METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES HARGA OPSI PUT AMERIKA SURITNO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juni 2008 Suritno NIM 060281
ABSTRACT SURITNO. Finite Difference Method for the Numerical Solution of the Black- Scholes Equation for the Price of American Put Option. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and DONNY CITRA LESMANA For the evaluation of American options, a general closed-form analytical solution does not exist yet. The basic reason is that the corresponding partial differential equation, known as Black-Scholes equation, needs to be solved with a free boundary value. A common way to deal with this problem is to apply numerical methods. The objectives of this paper are: to explore the determination of American put option price through analytical approximation and to compare the methods of determining American put option price with explicit, implicit and Crank-Nicholson finite difference methods. The results show that analytical approximation of American put option price can be formulated. Compared to other methods, the explicit finite difference method by transformation of variable is the best method according to its computing time. Keywords: Black-Scholes, American put option, analytical approximation, finite difference method
RINGKASAN SURITNO. Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan DONNY CITRA LESMANA. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham. Terdapat dua jenis kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli aset dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusi terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan analitik, stokastik dan numerik. Pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk menentukan nilai suatu opsi adalah dengan menggunakan metode beda hingga dan metode lattice (binomial dan trinomial). Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan mengeksplorasi penentuan harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dan membandingkan metode penentuan harga opsi put Amerika secara numerik dengan metode beda hingga eksplisit, implisit dan Crank-Nicholson. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan langkah pertama menurunkan persamaan Black-Scholes. Selanjutnya dengan persamaan ter-sebut dicari formula untuk harga opsi put Amerika dengan menggunakan pendekatan analitik. Langkah berikutnya menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang merupakan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga. Metode beda hingga yang digunakan untuk menentukan harga opsi put Amerika adalah metode implisit, Crank-Nicholson dan eksplisit serta implisit dengan transformasi peubah. Untuk memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, metode beda hingga tersebut diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameter input, yaitu: S (harga saham awal), K (harga eksekusi), r (suku bunga), (volatilitas), T (waktu jatuh tempo), M (banyaknya partisi untuk harga saham) dan N (banyaknya partisi untuk waktu). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat perbandingan harga opsi put Amerika dan waktu komputasi yang digunakan serta hubungan antara harga opsi put Amerika dengan parameter-parameter S, r dan T. Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa: 1) harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dapat dinyatakan dalam suatu formula yang memuat
parameter S yang menyatakan harga kritis saham, 2) penentuan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga, menunjukkan bahwa metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah merupakan metode yang lebih baik dibandingkan dengan ketiga metode lainnya berdasarkan waktu komputasinya, dan 3) berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah dan semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi. Kata kunci: persamaan Black-Scoles, opsi put Amerika, pendekatan analitik, metode beda hingga
Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES HARGA OPSI PUT AMERIKA SURITNO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl.
Judul Tesis Nama NRP : Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika : Suritno : G551060281 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math Ketua Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS Tanggal Ujian: 23 Juli 2008 Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini ialah masalah opsi Amerika, dengan judul Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Bapak Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math selaku pembimbing, serta kepada Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku penguji luar komisi. Tak lupa ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat Bogor, Juli 2008 Suritno