Soal-Jawab Fisika Teori OSN andung, 4 September. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat lingkaran berdiri vertikal pada lantai. Manik-manik diberi usikan kecil, dan mereka tergelincir ke bawah pada kawat tersebut, satu ke kanan dan yang satu lagi ke kiri (lihat gambar). gar kawat lingkaran tersebut terangkat dari lantai oleh gerakan manik-manik tersebut, hitung: a. besarnya sudut (pada saat kawat lingkaran mulai terangkat) b. gaya maksimum dari kedua manik-manik terhadap kawat (nyatakan dalam m dan g) c. nilai m/m terkecil m m m M Solusi a- ila adalah sudut yang telah ditempuh manik-manik ketika jatuh, dan N adalah gaya normal dari kawat pada manik-manik, dengan arah menuju pusat lingkaran dibuat positif. Maka persamaan Hukum Newton ke dua untuk manik-manik adalah mv N mg cos () eda ketinggian manik-manik setelah terjatuh menempuh sudut cos, sehingga dari kekekalan energi kita dapatkan: adalah mv mg cos v g cos () Dengan memasukkan nilai kecepatan dari pers. () ke pers. (), akan diperoleh page
mv N mgcos mg cos mgcos mg cos () Dari hukum Newton ke tiga, gaya normal ini sama dengan gaya dari manik-manik terhadap kawat, yang berarah ke luar lingkaran, yang akan menarik kawat keluar lingkaran. Karena ada dua manik-manik, total gaya ke atas pada kawat dari manik-manik adalah N t N cos mg cos cos (4) Nilai yang menghasilkan besar gaya ke atas maksimum diperoleh dengan menderivatifkan pers. (4) terhadap yang menghasilkan, d cos cos d sin 6sin cos. Oleh karena itu, nilai maksimum dicapai ketika cos atau = 7,5 o ( poin) (5) b- Jika nilai ini dimasukan dalam pers. (4) diperoleh besar gaya total ke atas sebesar N t mg mg (4 poin) (6) c- Lingkaran kawat akan terangkat dari lantai jika nilai gaya maksimum ke atas ini lebih besar dari berat lingkaran kawat tersebut. Jadi akan diperoleh mg Mg ( poin) M m ( poin) (7) page
. (5 poin) Partikel bermassa menumbuk batang seragam yang bermassa M dan panjangnya L. Partikel m kemudian lengket pada batang (lihat gambar). atang dipasak pada titik O dan berotasi menempuh sudut sebelum akhirnya berhenti. Tentukan (nyatakan dalam besaranbesaran seperti tampak pada gambar): a. kecepatan sudut rotasi batang b. besarnya sudut yang ditempuh batang m meluncur ke bawah dari permukaan licin dan M, m h Solusi: a- Dari hukum kekekalan energi pada partikel bermassa m, diperoleh: Eg (energi potensial yang dilepaskan) = Ek (energi kinetik tepat sebelum tumbukan) mv mgh sehingga kecepatan m menumbuk batang v gh () Momentum sudut kekal selama tumbukan, L = L sehingga: L mvr m gh () I p I b m M L () Karena L L maka diperoleh: page
m gh (4) M m Kecepatan sudut sebagai fungsi sudut: Cara : E E I I mg cos Mg I I cos p b p b M m M m mg Mg cos cos m M g M g m m M cos M m Cara : I mgsin Mgsin gsin d dt d d M M m M M m g g m M sin M m m M M sin d m g m M d sin d M m page 4
g m M cos M m g m M cos M m b- Energi kinetik setelah tumbukan pada sudut, Ek = Eg, sehingga E k sama dengan energi potensial system m gh m gh I p Ib m M m m M m E k ( poin) (5) E g Dari pers. (5) dan (6) cos Mg cos mg ( poin) (6) E k E g E g Dari pers. (7) diperoleh: 6m gh mg Mg mgcos Mgcos M m 6m gh mg Mg mg Mgcos M m 6m gh cos M m mg Mg ( poin) (7) 6m h M mm m cos (8) page 5
. ( poin) Seutas kawat dibentuk menjadi loop tertutup berbentuk persegi panjang dengan ukuran tinggi = T dan lebar = L, bermassa m dan hambatannya. Pada t lilitan kawat ini dijatuhkan dari ketinggian dihitung dari bidang batas antara yang tidak ada medan magnet ( y h y ) dan yang ada medan magnet homogen ( y ) dengan kecepatan awal vo m/s. Pada saat t t lilitan kawat bagian bawah persis berada pada bidang batas ada medan magnet dengan arah tegak lurus ke y. Untuk y luar bidang gambar. Pada saat t = t lilitan kawat bagian atas persis berada pada bidang batas y =. Hitung kecepatan gerak dari loop tertutup ini, pada saat: a., t t b. t t t dan c. t t. L T y t t t t t t Solusi page 6
