukan m dan k sehingga n 1 = k m, dengan m bernilai ganjil yang didapat melalui perulangan pembagian dari n-1 dan k merupakan jumlah perulangan.

5 4. Pilih sebuah bilangan acak a (1 < a < n-1). 5. x = a m mod n. Jika x = 1 atau x = n-1, maka lanjutkan ke tahap x = x mod n. Jika x = 1, maka n bukan prima (STOP). Jika x = n-1, maka lanjutkan ke tahap Lakukan perulangan pada tahap 6 sebanyak k Jika x!= n-1, maka n bukan prima (STOP). 9. Lakukan perulangan pada tahap 4-8 sebanyak t (panjang digit n). 10. n mungkin prima (Sadikin, 01)..4 Algoritma Euclid GCD Algoritma Euclid merupakan salah satu metode untuk menemukan Greatest Common Divisor (GCD). Berikut Algoritma Euclid GCD: 1. Input buah bilangan yang akan dicari GCD-nya yaitu m dan n.. Usahakan agar m > n. Jika tidak, maka tukar nilai m dan n. 3. Hitung r = m mod n. 4. Selama r!= 0, lakukan: m = n, n = r, r = m mod n. 5. Maka, nilai n saat ini adalah GCD dari m dan n..5 Metode Pollard ρ Metode Pollard ρ (baca Pollard Rho) dipublikasikan oleh John Pollard pada tahun Metode ini dipilih untuk menemukan faktor prima dari bilangan bulat yang besar dengan hanya menggunakan jumlah lokasi memori yang konstan (Sutomo, 005). Metode ini dikenal sebagi metode faktorisasi Pollard Monte Carlo. Algoritma Pollard ρ berdasar pada hal berikut ini: 1. Terdapat x 1 dan x sehingga s relatif prima terhadap (x 1 x ) tetapi N tidak relatif prima terhadap (x 1 x ) dimana N ialah sebuah bilangan bulat dan s ialah faktor pembagi N.

6 . Dapat dibuktikan bahwa s = GCD (x 1 x ) sehingga GCD(x 1 x, N) dapat bernilai 1 atau sebuah faktor N (Sadikin, 01). Metode Pollard ρ ialah metode probabilistik untuk memfaktorkan sebuah angka N dengan mengiterasikan sebuah fungsi polynomial di dalam modulo N. Umumnya fungsi yang digunakan ialah f(x) = x +1, karena telah terbukti bekerja dengan baik untuk masalah faktorisasi, namun fungsi polynomial lain dapat digunakan. John Pollard menyarankan untuk membandingkan x 1.i dengan x.i untuk i = 1,, 3,. Untuk setiap i, diperiksa apakah GCD(x 1.i x.i, N) merupakan faktor pembagi dari N. Jika GCD(x 1.i x.i, N) bernilai 1 atau N, maka proses iterasi dilanjutkan hingga faktor pembagi ditemukan (Barnes, 004). Berikut Algoritma Pollard ρ: 1. Input sebuah bilangan yang akan difaktorkan yaitu N.. Terdapat x 1 dan x. Dipilih seed (x 1 =, dan x = x 1 ) dan fungsi polynomial f(x) = x Lakukan perhitungan pada x 1 = f(x 1 ) dan x = f(f(x )). 4. Dilakukan perhitungan modulus pada x 1 = x 1 mod N dan x = x mod N. 5. Dilakukan perhitungan GCD untuk mencari faktor yaitu s = GCD( x i - x.i, N) 6. Lakukan perulangan pada tahap 3, 4 dan 5 hinnga s 1 dan s N 7. Jika s 1 dan s N, maka kedua faktor N ialah s dan N/s (Barnes, 004). Kompleksitas algoritma Pollard ρ membutuhkan perhitungan aritmatika sebanyak s, akan tetapi karena s diharapkan lebih kecil atau sama dengan N maka tetap saja algoritma faktorisasi Pollard ρ tidak memungkinkan untuk bilangan integer besar. Kompleksitas operasi-bit Pollard ρ adalah eksponensial yaitu, O( nb/4 ) dengan nb adalah jumlah bit N (Sutomo, 005). Contoh: Diambil n = 9 sebagai modulus, x 0 = sebagai seed dan f(x) = x + 1 sebagai fungsi polynomial, maka perhitungan menggunakan metode Pollard ρ ialah:

