METODE ELEMEN HINGGA. Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 1

Transkripsi

1 METODE ELEMEN HINGGA Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 1

2 PENGANTAR Metode Elemen Hingga adalah metode numeris untuk penyelesaian masalah teknik dan fisika matematis. Masalah tersebut meliputi: Analisa struktur Heat transfer Aliran fluida Perpindahan massa Elektromagnetik Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 2

3 PENGANTAR (lanjt.) Untuk permasalahan kompleks k dari geometri, pembebanan, dan sifat material, umumnya susah untuk menyelesaikannya secara matematis. Penyelesaian matematis adalah menggunakan persamaan matematis yang menghasilkan persamaan untuk mendapatkan informasi/penyelesaian dari nilai yang tidak diketahui disetiap lokasi dibagian struktur/objek. Penyelesaiannya umumnya menggunakan ODE & PDE. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 3

4 PENGANTAR (Lanjt.) Penyelesaian Metode Elemen Hingga menghasilkan persamaan dari masalah yang dianalisa dalam sistem persamaan serentak yang harus diselesaikan. Penyelesaian ini memberikan hasil/penyelesaian pendekatan dari nilai yang tidak diketahui pada titik tertentu dalam sistem yang kontinyu. Sistem yang kontinyu adalah istilah dari kondisi struktur/objek yang sebenarnya. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 4

5 Dikritisasi (discretization) adalah proses pemodelan dari struktur/ objek dengan membaginya dalam elemen-2 kecil (finite elemen atau elemen hingga) yang terhubung oleh titik-2 (nodes) yang digunakan oleh elemen-2 tersebut dan sebagai batas dari struktur/ objek. Dalam metode elemen hingga persamaan dari seluruh sistem dibentuk dari penggabungan persamaan elemen-2nya. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 5

6 Untuk masalah struktur: penyelesaian yang didapat adalah deformasi (displacement) pada setiap titik (nodes) yang selanjutnya digunakan untuk mendapatkan besaran-2 regangan (strain) dan tegangan (stress). Untuk masalah bukan struktur: Heat transfer: temperatur akibat flux temperatur. Fluid flow: tekanan fluida akibat flux fluida. Metode elemen hingga (finite elemen method) telah berkembang selama 35 tahun bersamaan dengan perkembangan e teknologi og komputer. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 6

7 Penyelesaian dari metode elemen hingga (MEH) umumnya menggunakan metode matriks. Penyelesaian MEH memerlukan perhitungan yang sangat banyak dan berulang-ulang dari persaamaan yang sama, sehingga diperlukan sarana komputer dan bahasa pemrogramannya. Penyelesaian dari seluruh sistem umumnya merupakan penyelesaian persamaan serentak yang dinyatakan dalam bentuk matriks dan diselesaian menggunakan penyelesaian persamaan serentak (Cholesky, Eliminasi Gauss, Iterasi Gauss-Seidel). Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 7

8 Sejarah singkat: Elemen satu dimensi dikembangkan oleh Hrennikoff (1941) dan McHenry (1943) sebagai elemen rangka (truss) dan balok (beam). Courant (1943) mengembangkan definisi tegangan dalam bentuk fungsi (variational form), shg. Sebagai awal penggunaan fungsi bentuk (shape function) yang diterapkan dalam elemen segitiga (elemen dua dimensi). Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 8

9 Levy (1947) mengembangkan metode fleksibilitas (flexibility method) atau metode gaya (force method). Pada tahun 1953, dia mengembangkan metode deformasi (displacement method) atau metode kekakuan (stiffness method). Pada masa itu usulannya sangat susah diterima oleh umum karena memerlukan banyak perhitungan sehingga diperlukan komputer sebagai sarana pendukung. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 9

10 Argyris dan Kelsey (1954) mengembangkan analisa struktur metode matriks menggunakan metode energi. Pengembangan ini menunjukkan pentingnya pendekatan prinsip energi dalam penyelesaian persamaan-2 metode elemen hingga. Awal penggunaan elemen dua dimensi dilakukan oleh Turner, Clough, Martin, dan Top (1956) dengan menurunkan persamaan untuk elemen rangka, balok, elemen segitiga dan persegi, pada pengembangan direct stiffness method untuk mendapatkan kekakuan sistem. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 10

11 Istilah finite element (elemen hingga) diperkenalkan oleh Clough pada th saat menggunakan elemen segitiga dan segi empat dalam analisa tegangan bidang (plane stress analysis). Melosh (1961) mengembangkan elemen pelat lentur (plate bending). Grafton dan Strome (1963) mengembangkan elemen shell dan axisymmetric shell untuk pemodelan pressure vessel. Martin (1961), Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962), Melosh (1963), dan Argyris (1964) mengembangkan elemen tiga dimensi i tetrahedral. t Clough, Rashid, dan Wilson (1965) mengembangkan elemen axisymmetric solid. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 11

