PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE

PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia adalah karya saya sendiri dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Vani Rialita Supono NIM G551070391

ABSTRACT VANI RIALITA SUPONO. Comparison of Interpolation Methods in Abridged Life Table and Its Application for the Indonesian Mortality Data. Supervised by HADI SUMARNO and N. K. KUTHA ARDANA. Life table (usually complete life table) is used in insurance field to define the amount of insurance premiums. When complete life table is not available, it must be estimated from abridged life table. Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman- Pollard and Kostaki method are used to expand abridged life table of USA 2005. Then, the resulting abridged life tables are compared with empirical complete life table of USA 2005. The result shows that among four interpolation methods, the Elandt-Johnson and Heligman-Pollard are the methods that do not require standard life table. Between the two methods, the Elandt-Johnson method gives the best result. Meanwhile, the Kostaki method gives better result than Brass Logit for methods which need standard life table. Afterward, Elandt-Johnson and Kostaki method are applied to the mortality data of Indonesia 2005. The standard life table used in Kostaki method is the mortality table of Indonesia 1999, which is published by Dewan Asuransi Indonesia. Keywords: abridged life table, complete life table.

RINGKASAN VANI RIALITA SUPONO. Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N. K. KUTHA ARDANA. Salah satu cara untuk menyajikan data kematian suatu negara berupa jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang umur tertentu adalah dengan life table atau tabel hayat. Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Dalam bidang asuransi, tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel hayat ringkas adalah tabel hayat dengan interval umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu umumnya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menginterpolasi tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt- Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi pustaka, data yang digunakan adalah data tabel hayat Amerika Serikat 2000 dan 2005 yang diperoleh dari Human Mortality Database (www.mortality.org). Langkah penelitian yang dilakukan adalah mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki, kemudian menduga parameter dari masing-masing metode. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan keempat metode tersebut dengan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 7.0 dan Microsoft Excel 2007. Untuk menguji kesesuaian data sebenarnya dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE, RMSE, dan R 2. Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwa diantara keempat metode interpolasi tersebut memiliki karakteristik yang berbeda. Metode Elandt-Johnson dan Heligman-Pollard merupakan metode yang tidak memerlukan tabel hayat

yang dijadikan sebagai acuan dalam menyusun tabel hayat lengkap (tabel hayat standar). Antara kedua metode tersebut metode Elandt-Johnson memberikan hasil yang terbaik. Metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar, tabel hayat standar yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat 2000. Metode Kostaki memberikan hasil lebih baik dibandingkan metode Brass Logit. Selanjutnya, metode Elandt-Johnson dan Kostaki diaplikasikan pada tabel hayat ringkas Indonesia 2005 yang diperoleh berdasarkan data angka harapan hidup waktu lahir SUPAS 2005 dan mengikuti pola tabel hayat Coale Demeny model Barat. Tabel hayat standar yang digunakan pada metode Kostaki adalah tabel mortalita Indonesia-II 1999 yang diterbitkan oleh Dewan Asuransi Indonesia. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum memiliki tabel hayat standar. Kata Kunci: tabel hayat ringkas, tabel hayat lengkap.

Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

Judul Tesis Nama NRP : Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia : Vani Rialita Supono : G551070391 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 18 Agustus 2009 Tanggal Lulus: 25 Agustus 2009

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-nya sehingga karya ilmiah berjudul Perbandingan Metode Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor. Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada Ayah, Ibu, dan seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang. Bogor, Agustus 2009 Vani Rialita Supono

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Maret 1981 dari ayah Sartono dan Ibu Supriyatin. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Tahun 1999 penulis lulus dari SMA Negeri 26 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta lulus tahun 2004. Pada tahun 2005, penulis menjadi Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama sebagai tenaga pendidik di Madrasah Tsanawiyah Negeri 21 Jakarta sampai sekarang. Pada tahun 2007 penulis masuk program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2009.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR LAMPIRAN... xvi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Tujuan Penelitian... 2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Tabel Hayat... 3 2.2 Asumsi Tabel Hayat... 3 2.3 Jenis Tabel Hayat... 3 2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat... 4 2.5 Interpolasi Lagrange... 5 2.6 Regresi Taklinear... 6 2.6.1 Metode Newton... 7 2.7 Uji Kesuaian Data... 9 2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE)... 9 2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE)... 9 2.7.3 Koefisien Determinasi (R 2 )... 9 2.7.4 Akar Kuadrat Rataan Galat (Root Mean Square Error, RMSE) 9 BAB III METODE PENELITIAN Langkah-langkah Penelitian... 11 BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN PEMBAHASAN 4.1 Metode Elandt-Johnson... 16 4.2 Metode Brass Logit.... 20 4.3 Metode Heligman-Pollard...... 24 4.4 Metode Kostaki... 29 4.5 Perbandingan antar Metode... 31 BAB V APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE TERBAIK PADA DATA INDONESIA 5.1 Sumber Data Indonesia... 34 5.2 Aplikasi Metode Terbaik pada Data Indonesia 5.2.1 Metode Kostaki untuk Indonesia... 36 5.2.2 Metode Elandt-Johnson untuk Indonesia... 37

BAB VI SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan... 39 5.2 Saran... 39 DAFTAR PUSTAKA... 40 LAMPIRAN... 42

DAFTAR TABEL Tabel Halaman 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan 010... 17 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan 1074... 18 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard... 27 4.4 Perbandingan nilai kriteria uji untuk l x masing-masing metode... 31 4.5 Nilai kriteria uji l x untuk metode tanpa standar... 32 4.6 Nilai kriteria uji l x untuk metode dengan standar... 33

DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 3.1 Diagram Alur Penelitian... 14 4.1 Plot tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005... 15 4.2 Plot tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap USA 2005... 16 4.3 Kurva USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson... 19 4.4 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson... 20 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit... 21 4.6 Kurva USA 2005 dengan metode Brass Logit... 23 4.7 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Brass Logit... 23 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard... 24 4.9 Kurva USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard... 28 4.10 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard... 28 4.11 Kurva USA 2005 dengan metode Kostaki... 30 4.12 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Kostaki... 30 4.13 Hasil berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas... 32 5.1 Kurva laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005... 35 5.2 Kurva wanita Indonesia berdasarkan SUPAS 2005... 35 5.3 Perbandingan kurva laki-laki dan wanita Indonesia... 35 5.4 Kurva tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan SUPAS 2005... 36 5.5 Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Kostaki... 37 5.6 Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Elandt-Johnson... 37 5.7 Perbandingan kurva tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson... 38 5.8 Diagram kotak nilai l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson... 38

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran Halaman 1 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005... 43 2 Tabe hayat lengkap Amerika Serikat 2005... 44 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000... 47 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000... 48 5 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5... 51 6 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson... 52 7 Program pendugaan parameter untuk metode Brass Logit... 55 8 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit... 56 9 Program pendugaan parameter pada metode Heligman-Pollard... 59 10 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Heligman-Pollard... 60 11 Pembuktian persamaan 4.16 dan perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki... 63 12 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Kostaki... 65 13 Angka Harapan Hidup Waktu Lahir penduduk Indonesia menurut propinsi dan jenis kelamin (SUPAS 2005)... 68 14 Tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan data SUPAS 2005 dan tabel hayat Coale Demeny model Barat... 69 15 Tabel mortalita Indonesia II sebagai tabel hayat standar untuk metode Kostaki... 72 16 Perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki untuk tabel hayat Indonesia... 81 17 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki... 82 18 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 untuk tabel hayat ringkas Indonesia 2005... 85 19 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson... 86 20 Program plot kurva l x dan perbandingan nilai kriteria uji kesesuaian data 89 21 Nilai numerik lima titik untuk data l x tabel hayat lengkap Indonesia 2005 berdasarkan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson... 94

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang penduduk, khususnya pada lima aspek yaitu ukuran, distribusi geografi, komposisi, komponen perubahan (kelahiran, kematian, migrasi), serta faktor penyebab dan akibat perubahan penduduk (Siegel dan Swanson 2004). Data kematian suatu negara biasanya dinyatakan dalam bentuk life table atau tabel hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur. Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1693 berdasarkan data registrasi kelahiran dan kematian dari kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun 1815 (Siegel dan Swanson 2004). Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Bidang asuransi juga menggunakan tabel hayat untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel hayat ringkas adalah tabel hayat dengan umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu biasanya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap dalam satu tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat

2 diperlukan seperti dalam bidang asuransi untuk menentukan besar premi asuransi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt- Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengkaji metode-metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas), yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Membandingkan metode-metode tersebut terhadap tabel hayat lengkap yang sebenarnya dan memilih metode terbaik. 3. Mengaplikasikan metode terbaik pada data kematian penduduk Indonesia.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Tabel Hayat Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga tak ada satu pun yang tertinggal (Siegel dan Swanson 2004). 2.2 Asumsi Tabel Hayat Asumsi yang digunakan dalam penyusunan tabel hayat adalah sebagai berikut: 1. Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian. 2. Kohort merupakan penduduk tertutup, tidak ada migrasi masuk maupun keluar. 3. Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut umur. 4. Kohort tabel hayat berasal dari suatu radiks tertentu, misalnya 1 000, 10 000 atau 100 000 (Wirosuhardjo 1985). 2.3 Jenis Tabel Hayat Tabel hayat ditinjau dari referensi tahun berlakunya ada dua jenis yaitu period life table dan cohort life table. Period life table adalah tabel hayat yang disusun berdasarkan data kematian menurut umur yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu (periode 2 atau 3 tahun) dari populasi yang ada. Cohort life table adalah jenis tabel hayat yang disusun berdasarkan riwayat angka kematian dari kohort sebenarnya yang diikuti sejak lahir hingga mati. Kedua jenis tabel hayat tersebut dapat disusun ke dalam tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat singkat berisi data kematian penduduk dikelompokkan dalam interval umur 5 tahun atau 10 tahun.

4 Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis (Siegel dan Swanson 2004). 2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat Notasi dan fungsi yang digunakan dalam tabel hayat antara lain adalah: : jumlah penduduk yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x : banyaknya kematian antara umur x hingga x + 1 (2.1) : banyaknya kematian antara umur x hingga x + n (2.2) : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 2.3 : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n 2.4 : total waktu yang dijalani oleh sejumlah l x antara umur x sampai x + 1 1 2 1 2 2.5 : total waktu yang dijalani oleh sejumlah l x antara umur x sampai x + n 2 2 2.6 : total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah l x mulai umur tepat x : angka harapan hidup bagi penduduk berumur x 2.7 2.8 : tingkat kematian bagi penduduk berumur x

5 2.9 (Brown 1997) 2.5 Interpolasi Lagrange Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan (Heath 1996). Misalkan terdapat n titik data, yaitu: (x i, y i ) i = 1, 2,,n dengan. Kemudian melewati semua titik data yang diketahui tersebut, dapat ditentukan fungsi interpolasi f sedemikian hingga, 1, 2,,. (2.10) Untuk x 1 < x k < x n, maka nilai merupakan nilai interpolasi dari x k. Fungsi interpolasi merupakan kombinasi linear dari sekumpulan fungsi basis (basis function), yang dirumuskan sebagai berikut:, 1, 2,, 2.11 dengan : fungsi basis ke-i : parameter-parameter yang akan ditentukan Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (x i, y i ) dengan i = 1, 2,, n. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat (n 1) yang melalui n titik berbeda adalah 2.12 dengan merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:,, 2.13

6 Berdasarkan definisi di atas, fungsi-fungsi memenuhi sifat 1, jika 0, jika 2.14 2.6 Regresi Taklinear Bentuk sederhana dari persamaan regresi taklinear (Draper 1992) dapat dinyatakan sebagai berikut:, (2.15) dengan f adalah fungsi taklinear dari,,, merupakan vektor dari peubah bebas dan,,, adalah parameter-parameternya. Apabila ada n data amatan, maka persamaan (2.15) menjadi, u = 1, 2,, n (2.16) dengan,,,. Galat persamaan taklinear,,, diasumsikan bebas dan berdistribusi normal, dengan 0 vektor nol dan I matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model taklinear didefinisikan sebagai berikut:, 2.17 Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi dilambangkan dengan merupakan nilai yang meminimumkan. Nilai dugaan kuadrat terkecil dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.17 relatif terhadap. Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai. Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk,, 0 2.18 dengan i = 1, 2,, p, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan turunan dari, terhadap dengan semua diganti dengan yang berindeks sama. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi taklinear tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan taklinear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang

7 dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan taklinear adalah metode Gauss Newton. 2.6.1 Metode Gauss-Newton Pendekatan metode Gauss Newton menggunakan perkiraan linearisasi atau metode deret Taylor dari fungsi harapannya secara berulang untuk memperbaiki nilai awal bagi parameter-parameternya. Oleh karena itu, metode Gauss Newton disebut juga metode linearisasi atau metode deret Taylor (Draper 1992). Misalkan,,, adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter,,,. Selanjutnya, dengan melakukan penguraian deret Taylor orde satu pada, di sekitar titik,,, akan diperoleh,,, dimisalkan,, maka persamaan (2.16) menjadi 2.19 2.20 Persamaan 2.20 berbentuk linear, sehingga dengan menerapkan metode kuadrat terkecil linear dapat diduga nilai parameter-parameter dari, i = 1, 2,, p. Bila ditetapkan, (2.21)

8 dan (2.22) maka nilai dugaan bagi parameter-parameter,,, diberikan oleh Dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat SS, 2.23 relatif terhadap, i = 1, 2,..., p, dengan. Bila merupakan nilai dugaan bagi maka dapat dituliskan bahwa, dan merupakan nilai dugaan terbaik yang telah diperbaiki bagi. Nilai dugaan yang diperoleh dari iterasi pertama akan dijadikan sebagai nilai awal bagi iterasi kedua dan seterusnya. Secara umum, penentuan hasil iterasi berikutnya dapat dituliskan sebagai berikut: (2.24) dengan,,,,,,,,. Proses iterasi ini terus dilakukan hingga solusi yang diperoleh konvergen, dengan kata lain hingga langkah iterasi ke-j dan ke-(j + 1) berlaku, 1, 2,,. 2.25 Dengan merupakan suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya (misalnya 0.000001).

