ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA

ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA Didit Budi Nugroho Progrm Studi Mtemtik Fkults Sis d Mtemtik Uiversits Kriste Sty Wc

KATA PENGANTAR Buku ii merupk sutu pegtr utuk ljr lier yg didsrk pd kulih yg dierik oleh peulis selm leih dri thu dlm mt kulih Aljr Lier Elemeter di Uiversits Kriste Sty Wc Sltig Segi esr uku ii dipegruhi oleh kulih Aljr Lier dri Prof Drs Setidji, SU selm peulis kulih S di FMIPA UGM Mteri dlm uku ii disjik secr terurut yg dimuli dri pegerti tetg mtriks esert opersiy di B I d diljutk deg fugsi determi yg dihs di B II Sistem persm lier yg merupk gi utm dri Aljr Lier disjik dlm B III Dlm ii dierik eerp metode yg dpt diguk utuk meyelesik sistem persm lier termsuk metode yg plig umum yitu elimisi Guss (Jord) Di B IV didiskusik tetg rug vektor esert rug giy seperti rug kolom, rug ris, d rug ol Pemhs megei sutu rug vektor diperlus deg melegkpiy deg sutu fugsi yg diseut hsil kli dlm sehigg memetuk sutu rug hsil kli dlm, d ii dierik pd B V Pemicr yg leih lus lgi megei rug vektor dijumpi di B VI yg meghuugk du rug vektor megguk trsformsi lier Dri situ seljuty dimil ksus utuk opertor lier pd sutu rug vektor utuk mecri sutu ili d vektor eigey, d ii dierik dlm B VII segi peutup dri mteri Aljr Lier Buku ii meyedik teoremteorem deg ukti yg memdi Teoremteorem terseut dilegkpi deg cotohcotoh yg ervrisi deg tekik peyelesi yg mudh diphmi Utuk meliht hw Aljr Lier diperluk gi yk idg ilmu, di setip dierik cotohcotoh pliksiy Apliksi terseut tr li lis sirkuit elektrik, jrig llu lits, persm reksi kimi, d model Leotief megguk sistem persm lier Ad jug Kriptogrfi yg merupk pliksi dri trsformsi lier Apliksi dri ili d vektor eige dimil dlm idg geometri yitu utuk megidetifiksi kurv, dlm idg fisik utuk sistem mss pegs d dlm idg iologi utuk mslh geetik Buku ii msih perlu utuk terus meerus dikemgk gu memperlihtk kemudh d keidh dri Aljr Lier Oleh kre itu peulis sgt meghrpk msuk d srsr dri pemc Sltig, Desemer Peulis

DAFTAR ISI BAB I: MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Pegtr Jeisjeis Mtriks Kesm Du Mtriks 5 Opersi Mtriks 5 5 Mtriks Eselo 6 Fugsi Sklr Mtriks BAB II: DETERMINAN 9 Ekspsi Lplce Bris Pertm 9 Ekspsi Kofktor Adjoi 5 Opersi Bris Elemeter 7 5 Mtriks Tk Sigulr d Ivers 6 Siftsift Determi 7 7 Perigkt Mtriks 9 8 Apliksi Determi BAB III: SISTEM PERSAMAAN LINEAR 5 Defiisidefiisi 5 Eksistesi Peyelesi 55 Meyelesik SPL Megguk Ivers 58 Atur Crmer 58 5 Reduksi Bris 6 6 Peyelesi Sistemtis dri SPL 65 7 Dekomposisi LU 68 8 Apliksi Sistem Persm Lier 7 BAB IV: RUANG VEKTOR 9 Rug Vektor 9 Rug Bgi Vektor 95 Komisi Lier 96 Bes Lier 99 5 Bsis 6 Rug Nol, Rug Kolom, Rug Bris 5 BAB V: RUANG HASIL KALI DALAM 9 5 Hsil Kli Dlm 9 5 Norm 5 Bsis Ortoorml d Proses GrmSchmidt 5 5 Peruh Bsis BAB VI: TRANSFORMASI LINEAR 9 6 Pegtr 9 6 Kerel d Imge dri Trsformsi Lier 6 Teorem Dimesi 5 6 Trsformsi Lier dri R ke R m 55 65 Represetsi Mtriks dri Trsformsi Lier 58 66 Komposisi Trsformsi Lier d Perkli Mtriks 66 67 Iversiilits 7 68 Apliksi Trsformsi Lier: Kriptogrfi 7 BAB VII: Nili d Vektor Eige 8 7 Motivsi 8

