BAB LANDASAN TEORI Regresi Linier Berganda Bentuk umum persamaan regresi linier berganda adalah Y = b 0 + b X + b X + b 3 X 3 + + b k X k + e () dengan: Y = variabel respon b 0 = konstanta regresi b i = koefisien regresi (b i =,,3,, k) X i = variabel penduga (i =,,3,, k) e = galat taksiran (sisa residu) Bentuk data yang akan diolah adalah seperti tabel : Tabel Bentuk Pengolahan Data No Respon Variabel Observasi (Y) X X X 3 X k Y X X X 3 X k Y X X X 3 X k 3 Y 3 X 3 X 3 X 33 X 3k n Y n X n X n X n3 X nk Setelah diselesaikan dengan uji metoda kuadrat terkecil maka didapat persamaan regresi linier berganda yang merupakan penduga berbentuk: Y = b 0 + b X + b X + b 3 X 3 + + b k X k atau Y = Y e, ()
dengan asumsi: i e j N (0,σ ) berarti residu (e j ) mengikuti distribusi normal dengan (e) = 0 dan varian (σ )konstan ii Tidak ada otokorelasi antar residu, berarti (e j, e k ) = 0; j k, sehingga penduga yang diperoleh adalah penduga linier tak bebas Metode Analisa Metode yang digunakan adalah Metode Stepwise Forward yang mempunyai langkahlangkah penyelesaian sebagai berikut: Membentuk Matriks Koefisien Korelasi Koefisien korelasi yang dicari adalah koefisien korelasi linier sederhana Y dengan X i, dengan rumus: (X ij X i )(Y j Y ) r yxi = (3) X ij X i Y j Y dengan: Y X i j i = ( Y n j) = ( Y n ij) =,, 3,, n =,, 3,, k Bentuk matriks koefisien korelasi linier sederhana antara Y dan X i : r r 3 r p r r 3 r p r = r 3 r 3 r 3p r p r p r p3
Membentuk Regresi Pertama (Persamaan Regresi Linier) Variabel yang pertama diregresikan adalah variabel yang mempunyai harga mutlak koefisien korelasi yang terbesar antara Y dan X i, misalnya X Dari variabel ini dibuat persamaan regresi linier:y = b 0 + b X, dengan cara seperti berikut: X = X X ; (X T X) = n X X X X n Y Y Y = ; X T Y = Y YX Y n Keberartian regresi diuji dengan tabel analisa variansi Perhitungan untuk membuat anava adalah sebagai berikut: SSR = βxt Y (Y T JY) n = (β i X i Y) ( Y) (4) dengan: SST J = = YT Y (Y T JY) n = Y ( Y) n n n (5) SSE = SST SSR (6)
MSR = SSR p MSE = SSE n p (7) (8) sehingga didapat harga standard error dari b, dengan rumus: S (β) = MSE (X T X) (9) S(b 0 ) = S (b 0 ) (0) Tabel Analisa Variansi untuk Uji Keberartian Regresi Sumber DF SS MS F hitung Regresi (X h ) p SSR MSR Residu n p SSE MSE MSR / MSE Total n SST Uji hipotesa: H 0 : Regresi antara Y dengan X h tidak signifikan H : Regresi Y dengan X h signifikan Keputusan: BilaF hitung < F tabel, maka terima H 0 Bila F hitung F tabel, maka tolak H 0 Dengan: F tabel = F (p,n p,0,05) 3 Seleksi Variabel Kedua Diregresikan Cara menyeleksi variabel yang kedua diregresikan adalah memilih parsial korelasi variabel sisa yang terbesar Untuk menghitung harga masing-masing parsial korelasi sisa digunakan rumus: r YXh X k = r YXh r YXk r Xh X k r YXk r Xh X k () dengan: X k merupakan variabel sisa
4 Membentuk Regresi Kedua (Persamaan Regresi Berganda) Dengan memilih parsial korelasi variabel sisa terbesar untuk variabel tersebut masuk dalam regresi, persamaan regresi kedua dibuat Y = b 0 + b h X h + b k X k dengan cara sebagai berikut: X = X h X h X hn X k X k X kn n X h X k (X T X) = X h X h X h X k X k X h X k X h Y Y Y = Y n Y XT Y = X h Y X k Y b 0 β = (X T X) X T Y = b h () b k Uji keberartian regresi dengan tabel anava (sama dengan langkah kedua yaitu dengan menggunakan Tabel ), kemudian dicek apakah koefisien regresi b k signifikan, dengan hipotesa: H 0 :b h = 0 H :b h 0 F hitung = b h S(b h ) (3) sedangkan, F tabel = F (,n p,0,05)
