PENDALAMAN MATERI FISIKA

DAR /Profesional/184/007/018 PENDALAMAN MATERI FISIKA MODUL 7 : DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR Penulis : Albertus Hariwangsa Panuluh, M.Sc. KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI 018

DAFTAR ISI PENDAHULUAN... 1 CAPAIAN PEMBELAJARAN... 1 SUB CP... 1 URAIAN MATERI... 1 PENGANTAR... 1 MOMEN GAYA... DINAMIKA ROTASI : TORSI DAN MOMEN INERSIA... 4 ENERGI KINETIK ROTASI DAN GERAK MENGGELINDING... 14 USAHA DAN DAYA PADA GERAK ROTASI... 0 MOMENTUM SUDUT DAN HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT... KESETIMBANGAN BENDA TEGAR... 6 RANGKUMAN... 33 DAFTAR PUSTAKA... 36 TES FORMATIF... 37 - iv -

- iv -

A. PENDAHULUAN Modul ini berbicara mengenai dinamika rotasi benda tegar dan kesetimbangan benda tegar. Isi dari modul ini meliputi: momen gaya, momen inersia, contohcontoh kasus dinamika rotasi seperti gerak menggelinding dan katrol, dan kesetimbangan benda tegar. Modul Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar ini menjadi prasyarat untuk mempelajari Modul Getaran Selaras dan Gelombang Mekanik. Cara penggunaan modul ini adalah silakan baca capaian dan sub capaian pembelajaran, kemudian silakan pahami uraian materi. Di dalam uraian materi terdapat beberapa tugas silakan dikerjakan. Selain itu juga terdapat video pembelajaran silakan diputar. Apabila dirasa sudah memahami seluruh uraian materi silakan kerjakan tes formatif. B. CAPAIAN PEMBELAJARAN Menguasai konsep teoretis fisika klasik. C. SUB CP 1. Mampu membandingkan besaran pada gerak translasi dan rotasi.. Mampu memahami konsep momen gaya. 3. Mampu menguasai konsep momen inersia. 4. Mampu menerapkan konsep dinamika rotasi. 5. Mampu menguasai konsep kesetimbangan benda tegar. D. URAIAN MATERI 1. Pengantar Selamat pagi/siang/malam bapak dan ibu sekalian. Kita akan masuk ke dalam bahan kajian baru yaitu dinamika rotasi dan kesetimbangan benda tegar. Pada modul-modul sebelumnya, kita menganggap benda itu sebagai benda - 1 -

titik. Misalkan mobil, balok, pesawat, dll kita anggap sebagai benda titik saja. Konsekuensi dari menganggap suatu benda sebagai titik adalah gaya yang bekerja pada benda ada pada satu titik tangkap sehingga gerak yang dialami benda hanyalah gerak translasi. Nah, pada modul ini kita akan mempelajari benda itu dengan bentuk apa adanya.. Momen Gaya Pada Modul Hukum Newton, telah anda pelajari bahwa apabila terdapat resultan gaya yang bekerja pada benda maka benda akan mengalami percepatan. Pertanyaan selanjutnya, apa yang menyebabkan suatu benda yang awalnya diam kemudian bergerak rotasi alias mengalami percepatan sudut? Untuk membuat benda mengalami gerak rotasi terhadap suatu sumbu tentu membutuhkan gaya. Besar dan arah dari gaya tentu menyumbang sebesar apa percepatan sudut yang dihasilkan, namun titik letak gaya bekerja pada benda juga penting. Perhatikan pada gambar 1. Sebuah tongkat yang berporos pada titik O dikenai tiga buah gaya dengan besar yang sama. Hasilnya adalah gaya F memberikan sumbangan yang lebih besar untuk memutar tongkat dibandingkan gaya yang lain. Bahkan gaya F 3 sama sekali tidak berkontribusi dalam memutar tongkat. Mengapa demikian? Gambar 1. Suatu tongkat diberi tiga buah gaya - -

Kita definisikan suatu besaran baru yang digunakan untuk mengukur gaya yang digunakan untuk mengubah gerakan rotasi benda yang disebut torsi atau momen gaya yang besarnya dapat dituliskan secara matematis rf (1) dengan τ, F, dan r adalah torsi, gaya, dan lengan gaya berturut-turut. Untuk kasus pada gambar 1, momen gaya bergantung pada besar gaya dan panjang lengan gaya yaitu jarak tegak lurus antara poros dengan garis aksi gaya yang bekerja pada benda. Gaya F 1 dan F memiliki lengan gaya r 1 dan r yang keduanya tegak lurus terhadap garis aksi dan r > r 1 sehingga menyebabkan gaya F menghasilkan momen gaya yang lebih besar dibandingkan F 1. Gaya F 3 tidak menghasilkan torsi dikarenakan tidak garis aksi gaya membentuk sudut 0 dengan poros atau bisa dikatakan gaya bekerja menuju poros. Sehingga persamaan (1) dapat dituliskan sebagai rf rf sin () dengan F adalah komponen tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan poros dengan titik tangkap gaya dan θ adalah sudut yang dibentuk antara r dan F. Bagaimana dengan arah momen gaya? Secara konvensi, torsi akan bernilai positif (+) jika gaya memutar benda berlawanan arah jarum jam terhadap poros dan negatif (-) apabila gaya memutar benda searah jarum jam. Bagaimana jika gaya yang bekerja pada suatu benda membentuk suatu sudut? Perhatikan contoh 1 berikut ini. Contoh 1: Perhatikan gambar di bawah ini: - 3 -