7 Meghitug Nili d Vektor Eige 85 7 Siftsift Poliomil Krkteristik 9 7 Digolissi d Digolissi Ortogol 95 75 Pgkt Mtriks d Persm Diferesil 8 76 Betuk Kudrtik d Iris Kerucut 6 77 Apliksi Utuk Sistem Mss Pegs 78 Apliksi Utuk Geetik

DAFTAR GAMBAR Gmr : () Mtriks segitig ts, () mtriks segitig wh, (c) mtriks digol Gmr : Trspos dri mtriks m 9 Gmr : Mtriks eselo ris Gmr : Bgu segitig Gmr : Iris gris 5 Gmr : Iris idg 5 Gmr : Skem ketuggl d eksistesi peyelesi SPL 57 Gmr : Algoritm GussJord 6 Gmr 5: Dekomposisi LU dri mtriks 69 Gmr 5: Vektor x (x, x ) 9 Gmr 5: Dekomposisi ortogol vektor u Gmr 5: Jumlh vektor u d v deg tur segitig Gmr 5: Jumlh vektor u d v deg tur jjr gejg 5 Gmr 55: Proyeksi vektor u 8 Gmr 56: Rotsi sumu koordit krtesius Gmr 6: Represetsi skemtis dri sutu trsformsi lier 9 Gmr 6: Represetsi skemtis dri rge T Gmr 6: Represetsi skemtis dri rug ol 9 Gmr 6: Rotsi oleh sudut q 57 Gmr 65: Refleksi gu persegi 57 Gmr 66: Ekspsi d kompresi sepjg sumu x 58 Gmr 67: Pergeser dlm rh x d rh y 58 Gmr 68: Ilustrsi dri represetsi mtriks 6 Gmr 69: Peruh mtriks sis segi sutu represetsi mtriks 65 Gmr 6: Represetsi komposisi oleh perkli mtriks 67 Gmr 6: Peruh sis d trsformsi lier 69 Gmr 7: Rotsi sumu 8 Gmr 7: () Diltsi l >, () Kotrksi < l <, (c) Pemlik rh (l < ) 85 + v Gmr 7: Grfik ( ) ( ) u Gmr 7: Grfik x xy + y 7 v Gmr 75: Grfik ( ) ( ) u Gmr 76: Grfik 6x +xy + y Gmr 77: Sistem mss pegs