7 x 7 x 9 7 (mod 9) x 8 x 10 1 (mod 9) x 6 8 (mod 9) x 5 = 6 3 (mod 9) x 4 = (mod 9) x 3 = (mod 9) x = 6 x 1 = 5 x 0 = Gambar.3 Illustrasi Metode Pollard ρ Gambar.3 menunjukkan bahwa ketika x 9 dicapai, perhitungan berada dalam periode bolak-balik x 7 dan x 8. Ini membentuk sebuah sirkuit. Bentuk ini mengingatkan pada simbol yunani ρ (baca rho) (Mollin, 005). Pada RSA dengan n berukuran 104 bit, maka faktorisasi dengan algoritma Pollard ρ membutuhkan paling tidak 56 operasi aritmatika. Misalnya sebuah komputer mampu melakukan operasi sebanyak 30 per detiknya maka faktorisasi Pollard ρ membutuhkan 6 detik (Sadikin, 01) Modifikasi Pollard ρ Pada algoritma Pollard ρ biasa terdapat sebuah fungsi polynomial yang digunakan yaitu f(x) = x + 1. Fungsi ini diintegrasikan dengan modulo N untuk menghasilkan deretan bilangan. Oleh sebab itu diperlukan modifikasi pada fungsi polynomial tersebut untuk mengetahui apakah fungsi yang digunakan mempengaruhi kecepatan faktorisasi dari metode Pollard ρ. Dalam hal ini, fungsi yang akan digunakan ialah

8 fungsi polynomial pembangkit bilangan prima dengan harapan bahwa akan didapat faktor dari sebuah bilangan N dengan lebih cepat..5.. Fungsi Polynomial Legendre mengatakan bahwa tidak ada fungsi algebra rasional yang selalu menghasilkan bilangan prima. Fungsi polynomial terbaik yang dapat membangkitkan sangat banyak bilangan prima menurut Euler (177), Nagel (1951), Gardner (1984), Ball dan Coxeter (1987) yaitu: n + n + 41 yang menghasilkan bilangan prima berbeda untuk 40 urutan bilangan bulat n = Menurut Legendre pada tahun 1798, Fungsi n n +41 menghasilkan 40 bilangan prima untuk n = 1 40 dan bilangan tersebut disebut sebagai Euler Numbers. Fungsi polynomial digunakan dalam membangkitkan deret bilangan pada metode Pollard ρ. Berikut merupakan tabel fungsi polynomial hasil modifikasi yang digunakan dalam penelitian ini. Tabel.1 Daftar Fungsi Polynomial Polynomial Dapat difaktorkan Konstanta x + 1 Tidak Ganjil x + 1x + 11 Ya Prima x + x + 3 Tidak Prima 3x + 4x + 1 Ya Ganjil x x + 1 Tidak Ganjil Pada Tabel.1 terdapat 5 fungsi polynomial yang berbeda. Fungsi x + 1 merupakan fungsi polynomial standard yang paling sering digunakan pada metode Pollard ρ, sedangkan sisanya merupakan fungsi polynomial modifikasi yang dibangun berdasarkan kriteria, yaitu: apakah fungsi polynomial tersebut dapat difaktorkan dan nilai konstanta dari fungsi tersebut Faktorisasi Kunci RSA dengan Metode Pollard ρ Sistem Kriptografi RSA memiliki kunci publik (e, n) untuk enkripsi dan kunci privat (d) untuk dekripsi. Dengan memfaktorkan (n) akan didapat p dan q. Kemudian perhitungan untuk mencari (d) dapat dilakukan dengan mengikuti Algoritma RSA.