12 Kebanyakan pendekatan regangan dan tegangan kecil dipakai dalam penyelesaian MEH ditahun 60-an. Turner, Dill, Martin, dan Melosh (1960) mengembangkan penyelesaian dari Large deformation and thermal analysis. Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962) mengembangkan penyelesaian kasus material tidak linier (non-linear material). Gallagher dan Padlog (1963) mengembangkan penyelesaian dari masalah tekuk (buckling). Zienkiewicz, Watson, dan King (1968) mengembangkan penyelesaian dari kasus visco-elasticity. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 12

13 Archer (1965) mengembangkan penyelesaian dari kasus analisa dinamis dalam pengembangan consistent mass matriks pada rangka dan balok. Melosh (1963) mengembangkan pendekatan persamaan variational (vaiational formulation) dalam permulaan dari penyelesaian masalah bukan struktur. Zienkiewicz, dan Cheung (1965), Martin (1968), dan Wilson dan Nickel (1966) mengembangkan penyelesaian dari masalah torsi dari poros, aliran fluida, dan konduksi panas. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 13

14 Penyelesaian menggunakan weighing residual method dikembangkan oleh Szabo dan Lee (1969), dan diterapkan dalam penyelesaian masalah transient field problems oleh Zienkiewicz dan Parekh (1970). Studi tersebut memberikan alternatif penyelesaian bila kasus-2 yang tidak bisa diselesaiakan dengan pendekatan direct formulation dan variational formulation. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 14

15 Belytscho (1976) mengembangkan penyelesaian yang efisien dari perilaku large displacement non-linear dynamic dengan memperbaiki penyelesaian numerisnya. Penerapan dari metode elemen hingga telah digunakan dalam bidang bioengineering. Kasus- 2 dalam bidang ini masih banyak masalah dimaterial pada non-linear material, non-linear geometry, dan banyak hal lain yang masih menunggu penyelesaian. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 15

16 PENGANTAR (Lanj ) PENGANTAR (Lanj.) Notasi matriks: d F matriks gaya dinyatakan y x y x d d d F F F dinyatakan dalam {F} = F dan matriks x z x z d d d F F F dan matriks displacement dalam {d} = d y y d d F F. } { ;. } { 2 2 dalam {d} = d atau.... ny nx ny nx d d F F Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 16 nz F nz d

17 Matriks kekakuan elemen dinyatakan dalam [k] dan matriks kekakuan global sistem struktur dinyatakan dalam [K]. [ k] k k 11 k k 1n K 11 K K 1 k21 k22... k2n K21 K22... K2 ; [ K] K kn1 kn2... knn Kn1 Kn2... K n n nn Persamaan dari kesetimbangan sistem struktur dinyatakan dalam: F = K d Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 17

18 Peran Komputer dalam MEH Hingga th.1950-an, metode matriks dan metode elemen hingga tidak siap digunakan dalam penyelesaian-2 masalah kompleks karena besarnya persamaan yang harus diselesaikan, sehingga tidak praktis. Dengan hadirnya komputer, maka perhitungan dari penyelesaian persamaan dari sistem struktur tersebut dapat diselesaikan dalam hitungan menit. Perkembangan komputer menyebabkan perkembangan program-2 numeris untuk masalah struktur dan non-struktur. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 18

19 Langkah-2 umum MEH: Langkah 1:Diskritisasi/meshing dan pemilihan jenis elemen Pemilihan jenis elemen berkait dengan idealisasi yang ingin i dilakukan k terhadap struktur yang dimodelkan. Pilihan yang ada berkait dengan jenis elemen(1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi), dan berlanjut dengan tingkat kesulitan dari jenis elemen yang ditunjukkan oleh jumlah titik (nodes) dalam elemen beserta jumlah derajat kebebasan (degree of freedom atau DOF) dari masing-2 titik (node). Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 19

20 Langkah 1 (Lanj.): Penentuan jumlah elemen berkait dengan ukuran elemen yang penentuan dan penyebarannya berkenaan dengan konsentrasi dari deformasi, regangan, serta tegangan yang akan terjadi pada struktur yang dimodelkan yang disebabkan oleh bentuk geometri dari struktur serta penyebaran beban dan syarat batasnya. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 20

21 Langkah 1:Jenis elemen Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 21

22 Langkah 1:Jumlah elemen Y Z X Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 22

23 Langkah 2:Pilih Fungsi Deformasi (Displacement Function) Penentuan fungsi deformasi adalah berkait dengan jumlah titik dalam satu elemen serta DOF yang dimodelkan pada tiap titik atau tingkat/derajat polinomial dalam asumsi fungsi deformasi dalam elemen tersebut. Langkah 3:Menentukan persamaan hubungan antara regangan {} dan deformasi {d} serta antara tegangan {} dan regangan {}. Regangan: x =du/dx ; Y =dv/dy ; Z =dw/dz Tegangan: X = E x ; Y = E Y ; Z = E Z Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 23

24 Langkah h4m 4:Menentukan Matrik tikpersamaan dan Kekakuan Elemen Ada tiga metode dalam penentuan persamaan kekakuan elemen: Metode Kesetimbangan Langsung (Direct Equilibrium Method) Metode Kerja atau Energi (Work or Energy Method) Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa (Methods of Weighted Residual) Metode Kesetimbangan Langsung: Matrik persamaan elemen yang menunjukkan hubungan antara gaya, kekakuan, dan deformasi pada elemen ditentukan berdasarkan pada prinsip kesetimbangan gaya. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 24