DAFTAR TABEL Tel : Sift NS(A) d CS(A) 6 Tel 7: Proilits geotip keturu

B MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Pd pertm ii k dierik eerp defiisi dsr yg erkit deg mtriks d opersi ljr elemeter pd mtriks Seli itu k diperkelk eerp jeis mtriks yg k serig dijumpi pd seljuty Pegtr DEFINISI Mtriks (mtrix) dlh susu segi empt sikusiku dri elemeeleme di sutu field (F,, +) Eleme terseut dpt erup peryt yg simolis tupu ilgilg Mtriks isy diotsik deg huruf esr oleh persm A [ ij ] yg errti hw eleme pd ris kei d kolom kej dri mtriks A sm deg ij Serigkli ditulisk eleme mtriks deg etuk ij (A) ij Mtriks A secr jels ditulisk dlm etuk A m m deg setip (i, j) Î {,,, m} {,,, } d ij Î F Bris kei dri mtriks A yitu [ i i i ] mempuyi usur, sedgk kolom kej yg mempuyi m usur yitu j j mj Setip mtriks mempuyi ris d kolom yg medefiisik ukur mtriks Jik sutu mtriks A mempuyi m ris d kolom mk ukur (ordo) mtriks diytk deg m, d seljuty mtriks A is ditulisk deg A m tu m A Simol M m (F) meotsik himpu semu mtriks erukur m ts field F m Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH Dierik rumus ij i + j utuk i d j yg medefiisik sutu mtriks A [ ij ] erukur Mtriks A dpt ditulisk secr eksplisit dlm etuk 5 A 5 6 5 6 7 Jeisjeis Mtriks DEFINISI Vektor (vector) dlh sutu mtriks yg hy mempuyi stu ris tu stu kolom Kre itu terdpt du jeis vektor yitu vektor ris d vektor kolom DEFINISI Vektor ris (row vector) dlh sutu mtriks yg hy mempuyi stu ris sj, seperti A [ ] tu A (,,, ) deg dlh dimesi dri vektor ris DEFINISI Vektor kolom (colum vector) dlh sutu mtriks yg hy mempuyi stu kolom sj Segi cotoh, vektor kolom erdimesi m: A m DEFINISI Jik eerp ris d tu kolom dri sutu mtriks A dihpus mk mtriks sisy diseut mtriks gi (sumtrix) dri A 6 CONTOH Mtriksmtriks gi dri tr li yitu 6 6,, [ 6 ], [ ], DEFINISI 5 Jik yky ris dri sutu mtriks A Î M m (F) sm deg yky kolom, m, mk mtriksy diseut mtriks persegi (squre mtrix) deg elemeeleme,,, dimk elemeeleme digol utm Seljuty, mtriks persegi A erukur cukup ditulisk deg otsi A 5 CONTOH Mtriks A 5 5 merupk mtriks persegi se 6 5 7 yky ris sm deg yky kolom yitu Sedgk elemeeleme digol utmy dlh 5,, 7 Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks DEFINISI 6 Mtriks A Î M m (F) deg eleme ij utuk i > j diseut mtriks segitig ts (upper trigulr mtrix) Deg kt li, semu eleme di wh digol utm sm deg ol CONTOH Mtriks dlh sutu mtriks segitig ts 7, 6 55 DEFINISI 7 Mtriks A Î M m (F) deg eleme ij utuk i < j diseut mtriks segitig wh (lower trigulr mtrix) Deg kt li, semu eleme di ts digol utm sm deg ol CONTOH Mtriks dlh sutu mtriks segitig wh,,6,5 DEFINISI 8 Mtriks persegi A Î M (F) deg semu eleme yg tidk terletk pd digol utm sm deg ol, ij utuk i ¹ j, diseut mtriks digol (digol mtrix), ditulisk A dig(,,, ) Beerp tu semu msuk digol dri mtriks digol is jug ol CONTOH 5 Mtriks dlh mtriks digol 5 d DEFINISI 9 Mtriks I [d ij ], d ij diseut delt Kroecker, yg didefiisik oleh d ij utuk i j d d ij utuk i ¹ j, diseut mtriks idetits (idetity mtrix) erukur, d ditulisk I # dig(,,,) tu I (e, e,, e ) deg e i dlh vektor kolom erdimesi deg msuk di posisi kei DEFINISI Mtriks A Î M m (F) deg semu elemey sm deg ol, ij utuk semu i d j, diseut mtriks ol (zero mtrix), d diotsik deg O m Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH 6 dlh mtriks ol Mtriks, [ ], d [] DEFINISI Sutu mtriks tridigol (tridigol mtrix) dlh sutu mtriks persegi deg semu eleme digol dri mtriks gi persegi di ts digol utm d di wh digol utm dlh ol CONTOH 7 Mtriks 9 5 merupk mtriks tridigol se mtriks gi persegi persegiy yitu mempuyi elemeeleme digol yg semuy ol 6 9 d Pd Gmr dierik ilustrsi eerp jeis mtriks deg elemeeleme pd derh yg dirsir tidk semuy ol, sedgk elemeeleme pd derh yg tidk dirsir semuy sm deg ol () () (c) Gmr : () Mtriks segitig ts, () mtriks segitig wh, (c) mtriks digol DEFINISI Sutu mtriks A Î M (F) diseut mtriks domi digol (digolly domit mtrix) jik ii ³ ij utuk semu i,,, d å j, i¹ j å ii > ij j, i¹ j utuk sutu i Deg kt li, utuk setip ris pd mtriks domi digol, ili mutlk dri eleme digol leih esr tu sm deg jumlh iliili mutlk dri elemeeleme sis pd ris terseut, d jug terdpt ketidksm yg leih esr secr tegs utuk sutu ris Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks 5 CONTOH 8 Mtriks 5 6 7 B 6 merupk mtriks domi secr digol se ½ ½ ½5½ 5 ³ ½ ½+½ ½ ½6½+½7½, ½ ½ ½½ ³ ½ ½+½ ½ ½½+½½, ½ ½ ½6½ 6 ³ ½ ½+½ ½ ½½+½½ 5 d terdpt sutu ris, ris tu ris, ketksmy dlh ketksm yg leih esr secr tegs CONTOH 9 Mtriks 5 5 C 6 8 uklh mtriks domi secr digol se ½c ½ ½8½ 8 ½c ½+½c ½ ½6½+½½ 65 CONTOH Mtriks 5 6 9 D 5 uklh mtriks domi secr digol se ditr ketksmketksm erikut tidk d yg leih esr secr tegs: ½d ½ ½ 5½ 5 ³ ½d ½+½d ½ ½6½+½9½ 5, ½d ½ ½ ½ ³ ½d ½+½d ½ ½½+½½, ½d ½ ½5½ 5 ³ ½d ½+½d ½ ½½+½½ 5 Kesm Du Mtriks DEFINISI Mtriks A [ ij ] sm deg mtriks B [ ij ] jik ukur dri A d B sm, d elemeeleme yg ersesui (erkorespodesi) jug sm, yitu utuk A, B Î M m (F) mk ij ij, i m d j CONTOH Agr A sm deg B 6 7, mk hruslh 6 d 7 Opersi Mtriks DEFINISI (Pejumlh mtriks) Mtriks A [ ij ] d B [ ij ] dpt dijumlhk jik keduy erukur sm Jumlh dri mtriks A d B, ditulis A + B, dlh mtriks yg diperoleh deg mejumlhk elemeeleme yg erkorespodesi dri A d B, yitu A + B [ ij ] + [ ij ] [ ij + ij ] Didit B Nugroho

