17 BAB TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori dan metode yang digunakan untuk mendukung analisis data. Teori dan metode itu diantaranya adalah rancangan faktorial, analisis regresi dan metode permukaan respon..1 Rancangan Faktorial Rancangan faktorial adalah suatu metode statistik untuk menguji pengaruh beberapa macam faktor dengan level yang berbeda satu sama lain. Banyaknya jumlah kombinasi diperoleh dari perkalian antara jumlah level yang dimiliki suatu variabel dengan level variabel lain. Faktorial yang dikenal saat ini adalah two level factorial design ( kk ), two level fractional factorial design ( kk pp ) dan three level factorial design (3 kk ). Faktor dalam hal ini adalah suatu variabel pengamatan. Misalnya pengamatan dengan dua faktor adalah pengamatan dengan menggunakan dua variabel. Dua level artinya bahwa dalam setiap faktor dirancang dalam dua perubahan. Untuk memudahkaya, digunakan istilah nilai rendah (-1) dan nilai tinggi (1) sehingga diperlukan pengkodean dari data skala pengamatan ke data kode nilai rendah dan tinggi. Rancangan faktorial digunakan apabila eksperimen terdiri atas dua faktor atau lebih. Rancangan faktorial memungkinkan kita untuk melakukan kombinasi antar level faktor. Diperlukan rancangan faktorial apabila interaksi antar respon mempengaruhi respon.
18. Analisis Regresi Hubungan antara variabel bebas atau faktor-faktor yang mempengaruhi variabel respon dengan variabel respon itu sendiri dibentuk dalam persamaan regresi ganda. Dalam penelitian ini persamaan regresi pada model orde satu dan orde dua metode permukaan respon akan diselesaikan dengan menggunakan bentuk matriks...1 Memodelkan Persamaan Orde Satu Model orde satu untuk kk variabel bebas adalah sebagai berikut: YY ii = ββ 0 + ββ 1 xx 1ii + ββ xx ii + ββ 3 xx 3ii + + ββ kk xx kkkk + εε (.1) Keterangan: YY ii =variabel dependen (respon) ββ 0 = konstanta ββ kk = parameter variabel bebas kk xx kkkk =variabel independen (variabel bebas), ii = 1,,, εε =error Untuk mencari nilai ββ 0, ββ 1, ββ dddddd ββ 3 dapat digunakan berbagai metode. Metode yang paling sederhana dan umum digunakan adalah metode kuadrat terkecil. Dalam hal ini untuk meminimumkan galat dihitung jumlah kuadrat galat, kemudian jumlah kuadrat galat ini diturunkan secara berurutan terhadap ββ 0, ββ 1, ββ,, ββ kk yang selanjutnya disamakan dengan 0. Turunan jumlah kuadrat galat terhadap ββ 0, ββ 1, ββ,, ββ kk sebagai berikut: ββ 0 + ββ 1 ii xx 1ii + ββ ii xx ii + + ββ kk ii xx kkkk = ii yy ii ββ 0 ii xx 1ii + ββ 1 ii xx 1ii + ββ ii xx 1ii xx ii + + ββ kk ii xx 1ii xx kkkk ββ 0 ii xx kkkk + ββ 1 ii xx kkkk xx 1ii + ββ ii xx kkkk xx ii = ii xx 1ii yy ii + + ββ kk ii xx kkkk = ii xx kkkk yy ii (.)
19 Selanjutnya untuk memperoleh nilai ββ 0, ββ 1, ββ,, ββ kk dibentuk matriks dari persaman normal (.) AA = xx xx Dengan 1 xx 11 xx 1 xx kk1 1 xx xx = 1 xx xx kk, xx 1 xx 1 xx xx kkkk = 1 1 1 xx 11 xx 1 xx 1 xx 1 xx 1 xx xx kk1 xx kk xx kkkk ii xx Maka AA = 1ii xx kkkk ii ii xx 1ii ii xx 1ii ii xx ii ii xx kkkk ii xx 1ii xx kkkk ii xx 1ii xx kkkk ii xx kkkk xx 1ii ii xx kkkk xx ii ii xx kkkk (.3) Untuk gg = xx YY Dengan = yy 1 yy, maka gg = yy ii yy ii ii xx 1ii yy ii xx kkkk yy ii ii Maka persamaan normal dapat dinyatakan dalam bentuk matriks AA. ββ 0 = gg, maka ββ 0 = AA 1. gg. Untuk mempermudah pengerjaan proses estimasi dapat dilakukan dengan bantuan software Minitab.
