Kunci Jawaban Soal Model Program Linear (1) Produksi Tani. Melihat ketentuan-ketentuan yang diketahui lebih baik bila yang diandaikan sebagai peubah bebas-nya bukan banyak hektar tanah (untuk padi dan jagung), tetapi banyaknya kuintal. Untuk mempermudah penyusunan model disusun tabel sebagai berikut. Sumber Per Kuintal Batas Sumber Satuan Padi Jagung Tanah 0.02 0.05 6 Ha Tenaga 12 9 1590 Jam-orang Pupuk 4 2 480 Kg Pendapatan 32 20 Rp.1000 Identifikasi variabel Misalkan x : banyak kuintal padi yang diproduksi. y : banyak kuintal jagung yang diproduksi. Identifikasi fungsi tujuan Pendapatan total yang harus dimaksimumkan adalah z = 32x + 20y Identifikasi fungsi-fungsi kendala Keterbatasan tanah: 0.02x + 0.05y 6 Keterbatasan tenaga: 12x + 9y 1590 Syarat pupuk: 4x + 2y 480 Peubah x dan y mewakili besaran yang tidak boleh bernilai negatif: x, y 0 Maksimumkan z = 32x + 20y 2x + 5y 600 4x + 3y 530 2x + y 240 x, y 0 (2) Pengurangan Kadar Pencemaran. Suatu satuan usaha dapat berupa penggantian satu unit saringan, beda jumlah penggunaan BBM baru dengan yang lama, dsb. Dari permasalahan yang diberikan, terlihat
bahwa terdapat 4 faktor yang ukurannya akan menjadi peubah-peubah bagi model yang bersangkutan, yaitu keempat satuan usaha. Identifikasi variabel Misalkan x : banyak satuan usaha saringan untuk TB. x : banyak satuan usaha saringan untuk TT. x : banyak satuan usaha ganti BBM untuk TB. x : banyak satuan usaha ganti BBM untuk TT Syarat tambahan Syarat terakhir dapat dirumuskan sebagai berikut. x + x 0.2(x + x + x + x ) x + 4x x + 4x 0 Identifikasi fungsi tujuan dan fungsi kendala Tabel. Usaha Mengatasi Pencemaran x 1 x 2 x 3 x 4 Belerang Oksida Hidrokarbon Syarat Tambahan 30 18-1 20 22 4 50 20-1 80 16 4 200 100 0 Biaya Total 6 8 10 12 Minimal z = 6x + 8x + 10x + 12x 30x + 20x + 50x + 80x 200 38x + 22x + 20x + 16x 100 x + 4x x + 4x 0 x, x, x, x 0 (3) Produksi Alkohol. Misalkan a1, a2, p1, p2, v1, v2 berturut-turut menyatakan banyak kg buah A1, A2, P1, P2, V1, V2. Diperoleh model Program Linear sebagai berikut. Maksimumkan z = 3a + 2.5a + 3.5p + 4p + 5v + 4.5v a + a + p + p + v + v = 1000 a + a 400 p + p 350 v + v 350 a1, a2, p1, p2, v1, v2 0
(4) Mesin Perusahaan. Misalkan x : banyak mesin baru yang dibeli. x : banyak mesin umur 2 tahun yang dibeli. x : banyak mesin umur 3 tahun yang dibeli. x : banyak mesin umur 4 tahun yang dibeli. z = 15x + 9x + 6x + 3x x + x + x + x 8 3x + 4x + 5x + 6x 35 x + 2x + 4x 7 x, x, x, x 0 (5) Trimming Problem. Untuk dapat merumuskan masalah yang diberikan, terlebih dahulu disusun tabel kombinasi pemotongan beserta sisa yang sesuai sebagai berikut. 6 Kemungkinan Kombinasi 300 1 2 3 4 5 6 Dipesan 250 1 0 0 0 0 0 8 70 0 4 3 2 1 0 12 37.5 1 0 2 4 6 8 20 Sisa 12.5 20 15 10 5 0 Misalnya, kolom 1 menyatakan besi sepanjang 300 cm dapat dipotong dengan ukuran 250 cm sebanyak 1 potong dan sisanya masih dapat diambil untuk ukuran ketiga (37,5 cm) sebanyak 1 potong, dengan sisa potongan 12.5 cm (yang merupakan buangan). Setiap sisa harus kurang dari ukuran yang terpendek (37.5 cm). Dan seterusnya terdapat 6 pola pemotongan, sehingga ada 6 peubah: x, x, x, x, x, x, dengan x : banyak batang besi yang dipotong menurut kombinasi ke-i. Model Program Linear Lengkap z = 12.5x + 20x + 15x + 10x + 5x x 8 4x + 3x + 2x + x 12 x + 2x + 4x + 6x + 8x 20 x, x, x, x, x, x 0
Catatan. Masalah sisa pemotongan banyak dijumpai dalam masalah produksi, misalnya produksi kertas yang keluar dalam bentuk gulungan (rol) dengan lebar tertentu, sedangkan pesanan pelanggan meminta lebar-lebar yang bervariasi dengan jumlah tertentu. (6) Caterer Problem = Napkin Problem. Misalkan x : banyak serbet yang dibeli. x : banyak serbet yang dicuci kilat (hari 1 2). x : banyak serbet yang dicuci biasa (hari 1 3). x : banyak serbet yang dicuci kilat (hari 2 3). z = 15x + 9x + 6x + 3x x + x + x + x 170 (i) x + x 40 (ii) x 70 (iii) x + x 60 (iv) x 70 (v) x, x, x, x 0 (vi) Catatan. Kendala (iii) berlebih (ii), sedangkan kendala (v) berlebih dibandingkan dengan (iv), sehingga kendala (iii) dan (v) dapat dicoret. (7) Program TV. Berikut adalah alokasi setiap program TV dalam menit. Misalkan i : alokasi waktu untuk iklan. k : alokasi waktu untuk komedi. b : alokasi waktu untuk band. Perumusan mencari i, k, dan b yang memenuhi kendala i + k + b = 30 i 3 i 15 k 22 i, k, b 0 (a) z = 5000i + 20000k + 20000b. (b) Maksimumkan z = i + 70000k + 10000b.
(8) Obat Flu. Misalkan x : banyak FLUIN yang dibeli. x : banyak FLUON yang dibeli. Untuk mempermudah perumusan disusun tabel berikut. Unsur x 1 x 2 Batas Minimal FLUIN FLUON Aspirin 2 1 12 Bikarbonat 5 8 74 Kodein 1 6 24 Harga 200 300 z = 200x + 300x 2x + x 12 5x + 8x 74 x + 6x 24 x, x 0