6 B Mtriks d Opersi Mtriks DEFINISI (Pegurg mtriks) Mtriks A [ ij ] d B [ ij ] dpt dikurgk hy jik keduy erukur sm Pegurg A oleh B, yg ditulisk A B, didefiisik oleh A B [ ij ] [ ij ] [ ij ij ] DEFINISI (Perkli sklr deg mtriks) Dierik sutu mtriks A [ ij ] Î M m (F) d sklr k Î F Perkli sklr k deg A, ditulis ka, dlh mtriks yg diperoleh deg cr meglik semu eleme dri A deg sklr k, yitu ka k[ ij ] [k ij ] CONTOH 5 6 7 5 + 6 + 7 9 + 7 5 9 + + 5 7 + 9 7 6 5 6 7 5 6 7 () 5 5 7 5 9 5 7 9,,, 6 5 6 5 6 Opersiopersi mtriks memeuhi hukumhukum ritmtik seperti erikut (Dimil serg sklr s d t, d mtriksmtriks A, B, C, O yg erukur sm) () (A + B) + C A + (B + C); [Hukum sositif] () A + B B + A; [Hukum komuttif] () O + A A + O; [Hukum idetits] () A + ( A) O; [Hukum ivers] (5) (s + t)a sa + ta, (s t)a sa ta; [Hukum distriutif k] (6) t(a + B) ta + tb, t(a B) ta tb; [Hukum distriutif kiri] (7) s(ta) (st)a; (8) A A, A O, ( )A A; (9) ta O Þ t tu A O DEFINISI (Hsil kli mtriks) Mtriks A d B dpt diklik, dlm hl ii AB, hy jik yky kolom dri A sm deg yky ris dri B (A d B diktk dpt meyesuik diri/ coformle) Jik mtriks A [ ij ] erukur m d mtriks B [ jk ] erukur p, mk hsil kli mtriks A d B, ditulis AB, dlh mtriks C [c ik ] yg erukur m p deg eleme ke(i,k) didefiisik oleh c ik å ij jk i k + i k + + i j Secr simolis, utuk risris R, R,, R m pd mtriks A d kolomkolom C, C,, C m pd mtriks B, dpt ditulisk hsil kli A d B yitu R RC RC RC p A B R C C C p RC RC RC p R m RmC RmC RmC p k Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks 7 CONTOH 5 6 5 + 7 6 + 8 9 7 8 5 + 7 6 + 8 5 5 6 5 + 6 5 + 6 5 6 7 8 7+ 8 7 + 8 ¹ 6 7 8 [ ] 6 8 [ ] [] CONTOH Bo igi megurgi ert dy mellui stu rec diet d ltih fisik Sesudh mecri keterg dri Tel, di memut jdwl ltih fisik seperti dlm Tel Berp klori yg k terkr deg melkuk ltih fisik setip hri jik di megikuti rec terseut? Tel Tel Klori yg terkr setip jm Jumlh jm per hri utuk setip ktivits Aktivits ltih Jl kki mil/ jm Bert dlm l Jdwl ltih 5 6 7 78 Jl Lri Berseped Teis 5 7 9 Sei,,,, Lri 5,5 mil/ jm 65 688 76 76 Sels,,,, Berseped 5,5 mil/ jm 8 56 Ru,,5,, Teis secukupy 68 9 Kmis,,,5, Jumt,,5,, Peyelesi Iformsi megei Bo erd dlm kolom keempt dri Tel Iformsi ii diytk oleh sutu vektor kolom X Iformsi dlm Tel dpt diytk oleh sutu mtriks A erukur 5 Utuk mejw perty, dihitug AX,,,, 65, Sei,,,,,,5,,5,,,5, 9, 76, 56, 9, 98, 8,6 6, 8,6 Sels Ru Kmis Jumt CONTOH Sutu perush meghsilk tig produk deg perkir iy produksiy digi dlm tig ktegori (disjik dlm Tel ) Diut jug sutu perkir, dlm Tel, utuk jumlh dri setip produk yg k dihsilk utuk setip kurtl Tetuk iy totl utuk setip kurtl dri ketig ktegori Didit B Nugroho