Gambar. Suatu tongkat diberi tiga buah gaya Hitunglah besar dan arah momen gaya yang dikerjakan oleh gaya F! Jawab: Apabila gaya membentuk sudut, uraikanlah gaya ke dalam komponennya. Komponen gaya yang menghasilkan torsi adalah komponen gaya yang tegak lurus tongkat yang bernilai Sehingga torsinya F Fsin 30 5N rf ()(5) 10Nm Arah dari torsi adalah berlawanan dengan arah jarum jam, sehingga torsi (+)10Nm. Kita lihat pada modul sebelumnya bahwa percepatan sudut merupakan besaran vektor. Karena terdapat relasi antara percepatan sudut dengan torsi, maka torsi juga merupakan besaran vektor. Dengan melihat Persamaan (), bentuk rf sin θ adalah besar dari r F sehingga torsi dapat juga dituliskan r F (3) Apabila dianalisis secara vektor, arah dari τ tegak lurus terhadap r dan F sesuai dengan aturan sekrup atau aturan tangan kanan. 3. Dinamika Rotasi : Momen Gaya dan Momen Inersia 3.1. Momen Inersia - 4 -

Seperti yang sudah didiskusikan di atas, bahwa ada hubungan antara percepatan sudut dengan torsi. Pada gerak translasi, percepatan linear (a) tidak hanya sebanding dengan resultan gaya ΣF namun juga berbanding terbalik dengan massa benda m. Pertama-tama kita tinjau sebuah partikel bermassa m bergerak melingkar diikat pada tali dengan jari-jari gerak melingkar r dan terdapat gaya F yang menyinggung lintasan seperti pada Gambar (3). Gambar 3. Sebuah benda bergerak melingkar dengan radius r dari pusat. Maka torsi yang dialami oleh benda adalah τ = rf. Gunakan Hukum Kedua Newton dan relasi a t = rα dengan a t adalah percepatan tangensial, maka F ma mr Kemudian kalikan kedua ruas dengan r rf r( mr ) mr dengan didefinisikan mr adalah suatu besaran yang menunjukkan kelembaman rotasi benda yang disebut momen inersia. (4) - 5 -

3.1.1. Momen Inersia untuk Sistem Partikel Persamaan (4) merupakan persamaan yang digunakan untuk kasus dimana sistem hanya terdiri dari satu partikel. Bagaimana untuk kasus sistem partikel? Misalkan suatu roda berputar pada porosnya. Kita bisa anggap bahwa roda terdiri dari banyak partikel yang jaraknya bervariasi dari pusat. Maka kita bisa jumlahkan torsi semua partikel. Sehingga Persamaan (4) menjadi ( mr ) (5) dimana kita dapat mengeluarkan α karena nilainya sama untuk semua partikel. Sehingga, momen inersia untuk sistem partikel adalah I mr m r m r (6) 1 1 Kombinasikan Persamaan (5) dan (6) menjadi I (7) dimana Persamaan (7) adalah persamaan gerak rotasi untuk benda tegar. Contoh : Dua buah benda bermassa kg dan 4 kg terpisah sejauh m yang terpasang pada suatu tongkat ringan (massa tongkat diabaikan). Hitunglah momen inersia dari sistem jika: (a) sumbu putar terletak tepat di tengah-tengah antara kedua benda (b) sumbu putar terletak di sejauh 1 m di sebelah kanan benda bermassa 4 kg. Jawab: (a) Gambar 4. Dua buah massa dengan sumbu putar terletak tepat di antara kedua massa. - 6 -

Ada dua benda pada sistem, sehingga gunakan Persamaan (6) untuk mengerjakan: I m1r 1 mr ()(1) (4)(1) 4 6 kg m (b) Gambar 5. Dua buah massa dengan sumbu putar terletak di sebelah kanan massa kedua. Untuk soal (b), yang berbeda adalah jarak benda ke sumbu putar. r 1 = 3 m dan r = 1 m, sehingga I m1r 1 mr ()(3) (4)(1) 18 4 kg m 3.1.. Momen Inersia untuk Benda Kontinu Penjelasan dan contoh di atas adalah menghitung momen inersia untuk sistem partikel. Bagaimana menghitung momen inersia untuk benda yang terdistribusi kontinu, misalkan tongkat, bola, atau silinder? Momen inersia untuk benda kontinu adalah mengganti tanda jumlahan pada Persamaan (6) dengan integral, menjadi I r dm (8) dengan r adalah jarak elemen massa dm terhadap sumbu putar. - 7 -

