PENDEKATAN LATTICE PATH UNTUK SISTEM ANTRIAN M/M/c Mela Arnani, Isnandar Slamet, Siswanto Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Abstrak. Sistem antrian M/M/c merupakan sistem antrian dengan laju kedatangan berdistribusi Poisson, laju pelayanan berdistribusi eksponensial, dan mempunyai c fasilitas pelayanan yang bekerja secara paralel. Keadaan sistem antrian yang tidak dapat mencapai keadaan setimbang disebut sistem antrian transien. Analisis sistem antrian dalam keadaan transien dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan lattice path kombinatorik. Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan ulang perilaku sistem antrian M/M/c dengan pendekatan lattice path kombinatorik. Melalui pendekatan ini, sistem antrian direpresentasikan dalam bentuk lattice path pada bidang-xy. Selanjutnya, dilakukan perhitungan banyaknya lattice path menggunakan pendekatan lattice path kombinatorik dan diberikan contoh penerapannya. Kata Kunci : Sistem Antrian M/M/c, keadaan transien, lattice path kombinatorik.. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai kasus yang berkaitan dengan menunggu dalam suatu antrian. Antrian muncul ketika terdapat ketidakseimbangan antara pelanggan yang dilayani dengan jumlah pelayanannya. Proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian pelanggan menunggu di dalam baris antrian untuk mendapatkan pelayanan sampai pelanggan meninggalkan fasilitas pelayanan sesudah mendapatkan pelayanan Kakiay [3]. Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayanan dan aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pelayanannya Bronson []. Sistem antrian M/M/c merupakan sistem antrian dengan laju kedatangan mengikuti distribusi Poisson, laju pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, dan c menyatakan banyaknya fasilitas pelayanan yang bekerja secara paralel. Pelayanan dilakukan atas dasar pelanggan yang datang awal akan mendapatkan pelayanan terlebih dahulu atau biasa dikenal dengan istilah first come first served FCFS Taha [9]. Contoh sistem antrian M/M/c dapat dijumpai pada antrian teller bank. Sistem antrian pada teller bank mempunyai satu jalur antrian yang memasuki fasilitas pelayanan dan terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan. Keadaan sistem antrian yang tidak mencapai keadaan setimbang disebut keadaan transien Kakiay [3]. Keadaan setimbang adalah keadaan setelah t satuan waktu dengan jumlah pelanggan yang berada di dalam sistem antrian
menjadi stabil Taha [9]. Analisis sistem antrian keadaan transien dapat dilakukan menggunakan pendekatan lattice path kombinatorik Sen dan Jain [7]. Penelitian tentang sistem antrian transien telah dilakukan oleh Sen et al. [8] dan Towsley [2]. Lattice path pada bidang-xy merupakan barisan titik x, y, x 2, y 2,..., x n, y n yang dilewati oleh path Krattenthaller dan Mohanty [4]. Analisis lattice path kombinatorik sistem antrian M/M/c dilakukan dengan merepresentasikan suatu kedatangan atau kepergian dalam bentuk titik x, y pada bidang-xy. Dalam artikel ini, dilakukan penurunan ulang perilaku sistem antrian M/M/c yang merujuk pada Muto et al. [5]. 2. METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang digunakan untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut. Mendeskripsikan sistem antrian berada dalam keadaan tidak setimbang. 2 Mengubah waktu awal, yaitu waktu kontinu menjadi waktu diskrit. 3 Merepresentasikan sistem antrian M/M/c dengan lattice path. 4 Menghitung banyaknya lattice path dengan pendekatan kombinatorik. 5 Memberikan suatu contoh sistem antrian M/M/c. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan diuraikan hasil dari penelitian yaitu representasi lattice path dari sistem antrian M/M/c, perhitungan lattice path dari sistem antrian M/M/c, dan penerapannya. 3.. Representasi Lattice Path dari Sistem Antrian M/M/c. Pada umumnya suatu sistem antrian berkaitan dengan kedatangan pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan, kemudian pelanggan akan pergi setelah mendapatkan pelayanan. Transisi kejadian pelanggan dalam suatu sistem merupakan suatu kedatangan atau kepergian yang membentuk suatu urutan. Dimisalkan T 0, T, T 2,..., T n adalah waktu terjadinya suatu kejadian, sedangkan X 0, X, X 2,..., X n adalah banyaknya pelanggan di dalam sistem, dengan asumsi X 0 = 0. Kedatangan atau kepergian pelanggan yang membentuk suatu urutan merepresentasikan perpindahan titik sepanjang lattice path di bidang-xy. Apabila perpindahan titik merupakan suatu kedatangan maka titik bergerak satu langkah 2
