BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas tentang penurunan model persamaan gelombang satu dimensi. Setelah itu akan ditentukan persamaan gelombang satu dimensi dengan menggunakan penyelesaian analitik dan penyelesaian numerikdengan motode beda hingga. Berikut ini penjelasan lebih lanjut. A. PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU Pada proses penurunan persamaan gelombang, akan diilustrasikan pada sebuah dawai dengan panjang yang direntangkan pada sumbu. Akan tetapi, sebelum proses pemodelan dilakukan, terdapat beberapa asumsi yang perlu diperhatikan, diantaranya sebagai berikut. 1. Dawai bersifat homogen. 2. Massa per satuan panjang konstan. 3. Tengangan dawai lebih dari gravitasi bumi. Apabila tegangan dawai kurang dari gravitasi, maka dawai tidak dapat bergetar sempurna. 4. Penampang dawai sangat kecil, sehingga volume dawai akan sebanding dengan panjang dawai. 5. Dawai akan bergerak secara vertikal. (Kreyzig, 2011:543) Diberikan sebuah dawai dengan panjang dan direntangkan pada sumbu. Dawai tersebut dipartisi sebesar. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar (3.1). 34
Resultan gaya yang terdapat pada Gambar (3.1) yang bekerja secara horizontal adalah Gambar 3.1. Partisi dari Seutas Dawai dengan Panjang (3.1) Berdasarkan asumsi nomor 5 yang menyatakan bahwa dawai hanya bergerak secara vertikal, sehingga Persamaan (3.1) dapat dituliskan (3.2) Karena dawai merentang dengan tegangan, sehingga Persamaan (3.2) menjadi Berdasarkan Persamaan (3.3), sehingga didapatkan (3.3) 35
= = (3.4) dan = = (3.5) Resultan gaya yang terdapat pada Gambar (3.1) yang bekerja secara vertikal adalah (3.6) Apabila Persamaan (3.4) dan Persamaan (3.5) disubtitusikan ke Persamaan (3.6), maka diperoleh (3.7) Misalkan dan berturut-turut adalah masaa dan kepadatan linear (massa per unit panjang) dari dawai pada keadaan setimbang. Menurut definisi bahwa (3.8) Selanjutnya, berdasarkan hukum kedua Newton yang menyatakan bahwa resultan akan sebanding dengan massa dan percepatan. Apabila dituliskan dalam notasi matematika, maka 36
(3.9) Berdasarkan Persamaan (3.7) dan (3.9), sehingga diperoleh (3.10) karena kemiringan dari kurva pada Gambar (3.1) sama dengan dan, sehingga Persamaan (3.10) menjadi ( ) (3.11) karena nilai sangat kecil, hal tersebut berakibat nilai limit dari, sehingga Persamaan ( ) menjadi (3.12) karena dalam hal ini nilai dari selalu bernilai positif, sehingga Persamaan (3.12) menjadi 37
(3.13) dengan kemudian Persamaan (3.13) disebut dengan Persamaan Gelombang dimensi satu. B. PENYELESAIAN ANALITIK PERSASMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET Diberikan sebuah dawai dengan panjang yang direntang sepanjang sumbu. Mula-mula dawai tersebut dalam keadaan diam, dengan kedua ujungnya terikat, sehingga dawai tersebut tidak akan menghasilkan getaran pada setiap perubahan waktu. Agar dawai tersebut menghasilkan getaran, maka akan diberikan suatu gaya eksternal. Getaran pada dawai dengan kedua ujung tersebut terikat dapat diilustrasikan pada Gambar 3.2 Gambar 3.2 Simpangan dari dawai pada interval Pada kedua ujung dawai tersebut ditetapkan terikat pada dan sehingga simpangan pada kedua ujung dawai sama dengan nol, maka mempunyai dua syarat batas, yaitu 38
Untuk menentukan nilai awal pada persamaan gelombang tersebut terdapat dua kondisi yaitu simpangan awal dawai dan kecepatan transversal awal ketika dawai bergetar. Simpangan awal dawai yaitu simpangan yang terjadi pada dawai ketika. Kecepatan transversal awal adalah kecepatan mula-mula yang diberikan pada dawai sehingga menyebabkan dawai tersebut bergetar. Apabila dimisalkan simpangan awal dawai adalah dan kecepatan transversal adalah, maka mempunyai dua nilai awal, yaitu Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian Persamaan dengan menggunakan metode separasi variabel, serta diambil substitusi (3.14) Apabila Persamaan (3.14) ditentukan pturunan pertama dan turunan kedua terhadap maka diperoleh (3.15) 39
