BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Teori Antrian 2.1.1. Sejarah Teori Antrian. Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian atau baris-baris penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu layanan. Berikut ini adalah definisi antrian yaitu: 1. Antrian adalah kumpulan dari masukkan atau objek yang menunggu pelayanan (Soebagyo, 1995). 2. Antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih fasilitas layanan (Siagian, 1987). Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan membuang banyak waktu. Rata-rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangatlah tergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian pertama diketemukan dan dikembangkan oleh Erlang seorang insinyur dari Denmark, dalam bukunya Solution of Some Problem in the Theory of Probability of Significance in Automatic Telephone Exchange pada tahun 1913. Sewaktu itu Erlang masih bekerja pada perusahaan telepon di kopenhagen. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu-waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk
melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Tujuan penggunaan teori antrian adalah untuk merancang fasilitas pelayanan, dalam mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya (waktu menganggur) pelayanan dan biaya (waktu) yang diperlukan selama antrian. Kleinrock (1975) menyatakan bahwa model antrian yang proses kedatangannya dan proses pelayanannya menggunakan distribusi eksponensial, diantaranya model antrian klasik (M/M/1), model antrian dengan c layanan (M/M/c) dan model antrian dengan populasi terbatas (M/M/1/N). Model antrian yang proses kedatangan atau proses pelayanannya berdistribusi eksponensial dan yang lainnya berdistribusi general (umum), diantaranya pelayanan berdistribusi general (M/G/1) dan kedatangan berdistribusi general (G/M/1). 2.1.2. Struktur Dasar Teori Antrian. Sistem antrian mencakup pelanggan (orang, pesawat, mesin dan lain sebagainya) yang datang dengan laju kontan atau bervariasi untuk mendapatkan layanan pada suatu fasilitas layanan. Proses suatu antrian dapat digambarkan yang dapat dilihat pada Gambar 2.1. Gambar 2.1. Sistem Antrian
2.1.3. Karakteristik Sistem Antrian. 2.1.3.1. Kapasitas Sistem. Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang dapat ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Kapasitas pelayanan tidak selalu sama untuk setiap saat, ada yang tetap tapi ada juga yang berubah-ubah. Karena itu fasilitas pelayanan dapat memiliki satu atau lebih saluran. Keterbatasan fisik dalam sistem antrian sering dijumpai sehingga ketika antrian telah mencapai panjang tertentu maka pelanggan yang berikutnya tidak dapat masuk kedalam sistem. Keadaan antrian semacam ini disebut antrian dengan kapasitas terbatas. Sedangkan sebuah sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tidak terhingga. 2.1.3.2. Pola Kedatangan Pelanggan. Pola distribusi kedatangan pelanggan ke dalam sistem menentukan pola besarnya kedatangan pelanggan dalam sistem. Suatu anggapan yang biasa dibuat adalah kedatangan pelanggan kedalam sistem selalu mengikuti proses poisson. Hal ini benar apabila kedatangan pelanggan terjadi secara random dengan kecepatan kedatangan rata-rata tertentu. Anggapan lain adalah distribusi probabilitas dari selang waktu antara kedatangan dengan mengikuti distribusi eksponensial. Selang waktu antar dua kedatangan pelanggan yang berurutan disebut selang waktu kedatangan.
2.1.3.3. Pola Pelayanan. Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap tiap fasilitas pelayanan kadang kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder,1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Bentuk pelayanan dapat konstan dari waktu ke waktu. Rerata pelayanan (mean server rate) diberi simbol μ (miu) merupakan jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu, sedangkan rerata waktu yang dipergunakan untuk melayani setiap pelanggan diberi simbol 1/μ unit (satuan). Jadi 1/μ merupakan rerata waktu yang dibutuhkan untuk suatu pelayanan dimana 1/μ adalah parameter distribusi eksponensial. Jadi, secara umum pola pelayanan pada suatu sistem antrian mengikuti distribusi eksponensial. 2.1.3.4. Jumlah Pelayanan. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinite). Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang
sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan. Contoh: Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,. Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Poisson (1781 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching sistem, kedatangan kendaraan di pintu tol, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu tol bisa 3, 5, 8, dst. Ciri-ciri distribusi poisson: 1. Rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya. 2. Bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar: a. Probabilitas bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval. b. Probabilitas bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0). c. Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent.
d. Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain. 2.1.3.5. Kapasitas Sistem. Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup yang sedang dilayani dan yang sedang berada dalam antrian yang dapat ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Sebuah sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tak terhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi jumlah pelanggan yang ada di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas. 2.1.3.6. Disiplin Antrian. Disiplin antrian adalah aturan dalam mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Aturan pelayanan menurut urutan kedatangan ini dapat didasarkan pada: 1. Pertama Masuk Pertama (FIFO). FIFO (First In First Out) merupakan suat peraturan dimana yang akan dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang terlebih dahulu. FIFO ini sering juga disebut FCFS (First Come First Served). Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket-loket penjualan karcis kereta api. 2. Yang Terakhir Masuk Pertama (LIFO). LIFO (Last In First Out) merupakan antrian dimana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau paling dahulu, yang sering juga dikenal dengan LCFS (Last Come First Served). Contohnya adalah pada sistem bongkar
muat barang dalam truk, dimana barang yang masuk terakhir justru akan keluar terlebih dahulu. 3. Pelayanan dalam Urutan Acak. SIRO (Service In Random Order) dimana pelayanan dilakukan secara acak. Sering juga dikenal dengan RSS (Random Selection For Service). Contohnya adalah pada arisan, dimana pelayanan atau service dilakukan berdasarkan undian (random). 4. Pelayanan Berdasarkan Prioritas (PRI). Diaman pelayanan didasarkan prioritas khusus. Misalnya dalam suatu pesta dimana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan dilayani terlebih dahulu. 2.1.3.7. Struktur Antrian. Ada beberapa struktur sistem di dalam antrian, yaitu: 1. Single Channel Single Phase (Satu Antrian Satu Pelayanan). Single Channel berarti hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau hanya ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti pelayanan diberikan dalam satu tahapan saja, dapat dilihat pada Gambar 2.2. Datang SERVER Gambar 2.2. Single Channel Single Phase 2. Multiple Channel Single Phase (Satu Antrian Beberapa Pelayanan Single). MultiChannel berarti ada beberapa jalur antrian yang tersedia untuk memasuki jalur dan Single Phase berarti pelayanan tersebut hanya dilakukan dalam satu tahapan saja, dapat dilihat pada Gambar 2.3.
SERVER 1 Datang SERVER 2 SERVER 3 Gambar 2.3. Multiple Channel Single Phase 3. Multiple Channel Multiple Phase (Beberapa Antrian Beberapa Pelayanan Paralel). Istilah Multi Phase berarti bahwa terdapat beberapa proses pelayanan sampai proses pelayanan tersebut dinyatakan selesai, dan Multi Channel berarti pelayanan tersebut dilakukan dengan beberapa jalur antrian, dapat dilihat pada Gambar 2.4. SERVER 1 SERVER 2 SERVER 3 Datang SERVER 4 SERVER 5 SERVER 6 SERVER 7 SERVER 8 SERVER 9 Gambar 2.4. Multiple Channel Mutiple Phase
4. Single Channel Multiple Phase (Satu Antrian Beberapa Pelayanan Seri). Istilah Multi Phase berarti bahwa terdapat beberapa proses pelayanan sampai proses pelayanan tersebut dinyatakan selesai, dan Single Channel berarti pelayanan tersebut dilakukan dengan satu jalur antrian saja, dapat dilihat pada Gambar 2.5. Datang SERVER 1 SERVER 2 SERVER 3 Gambar 2.5. Single Channel Multiple Phase