K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol ng erpust di (0, 0).. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol ng erpust di (h, k). 3. Dpt menentukn persmn gris singgung ng mellui titik (, ) di lur hiperol. 4. Dpt menentukn persmn gris singgung hiperol ng ergrdien m. Gris singgung hiperol merupkn sutu gris ng meninggung hiperol. Ad tig jenis persmn gris singgung hiperol, itu persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol, persmn gris singgung ng mellui titik (, ) di lur hiperol, dn persmn gris singgung hiperol ng ergrdien m. A. Persmn Gris Singgung di Titik (, ) pd Hiperol ng Berpust di (0, 0) Untuk menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol horizontl ng erpust di (0, 0), perhtikn gmr erikut!
o R (, ) S ( + P, + q) Dikethui hw persmn hiperol horizontl ng erpust di (0, 0) dlh: = Jik R(, ) merupkn semrng titik ng terletk pd hiperol, mk erlku: = Jik S( + p, + q) jug merupkn semrng titik ng terletk pd hiperol, mk erlku: ( + p) ( + q) = ( + p+ p ) ( + q+ q ) = + p + p q + q = + p + p q + q = p p + q q = + p( + p) q( + q) = q + p = p + q Grdien gris ng mellui titik R dn S tu gris RS dpt ditentukn segi erikut.
m + q = + p m = q p m = + p + q Grdien gris singgung dpt diperoleh jik p mendekti 0 (p 0) dn q mendekti nol (q 0). + p mgris singgung =lim p 0 + q q 0 = Dengn demikin, persmn gris singgung di (, ) dlh segi erikut. = m gris singgung = = = = = Oleh kren nili = = =, mk persmn gris singgungn menjdi: Jdi, persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol horizontl ng erpust di (0, 0) dlh segi erikut. = 3
Dengn cr ng sm, diperoleh persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol vertikl ng erpust di (0, 0) segi erikut. = Contoh Sol Persmn gris singgung hiperol 6 0 = di titik 3, 5 Pemhsn: dlh... Tentukn dhulu posisi titik terhdp hiperol. Dengn mensustitusikn titik 3, 5 ke persmn hiperol, diperoleh: 3 6 ( 5) 0 = 3 == Oleh kren =, mk titik 3, 5 terletk pd hiperol. dengn rumus erikut. Selnjutn, tentukn persmn gris singgung di (, ) = 3, 5 = 3 6 5 0 = 5 0 = 5 5 =0 Jdi, persmn gris singgung hiperol 6 0 = di titik 3, 5 Contoh Sol dlh 5 5 =0. Persmn gris singgung hiperol 5 = 0 di titik (, 5) dlh... Pemhsn: Tentukn dhulu posisi titik terhdp hiperol. Dengn sustitusi titik (, 5) ke persmn hiperol, diperoleh: 5 5() = 0 = 0 4
Oleh kren 0 = 0, mk titik (, 5) terletk pd hiperol. Selnjutn, tentukn persmn gris singgung di (, ) = (, 5) dengn formul gi dil erikut. 5 = 0 5 5 = 0 = 4 = 4 Jdi, persmn gris singgung hiperol 5 = 0 di titik (, 5) dlh = 4. B. Persmn Gris Singgung di Titik (, ) pd Hiperol ng Berpust di (h, k) Persmn gris singgung di titik (, ) pd hiperol ng erpust di (h, k) didpt dri konsep pergesern grfik. Untuk hiperol horizontl ng erentuk ( h) ( k) =, persmn gris singgungn di titik (, ) dlh segi erikut. ( h) ( h) ( k)( k) = ( k) ( h) Sementr itu, untuk hiperol vertikl ng erentuk persmn gris singgungn di titik (, ) dlh segi erikut. =, ( k) ( k) ( h)( h) = Contoh Sol 3 Persmn gris singgung hiperol 6 4 + 3 8 36 = 0 di titik (, ) dlh... Pemhsn: Tentukn dhulu posisi titik terhdp hiperol. Dengn sustitusi titik (, ) ke persmn hiperol, diperoleh: 6() 4() + 3() 8() 36 = 0 = 0 Oleh kren 0 = 0, mk titik (, ) terletk pd hiperol. Selnjutn, uh entuk persmn umum hiperol ke entuk rumus umumn. 5
