9 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Travelling Salesman Problem (TSP) merupakan salah satu permasalahan yang penting dalam dunia matematika dan informatika. TSP dapat diilustrasikan sebagai perjalanan seorang salesman keliling yang harus mengunjungi sebanyak n kota dengan aturan sebagai berikut: 1. Ia harus mengunjungi setiap kota hanya sebanyak 1 kali 2. Ia harus meminimalisasi total jarak atau biaya perjalanannya 3. Pada akhirnya ia harus kembali ke kota asalnya berangkat. Solusi dari TSP ialah jalur yang dilalui oleh salesman tersebut. Tentunya solusi terbaik atau optimal dari permasalahan ini adalah jalur dengan jarak terpendek atau dapat disebut juga dengan rute perjalanan minimum. Guna memudahkan permasalahan, pemetaan n kota tersebut akan digambarkan dengan sebuah graf. Rute perjalanan dengan aturan pengunjungan satu dan hanya satu kali pada setiap simpul dalam graf disebut dengan jalur Hamilton.Bila perjalanan dimulai dan berakhir di simpul yang sama maka jalur ini disebut siklus Hamilton. Dengan kata lain TSP termasuk ke dalam problem menemukan jalur atau siklus Hamilton.
10 Traveling Salesman Problem dapat dimodelkan dengan baik melalui teori graf. Graf adalah sekumpulan objek yang disebut simpul (verteks) yang dihubungkan oleh sambungan sambungan yang disebut sisi (edge). Permasalahan yang menggunakan graf pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Swiss yang bernama L.Euler. Pada TSP, graf yang digunakan adalah graf tidak berarah dengan bobot atau jarak pada setiap sisi. Konsep TSP banyak diterapkan untuk penyelesaian berbagai masalah antara lain : 1. Menentukan rute perjalanan minimum dengan melewati semua kota 2. Pengoptimalan proses perjalanan pesan (message) pada jaringan inter koneksi komputer 3. Perancangan pemasangan pipa saluran, dll Penentuan permasalahan ini juga tidak hanya terbatas pada masalah jarak. TSP dapat digunakan untuk memodelkan permasalahan waktu atau biaya transportasi yang dibutuhkan untuk melewati beberapa simpul.permasalahan ini kelihatannya gampang untuk jumlah simpul yang sedikit. Namun, TSP akan menjadi permasalahan yang sangat kompleks jika jumlah simpul mencapai ratusan atau bahkan ribuan. Penyelesaian eksak terhadap masalah TSP mengharuskan untuk melakukan perhitungan terhadap semua kemungkinan rute yang dapat diperoleh, kemudian memilih salah satu rute yang terpendek. Penggunaan program dinamik dalam mencari solusi terbaik TSP merupakan suatu alternatif dari sekian banyak metode yang digunakan dalam pencarian solusi TSP seperti algoritma Greedy, algoritma heuristic,dll. Program dinamik adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang berkaitan. Penemu dan yang mengembangkan program dinamik adalah Richard Bellman. Tujuan utama
11 model ini ialah untuk mempermudah penyelesaian persoalan optimasi yang mempuyai karakteristik tertentu. Ide dasar program dinamik ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian yang lebih kecil sehingga memudahkan penyelesaiannya. Pada persoalan program dinamik tidak terdapat formulasi yang standar. Karena itu, persamaan yang terpilih untuk digunakan harus dikembangkan agar dapat memenuhi masing masing situasi yang dihadapi.dengan demikian, maka antara persoalan yang satu dengan persoalan lainnya dapat mempunyai struktur penyelesaian persoalan yang berbeda. 1.2 Perumusan Masalah Masalah pokok yang dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana cara metode program dinamik dalam mencari jalur atau siklus Hamilton yang memiliki bobot minimum dari persoalan Traveling Salesman Problem. 1.3 Batasan Masalah Pada tulisan ini masalah dibatasi hanya sampai pada pencarian jalur atau siklus Hamilton yang memiliki bobot minimum dari persoalan Travelling Salesman Problem (TSP) pada graf lengkap.