8 B Mtriks d Opersi Mtriks Tel Tel Biy produksi per rg (dollr) Biy Jumlh yg dihsilk per kurtl Produk Musim Produk A B C Ps Gugur Digi Semi Bh meth,,,5 A 5 5 Teg kerj,,,5 B 6 Biy tmh,,,5 C 58 6 6 6 Peyelesi Setip tel dpt diytk oleh mtriks seperti erikut,,,5 5 5 A,,,5 d B 6,,,5 58 6 6 6 Jik diut hsil kli AB, mk kolomkolom dri AB erturutturut meytk iy utuk musim ps, gugur, digi, semi 87 6 7 96 Bh meth AB 5 9 8 58 Teg kerj 67 9 8 7 Biy tmh Perkli mtriks memeuhi eerp hukum ritmtik, yitu () (AB)C A(BC), jik A, B, C secr erurut erukur m, p, p q; () k(ab) (ka)b A(kB), A( B) ( A)B (AB) deg k dlh sklr; () (A + B)C AC + BC, jik A d B erukur m d C erukur p; () D(A + B) DA + DB, jik A d B erukur m d D erukur p m Di sii hy k diuktik sift yg pertm di ts (hukum sositif) Leih dhulu diklim hw (AB)C d A(BC) keduy mriks erukur m q Dimil mtriks A [ ij ], B [ jk ], d C [c kl ], sehigg k diperoleh p p (( AB ) C) il å( AB ) ik c æ ö p kl ç å åij jk ckl ç åå ij jk ckl k k è j ø k j Sejl deg itu, jug diperoleh (( AB ) C) il åå p j k Hsil jumlh gd kedu etuk terseut dlh sm Jumlh dri etuk p ååd jk j k ij d åå jk c kl p d jk k j meytk jumlh dri p eleme mtriks [d jk ] dlm ris d kolom secr erurut Akity C A BC (( AB ) ) il ( ( )) il utuk i m d l q Kre itu (AB)C A(BC) DEFINISI 5 (Pgkt mtriks) Dierik sutu mtriks A Î M (F) d ilg ult tk egtif k Didefiisik A k segi erikut A I d A k+ A k A utuk k ³ Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho 9 CONTOH 5 7 8 9 ¹ 8 6 6 6 5 Khusus utuk mtriks digol A [ ii ], < i <, pgkt k dri mtriks A didefiisik oleh [ ] k ii k A ) ( tu secr jels diytk deg ( ) ( ) ( ) k k k k k A Berikut ii hukumhukum yg erlku utuk mtriks erpgkt yg mempuyi sift AB BA () A m A A m+, (A m ) A m ; () (AB) A B ; () A m B B A m ; () (A + B) A + AB + B ; (5) (A + B) i i i B A i å ø ö ç ç è æ ; deg ) ( i i C i i ø ö ç ç è æ (6) (A + B)(A B) A B DEFINISI 6 (Trspos mtriks) Trspos dri mtriks A m [ ij ], diotsik A T, dlh mtriks yg diperoleh dri A deg cr meguh setip ris kei mejdi kolom kei tu seliky kolom kej mejdi ris kej Deg kt li A T [ ji ] tu ( ) ij ji T A yg erukur m T i i i i i i Gmr : Trspos dri mtriks m