Apabila Persamaan (3.14) ditentukan pturunan pertama dan turunan kedua terhadap maka diperoleh (3.16) Apabila Persamaan dan disubstitusikan ke Persamaan, maka diperoleh (3.17) dengan mengambil konstanta pemisah negatif, sehingga Persamaan menjadi Persamaan (3.18) dapat dituliskan menjadi (3.18) (3.19) dan (3.20) 40
Persamaan dan Persamaan merupakan persamaan diferensial biasa. Selanjutnya, ditentukan penyelesaian dari Persamaan dan (3.20). untuk Persamaan (3.19) akan ditinjau menjadi kemungkinan yaitu. Kasus 1: untuk nilai sehingga Persamaan menjadi dengan menerapkan penyelesaian diperoleh (3.21) dengan syarat batas diperoleh (3.22) Syarat batas diperoleh (3.23) (3.24) Persamaan terpenuhi jika nilai atau nilai. Untuk akan terpenuhi jika atau. Dalam kasus ini nilai, sehingga, dan dawai merentang sepanjang sumbu dan sampai, dimana. Karena dan maka tidak terpenuhi, sehingga Persamaan terpenuhi oleh 41
nilai. Substitusikan nilai ke Persamaan, sehingga diperoleh. Karena nilai dari dan. Sehingga berakibat penyelesaian dari Persamaan (3.21) adalah trivial. Kasus 2. Untuk nilai, sehingga Persamaan (3.19) menjadi (2.25) Syarat batas diperoleh (3.26) Syarat batas diperoleh Karena nilai dari, sehingga Persamaan (3.27) menjadi (3.28) Senar yang merentang sepanjang sumbu dari sampai, dimana. Karena, maka Persamaan hanya dipenuhi oleh. Karena nilai dari dan. Sehingga berakibat penyelesaian dari Persamaan (3.21) adalah trivial. 42
Kasus 3. Untuk nilai, sehingga Persamaan menjadi Penyelesaian dari Persamaan (3.29) adalah (3.29) (3.30) Syarat batas, sehingga Persamaan (3.30) menjadi Syarat batas, sehingga Persamaan (3.30) menjadi (3.31) (3.32) Persamaan terpenuhi jika nilai atau nilai dari. Jika dipilih nilai sedangkan dari Persamaan diketahui nilai, maka diperoleh penyelesaian trivial. Untuk mendapatkan penyelesaian nontrivial, dipilih nilai pada Persamaan (3.33) 43
karena nilai bergantung pada, maka, sehingga Persamaan dapat dituliskan sebagai (3.34) Nilai bergantung pada yang mengakibatkan pada Persamaan juga bergantung pada, sehingga dapat dituliskan sebagai (3.35) dengan adalah suatu konstanta. Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian dari Persamaan ( ). karena nilai yang memenuhi adalah sehingga Persamaan (3.19) menjadi (3.36) Nilai bergantung pada yang mengakibatkan pada Persamaan juga bergantung pada, sehingga dapat dituliskan sebagai Penyelesaian umum dari Persamaan (3.37) adalah (3.37) (3.38) Apabila Persamaan di subtitusikan ke Persamaan, maka 44
(3.39) dengan suatu konstanta Berdasarkan Persamaan bahwa nilai dari bergantung pada, dan Persamaan ( ) nilai dari juga bergantung pada, sehingga nilai dari juga bergantung pada. Oleh karena itu, dapat dituliskan sebagai [ ] [ ] [ ] (3.40) dengan dan. Apabila prinsip superposisi diterapkan pada Persamaan ( ), maka diperoleh [ ] (3.41) Untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari persamaan gelombang satu dimensi, substitusikan nilai awal yang diberikan ke Persamaan. Selanjutnya akan dicari nilai dari dan dengan substitusi nilai awal. Dari nilai awal diperoleh 45
[ ( ) ( )] [ ] (3.42) dengan (3.43) Apabila Persamaan (3.41) ditentukan turunan pertama terhadap, maka [ ] (3.44) karena nilai awal, sehingga Persamaan (3.44) menjadi [ ] [ ] (3.45) dengan konversi deret fourier sinus untuk pada Persamaan, diperoleh 46