9 Contoh: Diketahui Kunci public (e, n) dimana e = 77, n = 57. Kemudian n akan difaktorkan untuk mendapatkan p dan q sehingga N = n = 57. Selanjutnya dicari faktor dari N dengan metode Pollard ρ. 1. Dipilih seed dan fungsi polynomial. x 1 =, x = x 1 dan f(x) = x +1.. Lakukan perhitungan pada x 1 = f(x 1 ) dan x = f(f(x )). x 1 = x = + 1 = 5, x = x + 1 = + 1 = 5, x = x + 1 = = Dilakukan perhitungan modulus pada x 1 = x 1 mod N dan x = x mod N. x 1 = 5 mod 57 = 5 x = 6 mod 57 = 6 4. Dilakukan perhitungan GCD untuk mencari faktor yaitu s = GCD( x 1 - x, N) s = GCD( 5-6, 57) = 1 5. Lakukan perulangan pada tahap, 3 dan 4 hinnga s 1 dan s N x 1 = x = = 6 x = x + 1 = = 677 x = x + 1 = = x 1 = 6 mod 57 = 6 x = mod 57 = 367 s = GCD( 6-367, 57) = Jika s 1 dan s N, maka kedua faktor N ialah p dan q dimana p = s = 31 dan q = N / s = 57 / 31 = 17 Selanjutnya dengan memanfaatkan p dan q tersebut dapat dihitung kunci privat d dengan algoritma RSA. Φ (n)= (p 1) x (q 1) = 16 x 30 = 480 Sedangkan parameter d = 77-1 mod 480 = 93. Jadi kunci privat (K privat ) = 93.

10 .6 Tinjauan Penelitian yang Relevan 1. B.R. Ambedkar dan S.S. Bedi dari MJP Rohilkhand University mengangkat judul penelitian A New Factorization Method to Factorize RSA Public Key Encryption. Pada penelitian ini, metode faktorisasi baru diajukan untuk mendapatkan faktor dari sebuah bilangan bulat positif N. Penelitian ini berfokus pada faktorisasi pada seluruh bilangan bulat trivial dan nontrivial dan membutuhkan tahap yang lebih sedikit untuk proses faktorisasi RSA modulus N. Metode ini didasarkan pada metode Pollard ρ (Ambedkar & Bedi 011).. Kuldeep Singh, Rajesh Verma dan Ritika Chehal mengangkat judul penelitian Modified Prime Number Factorization Algorithm (MPFA) for RSA Public Key Encryption. Penelitian ini berfokus pada faktorisasi pada seluruh bilangan bulat trivial dan nontrivial seperti halnya metode Fermat dan membutuhkan tahap yang lebih sedikit untuk proses faktorisasi RSA modulus N. Hasil eksperimen menunjukkan peningkatan kecepatan faktorisasi dibandingkan metode lain seperti Trial Division method, Fermat Factorization, Brent s Factorization method dan Pollard ρ factorization method (Singh & Verma 01). 3. Prasasti Imani dari Institut Pertanian Bogor mengangkat judul skripsi Analisis Keamanan Kriptosistem Kunci Publik RSA. Tugas Akhir ini bertujuan untuk mempelajari dan menganalisis algoritma RSA serta beberapa kemungkinan serangan yang dapat dilakukan oleh musuh terhadap kriptosistem ini. Salah satu serangannya yaitu analisis algoritma faktorisasi bilangan komposit menggunakan Pollard ρ. Hasil dari penganalisisan menunjukkan bahwa inti keamanan RSA adalah pada masalah RSA dan faktorisasi bilangan komposit (Imani, 00). 4. Toni Sutomo dari Universitas Indonesia mengangkat judul skripsinya Metode Pollard Rho dan Aplikasinya pada Penyelesaian IFP (Integer Factorization Problem) dan ECDLP (Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem). Tugas akhir ini memberikan pemaparan tentang penyelesaian masalah pemfaktoran bilangan bulat (integer factorization problem, IFP) dan masalah logaritma diskret dari suatu kurva eliptik (elliptic curve discrete logarithm problem, ECDLP) dengan menggunakan metode Pollard ρ. Kedua masalah tersebut merupakan dasar keamanan sistem kriptografi kunci publik (public key cryptography, PKC) (Sutomo,005).