0.. Uji Signifikansi...1 Uji signifikan secara serentak Pengujian ini dilakukan untuk menentukan apakah terjadi hubungan antara parameter tidak bebas (YY) dengan parameter bebasnya (xx 1, xx, xx 3 ). HH 0 : ββ ii = ββ 1 = ββ = = ββ = 0 (semua parameter regresi bernilai 0, yaitu semua parameter bebas tidak berpengaruh terhadap parameter respon). HH 1 : minimal ada satu ββ ii 0 (sedikitnya ada satu parameter bebas yang berpengaruh terhadap parameter respon). Statistik ujinya dengan rumus: FF hiiiiiiiiii = MMMM RR MMMM EE HH 0 ditolak jika FF hiiiiiiiiii > FF tttttttttt atau pp vvvvvvvvvv < αα, yang berarti model dapat diterima secara statistik dan paling sedikit ada satu parameter bebas yang mempunyai pengaruh nyata terhadap responyy.... Uji signifikan secara individu Pengujian koefisien parameter secara individu ini dimaksudkan untuk menguji regresi YY ii pada suatu parameter bebas xx ii tertentu, bila parameter bebas xx ii dianggap konstan. Hipotesa yang di uji: HH 0 : ββ 0 = 0 yaitu ββ ii tidak mempengaruhi respon HH 1 : ββ ii 0 yaitu ββ 1 mempengaruhi respon Dengan menggunakan uji statistik yang sama dengan signifikansi secara serentak maka kriteria keputusaya juga sama yaitu jika FF hiiiiiiiiii > FF tttttttttt atau pp vvvvvvvvvv < αα maka HH 0 ditolak, yang berarti bahwa variabel bebas memberi pengaruh nyata pada respon YY.
1 Tabel.1 Uji Signifikansi secara manual Sumber Variansi Dk Jumlah Kuadrat (JK) Rata-rata Jumlah Kuadrat FF hiiiiiiiiii (RJK) Total YY Regresi (ββ 0 ) Regresi (ββ ii ββ 0 ) 1 JJJJ rrrrrr (ββ 0) = ( YY) 1 JJJJ rrrrrr (ββ 1 ββ 0 ) = ββ 1{ xxxx ( xx)( yy) } RRRRRR rrrrrr (ββ 0) = JJJJ rrrrrr (ββ 0) RRRRRR rrrrrr (ββ 1 ββ 0 ) = JJJJ rrrrrr (ββ 1 ββ 0 ) FF h = RRRRRR rrrrrr (ββ 1 ββ 0 ) RRRRRR rrrrrr Residu JJJJ rrrrrr = YY JJJJ rrrrrr ββ 1 ββ 0 JJJJ rrrrrr (ββ 0 ) RRRRRR rrrrrr Keterangan: JJJJ rrrrrr : Jumlah Kuadrat Regresi JJJJ rrrrrr : Jumlah Kuadrat Residu RRJJJJ rrrrrr : Rata-rata Jumlah Kuadrat Regresi RRRRRR rrrrrr : Rata-rata Jumlah Kuadrat Residu = JJJJ rrrrrr..3 Memodelkan Persamaan Orde Kedua Jika Uji signifikansi menyatakan bahwa terdapat variabel bebas yang signifikan atau mempengaruhi variabel respon, maka variabel bebas tersebut digunakan kembali untuk persamaan orde dua, persamaan orde kedua dalam bentuk persamaan regresi sebagai berikut:
YY ii = ββ 0 + ββ 1 xx 1 + ββ xx + ββ 3 xx 3 + ββ 11 xx 1 + ββ xx + ββ 33 xx 3 + ββ 1 xx 1 xx + ββ 13 xx 1 xx 3 + ββ 3 xx xx 3 + εε (.4) Apabila diambil permisalan replikasi antar variabel xx 1 menjadi xx 4 sampai xx xx 3 menjadi xx 9 maka persamaan (.4) dalam bentuk yang lebih sederhana adalah sebagai berikut: YY ii = ββ 0 + ββ 1 xx 1 + ββ xx + ββ 3 xx 3 + ββ 4 xx 4 + ββ 5 xx 5 + ββ 6 xx 6 + ββ 7 xx 7 + ββ 8 xx 8 + ββ 9 xx 9 + εε (.5) sehingga persamaan orde dua menjadi persamaan regresi linier dengan jumlah variabel bebas sebanyak sembilan dan variabel bebas ke- kk (kk > 3) merupakan variabel bebas hasil replikasi dari tiga variabel bebas pada persamaan orde satu..3 Metode Permukaan Respon Metode permukaan respon adalah suatu metode yang menggabungkan teknik matematika dengan teknik statistika yang digunakan untuk membuat model dan menganalisis suatu respon yang dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas atau faktor, dengan tujuan mengoptimalkan respon (Montgomery, 001). Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan desain eksperimen dengan bantuan statistika untuk mencari nilai optimal dari suatu respon. Metode permukaan respon yang dikemukakan oleh Box dan Wilson pada 1950 merupakan salah satu alat yang efektif untuk mengkaji hubungan antara respon dan variabel input tersebut. Dengan menyusun suatu model matematika, peneliti dapat mengetahui nilai variabel-variabel independen yang menyebabkan nilai variabel respon menjadi optimal. Hubungan antara respon YY dan variabel inputxx adalah: YY = ff(xx 1, xx, xx 3,, xx kk ) + εε (.6) Keterangan: YY ii = variabel dependen (respon) xx ii = variabel independen (variabel bebas), ii = 1,,, kk