6 4 +3 8 36=0 6 +3 4 8 =36 =36 6 + 4 + ( ) 6 + 4 + =36 ( ) 4 ( +) 6 + 6 4 + +4=36 6 + 4 + = 48 6 + 48 48 ( +) ( + ) = 3 = 48 48 Dengn demikin, persmn gris singgungn di (, ) = (, ) dlh segi erikut. ( + )( +) ( + )( +) = 3 ( + )( +) ( + )( +) = 3 ( +) ( +) = 3 4 ( + ) ( + ) = 6 4 +4 =6 4 3=0 Selin cr terseut, d cr lin ng dpt digunkn untuk menentukn persmn gris singgung hiperol dri persmn umumn. Crn dlh menggunkn rumus gi dil. Rumus gi dil diperoleh dengn menguh entuk vriel pd persmn umum hiperol dengn ketentun erikut... 3. + 4. + Dengn demikin, pd contoh sol seelumn, setelh kmu melkukn uji posisi 6
titik, persmn gris singgung hiperol 6 4 + 3 8 36 = 0 dpt dintkn dengn rumus gi dil erikut. + + 6 4 +3 8 36 =0 () () () + 4 + 36=0 6 4 +6 6 4 +6 +6 44 36=0 3 8 4=0 4 3=0 (() ) Jdi, persmn gris singgung hiperol 6 4 + 3 8 36 = 0 di titik (, ) dlh 4 3 = 0. C. Persmn Gris Singgung ng Mellui Titik (, ) di Lur Hiperol Persmn gris singgung ng mellui titik (, ) di lur hiperol tidk memiliki formul khusus. Untuk menentukn persmn gris singgungn, perhtikn dhulu gmr erikut. gris singgung o gris singgung R (, ) Titik R merupkn titik di lur hiperol. Dri titik R, dpt ditrik du uh gris singgung hiperol. Lngkh-lngkh untuk menentukn persmn gris singgung hiperol ng mellui titik R dlh segi erikut.. Sutitusikn titik (, ) ke persmn gris = m + n, kemudin ntkn n dlm m.. Sutitusikn persmn gris terseut pd hiperol ng dikethui, kemudin entuk menjdi persmn kudrt + + c = 0. 3. Gunkn srt gris meninggung kurv, itu D = 0 tu 4c = 0 untuk mencri nili m. 4. Sutitusikn lik nili m ke = m + n sehingg diperoleh persmn gris singgungn. 7
Contoh Sol 4 Persmn gris singgung kurv 6 = 3 di titik (0, ) dlh... Pemhsn: Tentukn dhulu posisi titik terhdp hiperol. Dengn mensustitusikn titik (0, ) ke persmn hiperol, diperoleh: 0 6() = 6 3 Oleh kren 6 3 mk titik (0, ) terletk di lur hiperol. Selnjutn, tentukn persmn gris singgungn dengn lngkh-lngkh erikut. Mislkn persmn gris singgungn dlh = m + n. Sutitusikn titik (0, ) ke persmn gris singgung terseut sehingg diperoleh: = m + n = m(0) + n n = Dengn demikin, persmn gris singgungn menjdi = m +. Sutitusikn persmn = m + ke persmn hiperol 6 = 3 sehingg diperoleh: 6 m + =3 6 m + m + =3 6m m 6=3 ( 6m ) m 9=0 Persmn kudrt terseut memiliki nili = 6m, = m, dn c = 9. Dengn menggunkn srt gris meninggung kurv, diperoleh: D =0 4 c = 0 m 4 6m 9 =0 44 m +36 6 m =0 7 m = 36 m = 36 7 m = ± Sustitusikn lik nili m ke persmn = m +, sehingg diperoleh: 8
Untuk m = : = + Untuk m = : = + Jdi, persmn gris singgung kurv 6 = 3 di titik (0, ) dlh = +. = + dn D. Persmn Gris Singgung Hiperol ng Bergrdien m Pd hiperol horizontl ng erpust di (0, 0) tu =, dpt diut gris singgung ergrdien m, misl = m + n. Untuk mendptkn nili n, sutitusikn gris = m + n ke persmn hiperol, sehingg diperoleh: = ( m + n) = ( m + mn + n )= m mn n = ( m ) mn ( n + )= 0 9 Persmn kudrt terseut memiliki nili = m, = mn, dn c = ( n + ). Dengn menggunkn srt gris meninggung kurv, diperoleh: D =0 4 c = 0 ( m )( ( n )) mn 4 m n + =0 mn 4 + =0 4 4 4 4 4 m n +4 n + m n m 4 m n +4 n +4 4 m n 4 m = 0 4 n 4 4 4 4 4 4 +4 4 m = 0 4 n + m =0 =0