9 2.7 Uji Kesuaian Data Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah: 2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE) Misalkan y i adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut: ; 1, 2,, (2.26) (Mathews 1992) 2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE) Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut: 1 ; 1, 2,, 2.27 (Mathews 1992) 2.7.4 Koefisien Determinasi 1 2.28 dengan y i = nilai sebenarnya, y ˆi = nilai dugaan, dan y = nilai rata-rata. Besaran R 2 menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. (Agresti dan Finlay 1999) 2.7.5 Akar Kuadrat Rataan Galat (RMSE) Misalkan y i adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Akar kuadrat rataan galat didefinisikan sebagai berikut:

10 1 1, 2,, 2.29 (Mathews 1992)

BAB III METODE PENELITIAN Langkah-langkah Penelitian Langkah-langkah penelitian yang akan dilakukan adalah: 1. Mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas, yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Pengambilan data. Penelitian ini menggunakan data kematian berupa tabel hayat dari Negara Amerika Serikat 2000 dan 2005 yaitu tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat Amerika 2000 digunakan sebagai tabel hayat standar untuk metode Brass Logit dan Kostaki. Data tabel hayat Amerika Serikat tersebut diperoleh dari Human Mortality Database pada http://www.mortality.org. 3. Menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. Metode Elandt-Johnson Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson (1980) adalah: a. Untuk umur 0 74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula b. Untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival dengan x > 0, R > 0, 0, dan dengan umur x dan parameter a dan R. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai ditentukan dengan menggunakan rumus: dengan 1,, 4 ; 75,80,, 15 1,, 119 ; 10

12 Metode Brass Logit Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah: a. Menduga parameter α dan β yang memenuhi hubungan linear berikut logit1 logit1 dengan : logit1 1 2 ln 1 Parameter dan diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear. b. Setelah diperoleh nilai parameter α dan β, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut : 1 1exp 2 logit1 Metode Heligman-Pollard Formula matematik metode Heligman-Pollard (1980) adalah: exp ln dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, 1 dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Tahapan penyusunan tabel hayat lengkap dengan metode Heligman-Pollard sebagai berikut: a. Menduga nilai parameter-paremeter dengan meminimumkan S 2 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square method) dengan 1 1 1 ; 1,

13 merupakan peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n. b. Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan formula berikut: ; 1; dengan ; exp ln Metode Kostaki Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah: a. Menentukan konstanta untuk setiap interval umur, dengan menggunakan rumus : ln1 ln1 b. Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus : 1 1 4. Menganalisis tabel hayat lengkap yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode kemudian membandingkan metode-metode tersebut dengan tabel hayat lengkap sebenarnya dengan menganalisis galatnya untuk memilih metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik. 5. Mengaplikasikan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik pada data kematian penduduk Indonesia yang mengikuti pola model Barat dari tabel hayat Coale Demeny.

14 Langkah-langkah penelitian di atas dapat digambarkan ke dalam diagram alur sebagai berikut: Kajian Metode Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki Data lima tahunan Data Amerika Pendugaan Parameter Penyusunan Tabel Hayat Lengkap Data tahunan Pembandingan antar Metode Pemilihan Metode Terbaik Data Indonesia Penyusunan Tabel Hayat Lengkap Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian

BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN PEMBAHASAN Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2005, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva l x pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.1. Tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seorang berumur 45 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 48 tahun, karena diperlukan informasi tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 45 tahun (l 45 ) dan jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 48 tahun (l 48 ). Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk interval umur satu tahun. Perbandingan l x pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dan l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.2. 100000 l x 80000 60000 40000 20000 0 20 40 60 80 100 Gambar 4.1 Plot l x tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 Berdasarkan pengamatan pada Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 akan berkurang akibat adanya kematian penduduk. Jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berumur 60 tahun ada sekitar 87%. Umur x

16 100 000 l x 80 000 60 000 l x tabel hayat lengkap 40 000 l x tabel hayat ringkas 20 000 0 20 40 60 80 100 Umur x Gambar 4.2 Plot l x tabel hayat lengkap dan l x tabel hayat ringkas USA 2005 Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005, yaitu dengan cara menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005. Ada beberapa metode interpolasi tabel hayat ringkas yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, diantaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 4.1 Metode Elandt-Johnson Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga skema interpolasi menurut umur tertentu, yaitu umur bayi dan anak-anak (0-10 tahun), umur remaja dan dewasa (10-74 tahun) serta umur di atas 74 tahun. Untuk interval umur 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan formula enam titik interpolasi Lagrange, menyatakan bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tabel hayat ringkas. 4.1

17 Berdasarkan persamaan 4.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi basis interpolasi Lagrange pada persamaan 4.1 yaitu: ; 1, 2,,6 4.2 Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan 4.2 diberikan pada Tabel 4.1 (0 10) dan Tabel 4.2 (1074). Tabel 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan 010 A l 1 A l 5 A l 10 A l 15 A l 20 A l 25 C l 1 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 C l 2 0.562030 0.717600-0.478400 0.283886-0.100716 0.015600 C l 3 0.273392 1.047200-0.531911 0.299200-0.103747 0.015867 C l 4 0.096491 1.108800-0.328533 0.172800-0.058358 0.008800 C l 5 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 C l 6-0.041667 0.798000 0.354667-0.152000 0.048000-0.007000 C l 7-0.048872 0.561600 0.665600-0.240686 0.072758-0.010400 C l 8-0.037281 0.333200 0.888533-0.244800 0.070147-0.009800 C l 9-0.018379 0.140800 1.001244-0.160914 0.043116-0.005867 C l 10 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Perhitungan nilai pada interval umur 0 10 tahun menggunakan enam titik interpolan yaitu x 1 = 1, x 2 = 5, x 3 = 10, x 4 = 15, x 5 = 20 dan x 6 = 25. Misalkan untuk x = 2 maka untuk menghitung C l 2 menggunakan persamaan 4.1, sehingga diperoleh: 0.562030 0.100716 0.717600 0.015600 0.478400 Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai x = 10. 0.283886

18 Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan 10 74 A l 5m-10 A l 5m-5 A l 5m A l 5m+5 A l 5m+10 A l 5m+15 C l 5m+1 0.008064-0.07392 0.88704 0.22176-0.04928 0.006336 C l 5m+2 0.011648-0.09984 0.69888 0.46592-0.08736 0.010752 C l 5m+3 0.010752-0.08736 0.46592 0.69888-0.09984 0.011648 C l 5m+4 0.006336-0.04928 0.22176 0.88704-0.07392 0.008064 C l 5m+5 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 dengan: A l 5m+j C l 5m+i : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+j dari tabel hayat ringkas dengan j = -10, -5, 0, 5, 10, 15 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+i untuk menaksir tabel hayat lengkap dengan i = 1,, 5 m = 2, 3,..., 14 Berdasarkan Tabel 4.2 perhitungan nilai 0.008064 0.22176 0.07392 0.04928 dengan menggunakan m = 2 0.88704 0.006336 Perhitungan nilai untuk 1274 dilakukan dengan cara yang sama seperti perhitungan untuk nilai di atas, hingga diperoleh jumlah penduduk yang bertahan hidup mencapai umur tepat x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson untuk 074 (lihat Lampiran 6). Interpolasi terakhir untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival sebagai berikut: (4.3) dengan x > 0, R > 0, 0, dan untuk umur x dan parameter a dan R. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dari rasio nilai yang berdekatan, cara ini akan menghasilkan parameter dan untuk umur x. Nilai penduga untuk dan, yaitu dan dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 4.4. Proses perhitungan akan berhenti pada saat dan

19 untuk ω10, dengan ω adalah umur tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 (lihat Lampiran 1). 10 dengan log log 75, 80,, ω 10 (4.4) Setelah menentukan nilai dan, maka fungsi survival Gompetz pada persaman 4.3 menjadi: 1,, 4 ; 75, 80,, ω 15 dengan (4.5) 1,, 119 ω ; ω 10 Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 yakni untuk umur di atas 74 tahun dapat dihitung menggunakan persamaan 4.6. dengan 1,, 4 ; 75, 80,, ω 15 1,, 119 ω ; ω 10 4.6 Hasil perhitungan dan dengan menggunakan persamaan 4.4 dan 4.5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson dapat disusun berdasarkan persamaan 4.1 dan 4.6 (lihat Lampiran 6). Kurva pada tabel hayat lengkap dengan metode Elandt-Johnson disajikan ke dalam Gambar 4.3. l x 100000 80000 60000 40000 20000 Umur x 0 20 40 60 80 100 Gambar 4.3 Kurva l x USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson

20 Perbandingan kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dengan l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.4. R 2 1. l x 100 000 80 000 60 000 40 000 l x Asli l x Elandt Johnson 20 000 0 20 40 60 80 100 Umur x Gambar 4.4 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Elandt-Johnson Pada Gambar 4.4, kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson memiliki perbedaan yang kecil sehingga nilai koefisien determinasi (R 2 ) 1. 4.2 Metode Brass Logit Brass (1971) menemukan suatu hubungan linear antara fungsi dari l x dan fungsi s l x yaitu: s logit(1 l ) = α+ βlogit(1 l ) (4.7) x x dengan 1 1 l x logit(1 lx ) = ln 2 lx l merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat s x standar, sedangkan α dan β adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dari tabel hayat standar dan β menyatakan slope kematian. Perubahan nilai β berhubungan dengan distribusi umur yang berbeda yaitu apakah kematian umur anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Jika nilai β > 1 berarti kematian

21 umur anak-anak lebih rendah dibandingkan dengan kematian umur dewasa, sebaliknya bila β < 1 berarti kematian umur anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Perubahan nilai α dan β pada persamaan 4.7 dapat digunakan untuk memprediksi angka kematian di masa depan. Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu sebelum tabel hayat standar digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap terlebih dahulu perlu diadakan pengujian linearitas antara logit (1 - l x ) terhadap logit (1 - S l x ) menggunakan persamaan 4.7. Pada penelitian ini tabel hayat yang dijadikan sebagai standar (tabel hayat standar) adalah tabel hayat Amerika Serikat 2000. Nilai dugaan parameter α dan β ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil linear dengan bantuan software Mathematica 7.0. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai dugaan parameter α = - 0.125137 (SE 0.014717) dan β = 0.926807 (SE 0.007482), R 2 = 0.998633 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara nilai logit dari l x pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan nilai logit l x tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 dapat dilihat pada Gambar x 4.5. logit1 l 4 2 4 2 2 4 logit1 S l x 2 4 R 2 = 0.998633 α = - 0.125137; β = 0.926807 Gambar 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit Berdasarkan hasil perhitungan di atas, besarnya nilai β = 0.926807 < 1, artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2005 usia anak-anak lebih

22 tinggi dibandingkan dengan usia dewasa. Parameter β yang nilai mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva l x pada tabel hayat Amerika Serikat 2005 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat 2000. Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat diturunkan dari persamaan 4.7 dan persamaan 4.8, sehingga diperoleh persamaan 4.9. Bukti: l x 1 = 1+ exp 2 + logit 1 S ( α β ( l x )) S ( lx ) = α + β ( lx ) logit 1 logit 1 1 1 l ln x = α + β logit 1 2 lx S ( lx ) ( α β ( lx )) 1 l ln x = 2 + logit 1 S lx ( α β ( lx )) 1 l x = exp 2 + logit 1 S l x ( α β ( lx )) 1 1 = exp 2 + logit 1 S l x 1 l l x x ( α β ( l )) = 1+ exp 2 + logit 1 S x 1 = 1+ exp 2 + logit 1 S ( α β ( lx )) (4.9) Berdasarkan perhitungan parameter α dan β di atas, persamaan 4.9 menjadi l x 1 = 1+ exp 2 0.125137 + 0.926807logit 1 S ( ( lx )) (4.10)

23 Nilai l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubtitusi nilai S l x yaitu jumlah penduduk umur tertentu yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 (tabel hayat standar). Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit dapat dilihat pada Lampiran 8. Kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.6, sedangkan perbandingan l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dan l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.7. l x 100000 80000 60000 40000 20000 x Umur 0 20 40 60 80 100 Gambar 4.6 Kurva l x USA 2005 dengan metode Brass Logit R 2 0.997897 l x 100000 80000 60000 40000 l x Asli l x Brass logit 20000 0 20 40 60 80 100 Umur x Gambar 4.7 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Brass Logit

24 Kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya, kecuali pada umur sekitar 50 tahun ke atas nilai l x pada umur tersebut berbeda jauh dari nilai l x sebenarnya. 4.3 Metode Heligman-Pollard Heligman-Pollard (1980) menyatakan bahwa penyebab kematian dapat dibagi menjadi tiga masa yaitu pengaruh masa bayi dan anak-anak, akibat kematian pada umur remaja dan tingkat kematian usia lanjut. Adapun fungsi matematika dari formula Heligman-Pollard adalah exp ln 4.11 dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, 1 dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Kurva dari persamaan 4.11 dapat dilihat pada Gambar 4.8. 1 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 0.1 0.01 0.001 0.0001 kematian bayi akibat kecelakaan kurva Gompertz kematian total 0.00001 Gambar 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard

25 Komponen pertama pada persamaan 4.11 menunjukkan bahwa umur bayi dan anak-anak merupakan fungsi eksponensial menurun. Hal ini menggambarkan bahwa menurunnya kematian masa bayi dan anak-anak berumur kurang dari 10 tahun. Komponen ini mempunyai tiga parameter yaitu parameter A hampir sama atau mendekati nilai yang menyatakan level kematian pada usia anak-anak, parameter B menyatakan letak umur kematian bayi, sedangkan parameter C menyatakan angka kematian yang menurun pada masa anak-anak. Semakin tinggi nilai parameter C maka angka kematian menurun dengan cepat yang ditandai dengan kenaikan umur. Ketika parameter B = 0, maka 0.5 untuk semua nilai parameter A dan C. Semakin tinggi nilai parameter B, maka akan mendekati. Dengan demikian, parameter B menyatakan letak kematian bayi dengan interval umur,. Komponen kedua pada persamaan 4.11 merupakan fungsi yang serupa dengan fungsi kepekatan lognormal yang menggambarkan kematian akibat kecelakaan yang terjadi pada masa pertengahan hidup atau masa remaja. Komponen ini memiliki tiga parameter yaitu parameter D, parameter E, parameter F. Komponen terakhir pada persamaan 4.11 merupakan fungsi eksponensial Gompertz yang menyatakan peningkatan kematian pada umur dewasa dan misalnya tanda-tanda kematian. Parameter G menunjukkan level awal tanda kematian sedangkan parameter H menyatakan kenaikan angka kematian. Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan 4.11 dinyatakan sebagai ;, yaitu suatu fungsi dari variabel umur x dan merupakan parameterparameter yang terdapat pada persamaan 4.11, sehingga formula Heligman- Pollard pada persamaan 4.11 menjadi: ; 4.12 karena 1 maka persaman 4.11 menjadi: ; 1; 4.13

26 Berdasarkan hubungan Bukti: 1 1 4.14 1 1 1 1 Model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas berdasarkan formula Heligman-Pollard menjadi: 1 1 ; 1, 4.15 Parameter pada formula Heligman-Pollard dapat dihitung dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square), yaitu dengan meminimumkan S 2. 1 4.16 Berdasarkan hasil perhitungan persamaan 4.16 menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh nilai parameter-parameter yang terdapat pada formula Heligman-Pollard dapat dilihat pada Tabel 4.3.