3 εε =error Metode permukaan respon sangat erat kaitaya dengan percobaan faktorial. Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuaya terdiri atas semua kemungki kombinasi taraf dari beberapa faktor. Tujuan utama dari percobaan faktorial adalah untuk melihat interaksi antar faktor-faktor yang diuji. Adapun kelebihan dan kekurangan Metode Permukaan Respon, kelebihan metode permukaan respon adalah: 1. Eksperimen dilakukan para perekayasa dengan perhitungan statistik dengan teliti.. Eksperimen dapat menggunakan banyak faktor yang mempengaruhi respon penelitian sehingga efek variabel dapat ditentukan secara cepat. 3. Dapat mempresentasikan informasi proses secara keseluruhan karena keterlibatan banyak variabel. 4. Titik optimum yang diperoleh tidak dipengaruhi oleh range percobaan. Sedangkan kekurangaya adalah: 1. Eksperimen dilaksanakan diproyek percobaan untuk pengembangan produk maupun riset.. Sulitnya meminta izin dari perusahaan agar mendapatkan data dari eksperimen. Permasalahan umum pada metode permukaan respon adalah bentuk hubungan yang terjadi antara perlakuan dengan respon tidak diketahui. Jadi langkah pertama yang dilakukan adalah mencari bentuk hubungan antara respon dengan perlakuaya. Bentuk hubungan linier merupakan bentuk hubungan yang pertama kali dicobakan untuk menggambarkan hubungan tersebut. Jika ternyata bentuk hubungan antara respon dengan perlakuan adalah linier maka pendekatan fungsinya disebut model orde pertama, jika bentuk hubungaya merupakan kuadrat maka pendekatan fungsinya disebut model orde kedua. Sehingga dalam eksperimen metode permukaan respon dilakukan dalam dua tahap yaitu eksperimen orde pertama dan orde kedua.
4 Eksperimen orde pertama merupakan tahap penyaringan faktor (screening), sedangkan eksperimen orde kedua merupakan tahap optimasi..3.1 Desain Model Orde Pertama Dalam metode respon permukaan dibutuhkan penentuan titik optimum untuk perubahan eksperimen orde pertama ke orde kedua. Hal ini dilakukan jika orde pertama terdapat lengkungan maka digantikan orde kedua (Jeff Wu, 000:39). Desain faktorial kk (two level factorial design) adalah desain yang sesuai untuk mengestimasi model orde pertama, artinya setiap variabel memiliki dua level. Dimana k menyatakan jumlah variabel dan diberi kode ( 1) untuk level rendah dan (+1) untuk level tinggi. Langkah pertama dari metode permukaan respon adalah menemukan hubungan antara respon YY dengan variabel independen xx ii melalui persamaan polynomial orde satu (model orde pertama). Dinotasikan variabel-variabel independen xx 1, xx,, xx kk. Variabel-variabel tersebut diasumsikan terkontrol dan mempengaruhi variabel respon YY. Jika respon dimodelkan secara baik dengan fungsi linier dari variabel-variabel independen xx ii, maka aproksimasi fungsi dari model orde satu adalah: YY ii = ββ 0 + ββ 1 xx 1ii + ββ xx ii + + ββ kk xx kkkk + εε ii (.7).3.Desain Model Orde Kedua Jika eksperimen orde pertama sudah dinyatakan tidak cocok, maka pendekatan orde kedua bisa digunakan. Pada keadaan mendekati respon, model orde kedua atau lebih biasanya disyaratkan untukmengaproksimasi respon karena adanya lengkungan (curvature) dalam permukaaya.