Contoh 3: Cari momen inersia dari tongkat sepanjang L dan bermassa m yang terdistribusi merata dengan sumbu putar yang terletak pada salah satu ujung tongkat dan tegak lurus dengan tongkat! Jawab: Kita asumsikan tongkat tersebut tipis sehingga hanya satu dimensi seperti pada gambar 6. Gambar 6. Sebuah tongkat tipis panjang yang diputar di salah satu tepi tongkat. Elemen massa dm = λdx dengan λ adalah elemen panjang yang bernilai λ = M L sehingga dm = M dx. Kita gunakan Persamaan (8) untuk mencari L momen inersia I = r dm dengan r adalah x (jarak elemen massa dm ke sumbu putar), sehingga diperoleh L L M M 1 I x dx x dx ML L L 3 0 0 3.1.3. Teorema Sumbu Sejajar Terdapat suatu teorema yang disebut teorema sumbu sejajar. Apabila kita mengetahui nilai momen inersia suatu benda kontinu yang diputar pada sumbu yang melewati titik pusat massanya, maka kita dapat - 8 -

menghitung momen inersia benda tersebut apabila sumbu putar terletak sejauh h dari sumbu yang melewati pusat massanya. Apabila I pm adalah momen inersia suatu benda kontinu bermassa M yang diputar pada sumbu yang melewati titik pusat massanya, maka teorema sumbu sejajar dapat dituliskan Contoh 4: Hitunglah momen inersia dari tongkat tipis dengan sumbu putar yang melewati pusat massanya! Jawab: Kita gunakan informasi momen inersia tongkat tipis yang diputar pada ujung tongkat seperti pada contoh 3 yaitu I = 1 3 ML. Letak pusat massa dari tongkat tipis adalah di tengah-tengah tongkat seperti ditunjukkan pada gambar 7. Gambar 7. Sebuah tongkat tipis panjang yang diputar di titik pusat massa. Sehingga, gunakan Persamaan (10) diperoleh L 1 1 1 1 I pm ML M ML ML ML 3 3 4 1 Berikut diberikan data momen inersia dari beberapa benda yang uniform yang disajikan pada tabel 1. - 9 -

Tabel 1. Momen inersia dari berbagai benda uniform (Gambar: Tipler, 003) No. Jenis Benda 1. Kulit silinder Gambar dan nilai momen inersia. Silinder pejal 3. Silinder berlubang dengan jari-jari kulit dalam R 1 dan kulit luar R 4. Kulit silinder yang diputar di tengah 5. Silinder pejal yang diputar di tengah - 10 -

6. Tongkat tipis yang diputar dengan sumbu putar melawati pusat massa. 7. Tongkat tipis yang diputar dengan sumbu putar di ujung tongkat. 8. Kulit bola yang diputar tepat di tengah. 9. Bola pejal yang diputar tepat di tengah. 10. Balok pejal yang diputar seperti pada gambar. - 11 -

3.. Penerapan Dinamika Rotasi Saat anda mempelajari Modul Hukum Newton, banyak penerapan yang berkaitan dengan katrol. Namun pada saat itu massa katrol diabaikan. Padahal dalam kehidupan sehari-hari, katrol memiliki peran dengan kata lain tidak dapat diabaikan. Beberapa asumsi dilakukan yaitu tali tidak slip saat berputar bersama katrol sehingga kecepatan linear dari tali sama dengan kecepatan tangensial dari katrol. Sehingga diperoleh vt R (10) dengan v t, R, dan ω adalah kecepatan tangensial katrol, jari-jari katrol dan kecepatan sudut katrol berturut-turut. Apabila Persamaan (10) diturunkan terhadap waktu maka diperoleh at R (11) yang merupakan hubungan antara percepatan sudut katrol dengan percepatan tangensial dari tali. Contoh 5: Dua buah massa digantungkan pada sistem tali dan katrol seperti pada gambar 8. Apabila katrol berupa silinder pejal bermassa 4 kg dan memiliki jari-jari 10 cm, Hitunglah percepatan linear sistem! (g = 10 m/s ) Gambar 8. Sistem massa, tali, dan katrol. - 1 -

Jawab: Massa m > m 1 sehingga arah percepatan ke m. Langkah yang harus dikerjakan adalah membuat diagram gaya untuk m 1, m, dan katrol serta menganalisisnya. Gambar 9. Diagram gaya untuk massa dan katrol beserta arah percepatannya. Kita gunakan sesuai konvensi di mana percepatan bernilai positif sesuai dengan arah gerak benda dan katrol. Untuk massa 1 gunakan Hukum Kedua Newton sehingga diperoleh T F m a w 1 m a 1 1 1 T1 0 a Untuk massa gunakan Hukum Kedua Newton sehingga diperoleh F m a w T m a T 100 10a Untuk katrol gunakan Hukum Kedua Newton untuk dinamika rotasi I 1 ( T T ) R MR 1 T T a 1 a R Substitusi T 1 dan T ke persamaan untuk katrol sehingga diperoleh - 13 -

100 10 a (0 a) a 80 1aa 80 14a a 5, 71m/s Jadi percepatan sistem adalah 5,71 m/s. Tugas Coba pikirkan: Mengapa gagang pintu selalu ditempatkan pada jarak yang jauh dari engsel pintu? 4. Energi Kinetik Rotasi dan Gerak Menggelinding 4.1. Energi Kinetik Rotasi adalah Seperti yang kita tahu, energi kinetik translasi dari suatu partikel Ektrans 1 mv (1) Setiap benda tegar terbentuk dari banyak partikel-partikel yang berukuran sangat kecil yang bermassa m dan berjarak r dari sumbu rotasi, maka dengan kecepatan translasi dari setiap partikel sama dengan Persamaan (10) v = rω. Sehingga energi kinetik total dari benda tegar adalah jumlahan dari setiap energi kinetik partikel-partikel penyusunnya 1 1 1 Ek tot mv mr mr kemudian kita substitusikan Persamaan (6), sehingga diperoleh energi kinetik rotasi untuk benda tegar adalah Ekrot 1 I (13) - 14 -