12 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1. Mencari jalur atau siklus Hamilton yang memiliki bobot minimum dengan metode Program Dinamik pada persoalan Travelling Salesman Problem 2. Menunjukkan bahwa pada graf Hamilton yang berbobot minimum dapat ditemukan solusi Travelling Salesman Problem. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah : 1. Sebagai bahan pertimbangan bagi salesman untuk menentukan solusi optimal dari persoalan yang dihadapi. 2. Sebagai bahan tambahan dalam pembahasan graf Hamilton bagi para pembaca. 3. Sebagai penerapan ilmu pengetahuan yang dimiliki penulis 1.6 Metodologi Penelitian Metode penelitian yang akan digunakan adalah literatur. Prosedur yang dilakukan adalah : 1. Menguraikan teori dasar yang menunjang terhadap pembahasan. 2. Menggunakan metode Program Dinamik dengan cara :
13 a) menguraikan solusi menjadi sekumpulan tahap sedemikian rupa dimana solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya. b) Menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap. 3. Membentuk jalur atau siklus Hamilton pada graf yang mencakup semua simpul pada graf tersebut. 1.7 Tinjauan Pustaka Sebagai pendukung dalam penulisan tugas akhir ini digunakan beberapa buku, yaitu : Marhaendi dalam jurnalnya Graf dan Analisis Algoritma menyatakan Sebuah Graf G mengandung 2 himpunan yaitu himpunan V, yang elemennya disebut simpul atau verteks dan himpunan E yang merupakan pasangan tak terurut dari verteks-verteks yang disebut garis atau edge. Sehingga sebuah graf dinotasikan sebagai G ( V, E ). Munir Rinaldi dalam jurnalnya Strategi Algoritmik Program Dinamis yang menyatakan misalkan G = (V, E) adalah graf lengkap berarah dengan sisi-sisi yang diberi harga c ij > 0 untuk setiap i dan j adalah simpul-simpul di dalam V. Misalkan V = n dan n > 1. Setiap simpul diberi nomor 1, 2,, n.asumsikan perjalanan (tur) dimulai dan berakhir pada simpul 1. Setiap tur pasti terdiri dari sisi (1, k) untuk beberapa k V {1} dan sebuah lintasan dari simpul k ke simpul 1. Lintasan dari simpul k ke simpul 1 tersebut melalui setiap simpul di dalam V {1, k} tepat hanya sekali. Prinsip Optimalitas: jika tur tersebut optimal maka lintasan
14 dari simpul k ke simpul 1 juga menjadi lintasan k ke 1 terpendek yang melalui simpulsimpul di dalam V {1, k}. Misalkan f(i, S) adalah bobot lintasan terpendek yang berawal pada simpul i, yang melalui semua simpul di dalam S dan berakhir pada simpul 1. Nilai f(1, V {1}) adalah bobot tur terpendek. Berdasarkan prinsip optimalitas tersebut, diperoleh hubungan rekursif sebagai berikut: f ( 1, V {1}) = min{ c1 + 2 k n k f ( k, V {1, k})} (1) Dengan merampatkan persamaan (1), diperoleh ( i, ) ci,1 f =, 2 i n (basis) f ( i, S) = min{ c + f ( j, S { j})} j S ij (rekurens) (2) Persamaan (1) dapat dipecahkan untuk memperoleh {1}) jika diketahui f(k, V {1, k}) untuk semua pilihan nilai k. Nilai f tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2). Kemudian gunakan persamaan (2) untuk memperoleh f(i, S) untuk S = 1, kemudian dapat diperoleh f(i, S) untuk S = 2, dan seterusnya. Bila S = n 1, nilai i dan S ini diperlukan sedemikian sehingga i 1, 1 S dan i S.