5 Analisis respon permukaan orde kedua sering disebut analisis kanonik. Model orde kedua dinyatakan sebagai berikut: YY ii = ββ 0 + ββ 1 xx 1 + ββ xx + ββ 3 xx 3 + ββ 11 xx 1 + ββ xx + ββ 33 xx 3 + ββ 1 xx 1 xx + ββ 13 xx 1 xx 3 + ββ 3 xx xx 3 + εε (.8).3.3Central Composite Design Central composite design adalah suatu rancangan percobaan dengan faktor yang terdiri dari level yang diperbesar titik-titik lebih lanjut yang memberikan efek kuadratik. Desain ini dimulai dengan level yang sama dengan desain kk, ditambah dengan level tambahan yang terdiri dari center points dan star points(αα). Total kombinasi level yang terdapat pada central composite design adalah kk + kk + 1, dimana k adalah jumlah faktor. Center points yang dimaksud pada desain ini adalah level pada titik (0,0,0) dan star points (αα) ditentukan oleh rumus : αα = ± kk/4.secara umum CCD terdiri dari beberapa titik antara lain: 1. Titik cube, jumlah titik yaitu: kk dan membentuk koordinat (±1, ±1, ±1). Titik star, jumlah kktitik dan membentuk koordinat (±αα, 0,0), (0, ±αα, 0) dan (0,0, ±αα) 3. Titik center, jumlah titik yaitu: cc0 + ss0 dan membentuk koordinat (0,0,0). cc0 adalah jumlah blok cube dan ss0 adalah jumlah blok star. Beberapa hal yang menjadi pertimbangan dalam menentukan jumlah titik center antara lain: 1. Menghasilkan desain yang bagus untuk informasi fungsi. Meminimasikan error 3. Memberikan deteksi yang bagus untuk diuji ketahap model orde tiga 4. Memberikan rangsangan terhadap desain yang robust
6 Setelah desain eksperimen dilakukan, data yang dikumpulkan akan digunakan untuk menaksir koefisien ββ 0, ββ 1,, ββ ii. Cara yang digunakan untuk menentukan koefisien variabel bebas sama dengan cara yang digunakan sewaktu menentukan koefisien variabel bebas pada model orde pertama..3.4titik Stasioner Titik stasioner adalah kombinasi dari desain variabel-variabel yang digunakan untuk mengoptimalkan respon. Analisis titik stasioner bertujuan untuk mengetahui nilai variabel-variabel yang dapat mengoptimalkan variabel respon menjadi minimum atau maksimum. Dengan menggunakan model orde dua nilai stasioner akan diestimasi menggunakan aljabar matriks sehingga keadaan optimum dapat dicapai dengan mengetahui titik stasioner. Model orde dua yang sudah sesuai jika dibuat ke dalam bentuk matriks adalah seperti berikut: xx 1 ββ 1 xx Dimanaxx =, bb = ββ xx kk ββ kk YY = ββ 0 + xx bb + xx BBBB (.9),BB = dengan turunan dari YY berdasarkan elemen xxadalah: yy xx ββ kk1 ββ kk ββ 1kk ββ 1 ββ 11 : ββ : ββ kkkk = bb + BBBB = 0 (.10) Oleh karena itu titik stasioner dapat diketahui dengan menggunakan persamaan: xx ss = 1 BB 1. bb (.11) Nilai koefisien variabelxx 1, xx dan xx 3 dibentuk menjadi matriks bbdan matriks BBberisi koefisien dari variabel xx 1, xx, xx 3, xx 1 xx, xx 1 xx 3, dan xx xx 3 dengan elemen selain elemen diagonal dari matriks BBdibagi dua. Selanjutnya hasil dari estimasi titik stasioner ini akan digunakan untuk menghitung fungsi optimum yang juga menggunakan matriks seperti berikut:
7 YY = ββ 0 + 1 xx ss bb (.1) Fungsi optimum diestimasi dengan menjumlahkan konstanta pada model orde dua (ββ 0) dengan setengah dari hasil perkalian invers matriks dari titik stasioner.