Keputusan: bila F hitung < F tabel terima H 0 artinya b k dianggap sama dengan nol, maka proses dihentikan dan persamaan terbaik Y = b 0 + b h X h Bila F hitung F tabel tolak H 0 artinya b k tidak sama dengan nol, maka variabel X k tetap didalam penduga 5 Seleksi Variabel yang Ketiga Diregresikan Dipilih kembali harga parsial korelasi variabel sisa terbesar Menghitung harga masing-masing parsial korelasi variabel sisa dengan Langkah 3, dengan rumus: r Y X X h X k = r YX X r h YXk X r h X X k X h r X X X k h r YXk X h (4) 6 Membentuk Persamaan Regresi Ketiga (Regresi Ganda) Dengan memilih parsial korelasi terbesar, persamaan regresi yang dibuat: Y = b 0 + b h X h + b k X k + b X (5) denganx adalah variabel sisa yang mempunyai parsial korelasi terbesar, dengan cara sebagai berikut: X = X h X h X hn X k X k X kn X X X n n X (X T X) = h X k X X h X h X h X k X h X X k X h X k X k X k X X X h X X k X X
Y X T X Y = h Y X k Y X Y diperoleh = (X T X) X T Y untuk membuat tabel anava uji keberartian regresi, menghitung masing-masing harga-harga yang diperlukan, dilakukan dengan cara yang sama seperti diatas Begitu juga untuk pengujiannya Bila hasil pengujian menyatakan koefisien regresi tidak signifikan maka proses dihentikan berarti persamaannya adalah: Y = b 0 + b h X h + b k X k (6) Jika signifikan maka proses dilanjutkan sama dengan cara yang diatas Demikian seterusnya sampai tidak ada lagi variabel yang masuk dalam model Uji keberartian keseluruhan koefisien regresi yang masuk ke dalam persamaan penduga Dalam pengujiannya, masing-masing koefisien regresi diuji dengan uji hipotesa: untuk H 0 :b q = 0 H :b q 0 F hitung = b q S(b q ) (7) dimana q adalah masing-masing nomor urutan variabel yang diterima masuk ke dalam persamaan penduga Sedangkan F tabel = F (p,n p,0,05) Bila diantara harga F hitung < F tabel, maka teorema H 0 artinya variabel tersebut keluar dari regresi Bila semua harga F hitung < F tabel, maka tolak H 0 artinya semua variabel tetap dalam regresi 7 Pembentukan Persamaan Penduga Persamaan penduga Y = b 0 + b X, denganx adalah semua variabel Xyang masuk ke dalam penduga (faktor penduga) dan b adalah koefisien regresi untuk X 8 Pertimbangan terhadap Penduga
Sebagai pembahasan suatu penduga, untuk mengomentari atau menanggapi kecocokan penduga yang diperoleh ada dua hal yang dipertimbangkan yakni: a Pertimbangan berdasarkan Koefisien Determinasi (R ) Suatu penduga sangat baik digunakan apabila persentase variasi yang dijelaskan sangat besar atau bila R mendekati b Analisa Residu (sisa) Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok (sesuai berdasarkan data observasi) apabila kedua asumsi pada dipenuhi Kedua asumsi ini dibuktikan dengan analisa residu Untuk langkah ini awalnya dihitung residu (sisa) dari penduga yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan prediktor observasi Dengan rumus: e j = Y j Y j, ditunjukkan pada tabel 3: Tabel 3Residu No Residu Respon (Y j ) Penduga (Y j ) Residu (e j ) Y Y Y Y Y Y Y Y 3 Y 3 Y 3 Y 3 Y 3 n Y n Y n Y n Y n Jumlah e j Rata-rata e j n i Pembuktian Asumsi Asumsi : a Rata-rata residu sama dengan nol (e = 0) Kebenaran keadaan ini akan terlihat pada tabel 4 b Varian (e j ) = varian (e k ) = σ
Keadaan ini dibuktikan dengan uji statistik dengan menggunakan uji Korelasi Rank Spearman (Spearman s Rank Correlation Test) Untuk uji ini, data yang diperlukan adalah Rank (e j ) dan Rank (Y j ), dimana: d j = Rank (Y j ) Rank (e j ) Hal ini ditunjukkan dengan tabel 4: Tabel 4Rank Spearman No Penduga Residu Rank Rank d d Observasi (Y j ) (e) (Y) (e) r y r e Y e r r e d d Y e r r e d d 3 Y 3 e 3 r 3 r e3 d 3 d 3 n Y n e n r yn r en d n d n Jumlah Σ e j d j Koefisien Korelasi Rank Spearman (r s ): d j r s = 6 n(n (8) ) Pengujian menggunakan uji t dimana: t hitung = r s n r s (9) t tabel = t (n, α) dimana n adalah derajat kebebasan dan α adalah taraf signifikan hipotesa Dengan membandingkan t hitung < t tabel, maka varian (e j ) = varian (e k ) dengan kata
lain bila t hitung < t tabel, maka varian seluruh residu adalah sama Bila terbukti varian (e j ) = varian (e k ), maka model yakni model linier adalah cocok