Fktor penghsil nol ng mungkin dlh segi erikut. n + m = 0 n = m n =± m Dengn demikin, persmn gris singgung hiperol horizontl ergrdien m dpt dintkn segi erikut. =ng = m ± m Dengn cr ng sm, diperoleh persmn gris singgung hiperol vertikl = ng ergrdien m segi erikut. = m ± m Super "Solusi Quipper" Persmn gris singgung hiperol ng ergrdien m dlh = m + n. Untuk =, erlku n = m = Untuk =, erlku n = m = Sellu temptkn m di wh. Contoh Sol 5 Persmn gris singgung hiperol 6 5 = 80 ng memiliki grdien 4 dlh... Pemhsn: Mul-mul, uh dhulu persmn umum hiperol terseut ke dlm entuk rumus umumn. 0
6 5 = 80 6 80 580 = 80 80 5 6 = Dri entuk terseut, dikethui nili = 5 dn = 6. Dengn demikin, persmn gris singgung 5 6 = dengn grdien m = 4 dlh segi erikut. = m ± m =4 ± 5.4 6 =4 ± 64 =4 ± 8 Jdi, persmn gris singgung hiperol 6 5 = 80 ng memiliki grdien 4 dlh = 4 ± 8. Contoh Sol 6 Persmn gris singgung hiperol 36 80 = ng sejjr dengn gris = 0 dlh... Pemhsn: Dri persmn hiperol 36 80 =, dikethui nili = 36 dn = 80. Gris = 0 tu = 5 memiliki grdien. Oleh kren gris singgung hiperol sejjr dengn gris terseut, mk grdien gris singgungn dlh m =. Dengn demikin, persmn gris singgung 36 80 =dengn grdien m = dlh segi erikut. = m ± m = 36 80 ± 4 = ± 6 = ± 4
Persmn gris singgung pertm: = +4 tu +8=0 Persmn gris singgung kedu: = 4 tu 8=0 Jdi, persmn gris singgung hiperol 36 80 = ng sejjr dengn gris = 0 dlh + 8 = 0 dn 8 = 0. Kmu telh memhmi persmn gris singgung hiperol ng erpust di (0, 0) dengn grdien m. Sekrng mri kit eljr persmn gris singgung hiperol ng erpust di (h, k) dengn grdien m. Persmn gris singgung hiperol horizontl ( h) ( k) = ng ergrdien m dpt dintkn segi erikut. k = m h ± m Sementr itu, persmn gris singgung hiperol vertikl ng ergrdien m dlh segi erikut. k = m h ± m ( k) ( h) = Contoh Sol 7 Persmn gris singgung hiperol 3 6 8 = 0 ng mementuk sudut 60 o terhdp sumu-x positif dlh... Pemhsn: Mul-mul, tentukn grdienn. Grdien gris singgung hiperol ng mementuk sudut 60 o terhdp sumu-x positif dlh segi erikut. m = tn α m = tn 60 o m = 3 Selnjutn, uh persmn umum hiperol terseut ke dlm entuk rumus umumn.
3 6 8=0 3 6 = 8 3 + = 8 3 ( + ) +3=8 3 + =6 ( ) ( +) 6 = Dri entuk terseut, dikethui nili = 6, =, dn (h, k) = (, ). ( ) ( +) Dengn demikin, persmn gris singgung = dengn grdien 6 m = 3 dlh segi erikut. k = m h ± m += 3 ± 6 3 += 3 3 ± 4 Jdi, persmn gris singgungn dlh = 3 3+3dn = 3 3 5. Contoh Sol 8 Persmn gris singgung hiperol 0 + 4 + 0 46 = 0 ng tegk lurus dengn gris + 3 = 0 dlh... Pemhsn: Mul-mul, uh dhulu persmn umum hiperol terseut ke dlm entuk rumus umumn. 0 +4 +0 46=0 +4 0 +0 = 46 +4 0 = 46 + 40 = 46 + 0 = 40 ( +) 40 + 40 0 = 40 40 40 = 4 3
Dri entuk terseut, dikethui nili (h, k) = (, ), = 40, dn = 4. Gris + 3 = 0 tu = 3 + 0 memiliki grdien 3 3. Oleh kren gris singgung hiperol tegk lurus dengn gris terseut, mk grdien gris singgungn dlh m = =3. 3 ( +) ( ) Dengn demikin, persmn gris singgung = dengn grdien 3 40 4 dlh segi erikut. k = m h ± m +=3 ± 404 3 +=3 3± 4 =3 5± Jdi, persmn gris singgungn dlh = 3 3 dn = 3 7. 4