juga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.

MATERI: ) Perbed bris d deret b) Defiisi d teorem tetg deret c) Deret suku positif d uji kovergesiy d) Deret hiperhrmois e) Deret ukur f) Deret ltertig d uji kovergesiy g) Deret kus d opersiy h) Deret Tylor i) Deret Mcluri >> BARISAN Sutu bris dpt dibygk sebgi sutu dftr bilg yg ditulisk dlm sutu urut yg tertetu:,,,...,,... Bilg disebut suku pertm, disebut suku kedu, d demiki seterusy. Suku disebut sebgi suku umum tu suku ke- dri bris tersebut. Notsi: Bris,,,... jug diytk sebgi tu Cotoh : () (b) (c) (d) ; b ; ( ) c ( ) ; d ; 0,,,,... 4 0,,,,... 5 4 0,,,,,... 4 5,,,... Pd bris dibgi mejdi bris koverge d bris diverge. Sutu bris yg koverge meuju L dpt ditulisk sebgi: lim Semetr, sutu bris yg tidk koverge ke sutu bilg L yg terhigg dimk diverge. L Berikut dlh beberp teorem terkit deg bris tkhigg. KALKULUS B - Srv Chrisdes

TEOREMA Mislk Mk, ) lim k k d ) lim k k lim ) b dlh bris-bris koverge sert k dlh sutu kostt. lim b lim lim b lim b lim lim b 4) 5) lim b lim deg syrt lim b 0 lim b TEOREMA Teorem Apit (Squeeze Theorem) Jik d c dlh bris-bris koverge ke L sedemiki rup sehigg b c utuk K b jug koverge ke L. Ii berrti jug bhw jik lim L d lim c L, mk b c megkibtk lim b L. Cotoh : Tetuk pkh bris, mk Utuk, dpt diliht bhw si koverge tu diverge! si 0. Llu, kre lim 0 0 d lim 0 mk deg Teorem Apit diperoleh si si lim 0 lim lim 0 lim 0 si lim 0 si Deg demiki, bris merupk sutu bris yg koverge ke 0. TEOREMA Jik lim 0, mk lim 0. Cotoh : Tetuk pkh bris b ( ) koverge tu diverge! KALKULUS B - Srv Chrisdes

( ) Kre lim lim 0, mk berdsrk Teorem diperoleh ( ) lim 0 ( ) Deg demiki, bris b merupk sutu bris yg koverge ke 0. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _ LATIHAN SOAL A Tetuklh lim suku pertm dri bris yg diberik, llu kemudi tetuk pkh bris koverge tu diverge. Jik koverge, tetuk limity. 4.. 4. 5 4 5 4. ( ) 5. e 6. (0,9) 7. ( ) 4 8. 0,5 >> DERET Bil bris dlh urut bilg yg megikuti pol tertetu, mk deret merupk pejumlh suku-sukuy. Bil bris diytk deg pol,,,..., mk deret diytk deg pol sebgi berikut: S ; S ; S ; d seterusy D, dirumusk mejdi: Sutu deret tkhigg jumlh prsil S deg S... i i i diktk koverge d memiliki jumlh S jik bris dri i S... i i koverge ke S. Jik bris jumlh prsil S diverge, mk deret tkhigg diverge. Sutu deret yg diverge tidk memiliki jumlh. i i Berikut dlh beberp teorem terkit deg deret tkhigg. KALKULUS B - Srv Chrisdes

TEOREMA 4 Uji Divergesi Jik lim 0 (tu lim TEOREMA 5 tidk d), mk deret tkhigg diverge. Jik deret tkhigg koverge, mk lim 0. Cotoh 4: Tujukk bhw merupk deret diverge. lim lim 0 Mk, berdsrk Teorem 4, deret TEOREMA 6 Keliier Deret Koverge Jik ) d c merupk deret diverge. b merupk deret-deret koverge, d c sutu kostt, mk: merupk deret koverge; d c c ) b merupk deret koverge; d TEOREMA 7 b b Jik deret tkhigg diverge d c 0, mk c diverge. Deret Ukur Sutu deret yg berbetuk r r r r... deg 0 disebut sebgi sutu deret ukur (deret geometri). Deret ii: ) koverge jik r d memiliki jumlh S lim S ; r ) diverge jik r. S r r deg KALKULUS B - Srv Chrisdes 4

