ANALISIS SISTEM ANTREAN DENGAN DISIPLIN PELAYANAN PREEMPTIVE SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universutas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh : Nur Indra Istiani NIM. 12305141009 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017 i
PERSETUJUAN ii
HALAMAN PENGESAHAN iii
HALAMAN PERNYATAAN iv
MOTTO Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya (QS. Al Baqarah:286) Hidup hanya sekali jadilah yang terbaik dalam tiap ruang yang kita cipta (Nur Indra Istiani). Berproses itu penting, tetapi lebih penting lagi apabila kita bisa menyikapi hasil entah itu sebuah kegagalan maupun keberhasilan (Wirawan Dwi Nurwana). v
HALAMAN PERSEMBAHAN Alhamdulillahhirobbil alamin. Terima Kasih Ya Allah, sungguh tiada daya dan upaya kecuali dengan pertolongan-mu. Kupersembahkan karya kecil ini untuk: Kedua Orangtuaku, Sunarso Harjo Prawiro dan Sri Rejeki, serta keluargaku yang selalu memberi kasih sayang, doa, motivasi, dan memberi semangat kepadaku. Sahabat-sahabatku Sara, Mita, Susy, Sumar, Endah, Arum, Denanda dan Wirawan Dwi Nurwana yang telah memberi motivasi, dukungan, semangat, kebahagiaan dan doa untukku. Teman-teman Matsub 2012 yang telah memberikan banyak kenangan dan kebahagian selama kuliah di UNY, terimaksih atas canda, tawa dan tangis yang telah kita ukir bersama. Semua pihak yang ikut membantu dan membimbingku dalam penulisan tugas akhir ini. vi
ANALISIS SISTEM ANTREAN DENGAN DISIPLIN PELAYANAN PREEMPTIVE Oleh Nur Indra Istiani 12305141009 ABSTRAK Antrean dengan disiplin pelayanan prioritas memiliki dua aturan yang dapat diikuti, yaitu aturan Preemptive dan aturan Non-Preemptive. Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Tujuan dari penulisan ini adalah menganalisis model sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive dan dilakukan penurunan formula untuk mendapatkan persamaan probabilitas dan persamaan ukuran keefektifan sistem antrean. Persamaan keseimbangan dalam penelitian ini diperoleh dengan mengasumsikan disiplin pelayanan Preemptive memiliki dua prioritas pelayanan. Persamaan PGF diperoleh menggunakan transformasi z terhadap variabel randomnya, kemudian dijumlahkan seluruh kemungkinannya. Selanjutnya nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem diperoleh dari turunan persamaan pgf terhadap, kemudian mensubstitusikan nilai. Berdasarkan hasil analisis, diperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean (M/M/1):(PRD/ / ) untuk prioritas pertama sebesar kuadrat per rasio utilitas pelanggan prioritas pertama. Sementara nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem (M/M/1):(PRD/ / ) untuk prioritas kedua sebesar rasio utilitas pelanggan prioritas kedua dikali peluang tidak ada kedatangan pelanggan prioritas pertama ditambah peluang tidak ada kedatangan pelanggan prioritas kedua. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean (M/M/1):(PRD/ / ) untuk prioritas pertama maupun prioritas kedua hasilnya lebih kecil dari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean (M/M/1):(GD/ / ). Kata kunci : antrean, disiplin pelayanan Preemptive vii
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb Puji syukur senantiasa dipanjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya sehingga skripsi dengan judul Analisis Sistem Antrean Dengan Disiplin Pelayanan Preemptive ini dapat diselesaikan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa keberhasilan dan kelancaran dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih kepada: 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik. 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik. 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik. viii
ix
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERNYATAAN... iv MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR SIMBOL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 4 C. Tujuan Penelitian... 4 D. Manfaat Penelitian... 4 BAB II KAJIAN TEORI... 6 A. Sistem Antrean... 6 B. Faktor Sistem Antrean... 7 1. Pola Kedatangan... 8 2. Pola Kepergian... 8 3. Kapasitas Sistem... 9 4. Disiplin Antrean... 9 5. Perilaku Coustomer... 11 6. Desain Pelayanan... 12 7. Sumber Pemanggilan... 15 8. Fasilitas Pelayanan... 15 x
C. Notasi Kendall... 16 D. Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson... 18 1. Distribusi Eksponensial... 18 2. Distribusi Poisson... 19 E. Probability Generating Function (PGF)... 20 F. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth-Death Processes)... 24 G. Distribusi Kedatangan... 33 H. Distribusi Kepergian... 41 I. Proses Kedatangan dan Kepergian Steady State... 45 J. Ukuran Keefektifan Sistem Antrean... 48 K. Model Antrean (M/M/1):(GD/ / )... 52 BAB III PEMBAHASAN... 58 A. Sistem Antrean Satu Server dengan Disiplin Antrean Preemptive... 58 B. Quasi Birth-Death Process... 61 Ukuran Keefektifan Model Antrean... 74 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN... 79 A. Kesimpulan... 79 B. Saran... 81 DAFTAR PUSTAKA... 82 xi
DAFTAR SIMBOL : Peluang terdapat pelanggan dalam sistem pada saat : Peluang tidak ada pelanggan di dalam sistem : Probabilitas steady state untuk prioritas 1 dan perioritas 2 : Banyaknya pelanggan dalam sistem antrean prioritas pertama : Banyaknya pelanggan dalam sistem antrean prioritas terendah : Probabilitas satu kedatangan bila terdapat pelanggan di dalam sistem : Laju kedatangan pelanggan bila terdapat pelanggan di dalam sistem : Probabilitas satu kepergian bila terdapat pelangan di dalam sistem : Laju pelayanan pelanggan bila terdapat pelanggan di dalam system : Banyaknya kedatangan pelanggan pada waktu : Banyaknya kepergian pelanggan pada waktu : Banyaknya pelanggan di dalam sistem sampai waktu : Faktor utilitas sistem atau peluang server sibuk : Suatu fungsi yang memenuhi : NIlai harapan banyak pelanggan dalam sistem : Nilai harapan banyak pelanggan dalam antrean : Nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam sistem : Nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam antrean xii
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Sistem Antrean... 7 Gambar 2.2 Sistem Antrean Single Channel Single Phase... 13 Gambar 2.3 Sistem Antria Single Channel Multiple Phase... 13 Gambar 2.4 Sistem Antrean Multiple Channel Single Phase... 14 Gambar 2.5 Sistem Antrean Multiple Channel Multiple Phase... 14 Gambar 3.1 Proses kedatangan dan kepergian sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive... 61 xiii