4.. Menggelinding Pada topik sebelumnya, kita hanya membicarakan suatu benda yang bergerak rotasi saja. Juga pada modul Hukum Newton, kita hanya membahas benda dianggap sebagai titik dan hanya bergerak translasi saja. Bagaimana dengan benda yang bergerak translasi sekaligus rotasi? Misalkan roda mobil atau bola yang menggelinding. Pada topik ini akan dibahas dinamika untuk benda yang bergerak translasi sekaligus rotasi. Perhatikan Gambar (10). Gambar 10. (a) Kasus benda bergerak translasi; (b) Kasus benda hanya bergerak rotasi pada titik pusat massa; (c) Kasus benda bergerak translasi sekaligus rotasi. Gerak menggelinding adalah hasil jumlahan atau superposisi dari gerak translasi dan gerak rotasi. Pada gambar 10a. benda hanya bergerak translasi sehingga kecepatan dari setiap titik pada benda sebesar kecepatan pusat massa v pm. Pada gambar 10b. benda hanya bergerak rotasi terhadap pusat massanya, sehingga apabila jari-jari benda R dan kecepatan sudut ω kecepatan pusat massanya v pm = Rω. Pada gambar 10c. benda menggelinding yang tak lain adalah penjumlahan antara gerak translasi dan rotasi. Pada kasus menggelinding tanpa slip, bagian benda yang menyentuh lantai secara sesaat memiliki kecepatan 0 m/s atau pada keadaan diam, sedangkan bagian paling atas benda memiliki dua kali kecepatan pusat massa. Energi kinetik total untuk benda yang menggelinding merupakan jumlahan dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi - 15 -

1 1 Ek mvpm I pm (14) Contoh 6: Sebuah bola pejal bermassa 1 kg dan berjari-jari 10 cm bergerak menggelinding tanpa slip dengan kelajuan pusat massa m/s. Hitung energi kinetik total dari bola pejal tersebut! Jawab: Momen inersia dari bola pejal sesuai pada tabel 1. adalah I pm = 5 mr. Keadaan menggelinding tanpa slip ω = v pm /r sehingga Persamaan(14) dapat dituliskan menjadi 1 1 vpm Ek mvpm mr 5 r 1 1 7 mv mv mv 5 10 7 8 (1)(),8J 10 10 pm pm pm Sehingga energi kinetik total dari benda tersebut adalah,8 J. Bagaimana dengan gerak menggelinding menuruni suatu bidang miring? Pusat massa dari sebuah benda yang menggelinding menuruni suatu bidang miring akan mengalami percepatan linear. Selain itu, momen gaya atau torsi dengan sumbu putar melalui pusat massa adalah sebagai berikut I (14) pm pm - 16 -

Persamaan (14) hampir sama dengan Persamaan (7). Apabila Persamaan (7) sumbu putar terletak pada titik sembarang, namun untuk Persamaan (14) sumbu putar melalui pusat massa. Contoh 7: Sebuah silinder pejal bermassa m dan jari-jari R menggelinding tanpa slip menuruni bidang miring kasar dengan kemiringin θ. Hitung percepatan pusat massa yang dialami silinder tersebut! Jawab: Gaya gesek f memberikan momen gaya kepada benda sehingga bergerak menggelinding. Gunakan Persamaan (14) sebagai berikut pm I pm apm fr I pm R Ipmapm f R Gambar 11. Diagram gaya dari benda menggelinding menuruni bidang miring kasar - 17 -

Kemudian gunakan Hukum Kedua Newton arah menuruni bidang miring x mg sin f ma pm F f ma ma pm pm mg sin Kemudian substitusikan f sehingga diperoleh ma a pm I a R I m R pm pm pm pm mg sin mg sin Sehingga diperoleh rumus umum untuk percepatan benda yang menggelinding menuruni bidang miring a pm g sin I pm 1 (15) mr Dengan memasukkan momen inersia untuk silinder pejal I pm = 1 mr sehingga diperoleh apm g sin 3 Perlu diketahui bahwa karena gerakan menggelinding diasumsikan tanpa slip, maka gaya gesek yang bekerja adalah gaya gesek statis. Hal ini menyebabkan tidak ada energi yang hilang selama gerak menggelinding. Oleh karena itu Hukum kekekalan energi mekanik berlaku untuk kasus menggelinding menuruni bidang miring. Perhatikan contoh berikut ini - 18 -

Contoh 8: Hitung kecepatan pusat massa dari silinder pejal pada dasar bidang miring seperti pada contoh 7. Silinder tersebut mulai menggelinding dari ketinggian h. Jawab: Kita gunakan hukum kekekalan energi mekanik dengan kita anggap titik 1 adalah posisi awal silinder saat masih pada ketinggian h dan titik adalah saat silinder sampai dasar bidang miring. Ek Ep Ek Ep 1 1 1 1 1 I gh vpm 1 mr 0 mgh mvpm I pm 0 pm Sehingga diperoleh persamaan kecepatan pusat massa di dasar bidang miring adalah v pm gh I pm 1 (16) mr Untuk kasus silinder pejal dengan I pm = 1 mr diperoleh vpm 4 3 gh Tugas Jika bola pejal, kulit bola, silinder pejal, dan kulit silinder yang memilikiki massa dan jari-jari yang sama, bergerak menggelinding dari bidang miring setinggi h. Kira-kira benda apa yang sampai dasar bidang miring terlebih dahulu. - 19 -