Cotoh 5: Tujukk bhw deret 5 Perhtik bhw deret koverge, llu hituglh jumlhy. 8 8 5 8 5 8 merupk sutu deret ukur deg 8 koverge. Begitu pul deret r. Berrti, 8 8 5, jug merupk sutu deret ukur deg 5 koverge. Deg demiki, berdsrk Teorem 6 (), deret 5 r. Berrti, koverge. 8 8 5 8 5 5 8 8 5 5 7 9 4 TEOREMA 8 Sutu deret ukur 8 diktk koverge jik d hy jik lim 0 bhw lim 0 (tu lim tidk d) jik d hy jik deret ukur Bdigklh Teorem 8 deg Teorem 4 d 5! Apkh perbedy?. Ii jug berrti diverge. Deret Hrmois Sutu deret yg berbetuk merupk deret hrmois.... KALKULUS B - Srv Chrisdes 5

Cotoh 6: Tujukk bhw deret hrmois dlh deret yg diverge. Mislk S.... S =... 4 5 =...... 4 5 6 7 8 9 6 4 8 >... 4 8 6 =... Jels bhw deg megmbil ili yg sgt besr, mk pejumlh -y k semki byk d tk terbts. Oleh kre itu, jumlh dri deret ii jug semki tk terbts. Jdi, S diverge. Deg demiki, deret hrmois dlh deret yg diverge. Deret Hiperhrmois Sutu deret yg berbetuk... p p p p 4 deg p sutu kostt disebut sebgi sutu deret hiperhrmois (deret-p). Deret ii: ) koverge jik p ; ) diverge jik p. Cotoh 7: Tetuk pkh deret koverge tu diverge.,00 Kre merupk sutu deret hiperhrmois d,00 >, mk deret tersebut,00 koverge. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _ LATIHAN SOAL B Tetuk pkh deret berikut koverge tu diverge. Jik koverge, tetuk jumlhy.. 5 4. 7. 4 5 5. 4.. 6. 8. 6 5 44 9. ( )( ) KALKULUS B - Srv Chrisdes 6

>> DERET SUKU POSITIF Seli beberp teorem yg telh dibhs di ts, uji kovergesi utuk deret suku positif d beberp mcm lgi, ditry:. uji itegrl, d. uji rsio, d b. uji perbdig, e. uji kr. c. uji perbdig limit, Uji Itegrl Mislk f fugsi yg kotiu, positif, tidk ik pd selg [, ), ggplh f ( ) utuk semu bilg sli. Mk deret tkhigg koverge jik d hy jik itegrl tk wjr f ( ) d koverge (ili itegrly d). Deg kt li: (i) Jik f ( ) d d, mk (ii) Jik f ( ) d tidk d, mk koverge. diverge. Ctt: St megguk uji itegrl, deret tu itegrl tidk hrus dimuli dri =. Misly, dlm meguji deret, mk diguklh 4 4 ( ) d. Perlu diigt: f ( ) d lim f ( ) d. t t Cotoh 8: Tetuk pkh merupk deret koverge tu diverge. l Pertm, hrus diperhtik bhw fugsi tu pd selg [, ), sehigg: f( ) l terdefiisi d berili positif st t t d(l ) t t d lim d lim lim d(l ) liml l l l l l t t t t Oleh kre itu, merupk deret yg diverge. l KALKULUS B - Srv Chrisdes 7

Mislk (i) (ii) Jik Jik d Uji Perbdig b dlh deret-deret suku positif, d b b koverge, mk diverge, mk jug koverge. b jug diverge. utuk semu. Ctt: St megguk uji perbdig, tetuy hrus megethui sutu deret yg sudh dikethui kekoverge/kedivergey sebgi bh perbdig. Serigkli diguk deret ukur, hrmois, tu hiperhrmois kre dpt deg mudh meetuk koverge/divergey deret tersebut, seperti yg telh dijelsk sebelumy. Cotoh 9: Tetuk pkh merupk deret koverge tu diverge. 5 4 Jels bhw semki besr peyebuty, mk iliy k semki kecil, sehigg 5 4 5 Perhtik bhw 5 5 5 sehigg 5 4 5 Pd Cotoh 6, telh dikethui bhw diverge, d deg megguk Teorem 7, mk jug diverge sehigg deret merupk deret yg diverge. Jdi, 5 5 deg megguk uji perbdig (poi (ii)), didptlh diverge. 5 4 Mislk d (i) Jik 0 L, mk (ii) Jik L = 0 d dikethui Uji Perbdig Limit b dlh deret-deret suku positif d lim b d L. b kedu-duy koverge tu diverge. b koverge, mk koverge. KALKULUS B - Srv Chrisdes 8