25 Metode Kerja atau Energi:Metode ini adalah pendekatan yang dapat mencakup hampir semua tingkat kerumitan dari suatu model yang mencakup komponen material, dimensi, i beban, b dan syarat batas. Metode yang menggunakan prinsip p energi/kerja lainnya: Metode Castigliano dan Metode yang berdasarkan Prinsip Energi Potensial Minimum. Keduanya hanya berlaku untuk u penurunan u dengan material elastis. Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa: Metode ini yang terkenal adalah Metode Galerkin. Metode ini memberikan hasil yang sama untuk semua penyelesaian Metode Energi. Metode ini sebagai Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 25

26 (lanj.) penyelesaian saat metode energi tidak bisa digunakan.metode ini dapat mengadopsi langsung persamaan diferensial. Persamaan elemen yang dihasilkan secara umum adalah sebagai berikut: f k11 k12 k13... k1 n d1 1 f k21 k22 k23... k2n d2 2 f k k k k n d fn k n1 kn2 kn3... knn dn atau {f} = [k] {d} dimana: {f} = matrik gaya [k] = matrik kekakuan {d} = matrik deformasi Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 26

27 Langkah 5:Penggabungan Persamaan Elemen pembentuk persamaan global/ total dari sistem dan menentukan syarat batas. Penggabungan persamaan elemen dilakukan dengan prinsip superposisi dengan mempergunakan prinsip kontunyuitas dan kompatibilitas. Kontinyuitas: itas tiap elemen saling berhubungan b sehingga dapat menyalurkan beban berupa tegangan keelemen disekitarnya. Sehingga terlihat pada bentuk deformasinya yang kontinyu. Kompatibilitas: tiap elemen mempunyai titik (nodes) dengan jumlah dan sifat DOF tertentu, kesamaan DOF dari titik dalam tiap elemen yang digunakan merupakan syarat kompatibilitas dari tiap titik dalam tiap elemen dan tiap elemen menggunakan titik-2 tersebut sesuai dengan tingkat kesulitan dari tiap elemen yang digunakan. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 27

28 Langkah 5 (lanj.):bentuk persamaan global l dari sistem struktur secara matrik adalah sebagai berikut: {F} = [K] {d} Dimana: {F} = adalah vektor gaya global pada titik baik yang diketahui maupun yang tidak diketahui [K] = adalah matrik kekakuan global dari sistem struktur; sifatnya singular atau det[k] = 0 {d} = adalah vektor deformasi yang diketahui dan yang tidak diketahui Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 28

29 Langkah 6:Penyelesaian dari DOF yang tak diketahui, setelah syarat batas diberikan. Persamaan dari sistem menjadi: F K11 K12 K13... K1 n d1 1 F K21 K22 K23... K2n d2 2 F K K K K n d Fn K n1 Kn2 Kn3... Knn dn Dimana: n = jumlah DOF yang tak diketahui. Matrik [K] bersifat nonsingular (det[k] 0). Penyelesaiannya umumnya menggunakan antara lain: metode eliminasi Gauss, Iterasi Gaussseidel, dst. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 29

30 Langkah 7:Penyelesaian Regangan dan Tegangan Elemen. Hasil regangan dan tegangan adalah output yang umum digunakan untuk menentukan kualitas dari desain struktur yang dilakukan. k Langkah 8:Interpretasi Hasil Output yang berupa: deformasi, tegangan, dan regangan adalah sebagai acuan dalam menilai desain yang dimodelkan. Dari analisis yang dilakukan, maka dapat ditentukan perubahan-2 untuk perbaikan desain maupun kualitas model. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 30

31 Aplikasi i dari Metode Elemen Hingga. Pada masalah struktur: Analisa Tegangan: pada struktur rangka, balok dan frame; pada struktur pelat berlubang, dst. Kejadian Tekuk (Buckling): pada kolom dan shell. Analisa Getaran. Pada masalah non-struktur: Kejadian Transfer panas (Heat Transfer). Aliran Fluida (Fluid Flow), termasuk aliran dalam media berpori (tanah). Distribusi dari potensi magnetik atau elektrik. Aplikasi pada Bioengineering. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 31

32 Keuntungan dari Metode Elemen Hingga. Memodelkan bentuk yang kompleks Menyelesaikan kondisi pembebanan umum Memodelkan objek/struktur dengan jenis material yang banyak (krn. Pers. Pada tingkat elemen) Memodelkan banyak macam syarat batas Dengan mudah menggunakan bermacam ukuran elemen dalam meshing/diskritisasi Menyelesaikan model dengan mudah dan murah Dapat memodelkan efek dimanis Menyelesaikan kelakuan tidak linier dari geometri dan material Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 32

33 Program komersial dari MEH: GT STRUDL StruCAD SAP2000 ALGOR IDEAS FEMAP MSC NASTRAN MSC DYTRAN MSC MARC CATIA ABAQUS FLUENT CFX ANSYS ADINA MSC PATRAN ROBOT (AUTODESK) SACS MICRO SAS Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 33