B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH 6 5 Trspos dri mtriks C 5 5 5 dlh 6 6 7 7 5 5 6 T 6 C 5 7 5 7 Opersi trspos mempuyi eerp sift segi erikut : T T () ( A ) A ; T T () ( ) T A ± B A ± B jik A d B erukur m ; T ka ka ; () ( ) T T T () ( ) T AB B A jik A erukur m d B erukur p; x dlh vektor kolom Berikut ii k diuktik hy utuk sift keempt Pertm diperiks hw (AB) T d B T A T mempuyi ukur yg sm p m Seli itu, elemeeleme yg erkorespodesi dri kedu mtriks dlh sm Utuk A [ ij ] d B [ ij ] mk jik X [ x x ] T T (5) X X [ x + x + x ] ( AB ) T ) ki ( ) ik AB å ij jk j T T ( B ) ( A ) å j kj ji T T B A k ( ) i DEFINISI 7 Sutu mtriks A diseut mtriks simetris (symmetric mtrix) jik A T A Deg kt li, A hruslh mtriks persegi (mislk ) d ji ij utuk semu i d j Kre itu A dlh sutu mtriks simetris yg umum 6 CONTOH 7 Mtriks D 8 dlh sutu mtriks simetris kre 6 8 9 d d, d d 6; d d d 8 DEFINISI 8 (Mtriks simetris mirig) Sutu mtriks A Î M (F) diktk simetris mirig (skewsymetric) jik A T A Deg kt li, utuk mtriks simetris mirig A, mk A hruslh mtriks persegi (mislk ) d ji ij utuk semu i d j Kre elemeeleme digol utm tidk eruh oleh trsposisi, mk mtriks simetris mirig A hruslh ol pd digol utmy tu deg kt li ii utuk setip i Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH 8 Mtriks E dlh sutu mtriks simetris mirig 5 5 Perlu dictt hw utuk sutu mtriks persegi A, mk A A T dlh simetris T mirig kre ( A A ) T T A ( A T ) T A T A (A A T ), sedgk A + A T dlh T simetris kre ( A + A ) T A T + A A + A T Kre itu T T A ( A A ) + ( A + A ) Mudh diuktik jug hw jumlh dri du mtriks simetris mirig dlh jug simetris mirig d kudrt dri mtriks simetris mirig (simetris) dlh simetris se A ( A T A T ) T (( A)( A) ) T ( A ) T 5 Mtriks Eselo DEFINISI 5 (Mtriks eselo ris) Sutu mtriks A mempuyi etuk eselo ris (rowechelo form) jik mempuyi siftsift segi erikut: () ris ol (semu usury ol), jik d, terletk pd ris gi wh; () utuk sutu ris tk ol (usury tidk seluruhy ol), ilg pertm yg tk ol dlm ris terseut dlh, diseut utm (ledig ); () utuk semrg du ris tk ol yg erurut, utm dlm ris yg wh terletk di seelh k dri utm dlm ris ditsy Sutu mtriks eretuk eselo ris mempuyi lgkh tgg seperti diilustrsik pd Gmr, deg derh yg tidk dirsir semu usury ol Gmr : Mtriks eselo ris CONTOH 5 Dierik mtriksmtriks seperti erikut 5 A, B, C, D Mtriks A merupk mtriks eselo ris, tetpi B uk mtriks eselo ris kre terdpt ris ol (ris ) yg terletk di ts ris tk ol (ris ) Demiki jug mtriks C uk mtriks eselo ris kre utm pd ris terletk di seelh kiri utm pd ris D jug uk mtriks eselo ris kre ilg tk ol pertm pd ris uk tetpi Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks DEFINISI 5 (Mtriks eselo ris tereduksi) Sutu mtriks mempuyi etuk eselo ris tereduksi (reduced rowechelo form) jik () Mtriks eretuk eselo ris; () setip kolom yg memut utm mempuyi elemeeleme ol utuk liy CONTOH 5 Mtriks d mempuyi etuk eselo ris tereduksi, sedgk mtriks d tidk eretuk eselo ris tereduksi Perlu dictt hw mtriks ol utuk semu ukur sellu dlm etuk eselo ris tereduksi 6 Fugsi Sklr Mtriks Fugsi sklr dri sutu mtriks merigks ergi krkteristik dri elemeeleme mtriks Sutu fugsi sklr yg petig dlh fugsi determi Secr forml, determi dri sutu mtriks persegi A, diotsik det(a), dlh jumlh semu hsil kli elemeter ertd dri A Diskusi yg leih medlm k dipeljri secr leih detil di du Seli determi, fugsi sklr yg li yitu trce Trce dri mtriks A [ ij ] didefiisik segi jumlh elemeeleme digol utm, yitu å ii i tr ( A) Dierik A d B dlh mtriks erukur deg h d k dlh sklr Fugsi trce mempuyi siftsift segi erikut: () tr(a) tr(a T ); () tr(ha + kb) htr(a) + ktr(b); () tr(ab) tr(ba); () tr(i ) Berikut ii hy k diuktik sift yg ketig Diperhtik hw AB å k ik kj d BA å k ik kj, mk tr(ab) åå ik ki i k åå k i ki ik tr(ba) Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho SOALSOAL UNTUK BAB Tulisk secr eksplisit mtriks A [ ij ] erukur utuk ij j i Tulisk secr eksplisit mtriks A [ ij ] erukur utuk ij ij Tetuk A + B d AB, jik dierik + c A, d c B dlh mtriksmtriks persegi deg msuky dlh ilg rel Tetuk x d y sehigg + 8 7 7 5 y x x 5 Tetuk mtriks A d B erukur sehigg A 5B d A + 6B 6 6 Tetuk hsil kli 7 Tetuk AB d BA jik dierik mtriks A d c c c B 8 Dierik mtriks A d B Hituglh: () A () A + B (c) A B (d) (A) T (B) T (e) AB (f) BA (g) A T B T (h) (AB) T 9 Jik 6 5 A d B, mk tetuk mtriks AA T, A T A, BB T, B T B

