Penggunaan Turunan dalam Ekonomi Dalam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal, hasrat mengkonsumsi marjinal, dll.
Perilaku Konsumen Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. Kepuasan marjinal adalah turunan pertama dari kepuasan total MU = dtu dq Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU
3 Matematika Ekonomi Asumsi: 1. Kepuasan yang diperoleh konsumen dari berkonsumsi dapat diukur dengan satu satuan (uang atau unit) 2. Konsumen berusaha memaksimalkan kepuasan total (total utility-tu) dari produk yang dikonsumsinya 3. Berlaku Hukum Gossen the law of deminishing marginal utility yaitu setiap tambahan jumlah produk yang dikonsumsi akan menambah kepuasan yang semakin rendah
4 Matematika Ekonomi Kepuasan total (total utility) yang diperoleh konsumen dari mengkonsumsi satu produk merupakan penjumlahan kepuasan yang diperoleh dari setiap unit mengkonsumsi produk tersebut TU = f (X) Marginal utility (MU) adalah tambahan kepuasan yang diakibatkan dari penambahan satu unit konsumsi ( TU/ X)
Contoh kasus TU = 16X - X² Maka MU =16 2X X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TUx 0 15 28 39 48 55 60 63 64 63 60 MUx 15 13 11 9 7 5 3 1-1 -3
Kurva kepuasan total (TU) dan kepuasan marjinal (MU) T U TU =16X X² 0 MU 1 6 8 MU = 16 2X X 0 8 X
Perilaku Konsumen Contoh: Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang per unit Rp 20,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi TU = 120Q 0.25Q 2 100 Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU MU = turunan dari TU MU = 120 0.5Q P = MU 20 = 120 0.5Q 0.5Q = 100 Q = 200 Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp 20,-/unit
8 Perilaku Produsen Matematika Ekonomi Fungsi produksi Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusaha memperoleh profit maksimum, adalah: a. Jumlah produk yang yang akan diproduksi b. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb. Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.
Perilaku Produsen Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP) dtp MP = dq MP dx dx Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit: AP = Q TP AP. x x Untuk menghasilkan keuntungan maksimum: MP = Harga input (Px) Harga output (Pq) m dmp dx Tingkat penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun atau m = MP = negatif
10 Matematika Ekonomi The Law of Diminishing Return Increases in the amount of any one input, holding the amounts all other inputs constant, would eventually result in decreasing marginal product of the variable input.
Perilaku Produsen Contoh: Suatu perusahaan memproduksi suatu barang dengan input x. Output yang dihasilkan pada berbagai tingkat penggunaan ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x 2 1/3 x 3. Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100 Berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata? 1. Syarat keuntungan maks MP = Px / Pq MP = turunan dari fungsi Q = Q = 10x x2 10x x2 = 2100 / 100 10x x2 = 21 x2 10x + 21 = 0 (x 7)(x 3) x1 = 7 atau x2 = 3 Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: m = MP = 10 2x x1 m = -4 (menurun) x2 m = 4 (menaik) Jadi input yang digunakan adalah 7 unit. 2. Q = 75 + 5x 2 1/3 x 3 x = 7 Q = 205 2/3 = 205 unit Q = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit Artinya pd tkt penggunaan input x=7 unit, setiap unit input digunakan utk menghasilkan rata-rata 29 unit output
12 Matematika Ekonomi Elastisitas Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap perubahan faktor yang mempengaruhinya (harga). εh = %Perubahan jumlah yang diminta % Perubahan harga barang tsb