Cotoh 0: Ujilh pkh deret koverge tu diverge. Mislk d b. Deg megguk uji perbdig limit, diperoleh lim lim lim lim 0 b Kre limit ii d d merupk deret ukut yg koverge (buktik!), berdsrk uji perbdig lmit, mk deret Mislk koverge. Uji Rsio dlh sutu deret suku positif, d lim L. (i) Jik L <, mk deret tersebut koverge. (ii) Jik L >, mk deret tersebut diverge. (iii) Jik L =, mk uji ii tidk memberik kesimpul p-p. Cotoh : Ujilh pkh deret koverge tu diverge.! ( )!! L lim lim lim lim 0! ( )! Deg demiki, berdsrk uji rsio (poi (i)), deret koverge.! Uji Akr Mislk (i) (ii) dlh sutu deret suku positif, d lim Jik L <, mk deret tersebut koverge. Jik L >, mk deret tersebut diverge. L. Cotoh : Ujilh pkh deret koverge tu diverge. l l l l L lim lim 0 l l KALKULUS B - Srv Chrisdes 9

Deg demiki, berdsrk uji kr (poi (i)), deret deret koverge. l _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _ LATIHAN SOAL C Ujilh pkh deret-deret berikut koverge tu diverge.. 7e.. (!). 7 ( )!.. 5 4. l 4. 7 5.! 5. 6 5 6. 6. 7. 5 4 8. 8. 9. 5 4 9. 7. e 0. si 0.! ( )! >> DERET ALTERNATING Deret Altertig Sutu deret yg berbetuk 4 5 6... disebut sebgi sutu deret ltertig (deret gti td). Deret ii koverge st memeuhi: (i) utuk semu ili ; (ii) lim 0. Pd Cotoh 6 telh ditujukk bhw deret hrmois itu diverge. Nmu, deret hrmois ltertig itu tidk diverge, melik koverge (buktik!). KALKULUS B - Srv Chrisdes 0

Cotoh : Tujukk bhw ( ) merupk deret yg koverge. 0! ( ) dlh sutu deret ltertig. Jels bhw! ( )! utuk semu bilg 0! bult o-egtif. Oleh sebb itu,. Jdi, terbuktilh bhw.! ( )! Seljuty, jik ili dri meuju tk higg, mk secr otomtis ili dri! jug psti meuju tk higg. Hl ii megkibtk lim 0. Deg demiki, deret tersebut! merupk deret yg koverge. TEOREMA 9 Uji Kovergesi Mutlk Jik merupk sutu deret yg koverge, mk koverge. jug merupk deret yg Sutu deret diktk koverge mutlk jik bhw kekoverge mutlk mejmi kekoverge. TEOREMA 0 Uji Rsio Mutlk Mislk dlh sutu deret suku tkol, d lim koverge. Teorem 9 mejmi L. (i) Jik L <, mk deret tersebut koverge mutlk. (ii) Jik L >, mk deret tersebut diverge. (iii) Jik L =, mk uji ii tidk memberik kesimpul p-p Cotoh 4: Ujilh pkh deret ( ) koverge tu diverge.! L lim lim : lim 0 ( )!! Jdi, berdsrk Teorem 0 (i), mk deret tersebut koverge mutlk. D, Teorem 9 mejmi bhw kekoverge mutlk mejmi kekoverge. Deg demiki, deret tersebut koverge. Sutu deret diverge. diktk koverge bersyrt jik koverge tetpi KALKULUS B - Srv Chrisdes

Cotoh 5: Tujukk bhw deret hrmois ltertig itu merupk sutu deret koverge bersyrt. Igt kembli betuk deret hrmois ltertig:... 4 5 6 Sebelumy telh disebutk bhw deret hrmois ltertig merupk sutu deret yg koverge kre utuk semu ili d lim 0. Nmu, mutlk dri deret hrmois ltertig dlh deret hrmois:... 4 5 6 Pd Cotoh 6 telh ditujukk bhw deret hrmois itu diverge. Jdi, oleh kre yg merupk deret hrmois ltertig itu koverge d yg merupk deret hrmois itu diverge, mk deret hrmois ltertig itu koverge bersyrt. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _ LATIHAN SOAL D Tetuk pkh deret-deret berikut ii koverge mutlk, koverge bersyrt, tu diverge.. ( ) 6. ( ) 5 si. ( ) 7. ( ) 0 4. ( ) 8. ( ) ( ) 4. ( ) 9. cos(!) 5. 0. ( ) cos >> DERET KUASA Deret Kus Sutu deret yg berbetuk 0 0 disebut sebgi sutu deret kus dlm (deret pgkt dlm ).... KALKULUS B - Srv Chrisdes