(3.46) Jadi penyelesaian Persamaan (3.13) dengan syarat batas dan serta nilai awal dan adalah [ ] dengan Contoh Kasus Penyelesaian Persamaan Gelombang Dimensi Satu Secara Analitik Dengan Syarat Batas Dirichlet Sebuah dawai dengan panjang diregangkan dengan kedua ujung dawai diikat pada dua buah tiang. Mula-mula dawai dalam keadaan diam, kemudian dawai digetarkan dengan cara dipetik. Sehingga dalam hal ini, sama halnya dengan memberikan simpangan awal pada dawai. Pada kasus ini diambil simpangan awal 47
(3.50) dengan merupakan panjang dawai dan adalah tinggi simpangan. Dan kecepatan transversal awal. Dengan nilai awal yang diberikan, selanjutnya akan ditentukan bentuk gelombang pada dawai tersebut. Diketahui bahwa kedua ujung dawai diikat pada tiang, sehingga simpangan pada kedua ujung dawai tersebut akan sama dengan 0. Sehingga dawai tersebut mempunyai dua syarat batas, yaitu Selanjutnya, akan ditentukan penyelesaian dari kasus dengan simpangan awal pada Persamaan (3.50). Akan tetapi, sebelumnya akan ditentukan nilai dari dan sebagai berikut ini ( ) (3.53) ( ) ( ) ( ) (3.54) Berikutnya akan ditentukan nilai dari 48
] [ ] [ ] [ ] [ ] (3.55) Perlu diingat bahwa nilai dari dan, sehingga Persamaan menjadi ( ) (3.56) Selanjutnya akan ditentukan hasil dari ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ( ) ( )) 49
( ) ( ) ( ) dengan ( ( ) ( ) ( ) ( ) (3.57) dengan demikian, diperoleh nilai dari yaitu ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) (3.58) Selanjutnya akan ditentukan hasil dari 50
(3.59) karena dalam kasus ini diambil kecepatan transversal awal, sehingga Persamaan (3.59) menjadi (3.60) Jadi, penyelesaian untuk kasus persamaan gelombang dimensi satu dengan simpangan awal dan kecepatan transversal awal adalah [ ] [(( ) ( )) ] (3.61) Untuk nilai genap mengakibatkan nilai dari akan bernilai 0, sehingga penyelesaian dari Persamaan ( ) juga akan bernilai 0. Agar diperoleh penyelesaian dari tidak bernilai 0, maka haruslah bilangan ganjil. Ambil substitusi dengan,sehingga Persamaan (3.61) menjadi [( ( )) ] 51
[( ( ( ))) ( )] ( ) [( ( )) ( )] ( ) karena nilai dari, sehingga Persamaan (3.62) menjadi [( ( )) ( )] ( ) [( ( )) ( )] ( ) dengan merupakan kecepatan perambatan gelombang. Apabila Persamaan ( ) dapat divisualisasikan dengan program Maple, maka terlihat pada Gambar (3.3) di bawah ini. 52
Gambar 3.3 Visualisasi Persamaan (3.63) Gambar menunjukkan visualisasi dari Persamaan dengan menentukan nilai dari kecepatan gelombang dan panjang dawai. Tinggi maksimum simpangan ditentukan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa ada satu simpangan yang terjadi akibat dari waktu yang diberikan. Nilai yang ditentukan adalah sampai dengan. Sedangkan untuk nilai yang dipilih adalah sampai dengan keduanya tidak mengalami perubahan simpangan, untuk nilai juga ditentukan. Hal tersebut terjadi karena kedua titik merupakan titik ujung dari dawai, dan dari syarat batas yang diberikan mengharuskan titik-titik ujung tidak memiliki simpangan untuk setiap waktu yang diberikan. 53
Untuk lebih jelasnya, berikut adalah visualisasi 2 dimensi pergerakan simpangan gelombang disetiap titik dengan menentukan nilai. Gambar 3.4 Visualisasi Persamaan (3.63) Deskripsi Gambar 3.4 sebagai berikut: 1. Warna merah menunjukkan pergerakan simpangan ketika 2. Warna biru menunjukkan pergerakan simpangan ketika Dari Gambar dapat dilihat perbedaan bentuk simpangan yang terjadi pada setiap titik akibat dari perubahan waktu. C. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN METODE BEDA HINGGA Pada bagian ini akan diselesaikan Persamaan (3.13) secara numerik dengan metode beda hingga. Syarat batas yang digunakan adalah 54
dan nilai awal serta. Metode Beda Hingga Skema Eksplisit Diketahui sebuah dawai dengan panjang yang merambat dengan dan sepanjang sumbu. Awalnya dawai dalam keadaan diam, dengan kedua ujungnya berada pada posisi simpangan nol. Penyelesaian persamaan parabolik dengan menggunakan metode beda hingga pada skema eksplisit. Variabel waktu, dihitung berdasarkan variabel pada waktu Gambar. 3.5 Skema eksplisit dengan menggunakan skema seperti yang ditunjukkan pada Gambar (3.5), maka fungsi variabel dan turunannya dapat didekati oleh bentuk berikut: 55
