Model Antrian M E T O D E S T O K A S T I K Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari Siapaun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket Ratih Wulandari, ST.,MT 1
Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi waktu menunggu sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas. Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan yang lebih cepat dengan menambah jumlah, seperti jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada supermarket. Teori Antrian Ilmu pengetahuan tentang antrian Antrian Orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani Situasi Yang datang pada antrian Proses Pelayanan Supermarket Orang berbelanja Membayar dikasir Pintu tol Mobil Mengumpulkan uang Praktek dokter Pasien Pelayanan dokter Bank Pelanggan Transaksi oleh teller Pelabuhan Kapal Pekerja bongkar muat Ratih Wulandari, ST.,MT 2
Karakteristik Sistem Antrian Terdapat tiga komponen dalam sebuah sistem antrian: 1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memiliki karakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dan sebuah distribusi statistik. 2. Disiplin antrian, atau antrian itu sendiri. Karakteristik antrian mencakup apakah jumlah antrian terbatas atau tidak terbatas panjangnya dan materi atau orang-orang yang ada di dalamnya. 3.. Karakteristiknya meliputi desain dan distribusi statistik waktu. Karakteristik Kedatangan Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem memiliki tiga karakteristik utama: 1. Ukuran populasi kedatangan. 2. Perilaku kedatangan. 3. Pola kedatangan (distribusi statistik). Ratih Wulandari, ST.,MT 3
Karakteristik Kedatangan Ukuran Populasi Kedatangan Tak terbatas Terbatas Perilaku kedatangan Tidak sabar Yang sabar hanya mesin Karakteristik Kedatangan Pola kedatangan pada sistem Terjadwal Secara acak distribusi Poisson P ( x) x e x! P(x) x ẻ probabilitas kedatangan x Jumlah kedatangan persatuan waktu Tingkat kedatangan rata-rata 2,7183 (dasar logaritma) Ratih Wulandari, ST.,MT 4
Mengukur Kinerja Antrian Model antrian membantu para manajer membuat keputusan untuk menyeimbangkan biaya dengan menggunakan biaya antrian. Dengan menganalisis antrian akan dapat diperoleh banyak ukuran kinerja sebuah sistem antrian, meliputi hal berikut: 1. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam antrian. 2. Panjang antrian rata-rata 3. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam sistem (waktu tunggu ditambah waktu ). 4. Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem. 5. Probabilitas fasilitas akan kosong. 6. Faktor utulisasi sistem. 7. Probabilitas sejumlah pelanggan berada dalam sistem. Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk dilayani? First Come First Served (FCFS)/FIFO Shortest Processing Time (SPT) Priority (jobs are in different priority classes) Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS Ratih Wulandari, ST.,MT 5
Desain Sistem Antrian Dasar Contoh Kantor praktik dokter gigi keluarga Kedatangan Antrian Sistem jalur tunggal, satu tahap Keberangkatan setelah Dua jendela kendara-lewat (drive-through) di McDonald Kedatangan Antrian pelayana n tahap 1 pelayana n tahap 2 Keberangkata n setelah Sistem jalur tunggal,tahapan berganda Hampir seluruh bank dan kantor pos Kedatangan Antrian jalur 1 jalur 2 jalur 3 Keberangkatan setelah Sistem jalur berganda, satu tahap Beberapa kantor pendaftaran mahasiswa Kedatangan Antrian tahap 1 jalur 1 tahap 1 jalur 2 tahap 2 jalur 1 tahap 2 jalur 2 Keberangkatan setelah Sistem jalur berganda,tahapan berganda Ratih Wulandari, ST.,MT 6
BIAYA SISTEM ANTRIAN Biaya Perkiraan Total Biaya Pelayanan Optimal Jumlah biaya minimal Biaya Pengadaan Layanan Biaya Waktu Tunggu Tingkat rendah Tingkat optimum Tingkat tinggi 13 Model A : M/M/1 Model Antrian Jalur Tunggal dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial 1. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiap kedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjang antrian. 2. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, hanya saja jumlah kedatangan rata-rata tidak berubah menurut waktu. 3. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabililtas poisson dan datang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar). 4. Waktu bervariasi dari satu pelanggan dengan pelanggan yang berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu diketahui. 5. Waktu sesuai dengan distribusi probabilitas eksponensial negatif. 6. Tingkat lebih cepat daripada tingkat kedatangan. Ratih Wulandari, ST.,MT 7
jumlah kedatangan rata-rata persatuan waktu µ jumlah orang yang dilayani persatuan waktu Panjang antrian tak terbatas Jumlah pelanggan tak terbatas Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani) Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian (yang menunggu untuk dilayani) Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan dilayani) P0 n Pn. P µ L (µ - ) Lq 1- µ 2 µ(µ- ) 1 L W µ 0 Ratih Wulandari, ST.,MT 8