27 Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard Parameter Nilai Keterangan A 0.00046 Representasi dari B 0.499993 Representasi letak C 0.08 Representasi laju penurunan kematian bayi D 0.000641585 Representasi besarnya kematian akibat kecelakaan E 7.94932 Representasi sebaran usia terjadinya kecelakaan F 22.8101 Representasi usia maksimum terjadinya kematian akibat kecelakaan G 0.0000375169 Representasi level kematian pada usia lanjut H 1.098 Representasi laju peningkatan kematian Kemudian dengan mensubtitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh pada Tabel 4.3 ke dalam persamaan 4.13 akan menghasilkan peluang penduduk berumur tertentu akan meninggal sebelum satu tahun yang akan datang ( q x) dengan metode Heligman-Pollard. Setelah nilai q x diperoleh, nilai l x dapat dihitung dengan menggunakan hubungan dengan fungsi q x yaitu: ( ) l = q l ; x = 0,1, 2,..., ω (4.17) x+ 1 1 x x dengan ω merupakan umur tertua pada tabel hayat ringkas dan l 0 = 100 000 Bukti Berdasarkan persamaan 2.3 q x l l l = = 1 l l x x+ 1 x+ 1 x lx+ 1 = 1 qx lx l = q l x ( 1 ) x+ 1 x x Hasil aproksimasi tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard dapat

28 dilihat pada Lampiran 10. Kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.9, dan perbandingannya dengan l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya diberikan pada Gambar 4.10. l x 100000 80000 60000 40000 20000 x Umur 0 20 40 60 80 100 Gambar 4.9 Kurva l x USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard R 2 0.997607 l x 100 000 80 000 60 000 40 000 l x Asli l x Heligman Pollard 20 000 0 20 40 60 80 100 Umur x Gambar 4.10 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Heligman-Pollard Pola kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard mengikuti pola l x tabel hayat Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Metode Heligman-Pollard dapat menduga data sebenarnya dengan baik.

29 4.4 Metode Kostaki Kostaki (2000) menemukan suatu teknik nonparametric sederhana untuk menyusun tabel hayat lengkap dari tabel hayat ringkas, dimana nilai peluang kematian pada tabel hayat ringkas dihubungkan dengan peluang kematian tabel hayat lengkap yang dianggap sebagai tabel hayat standar. Hipotesis metode ini adalah bahwa pada setiap interval umur,, laju kematian dari tabel hayat ringkas merupakan perkalian suatu konstanta dengan laju kematian dari tabel hayat standar pada interval umur yang sama, yakni: 4.18 Oleh karena itu, konstanta untuk setiap interval umur, dapat dihitung menggunakan: dengan : ln1 ln1 4.19 : peluang seseorang tepat berumur x meninggal sebelum mencapai umur x + n : peluang seseorang tepat berumur x meninggal sebelum mencapai umur x + 1 pada tabel hayat standar Peluang kematian tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus: 1 1 4.20 dengan: untuk 1, 4 untuk 5, 9 untuk 10, 14 untuk 105, 109 Tabel hayat standar yang digunakan pada metode Kostaki sama seperti tabel hayat standar untuk metode Brass Logit yaitu tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 (Lampiran 4). Bukti persamaan 4.19 dan hasil perhitungan konstanta

30 diberikan pada Lampiran 11, sedangkan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 yang dihasilkan dengan menggunakan metode Kostaki diberikan pada Lampiran 12. Kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Kostaki dapat dilihat pada Gambar 4.11. l x 100000 80000 60000 40000 20000 Umur 0 20 40 60 80 100 Gambar 4.11 Kurva l x USA 2005 dengan metode Kostaki x R 2 0.999999 l x 100000 80000 60000 40000 l x Asli l x Kostaki 20000 0 20 40 60 80 100 Umur x Gambar 4.12 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Kostaki Berdasarkan Gambar 4.12 terlihat bahwa kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Kostaki mengikuti pola l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R 2 yang mendekati 1.

31 4.5 Perbandingan antar Metode Untuk mengetahui metode terbaik dari metode interpolasi tabel hayat ringkas di atas, digunakan beberapa kriteria uji diantaranya dengan menentukan nilai dari rataan galat mutlak (MAE), koefisien determinasi (R 2 ), akar kuadrat rataan galat (RMSE) dari untuk masing-masing metode interpolasi tersebut. Perbandingan nilai kriteria uji dari nilai pada tabel hayat dengan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki dapat dilihat pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 Perbandingan nilai kriteria uji untuk nilai l x dari masing-masing metode Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki MAE 11.265600 975.964590 1244.582068 13.952100 RMSE 24.588500 1644.990000 1754.570000 37.718500 R 2 1.000000 0.997897 0.997607 0.999999 Berdasarkan Tabel 4.4, metode Elandt-Johnson mempunyai nilai MAE, RMSE terendah dibandingkan ketiga metode lainnya. Keempat metode memiliki nilai R 2 yang mendekati 1, jadi keempat metode dapat dikatakan sesuai dengan data yang sebenarnya. Berdasarkan nilai kriteria uji di atas metode Elandt-Johnson merupakan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik. Kurva perbandingan nilai tabel hayat lengkap berdasarkan metodemetode tersebut dapat dilhat pada Gambar 4.13 di bawah ini.

32 l x 100 000 80 000 l x Asli l x Elandt 60 000 l x Brass 40 000 l x Heligman 20 000 0 20 40 60 80 100 Umur x l x Kostaki Gambar 4.13 Hasil l x berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas Berdasarkan Gambar 4.13, keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas mempunyai pola yang sama. Kurva akan menurun sejalan dengan bertambahnya umur. Untuk nilai l x dengan metode Elandt-Johnson dan Kostaki tidak berbeda jauh, sedangkan metode Brass Logit dan Heligman-Pollard terlihat berbeda saat umur dewasa. Keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas yang telah dibahas di atas memiliki karakteristik yang berbeda. Metode Elandt-Johnson dan Heligman- Pollard tidak memerlukan tabel hayat standar, sedangkan metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar. Oleh karena itu, perlu diperhatikan metode mana yang terbaik untuk metode yang memerlukan tabel hayat standar dan metode yang tidak memerlukan tabel hayat standar. Nilai kriteria uji l x untuk metode yang tidak memerlukan tabel hayat standar diberikan pada Tabel 4.5 di bawah ini. Tabel 4.5 Nilai kriteria uji l x untuk metode tanpa standar Elandt-Johnson Heligman-Pollard MAE 11.265600 1244.582068 RMSE 24.588500 1754.570000 R 2 1.000000 0.997607

33 Berdasarkan Tabel 4.5 metode Elandt-Johnson memiliki nilai MAE dan RMSE terkecil dan nilai R 2 terbesar dibandingkan dengan metode Heligman- Pollard. Metode Elandt-Johnson adalah metode terbaik untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang tidak memerlukan tabel hayat standar. Nilai kriteria uji l x untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang memerlukan tabel hayat standar yaitu metode Brass Logit dan Kostaki dapat dilihat pada Tabel 4.6 di bawah ini. Tabel 4.6 Nilai kriteria uji l x untuk metode dengan standar Brass Logit Kostaki MAE 975.964590 13.952100 RMSE 1644.990000 37.718500 R 2 0.997897 0.999999 Tabel 4.6 di atas menunjukkan bahwa metode Kostaki memiliki nilai MAE dan RMSE terendah serta nilai R 2 tertinggi dibandingkan dengan metode Brass Logit. Berdasarkan nilai kriteria uji pada Tabel 4.6, metode Kostaki merupakan metode terbaik untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang memerlukan tabel hayat standar.

BAB V APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE TERBAIK PADA DATA KEMATIAN INDONESIA 5.1 Sumber Data Indonesia Data penduduk Indonesia diperoleh dari BPS berdasarkan hasil SUPAS (Survei Penduduk Antar Sensus) terakhir tahun 2005, data Indonesia yang digunakan adalah data angka harapan hidup waktu lahir menurut jenis kelamin (lihat Lampiran 13). Angka harapan hidup saat lahir untuk wanita dan laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 berturut-turut adalah 71.1 dan 67.1 (BPS 2006). Berdasarkan angka harapan hidup waktu lahir tersebut dan mengacu pada tabel hayat Coale Demeny model Barat, akan diketahui letak level kematian Indonesia menurut jenis kelamin. Level kematian untuk wanita Indonesia adalah 21.44, sedangkan laki-laki adalah 21.42126. Kemudian tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin yang mengacu pada tabel hayat Coale Demeny model Barat dapat disusun dengan menggunakan interpolasi linear. Tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin berdasarkan tabel hayat Coale-Demeny model Barat dapat dilihat pada Lampiran 14. Setelah tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin diperoleh, maka tabel hayat ringkas Indonesia untuk kedua jenis kelamin (total) dapat diperoleh dengan menggabungkan jumlah penduduk yang bertahan menurut jenis kelamin. Aplikasi pada data kematian Indonesia hanya diterapkan untuk penduduk total Indonesia. Kurva jumlah penduduk yang bertahan hidup berdasarkan tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin laki-laki dan wanita dapat dilhat pada Gambar 5.1 dan Gambar 5.2, sedangkan perbandingan kurva jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk laki-laki dan wanita dapat dilihat pada Gambar 5.3.

35 l x 100000 80000 60000 40000 20000 x 0 20 40 60 80 100 Umur Gambar 5.1 Kurva l x laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 l x 100000 80000 60000 40000 20000 x 0 20 40 60 80 100 Umur Gambar 5.2 Kurva l x wanita Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 100000 l x 80000 60000 l x laki laki 40000 l x wanita 20000 0 20 40 60 80 100 Umur x Gambar 5.3 Perbandingan kurva l x laki-laki dan wanita Indonesia

36 Berdasarkan Gambar 5.3 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk wanita Indonesia menurut SUPAS 2005 yang bertahan hidup lebih tinggi dibandingkan dengan laki-laki, hal ini dapat dilihat dari nilai angka harapan hidup wanita Indonesia lebih tinggi dari laki-laki. Tabel hayat Indonesia 2005 diperoleh dari gabungan tabel hayat laki-laki dan wanita Indonesia (Lampiran 14). Jumlah penduduk Indonesia yang bertahan hidup pada tabel hayat Indonesia dapat dilihat pada Gambar 5.4 di bawah ini. l x 100000 80000 60000 40000 20000 x 0 20 40 60 80 100 Umur Gambar 5.4 Kurva l x tabel hayat ringkas Indonesia SUPAS 2005 5.2 Aplikasi Metode Terbaik pada Data Penduduk Indonesia Berdasarkan pembahasan di atas, bila negara memiliki tabel hayat standar maka metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik adalah metode Kostaki. Namun jika negara belum memiliki tabel hayat standar dapat menggunakan metode Elandt-Johnson. Kedua metode terbaik tersebut diaplikasikan pada data kematian Indonesia yang diperoleh mengikuti tabel hayat model Barat Coale Demeny. 5.2.1 Metode Kostaki untuk Indonesia Metode Kostaki merupakan metode interpolasi tabel hayat ringkas yang memerlukan tabel hayat standar, pada penelitian tabel hayat standar yang digunakan adalah tabel mortalita Indonesia-II 1999 yang diterbitkan oleh Dewan Asuransi Indonesia (Lampiran 15). Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan

37 menggunakan metode Kostaki diberikan pada Lampiran 17. Kurva l x pada tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dapat dilihat pada Gambar 5.5. l x 100000 80000 60000 l x Ind dengan Kostaki 40000 A l x Indonesia 20000 x 0 20 40 60 80 100 Umur Gambar 5.5 Kurva l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki 1.2.2 Metode Elandt-Johnson untuk Indonesia Tabel hayat lengkap Indonesia SUPAS 2005 diberikan pada Lampiran 19. Kurva l x tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 5.6. l x 100000 80000 60000 l x Ind dengan Elandt 40000 A l x Indonesia 20000 x 0 20 40 60 80 100 Umur Gambar 5.6 Kurva l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson Untuk mengetahui sejauh mana perbedaan hasil yang diperoleh dengan metode Kostaki dan Elandt-Johnson, berikut ditampilkan gambar perbandingan kurva l x tabel hayat Indonesia dengan kedua metode.