(3.64) (3.65) Selanjutnya Persamaan dan disubstitusikan ke Persamaan, maka dapat dituliskan sebagai berikut (3.66) dimana Sehingga Persamaan merupakan penyelesaian dari Persamaan dengan menggunakan metode beda hingga. Contoh Kasus Penyelesaian Persamaan Gelombang Dimensi Satu Secara Numerik Dengan Metode Beda Tengah Penerapan metode beda hingga khususnya metode beda tengah pada persamaan gelombang satu dimensi dapat dilakukan dengan memberikan sebuah contoh kasus sebagai berikut, 56
Sebuah dawai dengan panjang diregangkan dengan kedua ujung dawai diikat pada dua buah tiang. Mula-mula dawai dalam keadaan diam, kemudian dawai digetarkan dengan cara dipetik. Akan ditentukan bentuk gelombang pada dawai tersebut. dengan memenuhi kondisi awal kondisi batas dan dua kondisi awal saat untuk semua : (3.67) (3.68) Persamaan tersebut di substitusi ke Persamaan, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: untuk dan, maka 57
(3.69) dengan ditetapkannya untuk dan dan dengan kondisi awal untuk sehingga Persamaan ( ) dapat dituliskan sebagai berikut Untuk langkah selanjutnya dengan kondisi batas Sedangkan untuk 58
Wave Amplitude Sehingga Persamaan ( ) dapat dituliskan sebagai berikut ( ) Selanjutnya akan dilakukan perhitungan menggunakan program Matlab terhadap Persamaan (3.66) saat dan. 2 TIME STEP = 100 TIME = 0.099second 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 20 40 60 80 100 X axis Gambar. 3.6 Visualisasi Persamaan (3.66) saat 59
Wave Amplitude 2 TIME STEP = 200 TIME = 0.199second 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 20 40 60 80 100 X axis Gambar. 3.7 Visualisasi Persamaan (3.66) saat Gambar (3.6) menunjukkan visualisasi dari Persamaan ( ) dengan menentukan nilai dari kecepatan gelombang, panjang dawai, dan saat. Gambar (3.6) menunjukkan visualisasi dari Persamaan ( ) dengan menentukan nilai dari kecepatan gelombang, panjang dawai, dan saat. D. PERBANDINGAN PENYELESAIAN ANALITIK DAN PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU Setelah diperoleh hasil penyelesaian analitik dan hasil penyelesaian numerik dari persamaan gelombang dimensi satu, selanjutnya akan dilihat bagaimana perbandingan dari kedua penyelesaian tersebut dengan 60
Wave Amplitude menggunakan nilai dan yang telah ditentukan, yaitu, akan disubstitusikan ke dengan menggunakan bantuan program Maple dan Matlab, Untuk mengetahui apakah penyelesaian analitik dapat mendekati penyelesaian numerik, atau sebaliknya. Dapat dilihat dari hasil grafik berikut ini. Nilai Saat Penyelesaian Analitik dengan Program Maple Penyelesaian Numerik dengan Program Matlab 2 TIME STEP = 100 TIME = 0.099second 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 20 40 60 80 100 X axis Saat 61
Wave Amplitude 2 TIME STEP = 200 TIME = 0.199second 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 20 40 60 80 100 X axis Tabel 3.1. Perbandingan Penyelesaian analitik dan Penyelesaian Numerik Berdasarkan Tabel 3.1 dapat dilihat bahwa, saat dawai diberi untuk penyelesaian analitik rata-rata eror relatif sebesar, Sedangkan pada penyelesaian numerik adalah 1. Saat untuk penyelesaian analitik rata-rata eror relatif sebesar, sedangkan pada penyelesaian numerik adalah 1. Hal ini sesuai dengan nilai awal yang ditentukan pada kasus ini. Penyelesaian secara analitik dan numerik tidak dapat memberikan hasil yang sama, akan tetapi metode numerik dapat mendekati hasil perhitungan analitik. Maka dari itu, terdapat beberapa perbedaan bentuk grafik dari kedua solusi karena hasil penyelesaian yang memang tidak persis. 62