Video Saksikan juga video dalam tautan berikut ini. Bandingkan dengan hasil tugas anda di atas. https://www.youtube.com/watch?v=cb8gnquympc 5. Usaha dan Daya Pada Gerak Rotasi Pada saat kita mengayuh sepeda maka kita memberi gaya pada sepeda untuk berotasi dan memberi usaha atau kerja kepada sepeda tersebut. Oleh karena itu, usaha dalam gerak rotasi dapat dijabarkan sebagai berikut. Misalkan suatu gaya tangensial F tan bekerja pada tepi suatu cakram yang berputar dengan sumbu rotasi tepat pada pusat cakram. Selama selang waktu dt cakram berputar sejauh dθ seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Usaha dw yang dilakukan oleh gaya F tan untuk memutar cakram tersebut sejauh ds adalah dw = F tan ds, dengan ds = Rdθ sehingga dw = F tan Rdθ. Hasil kali F tan R tak lain adalah momen gaya τ, sehingga W d Apabila momen gaya konstan, maka Persamaan (17) menjadi 1 1 (17) W (18) Jika momen gaya menggunakan satuan Nm dan perpindahan sudut menggunakan satuan radian, maka satuan dari usaha adalah joule. - 0 -

Gambar 1. Sebuah cakram dikenai gaya tangensial pada tepi (Gambar: Young and Freedman, 016) Sama seperti pada gerak translasi, apabila ada suatu usaha yang dikerjakan oleh gaya maka akan ada perubahan energi kinetik. Kita substitusikan τ = Iα dan gunakan beberapa prosedur matematika sebagai berikut d d d ( I) d I d I d I d dt dt Sehingga Persamaan (17) dapat dituliskan menjadi W 1 1 1 I d I I1 (19) yang berarti usaha dikerjakan oleh suatu momen gaya menghasilkan perubahan energi kinetik rotasi. Bagaimana dengan daya benda yang mengalami gerak rotasi? Secara definisi daya adalah perubahan usaha per satuan waktu, sehingga turunkan Persamaan (17) terhadap waktu sehingga diperoleh dw dt d dt P (0) dengan P adalah daya. - 1 -

Contoh 9: Sebuah motor listrik memberikan suatu momen gaya konstan sebesar 6 Nm pada suatu gerinda yang memiliki momen inersia kg.m/s. Apabila sistem tersebut mula-mula diam, hitunglah: a) usaha dan energi kinetik sistem setelah 10 s; b) Daya yang diberikan oleh motor. Jawab: Diketahui τ = 6 Nm, I = kg m/s. Kita dapat menghitung percepatan sudut sistem mengingat τ = Iα, sehingga diperoleh α = 3 rad/s. a) Gunakan Persamaan (18) untuk mencari usaha. Setelah 10 s, perpindahan sudut yang dialami sistem adalah Δθ = 1 αt = 1 (3)(10) = 150 rad. Sehingga usaha yang dikerjakan motor adalah W = τδθ = (6)(150) = 900 J. Kecepatan sudut setelah 10 s adalah ω = αt = (3)(10) = 30 rad/s, sehingga energi kinetik sistem adalah Ek rot = 1 Iω = 1 ()(30) = 900 J. b) Daya yang diberikan oleh motor selama 10 s adalah P = W t = 900 10 = 90 W. 6. Momentum Sudut dan Hukum Kekekalan Momentum Sudut 6.1. Momentum Sudut untuk satu partikel Momentum sudut (L ) merupakan analogi dari momentum linear ( p ). Persamaan dari momentum sudut adalah L r p r mv (1) Seperti momen gaya τ, momentum sudut L bergantung pada letak sumbu rotasi karena begantung pada r yang merupakan vektor posisi partikel terhadap sumbu rotasi. - -

Gambar 13. Sebuah benda yang bergerak melingkar akan memiliki arah momentum sudut dan kecepatan sudut yang sama apabila sumbu putar melalui titik pusat. (Gambar: Tipler, 003) Apabila kita turunkan momentum sudut terhadap waktu, maka dl d r p dr mv r dp dt dt dt dt Karena dr dr = v, maka suku mv = 0. Kemudian perlu diingat juga dt dt bahwa dp dt = F, sehingga dl r F () dt yang artinya Laju perubahan momentum sudut suatu partikel sama dengan momen gaya yang bekerja pada partikel tersebut. 6.. Momentum Sudut untuk benda tegar Momentum sudut merupakan besaran vektor seperti ditunjukkan pada Persamaan (1). Asumsikan suatu benda tegar terdiri banyak partikel penyusun. Apabila kita mencari besar dari vektor momentum sudut berdasarkan Persamaan (1) untuk partikel ke-i yang memiliki massa m i, posisi dari titik O adalah r i dan memiliki kecepatan linear v i, diperoleh - 3 -