38 l x 100 000 A l x Indonesia 80 000 60 000 l x Kostaki 40 000 l x Elandt Johnson 20 000 x 0 20 40 60 80 100 Umur Gambar 5.7 Perbandingan kurva l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson 100000 80000 60000 40000 20000 0 metode Kostaki metode Elandt Johnson Gambar 5.8 Diagram kotak nilai l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson Berdasarkan diagram kotak pada Gambar 5.8, terlihat bahwa kedua metode mempunyai sebaran yang hampir sama dengan median 87944. Nilai numerik kelima titik untuk data l x pada tabel hayat lengkap Indonesia 2005 berdasarkan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Lampiran 21. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum mempunyai tabel hayat standar.

BAB VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Metode Elandt-Johnson menggunakan tiga skema interpolasi menurut umur yaitu interpolasi Lagrange untuk umur 0 tahun hingga 74 tahun, sedangkan untuk umur 74 tahun ke atas diasumsikan berdistribusi Gompertz. Metode Heligman-Pollard menyatakan bahwa penyebab kematian dapat dibagikan menurut tiga masa yaitu anak-anak, remaja dan usia lanjut. Metode Elandt- Johnson dan Heligman-Pollard tidak memerlukan tabel hayat standar. Diantara kedua metode tersebut, metode Elandt-Johnson memberikan hasil yang lebih baik. 2. Metode Brass Logit mejelaskan bahwa terdapat hubungan linear antara fungsi dari tabel hayat standar dengan tabel hayat lainnya yaitu logit1 logit1. Metode Kostaki menyatakan bahwa laju kematian pada tabel hayat ringkas merupakan perkalian konstanta dengan laju kematian tabel hayat standar yaitu. Untuk negara yang sudah memiliki tabel hayat standar dapat menggunakan metode Brass Logit dan metode Kostaki. Diantara kedua metode tersebut, metode Kostaki merupakan metode terbaik. 3. Metode Elandt-Johnson dan Kostaki diaplikasikan pada tabel hayat ringkas Indonesia. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia, karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum mempunyai tabel hayat standar. 6.2 Saran Untuk penelitian berikutnya, dapat dikembangkan untuk model kontinu dari tabel hayat.

DAFTAR PUSTAKA Agresti A, Barbara F. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. Ed. Ke-2. California: Dellen Publishing Company. Baili P. 2005. Comparison of four methods for estimating complete life table from abridged life table using mortality data supplied to EUROCARE-3. Mathematical Population Studies 12:183-198. BPS. 2006. Estimasi Parameter Demografi Fertilitas, Mortalitas dan Migrasi. Hasil Survei Penduduk antar Sensus 2005. Jakarta. Brass W. 1971. On the scale of mortality.in W. Brass (Ed.). Biological aspect of Demography. London: Taylor and Francis. Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. ACTEX Publication, Inc. Coale AJ, Paul D. 1983. Regional Model Life Tables and Stable Population. Ed ke-2. New York: Academic Press. Draper NR. 1992. Analisis Regresi Terapan. Bambang Sumantri,penerjemah, Jakarta: Gramedia. Terjemahan dari Appllied Regression Analysis. Elandt-Johnson RC, Johnson NL. 1980. Survival Models and Data Analysis 111-115. New York: Wiley Series. Heath MT. 1996. Scientific Computing an Introductory Survey. New York: McGraw-Hill. Heligman L, Pollard JH. 1980. The Age Pattern of Mortality. Journal of the Institute of Actuaries 107 part 1: 49-80. Kostaki, A. 1991. The Heligman-Pollard formula as a tool for expanding an abridged life table. Journal of Official Statistics. 7(3): 311-323 Kostaki, A, Panousis V. 2001. Expanding an abridged life table. J. Demographic Research. 5(1): 1-20. Mathews JH. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. London: Prentice-Hall. Siegel JS, Swanson DA. 2004. The Methods and Materials of Demography. USA: Elsevier Inc. Tim penyusun tabel mortalita Indonesia. 1999. Tabel Mortalita Indonesia-II. Jakarta: Dewan Asuransi Indonesia.

41 USA life table. Human Mortality Database. www.mortality.org. Wirosuhardjo K, Munir R, Kusumosuwidho S, Kartoyo A, Muliakusuma S. 1985. Kamus Istilah Demografi. Jakarta: Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.

LAMPIRAN

43 Lampiran 1 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 x nm x nq x l x nd x nl x T x ė x 0 0.00684 0.00680 100000 680 99366 7788611 77.89 1 0.00029 0.00116 99320 115 397005 7689245 77.42 5 0.00014 0.00072 99205 72 495843 7292240 73.51 10 0.00018 0.00089 99134 89 495481 6796397 68.56 15 0.00066 0.00330 99045 327 494561 6300915 63.62 20 0.00099 0.00494 98719 488 492379 5806354 58.82 25 0.00100 0.00497 98231 488 489932 5313975 54.1 30 0.00114 0.00567 97743 554 487376 4824043 49.35 35 0.00152 0.00759 97189 738 484225 4336667 44.62 40 0.00237 0.01180 96451 1138 479610 3852442 39.94 45 0.00359 0.01779 95312 1696 472602 3372832 35.39 50 0.00527 0.02603 93617 2437 462302 2900230 30.98 55 0.00738 0.03625 91180 3305 448067 2437928 26.74 60 0.01136 0.05531 87875 4861 427941 1989861 22.64 65 0.01684 0.08097 83014 6722 399138 1561920 18.82 70 0.02610 0.12290 76293 9377 359194 1162782 15.24 75 0.04079 0.18588 66916 12438 304928 803588 12.01 80 0.06612 0.28474 54478 15512 234583 498660 9.15 85 0.10855 0.42553 38966 16581 152748 264077 6.78 90 0.16596 0.57783 22385 12935 77939 111329 4.97 95 0.25876 0.74312 9450 7023 27140 33390 3.53 100 0.37409 0.86411 2428 2098 5607 6250 2.57 105 0.80719 0.93541 330 309 608 643 1.95 110+ 0.61889 1.00000 21 21 34 34 1.62 Sumber : www.mortality.org

44 Lampiran 2 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.00684 0.00680 100000 680 99366 7788611 77.89 1 0.00046 0.00046 99320 46 99297 7689245 77.42 2 0.00030 0.00030 99274 30 99259 7589947 76.45 3 0.00021 0.00021 99244 21 99234 7490688 75.48 4 0.00018 0.00018 99223 18 99214 7391454 74.49 5 0.00015 0.00015 99205 15 99198 7292240 73.51 6 0.00016 0.00016 99191 16 99183 7193042 72.52 7 0.00014 0.00014 99175 14 99168 7093859 71.53 8 0.00014 0.00014 99161 13 99154 6994692 70.54 9 0.00014 0.00014 99147 14 99141 6895538 69.55 10 0.00013 0.00013 99134 12 99128 6796397 68.56 11 0.00015 0.00015 99121 15 99114 6697269 67.57 12 0.00015 0.00015 99107 15 99099 6598155 66.58 13 0.00020 0.00020 99092 20 99082 6499056 65.59 14 0.00027 0.00027 99072 27 99059 6399974 64.60 15 0.00035 0.00035 99045 35 99028 6300915 63.62 16 0.00050 0.00050 99011 49 98986 6201888 62.64 17 0.00067 0.00067 98961 66 98928 6102901 61.67 18 0.00084 0.00084 98895 83 98854 6003973 60.71 19 0.00094 0.00094 98812 93 98765 5905120 59.76 20 0.00094 0.00094 98719 93 98672 5806354 58.82 21 0.00102 0.00102 98626 101 98576 5707682 57.87 22 0.00101 0.00101 98525 100 98476 5609106 56.93 23 0.00100 0.00100 98426 99 98376 5510630 55.99 24 0.00098 0.00098 98327 96 98279 5412254 55.04 25 0.00099 0.00099 98231 97 98182 5313975 54.10 26 0.00100 0.00100 98134 98 98085 5215793 53.15 27 0.00100 0.00100 98036 98 97987 5117708 52.20 28 0.00101 0.00101 97937 99 97888 5019722 51.25 29 0.00098 0.00098 97838 96 97791 4921834 50.31 30 0.00104 0.00104 97743 101 97692 4824043 49.35 31 0.00108 0.00108 97641 105 97589 4726351 48.41 32 0.00116 0.00116 97536 113 97480 4628763 47.46 33 0.00117 0.00117 97423 114 97366 4531283 46.51 34 0.00124 0.00124 97310 121 97249 4433916 45.57 35 0.00128 0.00128 97189 125 97126 4336667 44.62 36 0.00137 0.00136 97064 132 96998 4239541 43.68 37 0.00152 0.00151 96931 147 96858 4142543 42.74

45 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 38 0.00164 0.00164 96785 159 96705 4045685 41.80 39 0.00181 0.00181 96626 175 96538 3948980 40.87 40 0.00195 0.00195 96451 188 96357 3852442 39.94 41 0.00212 0.00212 96262 204 96160 3756086 39.02 42 0.00240 0.00240 96058 230 95943 3659925 38.10 43 0.00259 0.00259 95828 248 95704 3563982 37.19 44 0.00280 0.00280 95580 267 95446 3468278 36.29 45 0.00300 0.00300 95312 285 95170 3372832 35.39 46 0.00328 0.00327 95027 311 94871 3277662 34.49 47 0.00356 0.00355 94716 337 94548 3182791 33.60 48 0.00387 0.00386 94379 364 94197 3088243 32.72 49 0.00425 0.00424 94015 399 93816 2994046 31.85 50 0.00454 0.00453 93617 424 93405 2900230 30.98 51 0.00487 0.00485 93192 452 92966 2806825 30.12 52 0.00536 0.00535 92740 496 92492 2713859 29.26 53 0.00563 0.00561 92244 518 91985 2621367 28.42 54 0.00597 0.00596 91727 546 91453 2529381 27.58 55 0.00636 0.00634 91180 578 90891 2437928 26.74 56 0.00675 0.00673 90602 609 90298 2347037 25.90 57 0.00729 0.00726 89993 653 89666 2256739 25.08 58 0.00826 0.00823 89340 735 88972 2167073 24.26 59 0.00827 0.00823 88604 729 88240 2078101 23.45 60 0.00949 0.00945 87875 830 87460 1989861 22.64 61 0.01019 0.01014 87045 882 86604 1902401 21.86 62 0.01168 0.01161 86162 1001 85662 1815797 21.07 63 0.01222 0.01214 85162 1034 84645 1730135 20.32 64 0.01332 0.01323 84128 1113 83571 1645491 19.56 65 0.01425 0.01415 83014 1174 82427 1561920 19.82 66 0.01538 0.01526 81840 1249 81216 1479492 18.08 67 0.01691 0.01677 80591 1352 79915 1398277 17.35 68 0.01815 0.01799 79239 1425 78527 1318362 16.64 69 0.01975 0.01955 77814 1522 77053 1239835 15.93 70 0.02178 0.02155 76293 1644 75471 1162782 15.24 71 0.02368 0.02340 74649 1747 73775 1087311 14.57 72 0.02606 0.02572 72902 1875 71964 1013536 13.90 73 0.02876 0.02835 71026 2014 70020 941572 13.26 74 0.03085 0.03039 69013 2097 67964 871552 12.63 75 0.03343 0.03288 66916 2200 65816 803588 12.01 76 0.03660 0.03595 64716 2326 63552 737772 11.40 77 0.04093 0.04011 62389 2502 61138 674220 10.81

46 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 78 0.04521 0.04421 59887 2648 58563 613082 10.24 79 0.04943 0.04824 57239 2761 55858 554519 9.69 80 0.05445 0.05301 54478 2888 53034 498660 9.15 81 0.06004 0.05829 51590 3007 50086 445626 8.64 82 0.06658 0.06444 48583 3131 47017 395540 8.14 83 0.07335 0.07075 45452 3216 43844 348522 7.67 84 0.08055 0.07743 42236 3270 40601 304678 7.21 85 0.09170 0.08768 38966 3417 37258 264077 6.78 86 0.09859 0.09396 35549 3340 33879 226819 6.38 87 0.11065 0.10485 32209 3377 30521 192940 5.99 88 0.12338 0.11621 28832 3351 27157 162419 5.63 89 0.12940 0.12153 25482 3097 23933 135262 5.31 90 0.13730 0.12848 22385 2876 20947 111329 4.97 91 0.15239 0.14160 19509 2762 18128 90382 4.63 92 0.17118 0.15768 16746 2641 15426 72254 4.31 93 0.18982 0.17337 14106 2445 12883 56828 4.03 94 0.20938 0.18954 11660 2210 10555 43945 3.77 95 0.22718 0.20401 9450 1928 8486 33390 3.53 96 0.24741 0.22017 7522 1656 6694 24904 3.31 97 0.26889 0.23702 5866 1390 5171 18210 3.10 98 0.29158 0.25448 4476 1139 3906 13039 2.91 99 0.31543 0.27246 3337 909 2882 9132 2.74 100 0.34037 0.29087 2428 706 2075 6250 2.57 101 0.36630 0.30960 1721 533 1455 4176 2.43 102 0.39309 0.32852 1189 390 993 2721 2.29 103 0.42062 0.34753 798 277 659 1728 2.16 104 0.44870 0.36648 521 191 425 1068 2.05 105 0.47719 0.38526 330 127 266 643 1.95 106 0.50588 0.40375 203 82 162 376 1.86 107 0.53456 0.42183 121 51 95 215 1.78 108 0.56311 0.43939 70 31 55 119 1.71 109 0.59127 0.45635 39 18 30 65 1.65 110+ 0.61889 1.00000 21 21 34 34 1.62 Sumber: www.mortality.org