B Mtriks d Opersi Mtriks Dierik perkir hrg (dlm dollr) dri empt jeis telur dlm periode empt miggu yg disjik pd Tel 5 Terdpt tig toko yg memes keempt jeis telur terseut deg yky pes disjik dlm Tel 6 Tetuk iy totl pes dri setip toko per miggu Tel 5 Tel 6 A B C D Toko Toko Toko Miggu,6,7,8,9 A Miggu,55,65,75,85 B Miggu,6,75,85,95 C 8 6 Miggu,65,7,85,95 D Selesik persm x x Buktik pkh er, utuk setip A, B Î M (F) erlku (A + B)(A B) A B Buktik pkh er, jik A, B Î M (F) d AB O mk BA O Utuk ilg rel dimiliki rumus (x + ) x + x + d (x + y) x + xy + y Apkh rumus erlku utuk mtriks (deg digti oleh mtriks idetits erukur d x sert y digti mtriks erukur )? Kep? 5 Jik A [ ij ], tujukk hw ( A ) ij åå k h ik 6 Buktik deg megguk iduksi mtemtik, hw 7 Buktik deg iduksi hw I I 8 Dierik A Tetuk A 6 kh 9 Dierik A Î M (R) yg didefiisik deg cos si A si cos Tujukk deg iduksi hw utuk setip Î N erlku A cos si si cos hj Didit B Nugroho