a. Untuk t t : gerak jatuh bebas, maka Untuk t t v() t gt, maka v gt gh ( poin) ( poin) b. t t t, timbul GGL induksi pada loop kawat itu sebesar d d dt V L Lv() t dt dt dt dengan : fluks magnet, vt () : luas loop kawat, : medan magnet, : kecepatan loop kawat. ( poin) Sehingga timbul arus listrik di loop kawat itu yang searah jarum jam dan besarnya: Lv() t I Gaya magnet yang terjadi pada loop kawat itu adalah: L v() t F IL (arahnya ke atas), dv L v sehingga persamaan gerak kawat loop adalah: m mg ( poin) dt Solusi dari persamaan gerak ini (dengan syarat batas t = t t dan v = v v) adalah: mg mg L v gt exp t t L L m ( poin) c. Untuk t t, gaya yang mempengaruhi sistem ini adalah gaya magnet dan gaya gravitasi, sehingga kecepatannya menjadi: mg mg L v gt t t g t t L L m exp ( ) ( poin) page 7
4. ( poin) Sebuah silinder dengan massa m dan jari-jari r berada dalam keadaan diam, ditopang oleh sebuah balok seperti terlihat pada gambar. Kemudian balok ditarik sedemikian sehingga balok bergeser menjauhi silinder dengan laju konstan v. sumsikan bahwa pada awalnya balok berada sangat dekat dengan dinding dan abaikan gesekan antara silinder dengan dinding dan dengan balok. Tentukan: m r v a. bentuk lintasan pusat massa silinder selama gerakannya terhadap titik b. syarat kecepatan v agar silinder tetap kontak dengan dinding ketika jarak antara titik dan adalah c. gaya yang diberikan dinding kepada silinder ketika jarak antara titik dan adalah r r Solusi: a- Tinjau gambar dibawah ini O O page 8
Selama silinder tetap kontak dengan dinding dan balok, maka sumbu silinder (garis yang melalui titik O, sumbu silinder) berada di tengah-tengah, sehingga akibatnya silinder memiliki kecepatan arah horizontal sebesar. Jadi titik pusat silinder (titik O) bergerak dengan lintasan lingkaran terhadap titik (lihat gambar (5 poin) diatas). v u O N w b- Karena titik pusat silinder (titik O) bergerak melingkar, maka kecepatan geraknya selalu tegak lurus terhadap garis O = r. Misalkan suatu saat kecepatan geraknya adalah u dan membentuk sudut terhadap horizontal, maka v u cos ( poin) () Karena jarak r, maka gaya kontak antara silinder dengan balok berarah tegak lurus terhadap garis O. Gaya-gaya yang bekerja pada titik O (pada arah O) adalah mu mg cos N r () atau mu N mg cos r ( poin) () Ketika jarak r, maka page 9
r cos r (4) gar silinder kontak dengan dinding ketika r, maka N, sehingga mu mg cos r g v r ( poin) (5) atau v gr ( poin) (6) c- Dan gaya kontaknya adalah mg mv N r (4 poin) (7) page
5. (8 poin) Sebuah benda bermassa m berada pada lantai licin dan dihubungkan dengan pegas tak bermassa (dengan konstanta pegas k) yang melekat pada tembok. Jarak m dengan tembok ketika pegas tak tertarik serta ketika pegas tertarik ke kanan berturut-turut adalah x dan x + x. Sebuah bandul terdiri dari batang tak bermassa dengan panjang L dan bola bandul dengan massa m. Jari-jari m jauh lebih kecil daripada L. andul tersebut terhubung pada m melalui sumbu licin. Sudut antara batang bandul dengan garis vertikal adalah. Percepatan gravitasi g mengarah ke bawah. a. Tuliskan dua persamaan gerak yang bekerja pada sistem tersebut untuk dua variabel x dan. Lakukan substitusi agar persamaan gerak tersebut tidak mengandung gaya tegang batang. Disini nda jangan menggunakan asumsi sudut kecil. b. Untuk selanjutnya, gunakan asumsi sudut kecil. Tuliskan dua persamaan gerak tersebut. c. Tentukan perumusan kuadrat kecepatan sudut untuk sistem tersebut. (mbillah ilustrasi nilai dinyatakan dalam bentuk g/l untuk harga m m dan kl m g ) Untuk pertanyaan (d) hingga (g) akan ditinjau kasus khusus dari perumusan yang telah diperoleh dari (c). Kemudian berikan penjelasan dari makna fisis untuk bentuk pada masing-masing kasus khusus berikut: d. jika tidak ada pegas (limit k ) page