L r ( m v ) m r (3) i i i i i i Momentum sudut total untuk benda tegar adalah jumlahan dari momentum sudut masing-masing benda. Sehingga Persamaan (3) dapat dituliskan L L r (4) i ( mi i ) I Seperti yang ditunjukkan pada gambar 13, arah dari momentum sudut akan sama dengan arah dari kecepatan sudut apabila sumbu putar melalui pusat massa dari benda tegar atau sistem partikel. Sehingga Persamaan (4) dapat dituliskan menjadi 6.3. Hukum Kekekalan Momentum Sudut L I (5) Telah kita pelajari bahwa momentum sudut dapat digunakan sebagai alternatif dalam penyelesaian masalah yang melibatkan dinamika rotasi. Apabila di gerak translasi mengenal istilah hukum kekekalan momentum, pada gerak rotasi juga mengenal adanya hukum kekekalan momentum sudut. Bunyi hukum kekekalan momentum berbunyi sebagai berikut Apabila resultan momen gaya yang bekerja pada sistem adalan nol, maka momentum sudut sistem akan konstan Secara matematis dapat dituliskan yang artinya L dl 0 dt (6) awal L (7) akhir Contoh 10: Dua buah cakram masing-masing memiliki momen inersia I A dan I B berputar pada poros yang sama masing-masing ω A dan ω B yang arahnya searah. Cakram A kemudian bersatu dengan cakram B - 4 -

menghasilkan kecepatan sudut akhir ω. dinyatakan dalam variabel yang diketahui! Hitunglah nilai ω yang Jawab: Gunakan Hukum kekekalan momentum dengan L awal = I 1 ω 1 + I ω dan L akhir = (I 1 + I )ω, sehingga L awal L akhir I I ( I I ) 1 1 1 I11 I I I 1 Anda sudah mempelajari gerak rotasi atau gerak melingkar pada Modul Kinematika. Pada sub-bab ini, anda akan diingatkan secara singkat. Pada tabel 1 disajikan komparasi antara besaran, persamaan dan hukum pada gerak linear dan gerak rotasi. Tabel. Komparasi antara besaran pada gerak linear dan rotasi No. Besaran/Persamaan/ Hukum Linear Rotasi Relasi 1. Perpindahan x θ x = rθ. Kecepatan v ω v = rω 3. Percepatan a α a = rα 4. Persamaan Kinematika v = v 0 + at x = v 0 t + 1 at v = v 0 + ax ω = ω 0 + αt ω = ω 0 t + 1 αt ω = ω 0 + αθ 5. Massa m I I = mr 6. Momentum p = mv L = Iω L = r p - 5 -

7. Gaya F = ma τ = Iα τ = r F 8. Energi kinetik Ek t = 1 mv Ek r = 1 Iω 7. Kesetimbangan Benda Tegar 7.1. Syarat Kesetimbangan Benda Telah kita pelajari bahwa suatu benda akan bergerak dipercepat apabila ada resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut. Demikan juga benda akan berotasi pada porosnya apabila ada resultan momen gaya yang bekerja. Oleh karena itu, apabila suatu benda akan dibuat setimbang maka perlu dipenuhi dua syarat yaitu; 1. Resultan gaya yang bekerja pada setiap titik pada benda haruslah nol F 0 (8). Resultan momen gaya yang bekerja pada setiap titik pada benda haruslah nol. 0 (9) Kita pilih konvensi di mana momen gaya τ bernilai positif jika berputar berlawanan arah jarum jam, dan sebaliknya. Contoh 11: Sebuah batang homogen dengan panjang L = 1 m dan massa M = kg diletakkan di dua buah poros A dan B yang masing-masing berjarak 0 cm dari ujung kiri dan kanan batang. Sebuah balok bermassa 500 g diletakkan di atas batang sejauh 0 cm dari poros B. Hitung gaya normal pada poros B! g = 10 m/s - 6 -

Gambar 14. Sistem yang disebutkan dalam contoh 11. Jawab: Kita gambar diagram gaya dari kasus yang ada pada contoh soal. Gambar 15. Uraian gaya dari sistem. Karena yang ditanyakan adalah gaya normal B, maka gunakanlah titik A sebagai poros, sehingga N A tidak menyumbang momen gaya. Langkah selanjutnya adalah menentukan momen gaya masing-masing gaya dan juga arahnya (apakah searah jarum jam atau berlawanan). Kemudian gunakan Persamaan (9) 0 Mg(0,3) mg(0,4) N (0, ) 0 (10)(0,3) 0,5(10)(0,4) 0,N 0 B 6 0, N N B B B 0 8 40 N 0, Berikut disajikan contoh soal lain mengenai kesetimbangan benda: - 7 -

Contoh 1: Sebuah tangga yang memiliki panjang 5 m dan berat 00 N bersandar pada dinding yang licin dan kaki tangga berjarak 3 m dari dinding. Hitung: (a) Gaya normal dan gaya gesek yang dialami kaki tangga; (b) Koefisien gesek statis minimum pada kaki tangga supaya tangga tidak jatuh Jawab: Kita gambar diagram gaya dari kasus yang ada pada contoh soal. Gambar 16. Uraian sistem pada soal. Titik berat dari tangga berada di tengah-tengah tangga dengan jarak 3m dari kaki tangga. (a) Kita gunakan Persamaan (8) untuk arah sumbu-x dan sumbu-y f s F x N f 1 s 0 0 N 1 Fy 0 N w0 N w00 N - 8 -

Sehingga diperoleh N = 00 N. Gunakan Persamaan (9) dengan membuat titik di kaki tangga sebagai poros 0 N (4) 00(1,5) 0 1 4N 300 N 1 1 75 N Sehingga gaya gesek statis diperoleh f s = N 1 = 75 N (b) Kita gunakan f s = μ s N sehingga diperoleh fs 75 s 0,375 N 00 7.. Pusat Gravitasi Dalam membahas permasalahan mengenai kesetimbangan benda tegar, salah satu gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah gaya berat. Patut diingat bahwa gaya berat bekerja pada setiap titik pada benda tegar. Namun, akan lebih mudah apabila kita asumsikan bahwa seluruh gaya berat dari benda terkonsentrasi pada satu titik yang disebut pusat gravitasi dari benda. Jika X pg merupakan letak pusat gravitasi pada sumbu-x terhadap titik awal O, maka persamaan pusat gravitasi adalah X W w x (30) pb i i i Gambar 17. Berat dari suatu benda dapat dikonsentrasikan terletak pada pusat gravitasinya (Gambar: Tipler, 003). - 9 -