47 Lampiran 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 x nm x nq x l x nd x nl x T x ė x 0 0.00715 0.00710 100000 710 99338 7712828 77.13 1 0.00033 0.00130 99290 129 396849 7613490 76.68 5 0.00016 0.00080 99161 79 495595 7216641 72.78 10 0.00020 0.00102 99082 101 495188 6721045 67.83 15 0.00067 0.00336 98981 333 494202 6225858 62.90 20 0.00094 0.00468 98648 462 492080 5731656 58.10 25 0.00093 0.00464 98186 456 489808 5239576 53.36 30 0.00112 0.00559 97730 547 487364 4749768 48.60 35 0.00161 0.00801 97183 779 484096 4262403 43.86 40 0.00240 0.01194 96405 1151 479324 3778307 39.19 45 0.00352 0.01744 95254 1661 472353 3298984 34.63 50 0.00503 0.02483 93592 2324 462454 2826631 30.20 55 0.00784 0.03847 91268 3511 448113 2364176 25.90 60 0.01219 0.05927 87757 5201 426610 1916063 21.83 65 0.01870 0.08952 82556 7390 395255 1489453 18.04 70 0.02865 0.13409 75165 10079 351823 1094197 14.56 75 0.04459 0.20132 65086 13103 293876 742374 11.41 80 0.07161 0.30452 51984 15830 221053 448498 8.63 85 0.11546 0.44762 36154 16183 140162 227445 6.29 90 0.19730 0.64411 19971 12863 65196 87283 4.37 95 0.30065 0.79708 7107 5665 18843 22087 3.11 100 0.43354 0.90335 1442 1303 3005 3244 2.25 105 0.57839 0.95712 139 133 231 239 1.72 110+ 0.69419 1.00000 6 6 9 9 1.44 Sumber: www.mortality.org

48 Lampiran 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.00715 0.00710 100000 710 99338 7712828 77.13 1 0.00051 0.00051 99290 51 99264 7613490 76.68 2 0.00034 0.00034 99239 34 99222 7514226 75.72 3 0.00024 0.00024 99205 24 99193 7415004 74.74 4 0.00020 0.00020 99181 20 99171 7315811 73.76 5 0.00019 0.00019 99161 19 99151 7216641 72.78 6 0.00016 0.00016 99142 16 99134 7117489 71.79 7 0.00016 0.00016 99126 16 99118 7018355 70.80 8 0.00015 0.00015 99110 14 99103 6919237 69.81 9 0.00014 0.00014 99096 14 99089 6820134 68.82 10 0.00015 0.00015 99082 15 99074 6721045 67.83 11 0.00018 0.00018 99067 18 99058 6621971 66.84 12 0.00018 0.00018 99049 18 99040 6522913 65.86 13 0.00022 0.00022 99031 21 99020 6423873 64.87 14 0.00029 0.00029 99010 29 98995 6324853 63.88 15 0.00039 0.00039 98981 38 98962 6225858 62.90 16 0.00055 0.00055 98943 55 98915 6126896 61.92 17 0.00068 0.00068 98888 67 98854 6027981 60.96 18 0.00085 0.00085 98820 84 98779 5929127 60.00 19 0.00090 0.00090 98737 89 98692 5830348 59.05 20 0.00092 0.00092 98648 91 98602 5731656 58.10 21 0.00098 0.00098 98557 97 98509 5633053 57.16 22 0.00094 0.00094 98460 92 98414 5534544 56.21 23 0.00093 0.00093 98368 91 98323 5436130 55.26 24 0.00093 0.00093 98277 91 98231 5337807 54.31 25 0.00090 0.00090 98186 88 98142 5239576 53.36 26 0.00090 0.00089 98097 88 98054 5141434 52.41 27 0.00094 0.00094 98010 92 97964 5043381 51.46 28 0.00094 0.00094 97917 92 97872 4945417 50.51 29 0.00098 0.00098 97826 96 97778 4847546 49.55 30 0.00095 0.00095 97730 93 97684 4749768 48.60 31 0.00105 0.00105 97637 103 97586 4652084 47.65 32 0.00111 0.00110 97535 108 97481 4554498 46.70 33 0.00121 0.00121 97427 118 97368 4457018 45.75 34 0.00129 0.00129 97309 126 97246 4359650 44.80 35 0.00135 0.00134 97183 131 97118 4262403 43.86 36 0.00147 0.00146 97053 142 96982 4165285 42.92 37 0.00160 0.00160 96911 155 96833 4068304 41.98

50 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 78 0.04908 0.04790 57596 2759 56217 558125 9.69 79 0.05343 0.05204 54837 2854 53410 501908 9.15 80 0.05939 0.05768 51984 2998 50484 448498 8.63 81 0.06501 0.06296 48985 3084 47443 398014 8.13 82 0.07247 0.06993 45901 3210 44296 350570 7.64 83 0.08002 0.07694 42691 3285 41049 306274 7.17 84 0.08610 0.08254 39406 3253 37780 265226 6.73 85 0.09337 0.08920 36154 3225 34541 227445 6.29 86 0.10448 0.09930 32929 3270 31294 192904 5.86 87 0.11745 0.11094 29659 3290 28014 161610 5.45 88 0.13027 0.12230 26369 3225 24756 133597 5.07 89 0.14721 0.13711 23144 3173 21557 108840 4.70 90 0.16410 0.15166 19971 3029 18456 87283 4.37 91 0.18254 0.16727 16942 2834 15525 68827 4.06 92 0.20655 0.18722 14108 2641 12787 53302 3.78 93 0.22577 0.20287 11467 2326 10304 40515 3.53 94 0.25027 0.22243 9140 2033 8124 30211 3.31 95 0.26511 0.23408 7107 1664 6275 22087 3.11 96 0.28939 0.25281 5444 1376 4756 15812 2.90 97 0.31498 0.27212 4067 1107 3514 11056 2.72 98 0.34179 0.29191 2961 864 2528 7542 2.55 99 0.36971 0.31203 2096 654 1769 5014 2.39 100 0.39858 0.33234 1442 479 1203 3244 2.25 101 0.42822 0.35270 963 340 793 2042 2.12 102 0.45843 0.37295 623 232 507 1249 2.00 103 0.48901 0.39294 391 154 314 742 1.90 104 0.51987 0.41252 237 98 188 428 1.80 105 0.55032 0.43157 139 60 109 239 1.72 106 0.58059 0.44997 79 36 61 130 1.64 107 0.61031 0.46761 44 20 33 69 1.57 108 0.63926 0.48443 23 11 18 35 1.52 109 0.66728 0.50034 12 6 9 18 1.47 110+ 0.69419 1.00000 6 6 9 9 1.44 Sumber: www.mortality.org

51 Lampiran 5 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 Proses perhitungan persamaan 4.4 x log log 75 0.089309 1.10259 0.000093 1.000215 80 0.145535 1.10589 0.000071 1.000163 85 0.240729 1.09242 0.000236 1.000544 90 0.374525 1.09522 0.000181 1.000417 95 0.590183 1.07989 0.000849 1.001958 100 0.866735 1.06657 0.003621 1.008372 105 1.196295 Proses perhitungan persamaan 4.5 x 75 0.721502 76 0.697725 77 0.672416 78 0.645573 79 0.617217 80 0.599199 81 0.567558 82 0.534509 83 0.500197 84 0.464810 85 0.369074 86 0.336576 87 0.304336 88 0.272635 89 0.241766 90 0.223747 91 0.194010 92 0.165956 x 93 0.139863 94 0.115969 95 0.055125 96 0.043725 97 0.034046 98 0.025985 99 0.019409 100 0.005298 101 0.003736 102 0.002573 103 0.001729 104 0.001132 105 0.000720 106 0.000445 107 0.000266 108 0.000154 109 0.000086 110 0.000046

52 Lampiran 6 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.00682 0.00680 100000 680 99660 7788318 77.88 1 0.00028 0.00028 99320 28 99306 7688658 77.41 2 0.00031 0.00031 99292 31 99277 7589352 76.43 3 0.00030 0.00030 99261 30 99246 7490076 75.46 4 0.00027 0.00027 99232 27 99218 7390829 74.48 5 0.00022 0.00022 99205 22 99194 7291611 73.50 6 0.00018 0.00018 99183 17 99174 7192417 72.52 7 0.00013 0.00013 99165 13 99159 7093243 71.53 8 0.00010 0.00010 99152 10 99147 6994084 70.54 9 0.00008 0.00008 99142 8 99138 6894937 69.55 10 0.00003 0.00003 99134 3 99132 6795799 68.55 11 0.00009 0.00009 99131 9 99126 6696666 67.55 12 0.00016 0.00016 99122 16 99114 6597540 66.56 13 0.00026 0.00026 99106 25 99093 6498426 65.57 14 0.00036 0.00036 99080 35 99063 6399333 64.59 15 0.00046 0.00046 99045 46 99022 6300270 63.61 16 0.00057 0.00057 98999 56 98971 6201248 62.64 17 0.00067 0.00067 98943 66 98910 6102277 61.67 18 0.00076 0.00076 98877 75 98840 6003367 60.72 19 0.00084 0.00084 98802 83 98761 5904527 59.76 20 0.00092 0.00092 98719 91 98674 5805766 58.81 21 0.00097 0.00097 98628 96 98581 5707093 57.86 22 0.00101 0.00101 98533 99 98483 5608512 56.92 23 0.00103 0.00103 98434 101 98383 5510029 55.98 24 0.00103 0.00103 98332 101 98282 5411646 55.03 25 0.00099 0.00099 98231 98 98182 5313364 54.09 26 0.00099 0.00099 98133 97 98085 5215182 53.14 27 0.00099 0.00099 98036 97 97988 5117097 52.20 28 0.00100 0.00100 97939 97 97891 5019109 51.25 29 0.00101 0.00101 97842 99 97792 4921219 50.30 30 0.00105 0.00105 97743 103 97692 4823426 49.35 31 0.00109 0.00109 97640 106 97587 4725735 48.40 32 0.00113 0.00113 97534 110 97479 4628147 47.45 33 0.00118 0.00118 97424 115 97367 4530668 46.50 34 0.00124 0.00124 97310 121 97249 4433301 45.56 35 0.00130 0.00130 97189 126 97126 4336052 44.61 36 0.00139 0.00139 97063 135 96995 4238926 43.67 37 0.00150 0.00150 96928 146 96855 4141931 42.73

53 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 38 0.00164 0.00163 96782 158 96703 4045076 41.80 39 0.00179 0.00179 96624 173 96537 3948373 40.86 40 0.00198 0.00197 96451 190 96356 3851836 39.94 41 0.00216 0.00216 96261 208 96157 3755480 39.01 42 0.00236 0.00236 96053 227 95939 3659324 38.10 43 0.00258 0.00257 95826 246 95703 3563385 37.19 44 0.00280 0.00280 95579 267 95446 3467682 36.28 45 0.00303 0.00303 95312 288 95168 3372236 35.38 46 0.00329 0.00328 95024 312 94867 3277068 34.49 47 0.00357 0.00356 94711 337 94543 3182201 33.60 48 0.00387 0.00386 94374 364 94192 3087658 32.72 49 0.00419 0.00418 94010 393 93813 2993466 31.84 50 0.00457 0.00456 93617 427 93403 2899653 30.97 51 0.00492 0.00490 93190 457 92961 2806249 30.11 52 0.00526 0.00525 92733 487 92489 2713288 29.26 53 0.00562 0.00561 92246 517 91987 2620799 28.41 54 0.00600 0.00598 91729 549 91454 2528811 27.57 55 0.00629 0.00627 91180 572 90894 2437357 26.73 56 0.00676 0.00673 90608 610 90303 2346463 25.90 57 0.00730 0.00727 89998 655 89671 2256159 25.07 58 0.00793 0.00790 89344 706 88991 2166488 24.25 59 0.00865 0.00861 88638 763 88256 2077498 23.44 60 0.00958 0.00954 87875 838 87456 1989241 22.64 61 0.01043 0.01038 87037 903 86585 1901785 21.85 62 0.01133 0.01127 86134 971 85648 1815200 21.07 63 0.01228 0.01220 85163 1039 84643 1729552 20.31 64 0.01328 0.01319 84124 1110 83569 1644908 19.55 65 0.01421 0.01411 83014 1171 82428 1561339 18.81 66 0.01540 0.01528 81843 1251 81217 1478911 18.07 67 0.01673 0.01659 80592 1337 79923 1397694 17.34 68 0.01821 0.01805 79255 1431 78540 1317771 16.63 69 0.01987 0.01968 77824 1531 77059 1239231 15.92 70 0.02179 0.02155 76293 1644 75471 1162172 15.23 71 0.02381 0.02353 74649 1756 73771 1086702 14.56 72 0.02602 0.02568 72892 1872 71956 1012931 13.90 73 0.02844 0.02804 71020 1991 70025 940975 13.25 74 0.03109 0.03061 69029 2113 67972 870950 12.62 75 0.03351 0.03295 66916 2205 65813 802978 12.00 76 0.03694 0.03627 64711 2347 63537 737164 11.39

54 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 77 0.04073 0.03992 62363 2490 61119 673627 10.80 78 0.04491 0.04392 59874 2630 58559 612508 10.23 79 0.04952 0.04832 57244 2766 55861 553950 9.68 80 0.05424 0.05280 54478 2877 53040 498088 9.14 81 0.05998 0.05823 51601 3005 50099 445049 8.62 82 0.06632 0.06419 48597 3120 47037 394950 8.13 83 0.07334 0.07075 45477 3217 43868 347913 7.65 84 0.08110 0.07794 42260 3294 40613 304045 7.19 85 0.09211 0.08805 38966 3431 37250 263432 6.76 86 0.10061 0.09579 35535 3404 33833 226182 6.37 87 0.10989 0.10416 32131 3347 30458 192349 5.99 88 0.12002 0.11323 28784 3259 27155 161891 5.62 89 0.13108 0.12302 25525 3140 23955 134736 5.28 90 0.14236 0.13290 22385 2975 20897 110781 4.95 91 0.15587 0.14460 19410 2807 18007 89884 4.63 92 0.17064 0.15723 16603 2610 15298 71877 4.33 93 0.18680 0.17084 13993 2391 12798 56579 4.04 94 0.20447 0.18550 11602 2152 10526 43782 3.77 95 0.23066 0.20681 9450 1954 8473 33256 3.52 96 0.24890 0.22136 7496 1659 6666 24783 3.31 97 0.26856 0.23677 5836 1382 5146 18117 3.10 98 0.28972 0.25306 4455 1127 3891 12971 2.91 99 0.31251 0.27027 3327 899 2878 9080 2.73 100 0.34591 0.29490 2428 716 2070 6203 2.55 101 0.36843 0.31112 1712 533 1446 4133 2.41 102 0.39234 0.32800 1179 387 986 2687 2.28 103 0.41772 0.34555 793 274 656 1701 2.15 104 0.44463 0.36376 519 189 424 1045 2.02 105 0.47315 0.38263 330 126 267 621 1.88 106 0.50334 0.40213 204 82 163 354 1.74 107 0.53527 0.42226 122 51 96 191 1.57 108 0.56901 0.44298 70 31 55 95 1.36 109 0.60461 0.46426 39 18 30 41 1.04 110 2.00000 1.00000 21 21 11 11 0.50