e. jika konstanta pegas sangat besar (limit k ) f. jika bola tidak ada ( m = ) g. jika batang bandul tidak ada (limit L ). Solusi: a. Diagram gaya sistem pegas dan bandul disajikan di bawah ini Vektor koordinat, kecepatan dan percepatan pada dan : : r ( x x,) r ( x,) r ( x,) : r ( x x Lsin, Lcos ) r ( x L cos, L sin ) r ( x L( cos sin ), L( sin cos )) Gaya pada dan : : F ( T sin kx, N T cos m g) : F ( T sin, T cos m g) Persamaan gaya pada : Sumbu x: T sin kx mx () Sumbu y: N T cos m g () Persamaan gaya pada : Sumbu x: T sin m ( x L( cos sin )) () Sumbu y: T cos m g m L( sin cos ) (4) Dengan menjumlahkan persamaan () dan () diperoleh page
m m x m L cos sin kx (5) cos sin Penjumlahan dari persamaan () dan persamaan (4) akan menghasilkan bentuk yang dapat disederhanakan menjadi x cos L g sin (6). Persamaan (5) dan (6) masing- b. Jika kecil maka masing menjadi cos, sin dan ( m m ) x m L kx (7) x L g (8) c. Dengan asumsi x dan it x e x x dan. mengalami osilasi kecil dengan frekuensi sudut maka i t e Persamaan (7) dan (8) menjadi: [ k ( m m ) ] x m L (9) x ( g L) () Persamaan (9) dan () dapat disusun dalam bentuk matriks k ( m m ) m L x g L () Solusi persamaan () adalah jika determinan matriks persegi di ruas kiri =. Jadi 4 4 ( k ( m m ) )( g L) m L m L ( kl ( m m ) g) kg kl ( m m ) g ( kl ( m m ) g) 4kLm g m L Untuk nilai m m dan kl mg, maka g/ L atau g/l. d. Kasus khusus: jika tidak ada pegas atau k = maka page
( m m ) g ( m m ) g m L Untuk tanda + maka ( m m ) g / ml. Pada kasus ini, kedua massa sama-sama berosilasi dengan kecepatan sudut yang sama, namun dengan arah yang berlawanan. Jika bergerak ke kiri maka bergerak ke kanan. Untuk tanda maka. Pada kasus ini kedua massa bergerak lurus beraturan sepanjang sumbu x. e. Kasus khusus: jika k sangat besar maka 4kLm ( ) ( ) g kl m m g kl m m g ml ( kl ( mm) g) klm ( ) ( ) g kl m m g kl m m g ml kl ( m m ) g Untuk tanda maka g g L ( m m ) g / k. L Pada kasus ini tetapan pegas yang sedemikian besar menyebabkan di tempat. Jadi hanya sehingga frekuensi sudut m m m m / m seperti diam yang dapat bergerak osilasi dengan panjang bandul L adalah g / L. Untuk tanda + maka kl ( m m ) g kg k ( m m ) g g ( m ) m g m L kl ( m m ) g m m L L kl ( k / m ) ( m g / m L). Tetapi karena k sangat besar, maka suku m g / m L dapat diabaikan sehingga k/ m. Ini adalah kecepatan sudut untuk massa k. m yang terikat pada pegas bertetapan f. Kasus khusus: m maka kl m g ( kl m g) 4 klm g kl m g ( kl m g) ml ml kl mg ( kl mg). m L Untuk tanda + maka k/ m. Ini adalah kecepatan sudut untuk m. page 4
Untuk tanda maka dengan panjang bandul L. g / L. Ini adalah kecepatan sudut untuk ayunan bandul g. Kasus khusus: L maka 4kLm ( ) ( ) g kl m m g kl m m g ml ( kl ( mm) g) klm ( ) ( ) g kl m m g kl m m g ml kl ( m m ) g kg k Untuk tanda maka untuk limit kl ( m m ) g m m / L. ( poin) Ini dapat dipahami yaitu ketika batang bandul tidak ada maka m akan menempel pada m sehingga total massa yang terikat pada pegas k adalah m m. Jadi kecepatan sudutnya adalah k / ( m m ). === Selesai === page 5