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani Wq µ ( µ ) Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi Pw µ Probabilitas bahwa pelayan menganggur / unit kosong I 1 U 1 P µ 0 Contoh 1 Seorang montir di bengkel dpt memasang knalpot baru rata-rata 3 buah per jam (1 knalpot per 20 menit) Yang mengikuti distribusi exponensial negatif. Pelanggan tiba rata-rata 2 orang perjam dg distribusi poisson. Mereka dilayani dengan aturan FIFO dan datang dari populasi yang sangat besar (tak terbatas) 2 mobil tiba per jam µ 3 mobil dilayani per jam. 2 L 2 (3-2) 1 2 mobil rata-rata dlm sistem Ratih Wulandari, ST.,MT 9
... antrian 1 W 1 3 2 2 2 4 Lq 3(3-2) 3 Wq 2 3(3 2) 2 3 1 jam rata-rata waktu menunggu dlm sistem 1,33 mobil rata-rata menunggu dlm 40 menit waktu tunggu rata-rata mobil. 2 P 3 66,6% montir sibuk. sistem 2 1 1/ 3 0,33 3 0.33 probabilitas o mobil dlm Biaya Yang terlibat Jika waktu tunggu pelanggan adalah $10/jam berapa biaya waktu tunggu perhari (8 jam kerja, 2 mobil tiba perjam)? 2 2 Wq 3(3 2) 3 WAKTU TUNGGU RATA-RATA MOBIL 2/3 JAM 40 MENIT BANYAKNYA MOBIL 16 TOTAL WAKTU MENUNGGU 16 X 2/3 JAM 10 2/3 JAM BIAYA WAKTU MENUNGGU 10 2/3 JAM X $10 $107/HARI Ratih Wulandari, ST.,MT 10
Model Antrian Jalur Ganda M/M/S Berikut ini disajikan formula antrian untuk sistem multiple. Formula ini dikembangkan berdasarkan asumsi : Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani (FIFO) Kedatangan Poisson Waktu eksponensial Populasi yang tidak terbatas Parameter model multiple adalah sebagai berikut tingkat kedatangan µ tingkat c jumlah pelayan cµ rata-rata efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkat kedatangan (cµ > ) Ratih Wulandari, ST.,MT 11
Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut 1 P0 n c 1 n c 1 1 cµ + n! µ c! µ cµ n 0 Pn L n n 1 P untuk n > c Pn P untuk n c n c 1 0, ; 0, µ n! µ c c µ ( / µ ) c P + ( c 1 )! ( cµ ) 2 µ 0 Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut W L Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani Lq L µ 1 Lq W q W µ Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani c cµ P cµ Dalam formula di atas jika c1(yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebut menjadi formula tunggal. P w 1 c! µ 0 Ratih Wulandari, ST.,MT 12
Contoh berikut ini mengilustrasikan analisis sistem antrian tunggal dan multipel, termasuk penentuan karakteristik operasi untuk tiap-tiap sistem. Kasus Petugas baru untuk pinjaman pada Bank BCD mewawancara seluruh nasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatangan para nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuk setiap nasabah yang ingin membuka rekening baru. A. Tentukan karakteristik operasi (P 0, L, L q, W, W q, dan P w ) untuk sistem ini. B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem atas masalah tersebut sehingga sekarang sistem tersebut menjadi sistem antrian multiple dengan dua saluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A A. Karakteristik Operasi untuk sistem tunggal 4 nasabah per jam kedatangan μ 5 nasabah per jam yang dilayani Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem 4 P0 1-1- 0.20 µ 5 Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian 4 L 4 (µ - ) (5-4) Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian Lq 2 4 2 3.2 µ(µ- ) 5(5-4) Ratih Wulandari, ST.,MT 13
A. Karakteristik Operasi untuk sistem tunggal Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian 1 1 W 1 jam µ 5 4 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani Wq 4 0.8 jam 48 menit µ ( µ ) 5(5 4) Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu Pw µ 4 0.8 5 B. Karakteristik Operasi untuk sistem multipel 4 nasabah per jam kedatangan μ 5 nasabah per jam yang dilayani c 2 petugas yang datang Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem 1 P0 n 1 1 1 c n c cµ + n!! 0 µ c µ cµ n 1 0 1 1 1 4 1 4 1 4 2.5 + + 0! 5 1! 5 2! 5 2.5 4 0.429 Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian L µ ( / µ ) ( c 1 )! ( cµ ) c P0 + 2 µ 4.5(4 / 5) 2 4 0.429 + 1! ( 2.5 4) 2 5 0.952 Ratih Wulandari, ST.,MT 14
B. Karakteristik Operasi untuk sistem multipel Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian Lq 4 L 0.952 0.152 µ 5 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian L 0.952 W 0.238 jam 4 Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani Lq 0.152 Wq 0.038 jam 4 Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu Pw c 1 4 2 cµ 2.5 P0 0.429 0.229 cµ 2! 2.5 4 1 c! µ 5 Satu Petugas Dua Petugas Po 0,20 0,429 L 4 0,952 Wo 1 0,238 14,28 menit Lq 3.2 0,152 Wq 0,8 48 menit 0,038 2.28 menit Pq 0,8 0,229 Po L Wo Lq Wq Pq probabilitas tidak ada pelanggan dlm sistem jumlah nasabah rata-rata dlm sistem antrian waktu yg dihabiskan pelanggan dlm antrian Jumlah nasabah dlm baris antrian Waktu yg dihabiskan utk menunggu dilayani Probabiltas petugas sibuk dan nasabah menunggu Ratih Wulandari, ST.,MT 15