56 Lampiran 8 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.00796 0.00793 100000 793 99604 7888097 78.88 1 0.00053 0.00053 99207 53 99181 7788494 78.51 2 0.00035 0.00035 99154 35 99137 7689313 77.55 3 0.00025 0.00025 99120 25 99107 7590176 76.58 4 0.00021 0.00021 99095 20 99085 7491069 75.59 5 0.00020 0.00020 99074 19 99065 7391984 74.61 6 0.00016 0.00016 99055 16 99047 7292919 73.62 7 0.00016 0.00016 99039 16 99031 7193873 72.64 8 0.00014 0.00014 99022 14 99015 7094842 71.65 9 0.00014 0.00014 99008 14 99001 6995826 70.66 10 0.00015 0.00015 98994 15 98986 6896825 69.67 11 0.00018 0.00018 98979 18 98970 6797839 68.68 12 0.00018 0.00018 98961 18 98952 6698869 67.69 13 0.00021 0.00021 98942 21 98932 6599918 66.70 14 0.00030 0.00030 98921 29 98907 6500986 65.72 15 0.00039 0.00039 98892 38 98873 6402079 64.74 16 0.00056 0.00056 98854 55 98826 6303206 63.76 17 0.00069 0.00069 98799 68 98765 6204380 62.80 18 0.00084 0.00084 98731 82 98690 6105616 61.84 19 0.00089 0.00089 98648 88 98604 6006926 60.89 20 0.00091 0.00091 98560 90 98516 5908322 59.95 21 0.00096 0.00096 98471 95 98423 5809806 59.00 22 0.00091 0.00091 98376 90 98331 5711383 58.06 23 0.00090 0.00090 98286 88 98242 5613052 57.11 24 0.00090 0.00090 98198 88 98154 5514810 56.16 25 0.00087 0.00087 98110 86 98067 5416656 55.21 26 0.00085 0.00085 98024 84 97982 5318589 54.26 27 0.00091 0.00091 97941 89 97896 5220606 53.30 28 0.00089 0.00089 97852 87 97808 5122710 52.35 29 0.00093 0.00093 97765 91 97719 5024902 51.40 30 0.00090 0.00090 97674 88 97630 4927183 50.45 31 0.00099 0.00099 97585 96 97537 4829553 49.49 32 0.00104 0.00104 97489 102 97438 4732016 48.54 33 0.00114 0.00114 97387 111 97332 4634578 47.59 34 0.00121 0.00121 97276 118 97218 4537246 46.64 35 0.00125 0.00125 97159 121 97098 4440028 45.70 36 0.00136 0.00136 97037 132 96971 4342930 44.76 37 0.00149 0.00149 96905 145 96833 4245959 43.82

58 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 78 0.03967 0.03890 63043 2452 61817 674817 10.70 79 0.04324 0.04232 60591 2565 59309 613000 10.12 80 0.04819 0.04706 58027 2730 56661 553691 9.54 81 0.05288 0.05152 55296 2849 53872 497030 8.99 82 0.05916 0.05746 52447 3013 50941 443158 8.45 83 0.06560 0.06352 49434 3140 47864 392218 7.93 84 0.07090 0.06847 46294 3170 44709 344354 7.44 85 0.07732 0.07444 43124 3210 41519 299645 6.95 86 0.08706 0.08343 39914 3330 38249 258126 6.47 87 0.09851 0.09389 36584 3435 34867 219877 6.01 88 0.11008 0.10434 33149 3459 31420 185010 5.58 89 0.12537 0.11798 29691 3503 27939 153590 5.17 90 0.14098 0.13169 26188 3449 24463 125651 4.80 91 0.15818 0.14659 22739 3333 21072 101188 4.45 92 0.18057 0.16562 19406 3214 17799 80115 4.13 93 0.19919 0.18115 16192 2933 14725 62317 3.85 94 0.22259 0.20030 13259 2656 11931 47592 3.59 95 0.23751 0.21230 10603 2251 9477 35661 3.36 96 0.26132 0.23112 8352 1930 7387 26183 3.14 97 0.28579 0.25006 6422 1606 5619 18797 2.93 98 0.31228 0.27011 4816 1301 4165 13178 2.74 99 0.33899 0.28986 3515 1019 3006 9012 2.56 100 0.36659 0.30980 2496 773 2110 6007 2.41 101 0.39574 0.33037 1723 569 1438 3897 2.26 102 0.42334 0.34938 1154 403 952 2459 2.13 103 0.45456 0.37038 751 278 612 1507 2.01 104 0.48381 0.38957 473 184 381 895 1.89 105 0.51144 0.40729 288 117 230 515 1.78 106 0.52914 0.41843 171 72 135 285 1.67 107 0.58350 0.45172 99 45 77 150 1.51 108 0.58521 0.45274 55 25 42 73 1.34 109 0.62112 0.47393 30 14 23 31 1.03 110 2.00000 1.00000 16 16 8 8 0.50

60 Lampiran 10 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Heligman-Pollard x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.000734 0.000733 100000 73 99963 7748637 77.49 1 0.000398 0.000398 99927 40 99907 7648673 76.54 2 0.000302 0.000302 99887 30 99872 7548767 75.57 3 0.000254 0.000254 99857 25 99844 7448895 74.60 4 0.000227 0.000227 99831 23 99820 7349051 73.61 5 0.000210 0.000209 99809 21 99798 7249231 72.63 6 0.000199 0.000199 99788 20 99778 7149432 71.65 7 0.000192 0.000192 99768 19 99758 7049654 70.66 8 0.000189 0.000189 99749 19 99739 6949896 69.67 9 0.000189 0.000189 99730 19 99721 6850157 68.69 10 0.000192 0.000192 99711 19 99702 6750436 67.70 11 0.000202 0.000202 99692 20 99682 6650734 66.71 12 0.000222 0.000222 99672 22 99661 6551052 65.73 13 0.000256 0.000256 99650 26 99637 6451391 64.74 14 0.000309 0.000309 99624 31 99609 6351754 63.76 15 0.000381 0.000381 99594 38 99575 6252145 62.78 16 0.000470 0.000470 99556 47 99532 6152571 61.80 17 0.000570 0.000570 99509 57 99480 6053039 60.83 18 0.000673 0.000673 99452 67 99419 5953558 59.86 19 0.000772 0.000772 99385 77 99347 5854140 58.90 20 0.000859 0.000858 99308 85 99266 5754793 57.95 21 0.000929 0.000928 99223 92 99177 5655527 57.00 22 0.000980 0.000980 99131 97 99083 5556350 56.05 23 0.001013 0.001013 99034 100 98984 5457267 55.10 24 0.001031 0.001030 98934 102 98883 5358283 54.16 25 0.001035 0.001035 98832 102 98781 5259401 53.22 26 0.001032 0.001031 98729 102 98679 5160620 52.27 27 0.001024 0.001024 98628 101 98577 5061941 51.32 28 0.001016 0.001016 98527 100 98477 4963364 50.38 29 0.001012 0.001011 98427 100 98377 4864887 49.43 30 0.001014 0.001013 98327 100 98277 4766511 48.48 31 0.001024 0.001023 98227 101 98177 4668233 47.52 32 0.001044 0.001043 98127 102 98076 4570056 46.57 33 0.001075 0.001074 98025 105 97972 4471980 45.62 34 0.001118 0.001118 97919 109 97865 4374008 44.67 35 0.001174 0.001174 97810 115 97752 4276144 43.72 36 0.001243 0.001243 97695 121 97634 4178391 42.77 37 0.001326 0.001325 97574 129 97509 4080757 41.82

63 Lampiran 11 Bukti persamaan 4.19 dan proses perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki Diketahui: Akan dibuktikan Bukti ln1 ln ln1 ln ln ln ln ln ln1 ln 1 ln1 ln 1 Berdasarkan persamaan 4.16 di atas, proses perhitungan nilai konstanta dijelaskan di bawah ini: Untuk x = 0 dan n = 1 ln1 ln1 ln0.9932 ln0.9929 0.957602

64 Untuk x = 1 dan n = 4 ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 1.160673321 10 1.290236715 10 0.899582 Perhitungan n K x dilanjutkan dengan cara yang sama seperti di atas untuk x = 5, 10, 15,..., 105 dan n = 5. Hasil perhitungan lengkap dapat dilihat pada tabel berikut: x nkx 0 0.957602 1 0.899582 5 0.900251 10 0.872843 15 0.980491 20 1.053173 25 1.070983 30 1.014806 35 0.948038 40 0.988803 45 1.019238 50 1.048957 55 0.941062 60 0.931419 65 0.900212 70 0.910818 75 0.914852 80 0.922804 85 0.933926 90 0.834691 95 0.852169 100 0.854161 105 0.869925

65 Lampiran 12 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Kostaki x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.00682 0.00680 100000 680 99660 7789405 77.89 1 0.00046 0.00046 99320 46 99297 7689745 77.42 2 0.00031 0.00031 99274 30 99259 7590448 76.46 3 0.00022 0.00022 99244 21 99233 7491189 75.48 4 0.00018 0.00018 99223 18 99214 7391955 74.50 5 0.00017 0.00017 99205 17 99196 7292742 73.51 6 0.00014 0.00014 99188 14 99181 7193545 72.52 7 0.00014 0.00014 99174 14 99166 7094365 71.53 8 0.00014 0.00014 99159 13 99153 6995198 70.55 9 0.00013 0.00013 99146 12 99140 6896046 69.55 10 0.00013 0.00013 99133 13 99127 6796906 68.56 11 0.00016 0.00016 99120 16 99113 6697779 67.57 12 0.00016 0.00016 99105 16 99097 6598667 66.58 13 0.00019 0.00019 99089 19 99080 6499570 65.59 14 0.00025 0.00025 99070 25 99058 6400490 64.61 15 0.00038 0.00038 99045 38 99026 6301432 63.62 16 0.00054 0.00054 99007 53 98981 6202406 62.65 17 0.00067 0.00067 98954 66 98921 6103426 61.68 18 0.00083 0.00083 98888 82 98847 6004505 60.72 19 0.00088 0.00088 98805 87 98762 5905658 59.77 20 0.00097 0.00097 98718 96 98670 5806896 58.82 21 0.00103 0.00103 98623 102 98572 5708226 57.88 22 0.00099 0.00099 98521 98 98472 5609654 56.94 23 0.00098 0.00098 98423 96 98375 5511182 55.99 24 0.00098 0.00098 98327 96 98279 5412807 55.05 25 0.00096 0.00096 98231 95 98183 5314528 54.10 26 0.00095 0.00095 98136 94 98089 5216345 53.15 27 0.00101 0.00101 98042 99 97993 5118255 52.20 28 0.00101 0.00101 97944 99 97894 5020262 51.26 29 0.00105 0.00105 97845 103 97794 4922368 50.31 30 0.00096 0.00096 97742 94 97695 4824574 49.36 31 0.00107 0.00107 97648 104 97596 4726879 48.41 32 0.00112 0.00112 97544 109 97490 4629283 47.46 33 0.00123 0.00123 97435 120 97375 4531793 46.51 34 0.00131 0.00131 97316 127 97252 4434418 45.57 35 0.00127 0.00127 97188 123 97126 4337166 44.63 36 0.00139 0.00138 97065 134 96998 4240039 43.68 37 0.00152 0.00152 96930 147 96857 4143042 42.74

68 Lampiran 13 Angka Harapan Hidup Waktu Lahir penduduk Indonesia menurut propinsi dan jenis kelamin (SUPAS 2005) Kode Jenis Kelamin Propinsi Propinsi Laki-laki Perempuan Total 11 Nangroe Aceh Darussalam 65.40 69.30 67.30 12 Sumatera Utara 68.60 72.50 70.60 13 Sumatera Barat 67.00 71.00 69.10 14 Riau 69.80 73.70 71.80 15 Jambi 67.10 71.10 69.20 16 Sumatera Selatan 67.50 71.50 69.50 17 Bengkulu 66.00 70.00 68.10 18 Lampung 68.00 72.00 70.10 19 Bangka Belitung 69.40 73.30 71.40 21 Kepulauan Riau 70.80 74.70 72.80 31 DKI Jakarta 71.30 75.10 73.30 32 Jawa Barat 65.80 69.80 67.80 33 Jawa Tengah 69.30 73.20 71.30 34 DI Yogyakarta 70.90 74.70 72.80 35 Jawa Timur 67.00 71.00 69.10 36 Banten 66.20 70.20 68.30 51 Bali 69.00 72.90 71.00 52 Nusa Tenggara Barat 59.00 62.70 60.90 53 Nusa Tenggara Timur 63.70 67.60 65.70 61 Kalimantan Barat 67.70 71.60 69.70 62 Kalimantan Tengah 70.20 74.00 72.10 63 Kalimantan Selatan 64.80 68.70 66.80 64 Kalimantan Timur 68.60 72.50 70.60 71 Sulawesi Utara 71.00 74.80 73.00 72 Sulawesi Tengah 64.60 68.50 66.60 73 Sulawesi Selatan 66.00 70.00 68.10 74 Sulawesi Tenggara 65.50 69.40 67.50 75 Gorontalo 62.70 66.50 64.60 81 Maluku 66.60 70.60 68.60 82 Maluku Utara 64.90 68.90 67.00 94 Papua 68.00 71.90 70.00 INDONESIA 67.10 71.10 69.20 Sumber: BPS 2006