B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho 5 Jik A, tujukk hw A A I Dierik A Î M (R) yg didefiisik deg A Buktik hw + ) ( A Buktik deg megguk rti dri iduksi hw utuk mtriks erukur erlku + 6 ) )( ( ) ( ) ( Dierik d c A Tujukk hw A ( + d)a + (d c)i O Tetuk semu mtriks A Î M (R) sehigg () A O () A I 5 Tetuk sutu peyelesi A Î M (R) utuk A A 6 6 Dierik A Î M (F) d k Î Z, k > Buktik hw A k O jik hy jik A O 7 Dierik mtriks A, B, C, D yg didefiisik oleh A, 5 B, C, D Mkh dri opersiopersi mtriks di wh ii yg terdefiisi? Hitug mtriksmtriks yg terdefiisi terseut A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D

B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho 6 8 Tujukk hw tidk d mtriks A, B, C, D Î M (R) sehigg AC + DB I d CA + BD O 9 Utuk mtriks di wh ii, hituglh A d A Seljuty, erpkh A? A Dierik mtriks A Tujukk hw jik mtriks B erukur sehigg AB I, mk + B utuk ili d yg sesui Guk hukum sositif utuk meujukk hw (BA) B B Mkh ditr mtriksmtriks erikut yg mempuyi etuk eselo ris tereduksi? () () 5 (c) (d) (e) (f) (g) Dierik mtriks persegi A, B Î M 7 (R) sehigg tr(a ) tr(b ), d (A B) I 7, tetuk tr(ba) Dierik mtriks d c A Î M (R) Tetuk syrt perlu d cukup utuk,, c, d d gr tr(a ) (tr(a))

B Mtriks d Opersi Mtriks 7 Dierik mtriks persegi A Î M (R) sehigg tr(a ), d (A I ) I Tetuk tr(a) ij i j 5 Dierik A Î M (F) Buktik hw tr(aa T ) åå 6 Dierik X Î M (R) Buktik hw jik XX T O mk X O 7 Dierik m,, p Î Z + d A Î M m (R), B Î M p (R), C Î M p m (R) Buktik hw jik (BA) T A (CA) T A mk BA CA 8 Dierik A d B dlh mtriks persegi erukur sm, deg A simetris d B simetris mirig Buktik hw A BA dlh simetris mirig 9 Jik A dlh mtriks simetris erukur d B erukur m, uktik hw B T AB dlh mtriks simetris erukur m m Dierik mtriks A, B, C Î M (F) Buktik pkh tr(abc) tr(bac) Didit B Nugroho

INDEKS D digol utm, M mtriks, gi, digol, domi digol, eselo ris, eselo ris tereduksi, idetits, ol, persegi, segitig ts, segitig wh, simetris, simetris mirig, tridigol, T trce, trspos, 9 U ukur mtriks, V vektor, ris, kolom,