Apabila percepatan gravitasi konstan di setiap titik pada benda, maka dengan menuliskan W = Mg dan w i = m i g, Persamaan (30) dapat dituliskan menjadi MX m x (31) pg i i i yang tak lain merupakan persamaan pusat massa dari benda. Sehingga dapat disimpulkan letak pusat gravitasi dan pusat massa akan sama apabila percepatan gravitasi tersebut uniform. Apabila kita ambil titik asal O adalah pusat gravitasi X pg = 0, maka MX m x 0 (3) pg i i i Sehingga pusat gravitasi merupakan suatu titik di mana semua gaya berat yang bekerja pada benda menghasilkan resultan momen gaya nol. Video Putarlah video berikut yang menjelaskan konsep sederhana mengenai pusat gravitasi https://www.youtube.com/watch?v=r8wkv0uqtlo 7.3. Kestabilan Benda Terdapat tiga jenis kestabilan benda yaitu: stabil, tidak stabil, dan netral. Kesetimbangan stabil terjadi apabila meskipun benda diberi perubahan sudut atau gerak rotasi, benda akan kembali kepada keadaan awalnya. Kesetimbangan stabil diilustrasikan pada Gambar 18. Gambar 18. Benda dikatakan setimbang stabil. - 30 -

Momen gaya akibat sedikit rotasi lah yang menyebabkan benda kembali pada keadaan setimbang. Gerakan rotasi ini menaikkan pusat gravitasi dari benda sehingga energi potensial gravitasi benda bertambah. Kesetimbangan tidak stabil terjadi apabila benda diberi perubahan sudut atau gerak rotasi, benda tidak kembali ke keadaan awalnya. Kesetimbangan tidak stabil diilustrasikan pada Gambar 19. Gambar 19. Benda dikatakan setimbang tidak stabil Momen gaya akibat rotasi yang menyebabkan benda tidak kembali pada keadaan setimbang. Gerakan rotasi ini menurunkan pusat gravitasi dari benda sehingga energi potensial gravitasi benda berkurang. Sebuah silinder yang terletak pada bidang datar mula-mula diam. Kemudian anda beri rotasi sedikit, maka tidak ada gaya atau momen gaya yang menyebabkan benda kembali ke posisi awalnya maupun menjauhi posisi awalnya. Kasus ini disebut kesetimbangan netral. Perhatikan gambar 0. Gambar 0. Benda dikatakan setimbang netral. - 31 -

Tinggi dari pusat gravitasi silinder tidak berubah (tingginya sama), sehingga tidak ada perubahan energi potensial gravitasinya. Dapat disimpulkan bahwa apabila suatu benda sedikit diganggu dari keadaan awalnya yang setimbang, benda dikatakan setimbang stabil jika benda akan kembali pada keadaan awalnya, benda dikatakan setimbang tidak stabil jika benda akan bergerak semakin jauh dari keadaan awalnya, dan benda dikatakan setimbang netral jika tidak ada gaya atau momen gaya yang bekerja pada benda yang menyebabkan benda kembali atau menjauhi keadaan awalnya. - 3 -

E. RANGKUMAN Momen gaya merupakan suatu besaran yang merupakan analogi bagi gaya dalam gerak rotasi. Momen gaya merupakan besaran yang digunakan untuk mengukur gaya untuk mengubah gerakan rotasi benda. Jika r adalah vektor posisi titik tangkap gaya F dari poros, maka momen gaya τ secara vektor dituliskan sebagai r F Ukuran kelembaman suatu benda untuk melakukan gerak rotasi disebut Momen Inersia (I). Momen inersia untuk sistem partikel dapat dituliskan n I m r Sedangkan momen inersia untuk benda yang terdistribusi kontinu adalah i1 I i i r dm Hubungan antara momen gaya dengan percepatan sudut adalah I yang tak lain merupakan analogi bagi Hukum Kedua Newton bagi gerak rotasi. Sebuah benda tegar terdiri dari banyak patikel. Energi kinetik bagi benda tegar yang mengalami gerak rotasi adalah Ekrot 1 I Gerak menggelindang merupakan gabungan antara gerak translasi dan gerak rotasi. Apabila gerak benda yang menggelinding tanpa slip maka energi kinetik dari benda yang mengalami gerak menggelinding adalah 1 1 Ek mvpm I pm Usaha yang dilakukan oleh momen gaya τ untuk memutar benda sejauh Δθ adalah W - 33 -