69 Lampiran 14 Tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan data SUPAS 2005 dan tabel hayat Coale Demeny model Barat Wanita x 1000 n q x nd x 1000 n m x l x nl x T x ė x 0 27.49 2749 28.18 100000 97620 7110000 71.100 1 6.44 625 1.62 97251 387425 7012380 72.102 5 2.90 280 0.58 96626 482358 6624954 68.558 10 2.34 225 0.47 96346 481190 6142596 63.751 15 3.78 363 0.76 96121 479734 5661406 58.893 20 5.38 515 1.08 95758 477555 5181672 54.106 25 6.58 625 1.32 95244 474717 4704117 49.384 30 7.98 754 1.60 94618 471283 4229399 44.693 35 10.35 970 2.08 93864 466996 3758116 40.031 40 14.32 1328 2.88 92895 461288 3291120 35.422 45 21.24 1942 4.29 91567 453173 2829833 30.897 50 31.66 2834 6.43 89625 441323 2376660 26.510 55 47.56 4122 9.73 86791 424064 1935338 22.291 60 74.78 6173 15.52 82669 398533 1511273 18.273 65 122.25 9338 25.98 76497 360073 1112740 14.539 70 200.68 13458 44.42 67159 303495 752667 11.200 75 318.42 17077 75.76 53701 225810 449172 8.357 80 467.07 17084 122.71 36623 139505 223363 6.092 85 644.85 12585 198.61 19539 63511 83857 4.286 90 817.83 5682 318.62 6955 17880 20346 2.920 95 939.25 1194 505.66 1272 2369 2466 1.934 100 1000.00 78 799.39 78 97 97 1.251 Sumber: Coale Demeny 1983

70 Laki-laki x 1000 n q x nd x 1000 n m x l x nl x T x ė x 0 36.98 3698 38.20 100000 96860 6709966 67.100 1 8.22 791 2.07 96302 383263 6613107 68.666 5 4.24 404 0.85 95512 476447 6229843 65.220 10 3.27 325 0.69 95107 474756 5753396 60.487 15 6.20 587 1.25 94782 472502 5278640 55.687 20 8.67 815 1.74 94195 469019 4806137 51.017 25 8.81 822 1.77 93380 464926 4337119 46.440 30 9.97 921 2.00 92558 460577 3872193 41.828 35 12.74 1165 2.56 91636 455385 3411616 37.223 40 18.42 1663 3.72 90471 448362 2956232 32.669 45 28.72 2546 5.82 88808 437928 2507869 28.232 50 44.90 3868 9.18 86262 422026 2069941 23.988 55 70.77 5823 14.65 82394 397996 1647915 19.992 60 108.72 8314 22.94 76571 362903 1249919 16.316 65 165.60 11288 35.99 68257 314194 887016 12.987 70 251.07 14285 57.10 56969 250559 572823 10.048 75 371.15 15823 91.16 42683 173859 322264 7.543 80 520.38 13962 142.89 26860 97891 148404 5.519 85 690.85 8902 224.61 12899 39715 50512 3.910 90 636.11 3381 350.25 3997 9678 10797 2.697 95 950.05 584 541.26 615 1082 1119 1.816 100 1000.00 31 834.24 31 37 37 1.199 Sumber: Coale Demeny 1983

71 Total x 1000 n q x 1000 n m x nd x l x nl x T x ė x 0 32.24 33.19 3224 100000 98388 6913745 69.137 1 7.31 1.84 708 96776 385691 6815356 70.424 5 3.56 0.71 342 96069 479488 6429666 66.928 10 2.87 0.58 275 95727 477945 5950178 62.158 15 4.98 1.00 475 95452 476070 5472233 57.330 20 7.00 1.41 665 94977 473221 4996162 52.604 25 7.67 1.54 724 94312 469750 4522941 47.957 30 8.95 1.80 838 93588 465846 4053191 43.309 35 11.51 2.32 1067 92750 461083 3587345 38.677 40 16.31 3.30 1496 91683 454675 3126262 34.099 45 24.88 5.06 2244 90187 445327 2671586 29.623 50 38.10 7.81 3351 87944 431340 2226259 25.315 55 58.78 12.19 4972 84592 410532 1794919 21.218 60 90.97 19.23 7243 79620 379993 1384388 17.387 65 142.49 30.98 10313 72377 336103 1004394 13.877 70 223.51 50.76 13872 62064 275640 668292 10.768 75 341.34 83.46 16450 48192 199835 392652 8.148 80 489.04 132.80 15523 31742 119902 192817 6.075 85 662.39 211.61 10743 16219 54237 72915 4.496 90 827.69 334.43 4532 5476 16048 18678 3.411 95 942.40 523.46 889 944 2495 2631 2.788 100 1000.00 816.82 54 54 136 136 2.500

72 Lampiran 15 Tabel Mortalita Indonesia II sebagai tabel hayat standar untuk metode Kostaki Wanita x l x d x q x p x e x 0 100000 240 0.00240 0.99760 76.63 1 99760 72 0.00072 0.99928 75.82 2 99688 67 0.00067 0.99933 74.87 3 99621 65 0.00065 0.99935 73.92 4 99557 64 0.00064 0.99936 72.97 5 99493 63 0.00063 0.99937 72.01 6 99430 61 0.00061 0.99939 71.06 7 99370 60 0.00060 0.99940 70.10 8 99310 58 0.00058 0.99942 69.14 9 99252 57 0.00057 0.99943 68.18 10 99196 56 0.00056 0.99944 67.22 11 99140 57 0.00057 0.99943 66.26 12 99084 59 0.00060 0.99940 65.30 13 99024 61 0.00062 0.99938 64.34 14 98963 65 0.00066 0.99934 63.38 15 98898 69 0.00070 0.99930 62.42 16 98828 74 0.00075 0.99925 61.46 17 98754 78 0.00079 0.99921 60.51 18 98676 80 0.00081 0.99919 59.55 19 98596 84 0.00085 0.99915 58.60 20 98513 86 0.00087 0.99913 57.65 21 98427 88 0.00089 0.99911 56.70 22 98339 89 0.00090 0.99910 55.75 23 98251 90 0.00092 0.99908 54.80 24 98160 94 0.00096 0.99904 53.85 25 98066 98 0.00100 0.99900 52.90 26 97968 100 0.00102 0.99898 51.95 27 97868 102 0.00104 0.99896 51.01 28 97766 102 0.00104 0.99896 50.06 29 97665 102 0.00104 0.99896 49.11 30 97563 101 0.00104 0.99896 48.16 31 97462 103 0.00106 0.99894 47.21 32 97358 106 0.00109 0.99891 46.26 33 97252 109 0.00112 0.99888 45.31 34 97143 112 0.00115 0.99885 44.36 35 97032 116 0.00120 0.99880 43.41 36 96915 121 0.00125 0.99875 42.46

73 Lanjutan x l x d x q x p x e x 37 96794 127 0.00131 0.99869 41.52 38 96667 134 0.00139 0.99861 40.57 39 96533 146 0.00151 0.99849 39.62 40 96387 158 0.00164 0.99836 38.68 41 96229 173 0.00180 0.99820 37.75 42 96056 188 0.00196 0.99804 36.81 43 95867 204 0.00213 0.99787 35.89 44 95663 219 0.00229 0.99771 34.96 45 95444 234 0.00245 0.99755 34.04 46 95210 250 0.00263 0.99737 33.12 47 94960 271 0.00285 0.99715 32.21 48 94689 296 0.00313 0.99687 31.30 49 94393 325 0.00344 0.99656 30.40 50 94068 357 0.00379 0.99621 29.50 51 93712 395 0.00422 0.99578 28.61 52 93316 440 0.00472 0.99528 27.73 53 92876 488 0.00525 0.99475 26.86 54 92388 533 0.00577 0.99423 26.00 55 91855 575 0.00626 0.99374 25.14 56 91280 615 0.00674 0.99326 24.30 57 90665 657 0.00725 0.99275 23.46 58 90008 707 0.00786 0.99214 22.63 59 89300 772 0.00864 0.99136 21.80 60 88529 853 0.00964 0.99036 20.99 61 87675 947 0.01080 0.98920 20.19 62 86728 1030 0.01188 0.98812 19.40 63 85698 1120 0.01307 0.98693 18.63 64 84578 1217 0.01439 0.98561 17.87 65 83361 1320 0.01584 0.98416 17.13 66 82040 1431 0.01744 0.98256 16.39 67 80610 1548 0.01920 0.98080 15.67 68 79062 1671 0.02114 0.97886 14.97 69 77390 1802 0.02328 0.97672 14.28 70 75589 1938 0.02564 0.97436 13.61 71 73651 2079 0.02823 0.97177 12.96 72 71572 2225 0.03109 0.96891 12.32 73 69346 2374 0.03423 0.96577 11.70 74 66973 2524 0.03768 0.96232 11.10 75 64449 2674 0.04149 0.95851 10.51

74 Lanjutan x l x d x q x p x e x 76 61775 2821 0.04566 0.95434 9.94 77 58955 2962 0.05025 0.94975 9.40 78 55992 3096 0.05530 0.94470 8.87 79 52896 3218 0.06083 0.93917 8.36 80 49678 3323 0.06690 0.93310 7.87 81 46355 3410 0.07356 0.92644 7.39 82 42945 3472 0.08085 0.91915 6.94 83 39473 3506 0.08883 0.91117 6.51 84 35966 3509 0.09757 0.90243 6.09 85 32457 3476 0.10711 0.89289 5.70 86 28981 3406 0.11752 0.88248 5.32 87 25575 3296 0.12888 0.87112 4.96 88 22279 3147 0.14124 0.85876 4.62 89 19132 2960 0.15469 0.84531 4.30 90 16173 2738 0.16929 0.83071 4.00 91 13435 2487 0.18511 0.81489 3.71 92 10948 2214 0.20223 0.79777 3.44 93 8734 1928 0.22070 0.77930 3.18 94 6806 1638 0.24060 0.75940 2.95 95 5169 1354 0.26197 0.73803 2.72 96 3815 1087 0.28487 0.71513 2.51 97 2728 844 0.30932 0.69068 2.31 98 1884 632 0.33534 0.66466 2.12 99 1252 454 0.36292 0.63708 1.93 100 798 313 0.39205 0.60795 1.75 101 485 205 0.42265 0.57735 1.55 102 280 127 0.45465 0.54535 1.32 103 153 75 0.48791 0.51209 1.01 104 78 78 1.00000 1.00000 0.50 Sumber: Dewan Asuransi Indonesia 1999

75 Laki-laki x l x d x q x p x e x 0 100000 321 0.00321 0.99679 72.22 1 99679 82 0.00082 0.99918 71.45 2 99597 76 0.00076 0.99924 70.51 3 99522 75 0.00075 0.99925 69.56 4 99447 73 0.00073 0.99927 68.62 5 99374 69 0.00069 0.99931 67.67 6 99306 66 0.00066 0.99934 66.71 7 99240 62 0.00062 0.99938 65.76 8 99179 58 0.00058 0.99942 64.80 9 99121 56 0.00057 0.99943 63.83 10 99065 55 0.00056 0.99944 62.87 11 99009 58 0.00059 0.99941 61.91 12 98951 64 0.00065 0.99935 60.94 13 98887 75 0.00076 0.99924 59.98 14 98811 87 0.00088 0.99912 59.03 15 98724 101 0.00102 0.99898 58.08 16 98624 114 0.00116 0.99884 57.14 17 98509 126 0.00128 0.99872 56.20 18 98383 135 0.00137 0.99863 55.27 19 98248 140 0.00143 0.99857 54.35 20 98108 143 0.00146 0.99854 53.43 21 97965 144 0.00147 0.99853 52.50 22 97821 142 0.00145 0.99855 51.58 23 97679 140 0.00143 0.99857 50.65 24 97539 136 0.00139 0.99861 49.73 25 97404 133 0.00137 0.99863 48.79 26 97270 132 0.00136 0.99864 47.86 27 97138 131 0.00135 0.99865 46.92 28 97007 132 0.00136 0.99864 45.99 29 96875 133 0.00137 0.99863 45.05 30 96742 134 0.00137 0.99863 44.11 31 96610 134 0.00139 0.99861 43.17 32 96475 137 0.00142 0.99858 42.23 33 96338 142 0.00147 0.99853 41.29 34 96197 149 0.00155 0.99845 40.35 35 96048 158 0.00164 0.99836 39.41 36 95890 168 0.00175 0.99825 38.48 37 95722 180 0.00188 0.99812 37.54 38 95542 192 0.00201 0.99799 36.61

77 Lanjutan x l x d x q x p x e x 78 41881 3397 0.08111 0.91889 6.99 79 38484 3420 0.08887 0.91113 6.57 80 35064 3413 0.09733 0.90267 6.16 81 31651 3372 0.10655 0.89345 5.77 82 28279 3297 0.11658 0.88342 5.40 83 24982 3185 0.12749 0.87251 5.05 84 21797 3037 0.13934 0.86066 4.71 85 18760 2855 0.15219 0.84781 4.39 86 15905 2642 0.16610 0.83390 4.09 87 13263 2403 0.18115 0.81885 3.80 88 10861 2144 0.19739 0.80261 3.54 89 8717 1873 0.21489 0.78511 3.28 90 6844 1599 0.23371 0.76629 3.04 91 5244 1331 0.25389 0.74611 2.82 92 3913 1078 0.27548 0.72452 2.61 93 2835 846 0.29851 0.70149 2.41 94 1989 642 0.32301 0.67699 2.22 95 1346 470 0.34897 0.65103 2.04 96 877 330 0.37639 0.62361 1.87 97 547 221 0.40523 0.59477 1.70 98 325 142 0.43542 0.56458 1.52 99 184 86 0.46687 0.53313 1.30 100 98 49 0.49945 0.50055 1.00 101 49 49 1.00000 0.00000 0.50 Sumber: Dewan Asuransi Indonesia 1999