Elastisitas p Q1 Q0 h Q Q0 P P 0.100%.100% Apabila terjadi perubahan harga dari P 0 menjadi P 1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q 1. Persentase perubahan harga: P 1 P 0. 100% P 0 Persentase perubahan jumlah barang: Q 1 Q 0. 100% Q0
Elastisitas ε p = ε h = ΔQ. P 0 ΔP Q 0 Dengan demikian, apabila diambil limit dari ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi: lim P0 Q P dq dp ε p = ε h = dq. P 0 dp Q 0 Hasil perhitungan ini merupakan elastisitas di suatu titik, yaitu titik A pada tkt hrg P0 dan jumlah yg diminta Q0
15 Matematika Ekonomi Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase perubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya
Contoh Soal Bila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 2Q, berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20? P = 50 2Q dp = -2 dq dq = -1 dp 2 Bila P = 20, maka Q = 15 sehingga elastisitasnya: Ε h = dq. P 0 dp Q 0 Ε h = -1. 20 2 15 Ε h = -2/3 Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif, sehingga apabila Ε h = -2/3 = 2/3 permintaan inelastis karena < 1
Jenis-jenis Elastisitas Nilai elastisitas yang terkecil adalah terbesar adalah. ε h > 1 permintaan elastis %Δp <% Δq 0 dan yang %Δp = %Δq ε h = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal) ε h < 1 permintaan inelastis (tidak elastis) %Δp > %Δq
18 Elastic demand > 1 Inelastic demand < 1 Unit elastic demand = 1 Matematika Ekonomi
Cth. 8.8: Pada fungsi permintaan P=100-1/2Q, hitunglah berapa elastisitas permintaannya pada: Q=0; Q=50; Q=100; Q=150; Q=200 Gambar fungsi permintaannya dan titik2 yg dihitung elastisitasnya Jadi, dq dp 1 1 2 2 Untuk Q=0, maka P=100-1/2(0)=100 Untuk Q=50, maka P=100-1/2(50)=75 Untuk Q=100, maka P=100-1/2(100)=50 p p p 100 2. 0 75 2. 3 50 19 3 50 2. 1 1 100 Untuk Q=150, maka P=100-1/2(150)=25 p 25 1 2. 150 3 1 3 Untuk Q=200, maka P=100-1/2(200)=0 p 0 2. 200 0
Matematika Ekonomi 20
21 Slope =curam fungsi permintaan Inverse of slope = Elastisitas harga di titik B : dp dq BD DC Matematika Ekonomi sehingga dq PB DC h. dp Q BD B BD OD Karena BD sejajar dgn AO maka scr ilmu ukur BC h 1 1 atau BC AB AB dq dp DC OD 1 dp dq DC OD Jadi, h BC AB BC AB DC BD h BC 1 1 atau BC AB AB h BC 1 1 atau BC AB AB 0
22 Matematika Ekonomi Biaya Produksi dan Penerimaan Sumber-sumber ekonomi yg digunakan utk menghasilkan barang jumlahnya terbatas. Biaya produksi bagi suatu perusahaan adalah nilai dari faktor-faktor produksi. Dari segi sifat biaya dalam hubungannya dgn tingkat output, biaya produksi total dapat dibagi mjd :
Biaya Produksi dan Penerimaan 1. Biaya Produksi: Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC atau FC adalah jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan. Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. Biaya Total (Total Cost) = TC adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel. TC = FC + VC
Matematika Ekonomi 24
Biaya Produksi Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) = AFC adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output. AFC = TFC / Q Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit output. AVC = TVC / Q dimana kurva AVC diturunkan dari kurva TVC.
Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost) = ATC Matematika Ekonomi biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi. ATC = TC / Q 26 Biaya Marjinal (Marginal Cost) = MC tambahan biaya total karena ada tambahan biaya produksi 1 unit output. MC = dtc dq = dtvc dq - Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.