pada sumbu x, sedangkan apabila perpindahan titik merupakan suatu kepergian maka titik bergerak satu langkah pada sumbu y. Contoh transisi kejadian pelanggan dalam suatu sistem diberikan oleh Gambar. X 3 X 7 2 X 2 X 6 X X 3 X 5 X 0 X 4 0 T 0 = 0 T T2 T3 T4 T5 T6 T7 t Gambar. Transisi banyaknya pelanggan di dalam sistem Dari Gambar, dapat dilihat bahwa saat T 0 tidak ada pelanggan di dalam sistem X 0 = 0. Selanjutnya, pada saat T terdapat satu pelanggan di dalam sistem X =. Pada saat T 2 terdapat dua pelanggan di dalam sistem X 2 = 2. Kemudian pada saat T 3 terdapat satu pelanggan yang dilayani, sehingga terdapat satu pelanggan di dalam sistem X 3 = dan seterusnya. Diasumsikan banyaknya kedatangan pelanggan lebih besar daripada banyaknya kepergian pelanggan setiap saat, sehingga lattice path yang sesuai dengan perilaku sistem tidak akan melewati garis x = y. Dengan representasi ini, jarak titik i, j dari garis x = y adalah i j yang merupakan banyaknya pelanggan pada sistem. Lattice path pada bidang-xy yang sesuai dengan transisi kejadian pelanggan dalam sistem dari Gambar ditunjukkan oleh Gambar 2. 2 0 2 3 4 5 X Gambar 2. Lattice path dari transisi banyaknya pelanggan dalam sistem Diasumsikan himpunan lattice path yang sesuai dengan transisi state memenuhi tiga kondisi berikut. 3
i. Terdapat i kedatangan dan j kepergian dalam interval waktu 0, t. ii. Banyaknya kedatangan pelanggan ke dalam antrian adalah r k 0 k c. iii. Banyaknya kepergian pelanggan dari antrian adalah s k k c. Dari lattice path yang memenuhi ketiga kondisi tersebut, diperoleh proposisi berikut. Proposisi 3.. Untuk k c, { rk zk i j, r s k = k ; 0, r k = 0. dimana z = apabila benar k i j dan 0 untuk yang lain. Selanjutnya, akan diberikan beberapa definisi. 3. Definisi 3.2. a. Himpunan lattice path dari titik 0, 0 ke i, j dinyatakan dengan Li, j dimana i j 0 pada bidang-xy. b. Langkah-x merupakan gabungan titik h, k dan h +, k dan langkah-y merupakan gabungan titik h, k dan h, k+. Jarak langkah-xy adalah h k. Oleh karena itu, d-langkah-xy adalah suatu langkah-xy dimulai dari titik pada x = y + d. c. Lattice path direpresentasikan oleh d = d, d 2,..., d i, d i, 3.2 dimana d merupakan jarak langkah-x. d. Jarak vektor merupakan d-langkah-x yang dimulai dari titik pada garis x = y + d. Jarak vektor dari lattice path dinotasikan oleh vektor r c = r 0, r,..., r c, r c, dengan r c -langkah-x merupakan langkah-x dengan lebih dari c -langkah-x. Jarak vektor r c merupakan bilangan bulat non negatif. e. Untuk k =, 2,..., c, r k dan s k didefinisikan sebagai berikut k k r k = i r n dan s k = j s n. 3.3 n=0 n= Dari definisi tersebut, diperoleh sifat sebagai berikut. i. Untuk d Li, j, d memenuhi kondisi berikut d = 0, 0 d k d k +, untuk k = 2,..., i. 4
ii. Untuk d Li, j, apabila w = maxd k k i + maka r w = 0 maxi j, w i. iii. Diasumsikan r = r 0, r,..., r c, r c merupakan jarak vektor. Apabila w c maka r h 0 h w, r h = 0 w h c dan r c = 0. Apabila w > c maka r h 0 h c dan r c > 0. Dengan menggunakan r c dan w, definisi berikut menjelaskan tentang klasifikasi himpunan lattice path. Definisi 3.3. Himpunan lattice path Li, j dengan jarak vektor r c dinyatakan dengan Li, j; r c. Selanjutnya, li, j dan li, j; r c didefinisikan sebagai dimana, li, j = Li, j dan li, j; r c = Li, j; r c. 3.4 Himpunan lattice path Li, j dapat diklasifikasikan sebagai berikut. li, j = minc,i w=maxi j, li, j; r c R w ij + li, j; r c R c+ ij 3.5 R c+ ij ={r 0,..., r c, r c r k 0 k c, r c max, i j c, c r k + r c = i}, dan k=0 R w ij ={r 0,..., r c, r c r k 0 k w, r k = 0 w k c, 3.6 w r c = 0, r k = i}. k=0 3.2. Perhitungan Lattice Path Menggunakan Jarak Vektor. Pada bagian ini, diberikan teorema tentang perhitungan banyaknya elemen Li, j; r c menggunakan jarak vektor r c yang mengacu dari Mohanty [6]. Teorema 3.4. Untuk i j 0, i 0, li, j; r c = r c s c+ rc + s c+ r c + s c+ r c w rk + s k+ c 5 rk + s k+, r c R w ij., r c R c+ ij ; 3.7