78 Total x l x d x q x p x e x 0 100000 281 0.002805 0.997195 74.43 1 99720 77 0.000770 0.999230 73.63 2 99643 71 0.000715 0.999285 72.69 3 99572 70 0.000701 0.999299 71.74 4 99502 68 0.000685 0.999315 70.79 5 99434 66 0.000660 0.999340 69.84 6 99368 63 0.000635 0.999365 68.89 7 99305 61 0.000610 0.999390 67.93 8 99244 58 0.000580 0.999420 66.97 9 99187 57 0.000570 0.999430 66.01 10 99130 56 0.000560 0.999440 65.05 11 99075 57 0.000580 0.999420 64.08 12 99017 62 0.000625 0.999375 63.12 13 98955 68 0.000690 0.999310 62.16 14 98887 76 0.000770 0.999230 61.20 15 98811 85 0.000860 0.999140 60.25 16 98726 94 0.000955 0.999045 59.30 17 98632 102 0.001035 0.998965 58.36 18 98530 107 0.001090 0.998910 57.42 19 98422 112 0.001139 0.998861 56.48 20 98310 114 0.001165 0.998835 55.54 21 98196 116 0.001179 0.998821 54.61 22 98080 115 0.001174 0.998826 53.67 23 97965 115 0.001174 0.998826 52.73 24 97850 115 0.001175 0.998825 51.79 25 97735 116 0.001184 0.998816 50.85 26 97619 116 0.001190 0.998810 49.91 27 97503 116 0.001194 0.998806 48.97 28 97387 117 0.001200 0.998800 48.03 29 97270 117 0.001204 0.998796 47.09 30 97153 117 0.001204 0.998796 46.14 31 97036 119 0.001224 0.998776 45.20 32 96917 122 0.001254 0.998746 44.25 33 96795 125 0.001294 0.998706 43.31 34 96670 130 0.001349 0.998651 42.36 35 96540 137 0.001419 0.998581 41.42 36 96403 144 0.001498 0.998502 40.48 37 96258 153 0.001594 0.998406 39.54 38 96105 163 0.001698 0.998302 38.60

80 Lanjutan x l x d x q x p x e x 78 48937 3247 0.066345 0.933655 8.07 79 45690 3319 0.072639 0.927361 7.60 80 42371 3368 0.079492 0.920508 7.16 81 39003 3391 0.086945 0.913055 6.73 82 35612 3384 0.095037 0.904963 6.33 83 32227 3346 0.103814 0.896186 5.94 84 28882 3273 0.113333 0.886667 5.57 85 25608 3166 0.123619 0.876381 5.22 86 22443 3024 0.134734 0.865266 4.88 87 19419 2849 0.146730 0.853270 4.57 88 16570 2645 0.159642 0.840358 4.27 89 13924 2416 0.173534 0.826466 3.98 90 11508 2169 0.188442 0.811558 3.71 91 9339 1909 0.204423 0.795577 3.46 92 7430 1646 0.221520 0.778480 3.22 93 5784 1387 0.239761 0.760239 2.99 94 4397 1140 0.259230 0.740770 2.78 95 3258 912 0.279954 0.720046 2.58 96 2346 708 0.301955 0.698045 2.39 97 1637 533 0.325353 0.674647 2.21 98 1105 387 0.350081 0.649919 2.03 99 718 270 0.376236 0.623764 1.85 100 448 181 0.403752 0.596248 1.67 101 267 127 0.475655 0.524345 1.46 102 140 64 0.454643 0.545357 1.32 103 76 37 0.487885 0.512115 1.01 104 39 39 1.000000 0.000000 0.50

81 Lampiran 16 Perhitungan nilai nkx pada metode Kostaki untuk tabel hayat Indonesia x nkx 0 11.664955 1 2.556361 5 1.168023 10 0.891808 15 0.981736 20 1.196261 25 1.289382 30 1.420609 35 1.439873 40 1.433201 45 1.389325 50 1.292546 55 1.306189 60 1.258301 65 1.258854 70 1.288153 75 1.325123 80 1.333467 85 1.357543 90 1.393300 95 1.438344

82 Lampiran 17 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.032763 0.032235 100000 3224 98388 6913086 69.13 1 0.001968 0.001966 96776 190 96681 6814697 70.42 2 0.001829 0.001827 96586 176 96498 6718016 69.55 3 0.001791 0.001790 96410 173 96323 6621518 68.68 4 0.001751 0.001750 96237 168 96153 6525195 67.80 5 0.000771 0.000771 96069 74 96032 6429042 66.92 6 0.000742 0.000742 95995 71 95959 6333010 65.97 7 0.000712 0.000712 95924 68 95889 6237051 65.02 8 0.000678 0.000677 95855 65 95823 6141161 64.07 9 0.000666 0.000666 95790 64 95758 6045339 63.11 10 0.000500 0.000500 95727 48 95703 5949580 62.15 11 0.000517 0.000517 95679 49 95654 5853878 61.18 12 0.000557 0.000557 95629 53 95603 5758224 60.21 13 0.000616 0.000616 95576 59 95547 5662621 59.25 14 0.000687 0.000686 95517 66 95484 5567074 58.28 15 0.000845 0.000845 95452 81 95411 5471590 57.32 16 0.000938 0.000937 95371 89 95326 5376179 56.37 17 0.001016 0.001016 95282 97 95233 5280853 55.42 18 0.001070 0.001070 95185 102 95134 5185620 54.48 19 0.001119 0.001119 95083 106 95030 5090486 53.54 20 0.001394 0.001393 94977 132 94910 4995456 52.60 21 0.001412 0.001411 94844 134 94777 4900545 51.67 22 0.001405 0.001404 94710 133 94644 4805768 50.74 23 0.001406 0.001405 94577 133 94511 4711124 49.81 24 0.001406 0.001405 94445 133 94378 4616613 48.88 25 0.001527 0.001526 94312 144 94240 4522235 47.95 26 0.001535 0.001534 94168 144 94096 4427995 47.02 27 0.001540 0.001539 94024 145 93951 4333899 46.09 28 0.001548 0.001547 93879 145 93806 4239948 45.16 29 0.001554 0.001553 93734 146 93661 4146142 44.23 30 0.001712 0.001710 93588 160 93508 4052481 43.30 31 0.001740 0.001739 93428 162 93347 3958973 42.37 32 0.001783 0.001781 93266 166 93183 3865626 41.45 33 0.001839 0.001838 93099 171 93014 3772443 40.52 34 0.001918 0.001916 92928 178 92839 3679429 39.59 35 0.002045 0.002043 92750 189 92656 3586590 38.67 36 0.002159 0.002157 92561 200 92461 3493935 37.75 37 0.002296 0.002294 92361 212 92255 3401473 36.83 38 0.002447 0.002444 92149 225 92037 3309218 35.91 39 0.002627 0.002624 91924 241 91804 3217181 35.00

84 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 80 0.110338 0.104569 31742 3319 30082 185862 5.86 81 0.121142 0.114224 28423 3247 26799 155780 5.48 82 0.132966 0.124677 25176 3139 23607 128980 5.12 83 0.145898 0.135979 22037 2997 20539 105374 4.78 84 0.160054 0.148195 19041 2822 17630 84835 4.46 85 0.178657 0.164006 16219 2660 14889 67205 4.14 86 0.195832 0.178367 13559 2418 12350 52316 3.86 87 0.214585 0.193793 11140 2159 10061 39966 3.59 88 0.235022 0.210309 8982 1889 8037 29905 3.33 89 0.257308 0.227978 7093 1617 6284 21868 3.08 90 0.288886 0.252425 5476 1382 4785 15584 2.85 91 0.315962 0.272856 4093 1117 3535 10800 2.64 92 0.345402 0.294536 2977 877 2538 7265 2.44 93 0.377359 0.317460 2100 667 1767 4726 2.25 94 0.412095 0.341691 1433 490 1188 2960 2.07 95 0.463816 0.376502 944 355 766 1771 1.88 96 0.505825 0.403719 588 237 470 1006 1.71 97 0.551435 0.432255 351 152 275 536 1.53 98 0.600687 0.461945 199 92 153 261 1.31 99 0.653950 0.492813 107 53 81 108 1.01 100 2.000000 0.524679 54 54 27 27 0.50

85 Lampiran 18 Proses Perhitungan persamaan 4.4 dan 4.5 untuk data Indonesia Proses perhitungan persamaan 4.4 x log log 75 0.181342 1.099667 0.000240 1.000552 80 0.291611 1.100909 0.000216 1.000497 85 0.471585 1.101214 0.000210 1.000484 90 0.763692 1.101718 0.000200 1.000462 95 1.239565 Proses perhitungan persamaan 4.5 x 75 0.503520 76 0.470212 77 0.436122 78 0.401481 79 0.366555 80 0.337073 81 0.302026 82 0.267642 83 0.234298 84 0.202372 85 0.173328 86 0.145148 87 0.119386 88 0.096274 89 0.075963 90 0.059513 91 0.044663 92 0.032554 93 0.022977 94 0.015653 95 0.010255 96 0.006435 97 0.003852 98 0.002188 99 0.001173 100 0.000591

86 Lampiran 19 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson x m x q x l x d x L x T x ė x 0 0.032763 0.032235 100000 3224 98388 6913484 69.13 1 0.002471 0.002468 96776 239 96657 6815095 70.42 2 0.001997 0.001995 96538 193 96441 6718438 69.59 3 0.001599 0.001598 96345 154 96268 6621997 68.73 4 0.001273 0.001272 96191 122 96130 6525729 67.84 5 0.001012 0.001012 96069 97 96020 6429599 66.93 6 0.000811 0.000811 95972 78 95933 6333579 65.99 7 0.000665 0.000665 95894 64 95862 6237646 65.05 8 0.000567 0.000567 95830 54 95803 6141784 64.09 9 0.000513 0.000513 95776 49 95751 6045981 63.13 10 0.000249 0.000249 95727 24 95715 5950230 62.16 11 0.000401 0.000401 95703 38 95684 5854516 61.17 12 0.000581 0.000580 95664 56 95637 5758832 60.20 13 0.000753 0.000753 95609 72 95573 5663196 59.23 14 0.000893 0.000893 95537 85 95494 5567623 58.28 15 0.000800 0.000800 95452 76 95413 5472129 57.33 16 0.000899 0.000899 95375 86 95332 5376715 56.37 17 0.001000 0.000999 95290 95 95242 5281383 55.42 18 0.001098 0.001098 95194 104 95142 5186141 54.48 19 0.001191 0.001191 95090 113 95033 5090999 53.54 20 0.001287 0.001286 94977 122 94916 4995966 52.60 21 0.001359 0.001359 94854 129 94790 4901050 51.67 22 0.001418 0.001417 94726 134 94658 4806260 50.74 23 0.001463 0.001462 94591 138 94522 4711602 49.81 24 0.001495 0.001494 94453 141 94382 4617080 48.88 25 0.001487 0.001486 94312 140 94242 4522697 47.95 26 0.001509 0.001508 94172 142 94101 4428455 47.03 27 0.001535 0.001534 94030 144 93958 4334355 46.10 28 0.001567 0.001565 93886 147 93812 4240397 45.17 29 0.001606 0.001605 93739 150 93663 4146585 44.24 30 0.001666 0.001664 93588 156 93510 4052922 43.31 31 0.001723 0.001721 93432 161 93352 3959411 42.38 32 0.001788 0.001787 93272 167 93188 3866059 41.45 33 0.001864 0.001862 93105 173 93018 3772871 40.52 34 0.001951 0.001949 92931 181 92841 3679853 39.60 35 0.002053 0.002051 92750 190 92655 3587012 38.67 36 0.002167 0.002165 92560 200 92460 3494357 37.75 37 0.002297 0.002295 92360 212 92254 3401897 36.83 38 0.002445 0.002442 92148 225 92035 3309643 35.92 39 0.002613 0.002610 91923 240 91803 3217608 35.00

88 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x 80 0.109674 0.103973 31742 3300 30092 186114 5.86 81 0.120716 0.113844 28442 3238 26823 156023 5.49 82 0.132863 0.124586 25204 3140 23634 129200 5.13 83 0.146224 0.136262 22064 3006 20560 105566 4.78 84 0.160919 0.148935 19057 2838 17638 85006 4.46 85 0.176969 0.162583 16219 2637 14900 67368 4.15 86 0.194772 0.177487 13582 2411 12377 52467 3.86 87 0.214341 0.193594 11171 2163 10090 40091 3.59 88 0.235843 0.210966 9009 1901 8058 30001 3.33 89 0.259457 0.229663 7108 1632 6292 21942 3.09 90 0.285094 0.249525 5476 1366 4793 15650 2.86 91 0.313637 0.271121 4109 1114 3552 10858 2.64 92 0.344933 0.294194 2995 881 2555 7305 2.44 93 0.379210 0.318770 2114 674 1777 4751 2.25 94 0.416708 0.344856 1440 497 1192 2974 2.06 95 0.457667 0.372440 944 351 768 1782 1.89 96 0.502326 0.401487 592 238 473 1014 1.71 97 0.550915 0.431935 354 153 278 541 1.53 98 0.603642 0.463690 201 93 155 263 1.31 99 0.660678 0.496624 108 54 81 108 1.00 100 2.000000 1.000000 54 54 27 27 0.50

94 Lampiran 21 Nilai numerik lima titik untuk data l x pada tabel hayat lengkap Indonesia 2005 berdasarkan metode Kostaki dan metode Elandt- Johnson Kostaki Elandt-Johnson Min 54 54 Q 1 47393.8 47395 Q 2 = median 87944 87944 Q 3 94345.3 94347.3 Max 100000 100000