Terdapat hubungan antara usaha dengan energi kinetik rotasi yaitu 1 1 W I I1 Selain itu, daya yang dihasilkan untuk gerak rotasi adalah P Momentum sudut (L ) merupakan analogi dari momentum linear (p ). Persamaan dari momentum sudut adalah L r p r mv Laju perubahan momentum sudut suatu partikel sama dengan momen gaya yang bekerja pada partikel tersebut, atau dapat ditulisan dengan persamaan dl r F dt Momentum sudut untuk benda tegar dapat dituliskan Apabila L I dl 0 dt maka hukum kekekalan momentum sudut berlaku. Benda dikatakan setimbang apabila memenuhi dua syarat berikut: 1. Resultan gaya yang bekerja pada setiap titik pada benda haruslah nol F. Resultan momen gaya yang bekerja pada setiap titik pada benda haruslah nol. 0 0 Pusat gravitasi adalah titik dimana seluruh gaya berat pada benda terkonsentrasi. Persamaannya adalah sebagi berikut X W w x pb i i i - 34 -

Benda dikatakan setimbang stabil jika benda akan kembali pada keadaan awalnya, benda dikatakan setimbang tidak stabil jika benda akan bergerak semakin jauh dari keadaan awalnya, dan benda dikatakan setimbang netral jika tidak ada gaya atau momen gaya yang bekerja pada benda yang menyebabkan benda kembali atau menjauhi keadaan awalnya. - 35 -

F. DAFTAR PUSTAKA Fowles R and Cassiday G L. (005). Analytical Mechanics 7th Edition (Connecticut: Thomson Learning Inc.) Giancoli, D. (014). Physics: Priciples with Applications (London: Pearson) Rosyid, M.F., Firmansyah, E., dan Prabowo, Y.D. (015). Fisika Dasar Jilid 1: Mekanika (Yogyakarta: Penerbit Periuk) Serway, R.A and Jewett, J.W.(008). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 7th Edition (Connecticut: Thomson Learning Inc.) Tipler, P.A and Mosca, G. (003). Physics for Scientists and Engineers 5th Edition (New York: W.H. Freeman) Young, D.Y. and Freedman, R.A. (016). University Physics with Modern Physics (London: Pearson Education) - 36 -

G. TES FORMATIF Pilih salah satu jawaban yang tepat! (gunakan g = 9,8 m/s ) 1. Dua buah gaya bekerja pada sebuah batang seperti pada gambar. Momen gaya total yang bekerja pada batang adalah... A. 7 Nm B. 7 Nm C. 0 Nm D. 14 Nm E. 14 Nm. Perhatikan gambar berikut: Apabila poros (titik O) terletak tepat di tengah batang, momen gaya total yang bekerja pada batang adalah... ( 3 1,7). A. 0 Nm B. 3,5 Nm C. 34 Nm D. 3,5 Nm E. 0 Nm - 37 -

3. Sebuah silinder pejal memiliki massa kg dan jari-jari 0 cm berotasi tanpa gesekan dengan kecepatan sudut 1 rad/s. Apabila tidak ada resultan momen gaya yang bekerja pada benda, maka benda... A. langsung berhenti berotasi. B. berhenti berotasi setelah beberapa detik C. tetap berotasi namun kecepatan sudutnya berkurang. D. tetap berotasi dengan kecepatan sudut yang sama. E. tetap berotasi dengan kecepatan sudut yang bertambah. Soal no 4-5 Empat buah massa identik masing-masing kg terletak pada setiap pojok dari kawat berbentuk persegi seperti pada gambar berikut: Asumsikan kawat tidak bermassa, hitunglah: 4. Momen inersia dari sistem jika sumbu rotasi adalah sumbu-x... A. 8 kg.m B. 16 kg.m C. 4 kg.m D. 3 kg.m E. 40 kg.m - 38 -

5. Momen inersia dari sistem jika sumbu rotasi adalah sumbu-y... A. 8 kg.m B. 16 kg.m C. 4 kg.m D. 3 kg.m E. 40 kg.m 6. Sebuah bola pejal menggelinding dari bidang miring dengan ketinggian 3 m dari tanah. Apabila massa dan jari-jari bola pejal 5 kg dan 30 cm berturut-turut, kecepatan pusat massa dari bola pejal saat mencapai dasar bidang miring adalah... A. 1,5 m/s B.,56 m/s C. 3,74 m/s D. 6,6 m/s E. 7,67 m/s 7. Seorang penari balet menari dengan tangan terentang memiliki momen inersia,5 kg.m dan kecepatan sudut 10 rad/s. Apabila kemudian penari tersebut melipat tangannya sehingga momen inersianya menjad 0,5 kg.m, maka kecepatan sudutnya menjadi... A. 0 rad/s B. 1,5 rad/s C. 5 rad/s D. 50 rad/s E. 75 rad/s 8. Perhatikan gambar berikut: - 39 -

Sebuah papan seberat 100 N dan memiliki panjang 1 m diletakkan di atas dua buah penumpu A dan B. Sebuah kotak seberat 800 N diletakkan di sebelah kanan dari penumpu B seperti pada gambar di atas. Jarak maksimal kotak B dari penumpu B supaya sistem tetap dalam keadaan setimbang adalah... A. 5 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 8 cm E. 9 cm Soal no 9-10 Sebuah tangga yang memiliki panjang 5 m dan berat 00 N bersandar pada dinding yang licin dan kaki tangga berjarak 4 m dari dinding. Apabila tukang bangunan yang memiliki berat 100 N tersebut berdiri pada tangga 1 m dari kaki tangga, hitung: 9. Gaya normal yang dialami kaki tangga adalah... A. 50 N B. 100 N C. 150 N D. 00 N E. 300 N 10. Koefisien gesek statis minimum pada kaki tangga supaya tangga tidak jatuh adalah... A. 0,1 B. 0,35 C. 0,53 D. 0,67 E. 0,79-40 -