Bukti. a. Untuk kasus r c R w ij. Diketahui bahwa untuk beberapa n 0 n c, apabila r k 0 k n maka { n rk + s k+ li, j; r c = } l r n, s n+; r n,..., r c, r c. Dari definisi R w ij, dengan mensubtitusikan n = w pada persamaan di atas, diperoleh li, j; r c = { w rk + s k+ } l r w, s w ; r w, 0,..., 0. Terdapat satu path dari 0, 0 ke r w, s w dengan jarak vektor r w, 0,.., 0 yang hanya terdiri dari 0-langkah-x dan -langkah-y. Dengan demikian, teorema terbukti. b. Untuk r c R c+ ij, dengan mensubtitusikan n = c pada persamaan { n rk + s k+ li, j; r c = } l r n, s n+; r n,..., r c, r c. diperoleh li, j; r c = rk + s k+ { c } l r c, s c ; r c, r c. Selanjutnya, dilakukan perhitungan untuk l r c, s c ; r c, r c. i. Untuk i j c, r c > s c. Dengan mensubtitusikan i = r c, j = s c, dan r 0 = r c pada persamaan li, j; r 0, r = i j + r 0 i + j r 0 + i + j r0 + i diperoleh l r c, s c ; r c, r c = r c s c + r c r c + s c r c + rc + s c r c + r c. 3.8 ii. Untuk 0 i j < c, r c = s c. Dengan mensubtitusikan i = r c, j = s c, dan r 0 = r c pada persamaan li, j; r 0, r = i j + r 0 i + j r 0 6 i + j r0 i
diperoleh l r c, s c ; r c, r c = r c s c + r c r c + s c r c rc + s c r c r c 3.9 Selanjutnya, persamaan 3.8 dan 3.9 diringkas dengan mensubsitusikan s c = s c+ + s c. Dari proposisi 3. diketahui bahwa s c = r c, jika i j c dan s c = r c, jika 0 i j < c. Dengan demikian, teorema terbukti. 3.3. Penerapan Kasus. Teorema 3.4 akan diilustrasikan pada kasus transisi kejadian pelanggan yang direpresentasikan dalam bentuk lattice path yang diberikan oleh Gambar 3 dengan asumsi jumlah fasilitas pelayanan sebanyak 4 buah. Akan dilakukan perhitungan banyaknya lattice path pada R c+ ij y dan R w ij. x=y x=y+2 x=y+4 6 5 7,5 4 3 2 d d, 0 2 3 4 5 6 7 x Gambar 3. d L7, 5 R w ij dan d L7, 5 R c+ ij Dari lattice path yang sesuai dengan perilaku sistem di atas, diketahui bahwa untuk r c R c+ ij mempunyai r =,, 2,, 2, sedangkan untuk r c R w ij mempunyai w = 3 dan r = 3, 3,, 0, 0. i. Untuk kasus r c R c+ ij. Untuk i = 7, j = 5, r =,, 2,, 2 dan s = 0, 0, 2,, 2. li, j; r c = r 3 s 5 r3 + s 5 r0 + s 2 r + s 3 r2 + s 4 r 3 + s 5 r 3 r 0 r r 2 = 3 2 3 + 2 + 0 + 2 2 + 3 + 2 3 2 5 0 2 2 = 5 3 0 0 = 4. Dengan demikian, banyaknya lattice path untuk r c R c+ ij adalah 4. 7
ii. Untuk kasus r c R w ij. Untuk i = 7, j = 5, w = 3, r = 3, 3,, 0, 0 dan s = 2, 2,, 0, 0. r0 + s 2 r + s 3 li, j; r c = r 0 r 3 + 2 3 + = 3 3 4 3 = 2 2 = 8. Dengan demikian, banyaknya lattice path untuk r c R w ij adalah 8. 4. KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan yaitu sistem antrian M/M/c pada keadaan transien dapat diselesaikan menggunakan pendekatan lattice path kombinatorik. Pendekatan ini, merepresentasikan transisi kejadian ke dalam bentuk lattice path pada bidang-xy. Selanjutnya, perhitungan banyaknya lattice path dapat dilakukan menggunakan jarak vektor. DAFTAR PUSTAKA [] Bronson, R., Theory and Problem of Operation Research, Mc Graw-Hill, Inc, New York, 99. [2] Towsley, D., An Application of the Reflection Principle to the Transient Analysis of the M/M/ Queue, Res. Logist,34 987, 45-456. [3] Kakiay, T. J., Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata, Andi, Yogyakarta, 2004. [4] Krattenthaler, C. and Mohanty, S.G., Lattice Path Combinatorics - Applications to Probability and Statistics, Encyclopedia of Statistical Sciences, 2 2003. [5] Muto, K. et.al, Lattice Path Counting and M/M/c Queueing Systems, Queueing Systems, 9 995, 93-24. [6] Mohanty, S.G., Lattice Path Counting and Applications, Academic Press, New York, 979. [7] Sen, K. et al., Combinatorial Approach to Markovian Queueing Models, Journal of Statistical Planning and Inference, 34 993, 269-279. [8] Sen, K., J. L. Jain and J. M Gupta, Lattice Path Approach to Transient Solution of M/M/ with 0,k Control Policy, Journal of Statistical Planning and Inference, 34 993, 259-267. [9] Taha, H. A., Operations Research an Introduction, Macmillan Publishing Co Inc, New York, 4th 987. 8