TEOREMA Mislk ( ) 0... 0 S dlh jumlh dri sutu deret kus dlm selg I, mk pbil d dlm selg I, berlku: (i) (ii) S( ) D ( )... 0 0 0 0 0 S( t) dt t dt 0... Sebgi cotoh wl, igt kembli tetg jumlh suku tkhigg dri deret ukur S r deg dlh suku pertm deret d r dlh rsio deret dim r tu r. Sekrg mislk suku pertm deret dlh d rsioy dlh,... ; 0 Deg megguk Teorem, dpt diperoleh du formul bru: - Turuk kedu rusy; 4... ; - Itegrlk kedu rusy; dt dt t dt t dt t dt... 0 t 0 0 0 0 mk diperoleh 4 l( )... 4 ; D, jik disubstitusik oleh d meglik kedu rus deg mk diperoleh: ( ) 4 4 l( )... ; Cotoh 6: Tetuk deret kus yg merepresetsik t. Igt kembli bhw d t c sehigg: t dt 0 t KALKULUS B - Srv Chrisdes

Kemudi, dri jumlh suku tkhigg didpt: Jdi, Deg demiki, t deg mesubstitusi deg 4 6 t t t... 4 6 t dt t t t... dt 0 t 0 ; 5 7 5 7 t... ( ) 0 t, mk Cotoh 7: Tetuklh sutu formul dri pejumlh deret berikut S( )...!! Jik deret tersebut dituruk, mk didpt S( )...!! Jdi, S( ) S( ) utuk semu. Seli itu, S(0). Stu-stuy fugsi yg memeuhi kedu kriteri ii dlh S( ) e. Deg demiki, e... ;!!! 0 >> DERET TAYLOR & DERET MACLAURIN Deret Tylor Deret Tylor dihubugk deg deret kus: sehigg f ( ) ( ) ; deg 0 ( ) f ( ) f ( ) ( )! 0 ( f ) ( )! Deret McLuri Deret McLuri merupk deret Tylor deg = 0, sehigg ( ) f (0) f ( ) ( )! 0 Cotoh 8: Tetuk deret McLuri dri si utuk semu ili. KALKULUS B - Srv Chrisdes 4

si 0 ( ) 0 0! 0 (si 0) ( )!! (si 0) si 0 ( )!! 0 (si 0) cos0 ( )!!! (si 0) 4 si 0 ( ) 4 4! 4! 0 (si 0) 5 5 cos0 ( ) 5 5! 5! 5! (si 0) 6 si 0 ( ) 6 6! 6! 0 (si 0) 7 7 cos0 ( ) 7 7! 7! 7! Mk, didptlh d s e t e r u s y ( ) si (0) si ( ) 0! si 0 0 (si 0) (si 0) (si 0) (si 0) 4 (si 0) 5 si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 0!!!! 4! 5! 5 7 si 0 0 0...! 5! 7! 5 7 si... ( ) ;! 5! 7! ( )! 0 Cotoh 9: Tetuk deret Tylor dri si yg berpust di. Deg meyusu perhitug mejdi du kolom, diperoleh: f ( ) si f ( ) cos f f f ( ) si f f ( ) cos f d, pol ii berulg terus meerus. Jdi, deret Tylor di dlh KALKULUS B - Srv Chrisdes 5

( ) f ( ) f ( ) ( )! 0 ( ) si ( ) si 0! si( ) si( ) si( ) si si...!!!...!!! ( ) ( ) si 0 ( )! 0()! _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _ LATIHAN SOAL E. Tetuk peyji deret kus utuk:. c. b. d. ( ) e. f. l(5 ). Tetuk deret Tylor utuk f ( ) e yg berpust di =.. Jik dikethui f ( ) cos, mk:. tetuk deret Mcluri dri f( ), d b. tetuk deret Tylor dri f( ) yg berpust di 4. 4. Tetuk tig suku tkol pertm dlm deret Mcluri utuk:. e si b. t Petujuk:. Crilh terlebih dhulu deret Mcluri utuk e d si, kemudi kliklh kedu deret tersebut. b. si t ; crilh terlebih dhulu deret Mcluri utuk cos si d cos, kemudi bgilh deret si deg deret cos. KALKULUS B - Srv Chrisdes 6