27 Cth. 8.11: Bila fungsi biaya total ditunjukkan oleh persamaan: TC=10-aQ^3+3Q^4 Tentukan TFC dan TVC, serta berapa MC pd saat Q=2 Dari sifat TFC yg tdk tergantung pd jumlah Q yg diproduksi dan TVC tergantung pd jumlah Q yg diproduksi, maka: TFC= 10 TVC= -4Q^3 + 3Q^4 3 4 dtc d(10 aq 3Q ) 2 MC 12Q 12Q dq dq Untuk Q=2, maka MC= -12(2)^2 + 12(2)^3 = 48 Kurva MC dan kurva AC didapat dari kurva TC yg sama Apabila AC dgn output, MC<AC Bila AC dgn output, MC>AC Pada output dimana AC min, MC=AC {kurva MC memotong AC} 3
Matematika Ekonomi Hubungan Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dtc/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya marginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk. 28
Contoh dengan data 29 q FC VC TC AC MC 1 75 10 110 110.00-2 75 16 116 58.00 6.0 3 75 21 121 40.33 5.0 4 75 26 126 31.50 5.0 5 75 30 130 26.00 4.0 6 75 36 136 22.67 6.0 7 75 45.5 145.5 20.78 9.5 8 75 56 156 19.50 10.5 9 75 72 172 19.10 16
Hubungan TC, AC dan MC, seperti Matematika kurva Ekonomi dibawah ini. TC Rp 30 MC AC VC syarat dac dq d AC dq 2 0 dan 2 0 syarat dmc dq 2 0 dan 2 q d MC dq 0
Contoh Soal 8.12 Bila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan: AC = 25 8Q + Q 2, tentukan jumlah output yang diproduksi pada saat AC minimum. Turunan pertama AC = 0-8 + 2Q = 0 Q = 4 Turunan kedua AC = 2 AC > 1, sehingga pada Q = 4, maka AC minimum.
Penerimaan Penerimaan (revenue) adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. a. Penerimaan Total (Total Revenue) = TR penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. TR = P. Q b. Penerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual. AR = TR / Q = P c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output. MR = dtr dq
Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga Matematika Ekonomi dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dtr/dq. 33 Contoh: Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9; 2p = 9 3q atau p = 9/2 (3/2)q TR = p.q atau TR = (9/2)q (3/2)q 2 MR = dtr/dq = 9/2 3q TR, MR, p 4 MR p 0 3 q
Jenis Pasar 1. Pasar Persaingan Sempurna ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar.
35 Matematika Ekonomi 2. Pasar Monopoli ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi.
36 Matematika Ekonomi Cth.2.25 Fungsi permintaan P= a-bq (dgn a dan b positif) memotong sb.q d titik D. Benarkah bahwa kurva MR memotong sb.q tepat ditengah-tengah OD?
Penerimaan dan Elastisitas Konsep penerimaan seringkali dihubungkan dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah: 1. TR menaik selama elastisitas harga ε h dari kurva permintaan D lebih besar dari satu. 2. TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu. 3. TR menurun pada daerah dimana kurva permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu
Contoh Soal Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 20 0.4Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen? TR = P. Q = (20 0.4Q) Q = 20Q 0.4Q 2 TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan turunan keduanya < 0 TR = MR = 20 0.8Q = 0 Q = 25 Turunan kedua = -0.8 < 0, sehingga pada Q = 25, penerimaan total maksimum sebesar 250. Pada Q = 25, TR = 250 maka P = 10
39 Matematika Ekonomi Cth. 8.22. Pada suatu fungsi permintaan 2P +3Q=120, berapakah total tambahn/penurunan penerimaan total bila harga berubah dari Rp 42 mjd Rp 45/unit. Berapa elastisitas pd tkt hrg Rp 42/unit. Pd tkt hrg Rp 42/unit, jlh brg yg diminta: 2(42)+3Q=120 3Q=36 Q=12 Penerimaan total pd P=42 : TR1=P.Q =42.12 = 504 Pd tkt hrg Rp 45/unit, jlh brg yg diminta: 2(45)+3Q=120 3Q=30 Q=10 Penerimaan total pd P=45 : TR1=P.Q =45.10 = 450 Jadi dgn naiknya hrg dr Rp 42 mjd Rp 45/unit jumlah penerimaan total berkurang dr Rp 504 mjd Rp 450 (TR turun Rp 54,-)
Matematika Ekonomi 40
41 Matematika Ekonomi Tugas Mandiri Tes Formatif 1, 2 dan 3 (no:1,2,3 dan 4) (jawaban beserta penjelasan) Dikirim via email